Gợi ý làm thi môn Toán Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 Hà Nội năm học 2009-2010 Bài I/ (2,5 điểm) Cho biểu thức A = x 1 , với x x x4 x 2 x 2 1/ Rút gọn biểu thức A 2/ Tính giá trị biểu thức A x = 25 3/ Tìm giá trị x để A = Giải: x 1 x x 2 x 2 x2 x 1/ A = x4 x 2 x 2 ( x 2)( x 2) ( x 2)( x 2) = x ( x 2) ( x 2)( x 2) 2/ A = x = x 2 3/ A= 25 x x 2 = 25 x = x x2 x 2 x 2 x x Bài II/ (2,5 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Hai tổ sản xuất may loại áo Nếu tổ thứ may ngày, tổ thứ hai may ngày hai tổ may 1310 áo Biết ngày tổ thứ may nhiều tổ thứ hai 10 áo Hỏi tổ ngày may áo? Giải: Gọi số áo tổ may ngày x (x N*) số áo tổ may ngày x +10 ngày tổ may 3(x+10) ngày tổ may 5x Theo đề hai tổ may 1310 chiếc, ta có: 3(x+10) + 5x = 1310 3x + 30 + 5x = 1310 8x + 30 = 1310 8x = 1280 x = 1280:8 x = 160 Vậy ngày tổ may 160 áo ngày tổ may 160+10 = 170 áo Bài III/ (1,0 điểm) Cho phương trình (ẩn x): x2 – 2(m+1)x + m2 +2 = 1/ Giải phương trình cho m = 2/ Tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 10 Giải: 1/ Khi m = 1: x2 – 4x + = a+b+c = + (-4) + = x1 = 1; x2 = c =3 a 2/ Để phương trình có nghiệm phân biệt: ' > ' = [-(m+1)]2 – (m2+2) = m2 + 2m + – m2 – = 2m -1 > m> Ta có: x12 + x22 = (x1 + x2)2 - x1x2 (Theo Vi-et x1+x2 = b c = 2m+1 ;x1 x2 = = m2+2) a a = [2(m+1)]2 – 2(m2+2) = 4(m2 + 2m + 1) – 2m2-4 = 4m2 + 8m + – 2m2 -4 = 2m2 + 8m Theo đề x12 + x22 = 10: 2m2 + 8m = 10 2m2 + 8m – 10 = 2(m2 + 4m – 5) = 2(m2 + 5m – m – 5) = 2[m(m+5)-(m+5)] = 2(m+5)(m-1) = Được: m - lo¹i m Bài IV/ (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) điểm A nằm bên đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B,C tiếp điểm) 1/ Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp 2/ Gọi E giao điểm BC OA Chứng minh BE vuông góc với OA OE.OA = R2 3/ Trên cung nhỏ BC đường tròn (O;R) lấy điểm K (K khác B C) Tiếp tuyến K đường tròn (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự điểm P, Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi K chuyển động cung nhỏ BC 4/ Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự điểm M, N Chứng minh PM + QN MN Giải: M B P K A O E Q N C 1/ Xét ABOC có ABO = 1V (tính chất tiếp tuyến) ACO = 1V (tính chất tiếp tuyến) ABO + ACO = 1V + 1V = 2V hai góc đối diện ABOC nội tiếp 2/ AB = AC (t/c tiếp tuyến xuất phát từ điểm) ABC cân mà AO phân giác BAC (t/c tiếp tuyến xuất phát từ điểm) AO đường cao ABC hay AOBC Xét ABO vuông B có BE đường cao, theo hệ thức lượng tam giác vuông OB2 = OE.OA, mà OB = R R2 = OE.OA 3/ PK = PB (t/c tiếp tuyến xuất phát từ điểm) KQ = QC (t/c tiếp tuyến xuất phát từ điểm) Xét P APQ = AP + AQ + QP = AP + AQ + PK + KQ = AP + PK + AQ + KQ = AP + PB + AQ + QC = AB + AC = 2AB - (O) cố định AB không đổi - A cố định 4/ OMP QNO MP OM MN MN MN = = MP.QN = OM.ON = ON QN 2 MN2 = 4MP.QN MN = MP.QN MP+NQ (Theo BĐT Cauchy) Hay MP+NQ MN (ĐPCM) Bài V/ (0,5 điểm) Giải phương trình: x2 1 x2 x (2 x + x2 + 2x + 1) 4 Giải: x2 1 x2 x (2 x + x2 + 2x + 1) 4 x2 1 x x = 2x3 + x2 + 2x + 4 = x2(2x + 1) + (2x + 1) 4x2 1 x2 x x x x = (2x + 1) (x2 + 1) (2 x 1)(2 x 1) (2 x 1) = (2x + 1) (x2 + 1) (2 x 1)(2 x 1) 2 x = (2x + 1) (x2 + 1) Ta thấy: Vế trái PT với x mà x2 + > với x 2x + x PT (2 x 1)(2 x 1) 2(2 x 1) = (2x + 1) (x2 + 1) (2 x 1)(2 x 2) = (2x + 1) (x2 + 1) (2 x 1) = (2x + 1) (x2 + 1) 2x+1 = (2x + 1) (x2 + 1) (2x + 1)(x2 + 1-1) = x2 (2x + 1) = x 2x x x - thỏa mãn Kết luận: PT có nghiệm x = 0; x = Thử lại, ta thấy x = x = -Người giải đề thi: NGUYỄN NGỌC ĐẠI (Giáo viên Trường THCS Đống Đa, Hà Nội) ... – 2(m2+2) = 4(m2 + 2m + 1) – 2m2-4 = 4m2 + 8m + – 2m2 -4 = 2m2 + 8m Theo đề x12 + x22 = 10: 2m2 + 8m = 10 2m2 + 8m – 10 = 2(m2 + 4m – 5) = 2(m2 + 5m – m – 5) = 2[m(m+5)-(m+5)] = 2(m+5)(m-1)... (ẩn x): x2 – 2(m+1)x + m2 +2 = 1/ Giải phương trình cho m = 2/ Tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức x12 + x22 = 10 Giải: 1/ Khi m = 1: x2 – 4x + = a+b+c... x = 0; x = Thử lại, ta thấy x = x = -Người giải đề thi: NGUYỄN NGỌC ĐẠI (Giáo viên Trường THCS Đống Đa, Hà Nội)