Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh THPT ôn tập kiến thức và giải toán vectơ

Sáng kiến kinh nghiệm 2017 2016- MỤC LỤC Trang Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phần I: Ôn tập kiến thức 2.3.2 Phần II: Bài tập vận dụng hình thức tự luận * Bài tập vận dụng phép toán cộng véc tơ, trừ véc tơ nhân véc tơ với số * Bài tập vận dụng véc tơ phương, véc tơ đồng phẳng * Bài tập vận dụng tích vô hướng hai véc tơ 2.3.3 Phần III: Bài tập vận dụng hình thức TNKQ 11 2.3.4 Phần IV: Một số toán thực tế liên môn 13 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục,với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Tác dụng sáng kiến kinh nghiệm đến chất lượng giảng dạy giáo dục thân 2.4.2 Tác dụng sáng kiến kinh nghiệm học sinh 14 2.4.3 Ảnh hưởng sáng kiến kinh nghiệm đến phong trào giáo dục nhà trường Kết luận, kiến nghị 15 14 15 15 3.1 Kết luận 15 3.2 Kiến nghị 16 Sáng kiến kinh nghiệm 2017 2016- MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI “Véc tơ” nội dung kiến thức giữ vai trò chủ đạo chương trình Toán trường THPT Các toán véc tơ có ba khối lớp 10,11,12 ứng dụng để giải số toán phân môn khác Tuy nhiên chủ đề Véc tơ nhìn chung không dễ nhiều em học sinh theo học hệ THPT kiến thức lí thuyết nhiều khó nhớ; tập rèn luyện nhiều gặp khó khăn từ khâu đọc phân tích đề Học sinh chưa thực nắm tổng quan tập véc tơ cách có hệ thống, chưa phân tích kiến thức liên quan đến toán véc tơ sau học ví dụ mà giáo viên đưa Mặt khác phương pháp trắc nghiệm lạ lẫm với học sinh cấp hai dù triển khai năm học trước chưa khuyến khích môn Toán Bắt đầu từ năm 2017 giáo dục đưa hình thức thi trắc nghiệm môn Toán vào thực hiện.Vì năm học trước khối 10, thầy cô hướng dẫn học sinh làm toán véc tơ theo hình thức tự luận chưa đáp ứng nhu cầu thực tế Bên cạnh tập tích hợp liên môn chưa quan tâm mức, chưa giáo viên lồng ghép vào giảng dạy hệ thống tập ít, thầy cô ngại tham khảo, gặp lại thường bỏ qua dẫn đến việc em chưa thấy rõ gần gũi Toán học- đặc biệt Toán véc tơ với phân môn khác đời sống xã hội Hiện có tài liệu nghiên cứu, bàn sâu việc ôn tập lí thuyết dạng toán tập tích hợp liên môn véc tơ gây nhiều khó khăn cho học sinh cho giáo viên chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy Do đó, để giúp học sinh có phương pháp ôn tập hiệu để thân tích lũy thêm kinh nghiệm giảng dạy chọn viết SKKN: "KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH THPT ÔN TẬP KIẾN THỨC VÀ GIẢI TOÁN VÉC TƠ" Hy vọng SKKN giúp ích phần trình học tập thi cử học sinh, giảng dạy giáo viên 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Năm học 2016–2017 viết SKKN: "KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH THPT ÔN TẬP KIẾN THỨC VÀ GIẢI TOÁN VECTƠ" với mong muốn giúp em học sinh THPT có nhìn toàn diện véc tơ, hệ thống hóa lại kiến thức dạng toán véc tơ, giúp em ôn tập chuẩn bị tốt cho kì thi THPT QG sau này, để em thấy gần gũi Toán học với phân môn khác đời sống xã hội muốn chia sẻ chút kinh nghiệm nhỏ trình giảng dạy đồng nghiệp 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Nội dung SKKN nghiên cứu vấn đề sau: - Các kiến thức lí thuyết véc tơ - Các dạng toán véc tơ Sáng kiến kinh nghiệm 2017 2016- - Các tập trắc nghiệm véc tơ - Một số toán tích hợp liên môn véc tơ 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết: Tổng hợp lại kiến thức