Sự trình bày rõ ràng chính xác phù hợp với mô hình toán học là bước đầu tiên trong giải tích mạng điện.
GII TÊCH MẢNG Trang 12 CHỈÅNG 2 GII PHỈÅNG TRÇNH VI PHÁN BÀỊNG PHỈÅNG PHẠP SÄÚ 2.1. GIÅÏI THIÃÛU. Nhiãưu hãû thäúng váût l phỉïc tảp âỉåüc biãøu diãùn båíi phỉång trçnh vi phán nọ khäng cọ thãø gii chênh xạc bàòng gii têch. Trong k thût, ngỉåìi ta thỉåìng sỉí dủng cạc giạ trë thu âỉåüc bàòng viãûc gii gáưn âụng ca cạc hãû phỉång trçnh vi phán båíi phỉång phạp säú họa. Theo cạch âọ, låìi gii ca phỉång trçnh vi phán âụng l mäüt giai âoản quan trng trong gii têch säú. Trong trỉåìng håüp täøng quạt, thỉï tỉû ca viãûc lm têch phán säú l quạ trçnh tỉìng bỉåïc chênh xạc chøi giạ trë cho mäùi biãún phủ thüc tỉång ỉïng våïi mäüt giạ trë ca biãún âäüc láûp. Thỉåìng th tủc l chn giạ trë ca biãún âäüc láûp trong mäüt khong cäú âënh. Âäü chênh xạc cho låìi gii båíi têch phán säú phủ thüc c hai phỉång phạp chn v kêch thỉåïc ca khong giạ trë. Mäüt säú phỉång phạp thỉåìng xun dng âỉåüc trçnh by trong cạc mủc sau âáy. 2.2. GII PHỈÅNG TRÇNH VI PHÁN BÀỊNG PHỈÅNG PHẠP SÄÚ. 2.2.1 Phỉång phạp Euler: Cho phỉång trçnh vi phán báûc nháút. ),( yxfdxdy= (2.1) Khi x l biãún âäüc láûp v y l biãún phủ thüc, nghiãûm phỉång trçnh (2.1) s cọ dảng: y = g(x,c) (2.2) Våïi c l hàòng säú â âỉåüc xạc âënh tỉì l thuút trong âiãưu kiãûn ban âáưu. Âỉåìng cong miãu t phỉång trçnh (2.2) âỉåüc trçnh by trong hçnh (2.1). Tỉì chäù tiãúp xục våïi âỉåìng cong, âoản ngàõn cọ thãø gi sỉí l mäüt âoản thàóng. Theo cạch âọ, tải mäùi âiãøm riãng biãût (x0,y0) trãn âỉåìng cong, ta cọ: xdxdyy ∆≈∆0 y x∆y∆x y = g(x,c) y0 x0 Hçnh 2.1: Âäư thë ca hm säú tỉì bi gii phỉång trçnh vi phán0 GII TÊCH MẢNG Trang 13 Våïi 0dxdyl âäü däúc ca âỉåìng cong tải âiãøm (x0,y0). Vç thãú, ỉïng våïi giạ trë ban âáưu x0 v y0, giạ trë måïi ca y cọ thãø thu âỉåüc tỉì l thuút l ∆x: yyy ∆+=01 hay hdxdyyy001+= (âàût h = ∆x) Khi ∆y l säú gia ca y tỉång ỉïng våïi mäüt säú gia ca x. Tỉång tỉû, giạ trë thỉï hai ca y cọ thãø xạc âënh nhỉ sau. hdxdyyy112+= Khi ),(111yxfdxdy= Quạ trçnh cọ thãø tênh tiãúp tủc, ta âỉåüc: hdxdyyy223+= hdxdyyy334+= . Bng giạ trë x v y cung cáúp cho ton bäü bi gii phỉång trçnh (2.1). Minh ha phỉång phạp nhỉ hçnh 2.2. 