Bí quyết chinh phục điểm 9,10 kỳ thi vào lớp 10 THPT

Tài liệu cung cấp một số bài tập khó phần Đại Số kỳ thi vào lớp 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG. Mong thầy ( cô ) xem đây là một tài liệu bồi dưỡng HSG hoặc bồi dưỡng học sinh thi THPT hữu ích , các em học sinh xem đây như một tài liệu ôn thi THPT hữu ích

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA Bí chinh phục điểm ,10 kỳ thi vào lớp 10 THPT Câu : Cho a , b , c độ dài cạnh tam giác Chứng minh : a2 + b2 − c2 b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 + + >1 2ab 2bc 2ca ( Đề thi vào lớp 10 THPT Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa năm học 2017-2018 ) a + b2 − c b + c − a a + c − b2 + + >1 2ab 2bc 2ac ⇔  c( a + b − c ) + 2abc  +  a (b + c − a ) − 2abc  + b(a + c − b ) − 2abc  > ⇔ c  (a + b) − c  + a  (b − c )2 − a  + b  (a − c )2 − b  > ⇔ c (a + b − c )(a + b + c ) + a (b − c − a )(b − c + a ) + b(a − c − b )(a − c + b ) > ⇔ c (a + b − c )(a + b + c ) + a (b − c − a )(a + b − c ) + b(a − c − b )(a + b − c ) > ⇔ ( a + b − c) [ c.(a + b + c) + a (b − c − a ) + b( a − c − b) ] > ⇔ ( a + b − c)  ca + cb + c + ab − ac − a + ba − bc − b  > ⇔ ( a + b − c)  c + ab − a + ba − b  > ⇔ (a + b − c)  c − a + 2ba − b  > ⇔ ( a + b − c)  c − (a − 2ba + b )  > ⇔ (a + b − c )  c − ( a − b )2  > ⇔ ( a + b − c)(c − a + b)(c + a − b) > BĐT cuối Vì a;b;c độ dài ba cạnh tam giác ta có : a + b > c suy a + b –c >0 ;tương tự , ta có c+b−a =c−a+b >0 c + a –b >0 nhân với với vế ba bất đẳng thức nói ta có → đpcm ( a + b –c)( c–a+b) (c + a –b)>0 nên bất đẳng thức đầu Câu : Giải phương trình 5x + 4x − x − 3x − 18 = x (Đề thi vào lớp 10 THPT Sở GD & ĐT Nam Định năm học 2017-2018 ) Điều kiện: x≥6 Cách 1: Lời giải thầy Nguyễn Minh Sang: 5x + 4x − x = x − 3x − 18 ⇔ 5x + 4x + 25x − 10x 5x + = x − 3x − 18 ⇔ ( 5x + ) − 10x 5x + + 4x + 2x − = Đăng tải baigiangtoanhoc.com Page Bí chinh phục điểm ,10 kỳ thi vào lớp 10 THPT Đặt 5x + = t , phương trình trở thành: 6t − 10xt + 4x + 2x − = ; ∆ ' = 25x − 6(4x + 2x − 6) = (x − 6) ≥  5x + x − t = x − t =  ⇔  2x + t =  5x − x − t =    t = x − ⇔ x − = 5x + ⇔ x − 7x − = ⇔ x = Với t= Với Vậy + 61 (do x ≥ 6) 2x + ⇔ 2x + = 5x + ⇔ 4x − 33x − 27 = ⇔ x = (do x ≥ 6)  + 61  S= ;9    Cách 2: Lời giải thầy Nguyễn Văn Thảo: x + x − x = x − x − 18 ⇔ x + x = x − x − 18 + x ⇔ x + x = x + 22 x − 18 + 10 x ( x − x − 18) ⇔ x − x + = x( x − 6)( x + 3) ⇔ 2( x − 6x) + 3( x + 3) = ( x − 6x)( x + 3) Đặt: a = x − 6x   b = x + (a ≥ 0;b ≥ 3) Đăng tải baigiangtoanhoc.com ta có phương trình: Page Bí chinh phục điểm ,10 kỳ thi vào lớp 10 THPT  a=b 2a + 3b = 5ab ⇔ (a − b)(2a − 3b) = ⇔   2a = 3b  + 61 (TM )  x= 2 1)a = b ⇔ x − 7x − = ⇔   − 61 ( KTM ) x =   x = 9(tm) 2)2a = 3b ⇔ 4x − 33x − 27 = ⇔   x = −3 ( ktm)  Vậy phương trình có tập nghiệm:   + 61   S = 9;      Câu :Cho a,b số thực.Tìm giá trị lớn biểu thức :P= ( x − y )(1 − x y ) (1 + x )(1 + y ) ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc ) P= a,b ≥ 2 Đặt a = x ; b = y ( a, b ≥ Vì ( a − b ) ( − ab ) 2 ( 1+ a ) (1+ b) ) (a − b)(1 − ab) = a − a b − b + ab ≤ a + ab = a(1 + b ) ≤ a(1 + 2b + b ) = a(1 + b) nên: (1 + a) = (1 − a) + 4a ≥ 4a Lại có ⇒P≤ a ( + b) 4a ( + b ) = Dấu “=” xảy Đăng tải baigiangtoanhoc.com a =  x = ±1 ⇔ ⇔ b = y = Page m axP = Vậy  x = ±1 ⇔ y = Bí chinh phục điểm ,10 kỳ thi vào lớp 10 THPT 1 + = x + y + xy + Câu : Giả sử x, y hai số thực phân biệt thỏa mãn P= Tính giá trị biểu thức 1 + + x + y + xy + (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2017-2018 ) 1 1 1 + = ⇔ − + − =0 x + y + xy + x + xy + y + xy + xy − y xy − x + = ⇒ ( xy − y ) ( y + 1) + ( xy − x ) ( x + 1) = ( x + 1) ( xy + 1) ( y + 1) ( xy + 1) ⇔ ( x − y) ( xy − 1) = ⇔ xy = (vi x ≠ y) ⇒ S = x1 , x2 , x3 , , x9 Câu 5: Các số thực không âm  x1 + x2 + x3 + + x9 = 10   x1 + x2 + x3 + + x9 = 18 thỏa mãn 1.19 x1 + 2.18 x2 + 3.17 x3 + + 9.11x9 ≥ 270 Chứng minh : (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2017-2018 ) ( x1 + x2 + x3 + + x9 ) = 90 9 ( x1 + x2 + x3 + + x9 ) = 90 ⇒ 19 x1 + 29 x2 + 39 x3 + + 99 x9 = 270  10 ( x1 + x2 + x3 + + x9 ) = 180 Mat khac 1.19 x1 + 2.18 x2 + 3.17 x3 + + 9.11x9 = (19 x1 + 29 x2 + 39 x3 + + 99 x9 ) + ( x2 + 12 x3 + 15 x4 + x8 ) = 270 + ( x2 + 12 x3 + 15 x4 + x8 ) ≥ 270  x1 =  Dau " = " xay ⇔  x9 =  x = x = = x =  Đăng tải baigiangtoanhoc.com Page Bí chinh phục điểm ,10 kỳ thi vào lớp 10 THPT (x + x ) + ( x + 1) − x + ( x + 1) + ( x + x ) = 2017 2 2 Câu : Giải phương trình ∀x ∈ R ĐKXĐ (x + x ) + ( x + 1) − x + ( x + 1) + ( x + x ) = 2017 2 2 ⇔ x + x3 + x + x + x + − x + x + x + + x + x + x = 2017 ⇔ (x + 2x + 2) − (x + x + 1) = 2017 ⇔ x + x + − x − x − = 2017 ⇔ x = 2016 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2017-2018 ) Câu :Cho số dương a,b,c,d Chứng minh số a2 + 1 1 1 1 + ;b + + ;c + + ;d + + b c c d d a a b Có số không nhỏ Hướng dẫn : P = a2 + Giả sử bốn số nhỏ 1 1 1 1 + + b2 + + + c2 + + + d + + < b c c d d a a b Mặt khác 1 1 1 1 1 1 1 P = a + + + b2 + + + c2 + + + d + + = a + b2 + c2 + d +  + + + ÷ b c c d d a a b a b c d  1 Do ( a + b + c + d ) ≥ ( a + b + c + d ) ; + + + ≥ ⇒ a b c d a+b+c+d ( a+b+c+d) P≥ ( a + b + c + d ) 16 16 16 16 + + ≥ 33 = 12 a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d Trái điều giả sử suy có số không nhỏ (x − x + 1) ( x + 4x + 1) = 6x Câu :Giải phương trình: Đặt y = x2 + 1, phương trình trở thành: ( y − x ) ( y + 4x ) = 6x ⇔ y + 3xy − 4x = 6x ⇔ y + 3xy − 10x = ⇔ ( y − 2x ) ( y + 5x ) =  y = 2x ⇔  y = −5x Đăng tải baigiangtoanhoc.com Page Bí chinh phục điểm ,10 kỳ thi vào lớp 10 THPT x + = 2x ⇔ x − 2x + = ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = Với y = 2x −5 ± 21 x + = −5x ⇔ x + 5x + = ⇔ x = Với y = – 5x Vậy tập nghiệm phương trình  −5 ± 21  S = 1;    (Đề thi vào lớp 10 THPT Sở GD &ĐT Bắc Ninh năm học 2017-2018 ) Câu : Cho số thực dương x, y, z, t thỏa mãn x + y + z + t = A= ( x + y + z) ( x + y) xyzt Tìm giá trị nhỏ biểu thức (Đề thi vào lớp 10 THPT Sở GD & ĐT Bắc Ninh năm học 2017-2018 ) Câu 10 : Cho x,y số thực dương nhỏ Tìm giá trị lớn biểu thức : xy (1 − x − y ) ( x + y )(1 − x )(1 − y ) Q= (Đề thi vào lớp 10 THPT Chuyên Sở GD & ĐT Tây Ninh ) ( x3 − ) = Câu 11 : Giải phương trình : ( ( x + 4) + ) (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Sở GD & ĐT Phú Thọ năm học 2017 -2018 ) 1 + + = 2017 x+ y y+z x+z x, y , z Câu 12 : Cho P= số dương thay đổi thỏa mãn : Tìm giá trị lớn 1 + + x + y + z 3x + y + z x + y + z biểu thức : ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Sở GD & ĐT Thanh Hóa năm học 2017-2018 ) Hướng dẫn : 1 1 ( x + y + z + t )( + + + ) > 16 x y z t Áp dụng bất đẳng thức phụ: hay (với x,y,z,t >0 ) Đăng tải baigiangtoanhoc.com 1 1 1 ≤ ( + + + ) x + y + z + t 16 x y z t Page Bí chinh phục điểm ,10 kỳ thi vào lớp 10 THPT Câu 13 :Cho số thực a,b,c thỏa mãn : P= 1 1   7. + +  = 6. + +  + 2016 b c  a  ab bc ca  3(2a + b ) 2 + 3(2b + c ) 2 + 3(2c + a ) Tìm giá trị lớn (1 − a ) + (1 − b) + (1 − c ) ≤ Câu 14 : Cho số thực a,b,c không âm thỏa mãn a +b +c =3 Chứng minh x + y + z ≤ Câu 15 : Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn : x2 + 1 + y + + z + ≥ 82 y z x xyz ≤ Câu 16 :Cho số thực x,y,z thỏa mãn : Chứng minh : Đăng tải baigiangtoanhoc.com Page Chứng minh : .. .Bí chinh phục điểm ,10 kỳ thi vào lớp 10 THPT Câu : Cho a , b , c độ dài cạnh tam giác Chứng minh : a2 + b2 − c2 b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 + + >1 2ab 2bc 2ca ( Đề thi vào lớp 10 THPT Chuyên... Bí chinh phục điểm ,10 kỳ thi vào lớp 10 THPT 1 + = x + y + xy + Câu : Giả sử x, y hai số thực phân biệt thỏa mãn P= Tính giá trị biểu thức 1 + + x + y + xy + (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT. .. − 3x − 18 ⇔ ( 5x + ) − 10x 5x + + 4x + 2x − = Đăng tải baigiangtoanhoc.com Page Bí chinh phục điểm ,10 kỳ thi vào lớp 10 THPT Đặt 5x + = t , phương trình trở thành: 6t − 10xt + 4x + 2x − = ; ∆