lí thuyết véc tơ nằm rải rác khối lớp SGK Hình học 10,11,12 - Phương pháp điều tra thực tế, thu thập thông tin: Trong trình giảng dạy nắm bắt nhu cầu thực tế học sinh từ tiến hành điều tra, khảo sát thực tế, so sánh kết làm kiểm tra 45 phút học sinh hai lớp 11C2 11C5 năm học 2016-2017 - Hướng dẫn học sinh phát huy khả quan sát Quan sát toán học nhằm ba mục đích: thu nhận kiến thức mới, hai vận dụng kiến thức để giải tập, ba kết hợp với kiến thức khác để tạo kiến thức Nắm vững phương pháp trí nhớ khoa học Trí nhớ việc trải qua giữ lại đầu Việc làm lại tập hướng dẫn giải tập tương tự trình tái hiện, mục đích cuối trí nhớ Điều có ý nghĩa vô to lớn việc học giảng dạy NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Các kiến thức chuẩn bị 1) PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ VECTƠ r r a Định nghĩa phép cộng véc tơ: Cho hai vectơ a, b Lấy điểm A tuỳ ý, vẽ uuu r r uuu r r uuur r r AB = a, BC = b Véc tơ AC gọi tổng hai vectơ a, b Ta kí hiệu tổng hai uuur r r r r véc tơ a, b ar + b Vậy AC = ar + b [1] uuu r uuur uuur b Quy tắc ba điểm: Với ba điểm tùy ý A, B,C ta có AB + BC = AC [1] uuu r uuur uuur c Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD hình bình hành AB + AD = AC [1] uuu r uuur uuur uuur d Quy tắc hình hộp: Nếu ABCD.A′ B′ C′ D′ hình hộp thì: AB + AD + AA′ = AC′ [2] r r r e Định nghĩa phép trừ véc tơ: Cho hai véc tơ Ta gọi hiệu hai véc tơ a b a r r r r r b véc tơ a + (− b) , kí hiệu a − b [1] uuu r uuu r uuu r Chú ý: Với ba điểm tùy ý O, A, B ta có AB = OB − OA [1] 2) PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ r a Định nghĩa: Trong không gian, tích vectơ a với số thực k vectơ, r ký hiệu ka xác định sau: r r r +) ka hướng với a k > ngược hướng với a k < r r +) ka = k a [6] b Các tính chất: r r r r r r r r +) 0.a = 0; k.0 = 0; 1.a = a; (−1).a = −a r r +) k( la) = ( kl ) a r r r r +) k( a + b) = ka + kb r r r +) ( k + l ) a = ka + la [6] c Các kết cần nhớ: Sáng kiến kinh nghiệm 2017 2016- uuur uuur +) Giả sử M điểm chia đoạn AB theo tỷ số k (nghĩa MA = k MB )thì với uuu r uuu r uuuu r OA − kOB 1− k điểm O, ta có: OM = uuuu r Đặc biệt: Nếu M trung điểm AB với điểm O ta có: OM = [6] +) Gọi G trọng tâm ∆ABC thì: uuu r uuur uuur r ) GA + GB + GC = uuur r uuur uuu OA + OB ( ) r uuur uuur uuu OA + OB + OC [6] uuu r uuur uuur3 r ⇔ Gọi G trọng tâm ∆ABC GA + GB + GC = [6] +) Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD thì: uuu r uuur uuur uuur r ) GA + GB + GC + GD = uuur uuu r uuu r uuur uuur ) Với điểm O ta có: OG = OA + OB + OC + OD [6] uuu r4 uuur uuur uuur r +) Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ GA + GB + GC + GD = [6] ) Với điểm O ta có: OG = ( ( ) ) 3) VECTƠ CÙNG PHƯƠNG - VECTƠ ĐỒNG PHẲNG VÀ ÁP DỤNG a Véc tơ phương +) Định nghĩa: Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng r Quy ước: vectơ phương với vectơ [1] r r r r +) Nhận xét: Cho hai vectơ a, b(a ≠ 0) r r r r a, b phương ⇔ ∃k ∈ R : b = ka Khi đó: +) Áp dụng: uuur uuur Chứng minh điểm thẳng hàng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ AB, AC uuur uuur phương ⇔ AB = k AC , k ≠ ; uuu r uuur Chứng minh hai đường thẳng song song: AB / / CD ⇔ AB, CD phương điểm A ∉CD b Véc tơ đồng phẳng + ) Định nghĩa: r r r - Trong không gian ba vectơ a, b, c gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng [2]r Chú ý: Trong ba véc tơ có véc tơ hai vectơ phương ba vec tơ đồng phẳng +) Các định lý: r r r Định lý 1: Trong không gian cho hai vec tơ a, b không phương véc tơ c r r r Khi ba vec tơ a, b, c đồng phẳng có cặp số k , l cho r r r c = k a + lb (k, l nhất) [2] r r r Định lý 2: Trong không gian cho ba vec tơ a, b, c không đồng phẳng Khi với r r r r r vec tơ x ta có: x = ka + lb + mc (k, l, m nhất) [2] r r r Nhận xét: Nếu ba vec tơ a, b, c không đồng phẳng thì: Sáng kiến kinh nghiệm 2017 2016- k = k ' r r r uu r r r  k a + lb + mc = k ' a + l ' b + m ' c ⇔ l = l ' m = m '  +) Áp dụng: Chứng minh điểm đồng phẳng: Bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng uuur uuur uuur ba vec tơ AB, AC , AD đồng phẳng Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: Cho hai vec tơ không r u r phương x, y nằm mp(P) đường thẳng AB / /(P) ba vec tơ uuur r u r AB, x, y đồng phẳng điểm A∉( P ) 4) TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG a.Định nghĩa: r r r Cho hai véc tơ a b khác véc tơ không Tích vô hướng hai vec tơ a r rr b số, kí hiệu a.b xác định công thức: rr r r r r a.b = a b cos a, b ( ) r ur r ur r r ur Trường hợp a = O b = O ta quy ước a.b = O [1] rr r2 r2 r Chú ý: a.a kí hiệu a a = a [1] b.Các tính chất: rr r 2.1 a.0 = rr rr 2.2 a b = b a r r rr 2.3 a ( kb ) = k ( a b ) r r r rr rr r r r r r 2.4 a ( b + c ) = a b + a c r 2.5 a − b2 = ( a − b ) ( a + b ) 2.6 2.7 2.8 2.9 ( r r a±b ) r2 r2 rr = a + b ± 2a.b r r r ( a + b + c) rr ( a.b ) 2 r r r2 rr rr rr = a + b + c + 2a.b + 2b.c + 2c.a r r2 r r ≤ a b , dấu “=” ⇔ a, b phương uuur uuur AB AC = ( AB + AC − BC ) [2] c Áp dụng: uuu r +) Tính độ dài đoạn thẳng AB: AB = AB uuur uuur AB.CD uuu r uuur +) Tính góc hai đường thẳng: cos ( AB, CD ) = cos AB, CD = uuur uuur AB CD uuu r uuur +) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: AB ⊥ CD ⇔ AB.CD = ( ) 2.2 THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Về phía học sinh: Khi gặp toán véc tơ em thường lúng túng không nhớ công thức, chưa phân loại đươc dạng tập trình biến đổi thường dẫn đến sai sót (việc lí giải cách đơn giản chưa nắm vững kỹ thuật, đại khái nên chưa ý đến tiểu tiết lại vô quan trọng) Sáng kiến kinh nghiệm 2017 2016- Về phía giáo viên: Giáo viên chưa thực tạo tâm hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức môn học để thúc đẩy tính tích cực tư học sinh, chưa khắc phục tâm lí “ngại”, “sợ” tiếp cận toán giải véc tơ Đối với trường THPT Thọ Xuân 5: Để giảng dạy ôn tập véc tơ gây khó khăn cho giáo viên chưa có nhiều kinh nghiệm Giáo viên thường thực theo PPCT hành nội dung giảm tải Hiện chủ đề véc tơ chương trình THPT có thời lượng tương đối nhiều,các dạng toán từ dễ đến khó ba khối lớp Việc giải toán véc tơ thường gây khó khăn cho học sinh non học sinh trung bình đặc thù toán 2.3 CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.3.1 PHẦN I: ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ VECTƠ r r a Định nghĩa phép cộng véc tơ: Cho hai vectơ a, b Lấy điểm A tuỳ ý, vẽ uuu r r uuu r r uuur r r AB = a, BC = b Véc tơ AC gọi tổng hai vectơ a, b Ta kí hiệu tổng hai uuur r r r r véc tơ a, b ar + b Vậy AC = ar + b [1] uuu r uuur uuur b Quy tắc ba điểm: Với ba điểm tùy ý A, B,C ta có AB + BC = AC [1] uuu r uuur uuur c Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD hình bình hành AB + AD = AC [1] uuu r uuur uuur uuur d Quy tắc hình