2.2.2. Phỉång phạp biãún âäøi Euler. Trong khi ỉïng dủng phỉång phạp Euler, giạ trë dy/dx ca khong gi thiãút tênh toạn bàõt âáưu vỉåüt ra ngoi khong cho phẹp. Sỉû thay thãú âọ cọ thãø thu âỉåüc bàòng cạch tênh toạn giạ trë måïi ca y cho x1 nhỉ trỉåïc. x1 = x0 + h hdxdyyy00)0(1+= xx0 x1x2 x3 y0 y1 y2 y3 h h h y= g(x,c) Hçnh 2.2 : Âäư thë ca låìi gii xáúp xè cho phỉång trçnh vi phán bàòng phỉång phạp Euler 0 y GII TÊCH MẢNG Trang 14 Dng giạ trë måïi x1 v y1(0) thay vo phỉång trçnh (2.1) âãø tênh toạn gáưn âụng giạ trë ca 1dxdytải cúi khong. ),()0(11)0(1yxfdxdy= Sau âọ táûn dủng giạ trë y1(1) cọ thãø tçm tháúy båíi dng trung bçnh ca 0dxdyv )0(1dxdynhỉ sau: hdxdydxdyyy⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛++=2)0(100)1(1 Dng x1 v y1(1), giạ trë xáúp xè thỉï ba y1(2) cọ thãø thu âỉåüc båíi quạ trçnh tỉång tỉû nhỉ sau: hdxdydxdyyy⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛++=2)1(100)2(1 Ta âỉåüc: hdxdydxdyyy⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛++=2)2(100)3(1 Quạ trçnh cọ thãø tênh tiãúp tủc cho âãún khi hai säú liãưn nhau ỉåïc lỉåüng cho y l ngang bàòng nàòm trong phảm vi mong mún. Quạ trçnh hon ton làûp lải thu âỉåüc giạ trë y2. Kãút qu thu âỉåüc cọ sỉû chênh xạc cao hån tỉì sỉû biãún âäøi ca phỉång phạp Euler âỉåüc minh ha trong hçnh 2.3. Phỉång phạp Euler cọ thãø ỉïng dủng âãø gii hãû phỉång trçnh vi phán cng lục. Cho hai phỉång trçnh: ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+2)0(10dxdydxdyy = g(x,c) y xx0x1h y0 0dxdyHçnh 2.3 : Âäư thë ca låìi gii xáúp xè cho phỉång trçnh vi phán bàòng phỉång phạp biãún âäøi Euler. 0 y1 y2 dy (0) dx 1 GII TÊCH MẢNG Trang 15 )zy,,()zy,,(21xfdxdzxfdxdy== Våïi giạ trë ban âáưu x0, y0 v z0 giạ trë måïi y1 s l: hdxdzyy001+= Våïi: )z,y,(00010xfdxdy= Tỉång tỉû. hdxdzzz001+= Våïi: ),,(00020zyxfdxdz= Cho säú gia tiãúp theo, giạ trë x1 = x0 + h, y1 v z1 dng âãø xạc âënh y2 v z2. Trong phỉång phạp biãún âäøi Euler y1 v z1 dng âãø xạc âënh giạ trë âảo hm tải x1 cho âạnh giạ gáưn âụng cáúp hai y1(1) v z1(1). 