SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH
KIÊN GIANG LỚP 12 THPT
T———— NĂM HỌC 2013-2014
ĐÈ CHÍNH THỨC ao —
(Đề thi gầm 1 trang) MƠN THỊ: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kế thời gian giao dé)
Ngày thị: 03/10/2013 Thí sinh làm tất cả bốn bài toán sau:
Bài I: (5,0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho hàm số: y= zx` (a là số thực cho trước) có đồ thị (C)
M là một điểm thay đổi trên (C), N là điểm đối xứng với O (gốc tọa độ) qua M
Tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm K
Chứng minh: Khi M thay đổi trên (C) thì trọng tâm của tam giác ONK thuộc một đường thẳng cố định Bài II: (5,0 điểm) 1 =2 Cho dãy số o day so (u,) : (n>2) (z„): "
Tính giới hạn của dãy số đã cho
Bài II: (5,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SAC nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Mặt bên SAB là tam giác đều và mặt đáy ABC là tam giác cân tại B Chứng minh:
1) Mặt bên SAC là tam giác vuông
2) Tìm điểm I cách đều bốn đỉnh hình chóp S.ABC Bài IV: (5,0 điểm)
Giải phương trình: 2(sin x+cosx)—+x/5—sin2x =0 HET
Ghi chi:
> Thí sinh không được sử dụng tài liệu
Trang 2SỞ GIÁO DUC VÀ ĐÀO TẠO KIÊN GIANG
(Hướng dẫn chấm gôm 3 trang) HƯỚNG DẪN CHÁM
MON THI: TOAN Ngày thị: 03/10/2013 KỲ THỊ CHON HOC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 12 THPT - NĂM HỌC 2013-2014 BÀI ĐÁP ÁN DIEM
Trong mpOxy, cho ham s6: y= ax’ (a là sô thực cho trước)
Bài I có đồ thị (C) M là một điểm thay đỗi trên (C), N la điểm | 5,0 diém
déi xtng vi O (gốc tọa độ) qua M Tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm K
Chứng minh: Khi M thay đỗi trên (C) thì trọng tâm của tam giác ONK thuộc một đường thăng cơ định
M e(C)= MÍm;am" ) 0,5
N đối xứng với O qua M thì N(2m;2am`) 1,0 Tiếp tuyến của (C) tại M: y= 3amˆx—2aw2 1,0
Tiếp tuyến cắt trục tung tại: A⁄ e (C) = K(0;~2am") 1,0
Trọng tâm tam giác ONK: of 1, ) i
Khi M thay đổi trên (C) thì trọng tâm tam giác ONK thuộc | 0,5
trục hoành
z uy = 2 2
Bai IT Cho dãy s6 (u,): ate 42 (a>2) 5,0 điểm
Tính giới hạn của dãy số đã cho
Qui nạp khơng hồn tồn, dự đốn: u, = 4- 1 2,0
+Kiểm tra: n=2 công thức tính uạ đúng 0,5
Trang 3Công thức u, =4 đúng với n>2 Kết luận limw, =4 1,0 Bài IH Hình học không gian 5,0 điểm Hình vẽ Ss A c 8
1)CM: tam gide | Dat: AB=BC=SA=SB=a; AC=y
SAC vuéng -Goi M la trung diém AC Mỗi ý:
(2 diém) Taco: BM 1 AC >BM L(SAC)=> BM LSM 0,5 2
-Tam giac ABM: BM? =a’ a
2
-Tam giac SMB: SM? = SB? - BM? = 2 = SM =
-Tam giác SAC: có trung tuyến SM bằng nửa cạnh AC nên nó là tam giác vuông tại S
Hình vẽ câu 2)
Trang 4
2)Tim J cach déu 4 dinh hinh chóp S.ABC +Xác định tâm đáy: -Ké SK L AC = SK L(ABC)
Goi L la trung diém AB: 4B LSL => AB L KL Goi I 1a giao diém BM va KL: I la tam day
Nên IA=IB=IC
+CM mặt phẳng trung trực SA qua I:
-Gọi J là trung điểm SA: 84.L 87 = S4.L M2
-mp(BM3J) là mặt phẳng trung trực SA, mp(BMJ) qua I
Nên IA=IS
1,0
1,0
kết luận Điểm cách đều 4 đỉnh hình chóp là tâm đường tròn ngoại
tiếp đáy ABC 1,0 diém Bài IV Giải phương trình: V2(sinx +ceosx)~5—sin2x =0 5,0 điềm +2 (sin x +eosx)~ v5 ~ sin 2x =0© 12 (sinx+cosx) = ¥5—sin 2x 0,5 +CM: V2 (sinx+cosx)<2 : 1 ⁄2 sinx+cosx =3[ Josinxt Feo] ( )=2| in =2e0s{ x -Š] <2 4 1,0 +Dién ta duoc: A/5—sin2x >2 1,0 sin2x =0 a — Y=I V2 (sin x +cosx) = V5-sin2x =2 “(ne 2) a x=—+k2x 4 7 x=—+kr exe thon 4
Ghi cha: Néu hoc sinh binh phuong hai vé phuong trinh V2 (sinx+cos x)=V5-sin2x sé dan dén phuong trinh hé qua
2(1+sin2x) = 5—sin2x Cudi cling nghiém là x = 5 +kz
(nghiệm ngoại lai là x= = +k27z}:
+Không loại nghiệm: cả bài cho 2,0 điểm
+Nếu thử lại nghiệm đúng thì chấm điểm biến đổi:
-Biến đổi hệ quả (dung =): tron 5,0 điểm
-Biến đổi tương đương (dùng ©): cả bài cho 4,0 điểm 1,0 1,0
0,5
Ghi chú:
