333 c u tr c nghi m L ng gi c (L thuy t B i t p) File word

GV TRẦN QUỐC NGHĨA Phần CÔNG THỨC LƯNG GIÁC sin I Giá trị lượng giác góc (cung) lượng giác Định nghĩa giá trị lượng giác Cho  OA, OM    Giả sử M  x; y   cos   x  OH  sin   y  OK tan   sin cos tan cot Một số lưu ý: T B K sin      AT     k  cos   co s   BS   k   co t   sin  Nhận xét:  a, –1  cos  ;  –1  sin    tan  xác định    k , k  2 Dấu giá trị lượng giác Góc (I) (II) HSLG  tang Tóm tắt lí thuyết + + + + + – – – ① Quan hệ độ rađian: 1  cotang S M  cosin H O A  cot  xác định   k , k  “Nhất cả, nhị sin, tam tan, tứ cos” sin (III) (IV) – – + + – + – –   180  ( rad ) 1(rad )    180    (II) (I) (III) (IV) cos ② Với   3,14 1  0,0175  rad  ,  rad   5701745 ③ Độ dài l cung trịn có số đo  (rad), bán kính R l l R ỵ S o ca cung lượng giác có điểm đầu A , điểm cuối B : sđ AB    k 2, k ỵ Mi cung lng giỏc CD ứng với góc lượng giác  OC , OD  ngược lại II Cung liên kết “Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác  tan”  Cung đối nhau:    Cung k 2 sin(– )  –  sin  sin(  k 2 )  sin  cos(– )  cos cos(  k 2 )  cos tan(  k 2 )  tan  tan(– )  – tan  cot(– )  – cot  cot(  k 2 )  cot    Cung khác  :      Cung :   sin      cos  sin(   )  –sin  2    cos       sin  cos(   )  – cos 2    tan       cot  tan(   )  tan  2    cot       tan  cot(   )  cot  2  III Các giá trị lượng giác số góc (cung) đặc biệt  Cung bù: –  sin(   )  sin  cos(   )   cos tan(   )   tan  cot(   )   cot    Cung phụ    :   sin      cos  2    cos      sin  2    tan      cot  2    cot      tan  2  Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Độ 0 Rad sin cos 30 45 60 90 120 135 150 180     2 3 5  2 2  2 2 tan 3 ||  cot || 3  3  2  –1 –1  3 –1  || IV Công thức lượng giác:  Hệ thức bản: 1) sin x  cos x  4) cot x  cos x sin x 3) tan x  2) tan x.cot x  5)  tan x  cos x sin x cos x 6)  cot x  sin x  Công thức cộng: 7) sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b 8) sin  a – b   sin a.cos b – cos a.sin b 9) cos  a  b   cos a.cos b – sin a.sin b 10) cos  a – b   cos a.cos b  sin a.sin b 11) tan( a  b)  tan a  tan b  tan a.tan b 12) tan( a  b)  tan a  tan b  tan a.tan b  Công thức nhân hai: 13) sin 2a  2sin a.cos a 15) tan 2a  tan a  tan a 16) cot 2a  cot a  2cot a 14) cos 2a  cos2 a – sin a  2cos2 a –1  – 2sin a  cos4 a – sin a   cos x  sin x  cos x sin x   Công thức nhân ba: (chứng minh trước dùng) 17) sin 3a  3sin a – 4sin a 19) tan 3a  3tan a  tan a  3tan a  Công thức hạ bậc: 18) cos3a  4cos3 x – 3cos a 20) cot 3a  3cot a  cot a  3cot a GV TRẦN QUỐC NGHĨA 21) sin a   cos 2a 22) cos a   cos 2a 23) tan a   cos 2a  cos 2a 24) co t a   cos 2a  cos 2a  Cơng thức biến đổi tích thành tổng: sin(a  b)  sin(a  b) 27) cos a.cos b   cos(a  b)  cos(a  b)   Công thức biến đổi tổng thành tích: ab a b cos 29) sin a  sin b  2sin 2 ab a b cos 31) cos a  cos b  2cos 2 sin(a  b) 33) tan a  tan b  cos a.cos b sin(b  a ) 35) cot a  cot b  sin a.sin b  Một số hệ quả: 37) sin a cos a  sin 2a ka 39)  cos ka  2cos 2 25) sin a.cos b  ka ka   41)  sin ka   sin  cos  2   sin(a  b)  sin(a  b) 28) sin a.sin b    cos( a  b)  cos( a  b)  (Các công thức 33–36 phải chứng minh) ab a b sin 30) sin a  sin b  2cos 2 ab a b sin 32) cos a  cos b  2sin 2 sin(a  b) tan a  tan b  34) cos a.cos b sin(b  a ) 36) cot a  cot b  sin a.sin b 26) cos a.sin b  38) sin a cos a  sin 2a ka 40)  cos ka  2sin 2 ka ka   42)  sin ka   sin  cos  2     43) sin x  cos x  sin  x   4    44) sin x  cosx  sin  x   4    45) cos x  sin x  cos  x   4    46) cos x  sin x  cos  x   4  47) sin x  cos x   2sin x cos x   sin 2 x   cos x 4 48) sin x  cos x   3sin x cos x   sin 2 x   cos x 8 Phương pháp giải tốn Vấn đề GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC Dạng Mối liên hệ độ rad  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Dùng công thức a  180.     a 180 Trong : a : số đo độ góc cung  : số đo rad góc cung  Có thể dùng máy tính bỏ túi để đổi đơn vị đo nhanh B CÁC VÍ DỤ Chuyên đề LƯỢNG GIÁC VD 1.1 Đổi số đo của cung sau sang radian: 54 , 3045 , 300 , 450 ,  600 , 900 , 1200 ,  2100 VD 1.2 Đổi số đo của các cung sau sang độ:  3 ; ; 2 5 4 5  4 ; ; 5,34 ; 2,34 ; ; ; 18 C BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.1 Đổi số đo của góc sau radian: a) 15 b) 1230 1.2 Đổi số đo của các cung sau ra độ, phút, giây: 5 3 a) b) c) 16 Dạng c) 2230 d) 7152 d) Các toán liên quan đến góc (cung) lượng giác  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Số đo tổng quát cung lượng giác có dạng:   k 2 , (k  )  Cho góc có số đo  tùy ý ta ln đưa dạng   k 2 , (k  ) Trong      Khi  cịn gọi số đo hình học góc  Nếu cho góc (cung) có số đo  , muốn xem có phải số đo góc (cung) có số đo tổng quát hay khơng, ta giải phương trình     k 2 tìm k tập  Nếu hai góc (cung) lượng giác x1  1  m2 x2    n2 biểu diễn đường trịn lượng giác có điểm cuối trùng x1  x2  k 2 có nghiệm với m, n, k  B CÁC VÍ DỤ VD 1.3 Tìm số đo hình học góc: a) x  10 b) y  23450 GV TRẦN QUỐC NGHĨA VD 1.4 Trên đường tròn lượng giác với điểm A 1;  gốc, xác định vị trí tia OM của góc lượng giác    OA, OM  trong các trường hợp sau:   7500 ,   1200 ,   VD 1.5 7 8 ,  Cho điểm B trên đường tròn lượng giác với gốc là điểm A 1;  cho  OA, OB   60 Tìm thêm 3 góc lượng giác  OA, OB  có giá trị dương và 3 góc lượng giác  OA, OB  có giá trị âm VD 1.6 Trên  đường  trịn  lượng  giác  có  điểm gốc A các  cung  lượng giác có số đo  37 m , có điểm cuối trùng hay không ? VD 1.7 Cho x   7  k (k  ) Tìm góc (cung) x thỏa  x   12 C BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.3 Cho sđ   Ox, Oy     kp (k  ) a) Tính k để sđ   Ox, Oy    b) Giá trị  63 65 có phải số đo của  Ox, Oy  không ? Tại ? 1.4 Cho sđ  Ox, Oy   3320  k 360 với k  a) Định k để sđ  Ox, Oy  lần lượt 111320 –68640 b) Giá trị 946040’ có phải là sđ (Ox, Oy) khơng ? Tại ? 