2.2.3. Phỉång phạp Picard våïi sỉû xáúp xè liãn tủc. Cå såí ca phỉång phạp Picard l gii chênh xạc, båíi sỉû thay thãú giạ trë y nhỉ hm ca x trong phảm vi giạ trë x â cho. y ⎟ g(x) Âáy l biãøu thỉïc ỉåïc lỉåüng båíi sỉû thay thãú trỉûc tiãúp giạ trë ca x âãø thu âỉåüc giạ trë tỉång ỉïng ca y. Cho phỉång trçnh vi phán (2.1). dy = f(x,y)dx V têch phán giỉỵa khong giåïi hản cho x v y. ∫∫=1010),(yyxxdxyxfdy Thç ∫=−10),(01xxdxyxfyy Hay ∫+=10),(01xxdxyxfyy (2.3) Säú hảng têch phán trçnh by sỉû thay âäøi trong kãút qu ca y våïi sỉû thay âäøi ca x tỉì x0 âãún x1. Låìi gii cọ thãø thu âỉåüc båíi sỉû âạnh giạ têch phán bàòng phỉång phạp xáúp xè liãn tủc. Ta cọ thãø xem giạ trë ca y nhỉ hm ca x cọ thãø â thu âỉåüc båíi sỉû thay thãú y dỉåïi dảng têch phán våïi y0, cho giạ trë ban âáưu nhỉ sau: ∫+=10),(00)1(1xxdxyxfyy Thỉûc hiãûn biãøu thỉïc têch phán våïi giạ trë måïi ca y báy giåì âỉåüc thay thãú vo phỉång trçnh (2.3) thu âỉåüc láưn xáúp xè thỉï hai cho y nhỉ sau: ∫+=10),()1(10)2(1xxdxyxfyy GII TÊCH MẢNG Trang 16 Quạ trçnh ny cọ thãø làûp lải trong thåìi gian cáưn thiãút âãø thu âỉåüc âäü chênh xạc mong mún Tháût váûy, ỉåïc lỉåüng têch phán ln ln phỉïc tảp thãú nhỉng phi gi thiãút cho biãún cäú âënh. Khọ khàn v cáưn thỉûc hiãûn nhiãưu láưn têch phán, nãn âáy l màût hản chãú sỉû ạp dủng ca phỉång phạp ny. Phỉång phạp Picard cọ thãø ạp dủng âãø gii âäưng thåìi nhiãưu phỉång trçnh nhỉ sau: ),,(1zyxfdxdy= ),,(2zyxfdxdz= Theo cäng thỉïc, ta cọ: ∫+=10),,(00101xxdxzyxfyy ∫+=10),,(00201xxdxzyxfzz 2.2.4. Phỉång phạp Runge- Kutta. Trong phỉång phạp Runge- Kutta sỉû thay âäøi giạ trë ca biãún phủ thüc l tênh toạn tỉì cạc cäng thỉïc â cho, biãøu diãùn trong âiãưu kiãûn ỉåïc lỉåüng âảo hm tải nhỉỵng âiãøm âënh trỉåïc. Tỉì mäùi giạ trë duy nháút chênh xạc ca y cho båíi cäng thỉïc, phỉång phạp ny khäng âi hi thay thãú làûp lải nhỉ phỉång phạp biãún âäøi Euler hay têch phán liãn tiãúp nhỉ phỉång phạp ca Picard. Cäng thỉïc rụt gn gáưn âụng xút phạt båíi sỉû thay thãú khai triãøn chøi Taylor. Runge- Kutta xáúp xè báûc hai cọ thãø viãút trong cäng thỉïc. y1 = y0 + a1k1 + a2k2 (2.4) Våïi k1 = f(x0,y0)h k2 = f(x0 + b1h, y0 + b2k1)h Cạc hãû säú a1, a2, b1 v b2 l chênh xạc. Âáưu tiãn khai triãøn f(x0+ b1h, y0+ b2k1) trong chøi Taylor tải (x0,y0), ta âỉåüc: hyfkbhxfbyxfk⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∂∂+∂∂+= .),(01201002 Thay thãú hai âiãưu kiãûn k1 v k2 vo trong phỉång trçnh (2.4), thu âỉåüc: 2000222012002101),(),()( hyfyxfbahxfbahyxfaayy∂∂+∂∂+++= (2.5) Khai triãøn