hộp: Nếu ABCD.A′ B′ C′ D′ hình hộp thì: AB + AD + AA′ = AC′ [2] r r r e Định nghĩa phép trừ véc tơ: Cho hai véc tơ Ta gọi hiệu hai véc tơ a b a r r r r r b véc tơ a + (− b) , kí hiệu a − b [1] uuu r uuu r uuu r Chú ý: Với ba điểm tùy ý O, A, B ta có AB = OB − OA [1] 2) PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ r a Định nghĩa: Trong không gian, tích vectơ a với số thực k vectơ, r ký hiệu ka xác định sau: r r r +) ka hướng với a k > ngược hướng với a k < r r +) ka = k a [6] b Các tính chất: r r r r r r r r +) 0.a = 0; k.0 = 0; 1.a = a; (−1).a = −a r r +) k( la) = ( kl ) a r r r r +) k( a + b) = ka + kb r r r +) ( k + l ) a = ka + la [6] c Các kết cần nhớ: uuur uuur +) Giả sử M điểm chia đoạn AB theo tỷ số k (nghĩa MA = k MB )thì với uuu r uuu r uuuu r OA − kOB điểm O, ta có: OM = 1− k uuuu r Đặc biệt: Nếu M trung điểm AB với điểm O ta có: OM = r uuur uuu OA + OB ( ) [6] +) Gọi G trọng tâm ∆ABC thì: uuu r uuur uuur r ) GA + GB + GC = Sáng kiến kinh nghiệm 2017 2016- uuur r uuur uuur uuu OA + OB + OC [6] uuu r uuur uuur3 r Gọi G trọng tâm ∆ABC ⇔ GA + GB + GC = [6] +) Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD thì: uuu r uuur uuur uuur r ) GA + GB + GC + GD = uuur uuu r uuu r uuur uuur ) Với điểm O ta có: OG = OA + OB + OC + OD [6] uuu r4 uuur uuur uuur r +) Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ GA + GB + GC + GD = [6] ) Với điểm O ta có: OG = ( ( ) ) 3) VECTƠ CÙNG PHƯƠNG - VECTƠ ĐỒNG PHẲNG VÀ ÁP DỤNG a Véc tơ phương +) Định nghĩa: Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng r Quy ước: vectơ phương với vectơ [1] r r r r +) Nhận xét: Cho hai vectơ a, b(a ≠ 0) r r r r a, b phương ⇔ ∃k ∈ R : b = ka Khi đó: +) Áp dụng: uuur uuur Chứng minh điểm thẳng hàng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ AB, AC uuur uuur phương ⇔ AB = k AC , k ≠ ; uuu r uuur Chứng minh hai đường thẳng song song: AB / / CD ⇔ AB, CD phương điểm A ∉CD b Véc tơ đồng phẳng + ) Định nghĩa: r r r - Trong không gian ba vectơ a, b, c gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng [2]r Chú ý: Trong ba véc tơ có véc tơ hai vectơ phương ba vec tơ đồng phẳng +) Các định lý: r r r Định lý 1: Trong không gian cho hai vec tơ a, b không phương véc tơ c r r r Khi ba vec tơ a, b, c đồng phẳng có cặp số k , l cho r r r c = k a + lb (k, l nhất) [2] r r r Định lý 2: Trong không gian cho ba vec tơ a, b, c không đồng phẳng Khi với r r r r r vec tơ x ta có: x = ka + lb + mc (k, l, m nhất) [2] r r r Nhận xét: Nếu ba vec tơ a, b, c không đồng phẳng thì: k = k ' r r r uu r r r  k a + lb + mc = k ' a + l ' b + m ' c ⇔ l = l ' m = m '  +) Áp dụng: Chứng minh điểm đồng phẳng: Bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng uuur uuur uuur ba vec tơ AB, AC , AD đồng phẳng Sáng kiến kinh nghiệm 2017 2016- Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: Cho hai vec tơ không r u r phương x, y nằm mp(P) đường thẳng AB / /(P) ba vec tơ uuur r u r AB, x, y đồng phẳng điểm A∉( P ) 4) TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ÁP DỤNG a.