1.5 Cho x  a)     k 2 (k  ) Tìm góc (cung) x thỏa một các điều kiện sau: x  b)   x  4 c) 2  x  Chuyên đề LƯỢNG GIÁC Dạng Dựng cung lượng giác ng trũn LG A PHNG PHP GII ỵ Biểu diễn cung lượng giác AM đường tròn lượng giác, tức xác định điểm cuối M0, M1, M2, … cung đường trịn lượng giác Ta lập bảng: k … –3 –2 –1 ỵ AM M3 M2 M1 ỵ Chỳ ý: Cung AM  M0 M1 M2 M3 M4 … k 2 biểu diễn n điểm n B CÁC V D ỵ VD 1.8 Trờnngtrũnlng giỏc cú gc A  Hãy xác định các điểm M biết cung lượng giác AM có số đo:  k ; VD 1.9 k k  2 ; ; k (k  ) 3 Biểu diễn các cung lượng giác có số đo trên đường trịn lượng giác, từ đó tìm cơng thức số đo chung của các cung đó:    k ; l ;  m  (k , l , m  ) VD 1.10 Tìm cơng thức tính số đo của các cung lượng giác, biết số đo của chúng thỏa mãn các điều       x  k x   k  kiện sau, với: a)  3 (k , m  ) 3 (k , m  ) b)   x  m  x  m GV TRẦN QUỐC NGHĨA C BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.6 Trên đường trịn lượng giác gốc A , dựng điểm cuối các cung lượng giác có số đo  (k  ) : 2 a) AM   k ỵ ỵ d) AM 1.7 k ỵ b) AM k ỵ c) AM 60 k120 þ þ f) AM  e) AM  –150  k.90 Trên đường trịn lượng giác, biểu diễn cung có số đo:  k  3 5 11 ; –60 ; –315 ;  ; 4 Tỡm cỏc ngn cung trựng nhau, ti ? ỵ 1.8 Trên đường tròn định hướng, cho ba điểm A , M , N cho sđ AM ỵ , s AN Gi ỵ P lim thucngtrũnú tam giỏc MNP tam giác cân P Hãy tìm sđ AP 1.9 Tìm cơng thức tính số đo của các cung lượng giác, biết số đo của chúng thỏa mãn các điều kiện sau, với ( k , m  ) :  x  k b)  x  m    x  k a)   x    m  Dạng  x  k  c)    x  m Độ dài cung tròn  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Dùng cơng thức l  R. l Trong : R: bán kính đường trịn α: số đo rad cung l: độ dài cung  Chú ý: Áp dụng vào tốn có liên qua đến thực tế  R B CÁC VÍ DỤ VD 1.11 Trên đường trịn có bán kính 20cm , tìm độ dài cung có số đo sau:  15 ; 25 ; 3 ; 2, 45 (tính xác đến hàng phần ngàn) VD 1.12 Hai  người số kinh tuyến, lần lượt 25 vĩ  nam  và  10 vĩ  đơ nam Tính khoảng cách theo đường chim bay giữa hai người đó. Biết bán kính của Trái Đất 6378 km Chuyên đề LƯỢNG GIÁC C BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.10 Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vịng giây a) Tính góc (độ và rad) mà bánh xe quay được giây b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được phút, biết đường kính bánh xe đạp 680mm 1.11 Một xe ơtơ biết bánh xe có đường kính 120 cm Nếu xe đó chạy được 100 km bánh xe quay vịng ? 1.12 Một chiếc địng hồ có kim dài 2,1m ; kim phút dài 2, 5m a) Hỏi sau 45 phút mũi kim giờ, mũi kim phút vạch nên được các cung trịn có độ dài mét? b) Giả sử hai kim xuất phát vị trí tia Ox số 12 Hỏi sau hai kim trùng lần ? trùng lần ? Dạng Tính giá trị lượng giác cung biết giá trị lượng giác  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Sử dụng hệ thức nêu phần tóm tắt lí thuyết  Chú ý sử dụng bảng dấu hàm số lượng giác để loại giá trị khơng hợp lí B CÁC VÍ DỤ   VD 1.13 Cho sin    ,      3   Tính cos  , tan  cot   VD 1.14 Cho tan   2 Tính: a) A  2sin   3cos  3sin   cos  b) B  sin   sin  cos   2cos   4sin  GV TRẦN QUỐC NGHĨA VD 1.15 Cho sin   cos   m      Tính: a) A  sin   cos  b) B  sin   cos  C BÀI TẬP ÁP DỤNG 1.13 Tính giá trị lượng giác cung  biết: a) sin   c) tan a  –2 e) sin   0,8 g) cos        a        –