chøi Taylor ca y tải giạ trë (x0,y0) l: 22022001+++=hdxydhdxdyyy (2.6) Tỉì ),(000yxfdxdy= v ),(0000022yxfyfxfdxyd∂∂+∂∂= Phỉång trçnh (2.6) tråí thnh. GII TÊCH MẢNG Trang 17 2),(2),(2000200001hyxfyfhxfhyxfyy∂∂+∂∂++= (2.7) Cán bàòng cạc hãû säú ca phỉång trçnh (2.5) v (2.7), ta âỉåüc: a1 + a2 =1; a2b1 = 1/2; a2b2 = 1/2. Chn giạ trë ty cho a1 a1 = 1/2 Thç a2 = 1/2; b1 = 1; b2 = 1. Thay thãú giạ trë ny vo trong phỉång trçnh (2.4), cäng thỉïc gáưn âụng báûc hai Runge-Kutta l: 21012121kkyy++= Våïi k1 = f(x0,y0)h k2 = f(x0+ h, y0 + k1)h Vç thãú. )(2121kky+=∆ Ạp dủng ca phỉång phạp Runge-Kutta cho viãûc xáúp xè báûc hai âi hi sỉû tênh toạn ca k1 v k2. Sai säú trong láưn xáúp xè l báûc h3 båíi vç chøi â càõt sau âiãưu kiãûn báûc hai. Täíng quạt cäng thỉïc xáúp xè báûc bäún Runge-Kutta l: 4433221101kakakakayy++++= (2.8) Våïi k1 = f(x0,y0)h k2 = f(x0 + b1h, y0 + b2k1)h k3 = f(x0 + b3h, y0 + b4k2)h k4 = f(x0 + b5h, y0 + b6k3)h Tiãúp theo th tủc giäúng nhỉ dng cho láưn xáúp xè báûc hai, hãû säú trong phỉång trçnh (2.8) thu âỉåüc l: a1 = 1/6; a2 = 2/6; a3 = 2/6; a4 = 1/6. V b1 = 1/2; b2 = 1/2; b3 = 1/2; b4 = 1/2; b5 = 1; b6 = 1. Thay thãú cạc giạ trë vo trong phỉång trçnh (2.8), phỉång trçnh xáúp xè báûc bäún Runge-Kutta tråí thnh. )22(61432101kkkkyy++++= Våïi k1 = f(x0,y0)h hkyhxfk )2,2(1002++= hkyhxfk )2,2(2003++= hkyhxfk),(3004++= Nhỉ váûy, sỉû tênh toạn ca ∆y theo cäng thỉïc âi hi sỉû tênh toạn cạc giạ trë ca k1, k2, k3 v k4 : ∆y = 1/6(k1+2k2+2k3+k4) Sai säú trong sỉû xáúp xè l báûc h5. GII TÊCH MẢNG Trang 18 Cäng thỉïc xáúp xè báûc bäún Runge-Kutta cho phẹp gii âäưng thåìi nhiãưu phỉång trçnh vi phán. ),,(zyxfdxdy= ),,(zyxgdxdz= Ta co:ï y1 = y0+1/6 (k1+2k2+2k3+k4) z1 = z0+1/6 (l1+2l2+2l3+l4) Våïi: k1= f(x0,y0,z0)h hlzkyhxfk )22,2(101002+++= hlzkyhxfk )22,2(202003+++= k4 = f(x0 + h, y0 + k3,z0 + l3)h l1 = g(x0,y0,z0)h hlzkyhxgl )22,2(101002+++= hlzkyhxgl )22,2(202003+++= l4 = g(x0 + h, y0 + k3,z0 + l3)h 2.2.5. Phỉång phạp dỉû âoạn sỉía âäøi. Phỉång phạp dỉûa trãn cå såí ngoải suy, hay têch phán vỉåüt trỉåïc, v làûp lải nhiãưu láưn viãûc gii phỉång trçnh vi phán. ),(yxfdxdy= (2.9) Âỉåüc gi l phỉång phạp dỉû âoạn sỉía âäøi. Th tủc cå bn trong phỉång phạp dỉû âoạn sỉía âäøi l xút phạt tỉì âiãøm (xn,yn) âãún âiãøm (xn+1, yn+1). Thç thu âỉåüc1+ndxdytỉì phỉång trçnh vi phán v sỉía âäøi giạ trë yn+1 xáúp xè cäng thỉïc chênh xạc. Loải âån gin ca cäng thỉïc dỉû âoạn phỉång phạp ca Euler l: yn+1 = yn + yn’h (2.10) Våïi: nndxdyy =' Cäng thỉïc chênh xạc khäng dng trong phỉång phạp Euler. Màûc d, trong phỉång phạp biãún âäøi Euler giạ trë gáưn âụng ca yn+1 thu âỉåüc tỉì cäng thỉïc dỉû âoạn (2.10) v giạ trë thay thãú trong phỉång trçnh vi phán (2.9) chênh l y’n+1. Thç giạ trë chênh xạc cho yn+1 thu âỉåüc tỉì cäng thỉïc biãún âäøi ca phỉång phạp l: 2)''(11hyyyynnnn++=++ (2.11) Giạ trë thay thãú trong phỉång trçnh vi phán (2.9) thu âỉåüc cọ sỉû âạnh giạ chênh xạc hån cho y’n+1, nọ ln ln thay thãú trong phỉång trçnh (2.11) lm cho yn+1 chênh xạc hån. GII TÊCH MẢNG Trang 19 Quạ trçnh tiãúp tủc làûp lải cho âãún khi hai giạ trë tênh toạn liãn tiãúp ca yn+1 tỉì phỉång trçnh (2.11) trng våïi giạ trë mong mún cháúp nháûn âỉåüc. Phỉång phạp dỉû âoạn biãún âäøi kinh âiãøn ca Milne. Dỉû âoạn ca Milne v cäng thỉïc biãún âäøi, theo äng l: )'2''2(34123)0(1nnnnnyyyhyy+−+=−−−+ V )''4'(31111+−−++++=nnnnnyyyhyy Våïi: ),(')0(111 +++=nnnyxfy Bàõt âáưu ca sỉû tênh toạn âi hi biãút bäún giạ trë ca y. Cọ thãø â tênh toạn båíi Runge-Kutta hay mäüt säú phỉång phạp säú trỉåïc khi sỉí dủng cäng thỉïc dỉû âoạn sỉía âäøi ca Milne. Sai säú trong phỉång phạp l báûc h5. Trong trỉåìng håüp täøng quạt, phỉång phạp mong mún chn h â nh nãn chè vi láưn làûp l âi hi thu âỉåüc yn+1 hon ton chênh xạc nhỉ mong mún. Phỉång phạp cọ thãø måí räüng cho phẹp gii mäüt säú phỉång trçnh vi phán âäưng thåìi. Phỉång phạp dỉû âoạn sỉía âäøi l ạp dủng âäüc láûp âäúi våïi mäùi phỉång trçnh vi phán nhỉ mäüt phỉång trçnh vi phán âån gin. Vç váûy, thay thãú giạ trë cho táút c cạc biãún phủ thüc vo trong mäùi phỉång trçnh vi phán l âi hi sỉû âạnh giạ âảo hm tải (xn+1, yn+1). 2.3. GII PHỈÅNG TRÇNH VI PHÁN BÁÛC CAO. Trong k thût trỉåïc âáy mä t cho viãûc gii phỉång trçnh vi phán báûc nháút cng cọ thãø ạp dủng cho viãûc gii phỉång trçnh vi phán báûc cao bàòng sỉû âỉa vo ca biãún phủ. Vê dủ, cho phỉång trçnh vi phán báûc hai. 022=++ cydxdybdxyda Våïi âiãưu kiãûn ban âáưu x0, y0, v 0dxdythç phỉång trçnh cọ thãø âỉåüc viãút lải nhỉ hai phỉång trçnh vi phán báûc nháút. 'ydxdy= acybydxdydxyd +−==''22 Mäüt trong nhỉỵng phỉång phạp mä t trỉåïc âáy cọ thãø l viãûc lm âi tçm låìi gii cho hai phỉång trçnh vi phán báûc nháút âäưng thåìi. Theo cạch tỉång tỉû, mäüt vi phỉång trçnh hay hãû phỉång trçnh báûc cao cọ thãø quy vãư hãû phỉång trçnh vi phán báûc nháút. 2.4. VÊ DỦ VÃƯ GII PHỈÅNG TRÇNH VI PHÁN BÀỊNG PHỈÅNG PHẠP SÄÚ. Gii phỉång trçnh vi phán s minh ha bàòng sỉû tênh toạn dng âiãûn cho mảch RL näúi tiãúp. GII TÊCH MẢNG Trang 20 Cho mảch âiãûn RL trong hçnh 2.4 sỉïc âiãûn âäüng hiãûu dủng khi âọng khọa l: e(t) = 5t 0 [ t [ 0,2 e(t) = 1 t > 0,2 Âiãûn tråí cho theo âån vë ohms l. R = 1+3i2 V âiãûn cm theo âån vë henrys l. L = 1 Tçm dng âiãûn trong mảch âiãûn theo cạc phỉång phạp sau: a. Euler’s b. Biãún âäøi Euler. c. Xáúp xè báûc bäún Runge-Kutta d. Milne’s e. Picard’s Bi gii: Phỉång trçnh vi phán ca mảch âiãûn l. )(teRidtdiL =+ Thay thãú cho R v L ta cọ: )()31(2teiidtdi=++ Âiãưu kiãûn ban âáưu tải t = 0 thç e0 = 0 v i0 = 0. Khong chn cho biãún âäüc láûp l: ∆t = 0,025. a. Phỉång trçnh theo phỉång phạp Euler l. tdtdiinn∆=∆ in+1 = in +∆in Våïi nnnniiedtdi)31(2+−= Thay thãú giạ trë ban âáưu vo trong phỉång trçnh vi phán,00=dtdy v ∆i0. Vç thãú, dng âiãûn i1 = 0. Tải t1 = 0,025; e1 = 0,125 v 125,00})0(31{125,021=+−=dtdi ∆i1 = (0,125)0,025 = 0,00313 Thç i2 = 0 + 0,00313 = 0,00313 Láûp bng kã kãút qu låìi gii âỉa vo trong bng 2.1 e(t) LRt = 0 i(t)Hçnh 2.4: Sỉû biãøu diãùn ca mảch âiãûn RL GII TÊCH MẢNG Trang 21 Bng 2.1: Gii bàòng phỉång phạp Euler n Thåìi giantn Sỉïc âiãûn âäüngen Dng 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0,000 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 0,275 0,300 0,000 0,125 0,250 0,250 0,375 0,500 0.625 0,750 0,875 1,000 1,000 1,000 1,000 0,00000 0,00000 0,00313 0,00930 0,01844 0,03048 0,4534 0,06295 0,08323 0,10611 0,12837 0,15000 0,17100 0,00000 0,12500 0,24687 0,36570 0,48154 0,59444 0,70438 0,81130 0,91504 0,89031 0,86528 0,83988 b. Phỉång trçnh ca phỉång phạp biãún âäøi Euler l. tdtdiinn∆=∆)0( )0()0(1 nnniii ∆+=+ tdtdidtdiinnn∆⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+=∆+2)0(1)1( )1()1(1nnniii ∆+=+ Våïi )0(12)0(11)0(1})(31{+++++−=nnnniiedtdi Thay thãú giạ trë ban âáưu e0 = 0 v i0 = 0 vo trong phỉång trçnh vi phán 00=dxdi Do âọ: 0)0(0=∆i; 0)0(1=i. Thay thãú vo trong phỉång trçnh vi phán 0)0(1=i v e1 = 0,125 125,00})0(31{125,02)0(1=+−=dtdi V 00156,0025,0)20125,0()1(0=+=∆i Nãn 00156,000156,00)1(1=+=i tdtdiiinnn∆+=−−11nnnniiedtdi)31(2+−= [...]... : ∆y = 1/6(k 1 +2k 2 +2k 3 +k 4 ) Sai säú trong sỉû xáúp xè l báûc h 5 . GIAI TấCH MANG Trang 23 Tỗm õổồỹc k 2 : [] 00156,0 025 ,00)0(31 2 125 ,00 2 2 = + + =k Tỗm õổồỹc k 3 : 00154,0 025 ,0 2 00156,0 2 00156,0 31 2 125 ,00 2 3 = + + =k Tỗm õổồỹc k 4 : [ ] { } 00309,0 025 ,000154,0)00154,0(31 125 ,00 2 4 =++= k Thỗ 00155,0)00309,000308,0003 12, 00( 6 1 0 =+++= i ... lỉûc trong phỉång phạ p Runge-Kutta. Baỡi tỏỷp: 2. 1. Giaới phổồng trỗnh vi phỏn. GII TÊCH MẢNG Trang 17 2 ),( 2 ),( 2 00 0 2 0 0001 h yxf y f h x f hyxfyy ∂ ∂ + ∂ ∂ ++= (2. 7) Cỏn bũng caùc hóỷ sọỳ cuớa phổồng trỗnh (2. 5) v (2. 7), ta âỉåüc: a 1 + a 2 =1; a 2 b 1 = 1 /2; a 2 b 2 = 1 /2. Chn giạ trë ty cho a 1 a 1 = 1 /2 Thỗ a 2 = 1 /2; b 1 = 1; b 2 = 1. Thay thãú giaï trë naỡy... phổồng phaùp bióỳn õọứi Euler. 0 y 1 y 2 dy (0) dx 1 GII TÊCH MẢNG Trang 21 Bng 2. 1: Gii bàịng phỉång phạp Euler n Thåìi gian t n Sỉïc âiãûn âäüng e n Doìng 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0,000 0, 025 0,050 0,075 0,100 0, 125 0,150 0,175 0 ,20 0 0 ,22 5 0 ,25 0 0 ,27 5 0,300 0,000 0, 125 0 ,25 0 0 ,25 0 0,375 0,500 0. 625 0,750 0,875 1,000 1,000 1,000 1,000... Runge-Kutta laì: 443 322 1101 kakakakayy ++++= (2. 8) Våïi k 1 = f(x 0 ,y 0 )h k 2 = f(x 0 + b 1 h, y 0 + b 2 k 1 )h k 3 = f(x 0 + b 3 h, y 0 + b 4 k 2 )h k 4 = f(x 0 + b 5 h, y 0 + b 6 k 3 )h Tiãúp theo th tủc giäúng nhỉ dng cho láưn xáúp xè báûc hai, hãû säú trong phổồng trỗnh (2. 8) thu õổồỹc laỡ: a 1 = 1/6; a 2 = 2/ 6; a 3 = 2/ 6; a 4 = 1/6. Vaì b 1 = 1 /2; b 2 = 1 /2; b 3 ... 1 /2; b 4 = 1 /2; b 5 = 1; b 6 = 1. Thay thóỳ caùc giaù trở vaỡo trong phổồng trỗnh (2. 8), phổồng trỗnh xỏỳp xố bỏỷc bọỳn Runge-Kutta trồớ thaỡnh. )22 ( 6 1 4 321 01 kkkkyy ++++= Våïi k 1 = f(x 0 ,y 0 )h h k y h xfk ) 2 , 2 ( 1 0 02 ++= h k y h xfk ) 2 , 2 ( 2 003 ++= hkyhxfk ),( 3004 ++= Nhỉ váûy, sỉû tênh toạn ca ∆y theo cäng thỉïc âi hi sỉû tênh toạn cạc giạ trë ca k 1 , k 2 ,... e 1 = 0, 125 125 ,00})0(31{ 125 ,0 2 )0( 1 =+−= dt di Vaì 00156,0 025 ,0) 2 0 125 ,0 ( )1( 0 = + =∆i Nãn 00156,000156,00 )1( 1 =+=i t dt di ii n nn ∆+= − − 1 1 nnn n iie dt di )31( 2 +−= GII TÊCH MẢNG Trang 27 Bng 2. 5: Gii bàịng phỉång phạp Picard. n Thåìi gian t n Sỉïc âiãûn âäüng e n Doìng âiãûn i n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 0, 025 0,050 0,075 0,100 0, 125 0,150... i 0 = 0; i 1 = 0,00155; i 2 = 0,00615; i 3 = 0,013 72. Thay thóỳ vaỡo phổồng trỗnh vi phỏn, ta coù: i’ 0 = 0; i’ 1 = 0, 123 45; i’ 2 = 0 ,23 485; i’ 3 = 0,36 127 . Bàõt âáưu tải t 4 = 0,100 v thay thãú vo trong cäng thỉïc dỉû âoạn, ỉåïc lỉåüng âáưu tiãn cho i 4 laì: [] 024 18,0)36 127 ,0 (22 4385,0) 123 45,0 (2) 025 ,0( 3 4 0 )0( 4 =+−+= i Thay thãú e 4 = 0,500 vaỡ i 4 = 0, 024 18 vaỡo trong phổồng trỗnh... Doìng âiãûn i n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 0, 025 0,050 0,075 0,100 0, 125 0,150 0,175 0 ,20 0 0 ,22 5 0 ,25 0 0 ,27 5 0,300 0 0, 125 0 ,25 0 0,375 0,500 0, 625 0,750 0,875 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 0 0,00155 0,00615 0,013 72 0, 024 19 0,03749 0,05354 0,0 722 9 0,09367 0,11596 0,13764 0,15868 0,17910 Cạc phỉång phạp theo kiãøu thỉï hai âi hi phẹp tênh säú hc... biãún âäüc láûp l: ∆t = 0, 025 . a. Phổồng trỗnh theo phổồng phaùp Euler laỡ. t dt di i n n = i n+1 = i n +∆i n Våïi nnn n iie dt di )31( 2 +−= Thay thãú giaï trë ban õỏửu vaỡo trong phổồng trỗnh vi phỏn, 0 0 = dt dy vaỡ i 0 . Vỗ thóỳ, doỡng õióỷn i 1 = 0. Taỷi t 1 = 0, 025 ; e 1 = 0, 125 vaì 125 ,00})0(31{ 125 ,0 2 1 =+−= dt di ∆i 1 = (0, 125 )0, 025 = 0,00313 Thỗ i 2 = 0 + 0,00313 = 0,00313... b 1 = 1; b 2 = 1. Thay thãú giaï trë naỡy vaỡo trong phổồng trỗnh (2. 4), cọng thổùc gỏửn õuùng báûc hai Runge-Kutta laì: 21 01 2 1 2 1 kkyy ++= Våïi k 1 = f(x 0 ,y 0 )h k 2 = f(x 0 + h, y 0 + k 1 )h Vỗ thóỳ. )( 2 1 21 kky +=∆ Ạp dủng ca phỉång phạp Runge-Kutta cho viãûc xáúp xè báûc hai âi hi sỉû tênh toạn ca k 1 v k 2 . Sai säú trong láưn xáúp xè l báûc h 3 bồới vỗ chuọứi õaợ cừt sau . 0,0 722 7 0, 020 04 0,9375 0,0 822 9 0, 021 34 0,0 829 4 0, 021 32 1,000 0,09359 0, 022 60 0, 021 33 0 ,20 0 1,000 0,09360 0, 022 60 1,0000 0,10490 0, 022 29. - 0 ,2) - 0,487 62( t - 0 ,2) 2 - - 0,05 420 (t - 0 ,2) 3 - 0,30611(t - 0 ,2) 4 + 0,86646(t - 0 ,2) 5 .... Chùi giåïi hản, hm xáúp xè l: i = 0,09367 + 0,90386(t -