Định nghĩa: r r r Cho hai véc tơ a b khác véc tơ không Tích vô hướng hai vec tơ a r rr b số, kí hiệu a.b xác định công thức: rr r r r r a.b = a b cos a, b ( ) r ur r ur r r ur Trường hợp a = O b = O ta quy ước a.b = O [1] rr r2 r2 r Chú ý: a.a kí hiệu a a = a [1] b.Các tính chất: rr r 2.1 a.0 = rr rr 2.2 a b = b a r r rr 2.3 a ( kb ) = k ( a b ) r r r rr rr r r r r r 2.4 a ( b + c ) = a b + a c r 2.5 a − b = ( a − b ) ( a + b ) 2.6 2.7 2.8 2.9 r r ( a ± b) r2 r2 rr = a + b ± 2a.b r r r ( a + b + c) rr ( a.b ) 2 r r r2 rr rr rr = a + b + c + 2a.b + 2b.c + 2c.a r r2 r r ≤ a b , dấu “=” ⇔ a, b phương uuur uuur AB AC = ( AB + AC − BC ) [2] c Áp dụng: uuu r +) Tính độ dài đoạn thẳng AB: AB = AB uuur uuur AB.CD uuu r uuur cos AB , CD = cos AB , CD = u uu r uuur ( ) +) Tính góc hai đường thẳng: AB CD uuu r uuur +) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: AB ⊥ CD ⇔ AB.CD = ( ) 2.3.2 PHẦN II: BÀI TẬP VẬN DỤNG DƯỚI HÌNH THỨC TỰ LUẬN * Các tập vận dụng phép toán cộng véc tơ, trừ véc tơ nhân véc tơ với số: Bài Tính biểu thức sau: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r a) AC − DA + BC − AB + DB − AE + BE ; uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur b) AD − EB + CF − AE + FB − CD Hướng dẫn: Dùng quy tắc điểm, tính chất phép cộng, trừ véc tơ uuur r ĐS: a) 2BC b) Bài Chứng minh tứ giác ABCD ta có: uuur uuu r uuur uuur r a) uAB − CB − DC + DA = ; uur uuur uuur uuu r b) AD − AB = CD − CB Hướng dẫn: Dùng quy tắc điểm, tính chất phép cộng, trừ véc tơ Bài Cho tam giác ABC Bên tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, uuu r uur uuu r r BCPQ, CARS Chứng minh RJ + IQ + PS = [1] Sáng kiến kinh nghiệm 2017 2016- Hướng dẫn: Vẽ hình theo yêu cầu đề bài, dùng quy tắc điểm, lưu ý cặp véc tơ nhau, đối hình bình hành uuu r uuur Bài Cho tam giác ABC cạnh a Tính độ dài vectơ BA + AC uuu r uuur BA − AC Hướng dẫn: Xác định véc tơ tổng tính độ dài véc tơ tổng, sử dụng kiến thức tam giác vuông, tam giác Bài 5.uuCho AKr BM hai trung tuyến tam giác ABC Hãy phân tích u r uuur uuu r uuur r uuuu r vecto BA, AC , CB theo hai vecto u = AK , v = BM Hướngr dẫn: Dùng quy tắc điểm phân tích vec tơ cho liên hệ với theo hai uuur r uuuu r vecto u = AK , v = BM ; Lưu ý tính chất đường trung tuyến; trung điểm giải toán Bài Gọi M N trung điểm cạnh AB CD tứ giác ABCD Chứng minh rằng: uuuu r uuur uuur uuur uuur 2MN = AC + BD = BC + AD [1] HD: (lưu ý M vàuuNuurlầnuulượt trung điểm cạnh AB CD) ur uuur * Chứng minh 2MN = AC + BD : uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur MN = MA + AC + CN  uuuu r uuur uuur uuur  ⇒ MN = AC + BD Ta có: MN = MB + BD + DN  uuuu r uuur uuur * Chứng minh 2MN = BC + AD : uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur MN = MB + BC + CN  uuuu r uuur uuur uuur  ⇒ MN = BC + AD Ta có: MN = MA + AD + DN  uuuu r uuur uuur uuur uuur Từ (1) (2) suy ra: 2MN = AC + BD = BC + AD uuur r uuur (1) (2) r uuuur r Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Đặt AB = a, AD = b, AA ' = c Lấy điểm uuuu r uuur uuur uuuu r M ∈ AC , N ∈ BD ' cho AM = k AC , BN = l BD ' Hãy biểu diễn vectơ uuur uuuu r uuuur uuuu r r r r CA ', D 'B, MC ', MN theo ba vectơ a, b, c uuur uuuu r uuuur uuuu r Hướng dẫn: Dùng quy tắc điểm phân tích, biểu thị vec tơ CA ', D 'B, MC ', MN r r r theo véc tơ a, b, c Bài Cho hình chóp S.ABCD Chứng minh rằng: r uur uuu r uur uuu ABCD hìnhuurbình hành ⇔ rSA + uSC = SB + SD uuu r uur uuu ur uur uuu r uuu r uuu r uuur Hướng dẫn: Ta có SA + SC = SB + SD ⇔ SA − SB = SD − SC ⇔ BA = CD Vậy với hình chóp S.ABCD ABCD hình bình hành khi: uur uuu r uur uuu r SA + SC = SB + SD Bài Cho tứ diện ABCD Gọi M, N điểm chia AD BC theo tỷ số k uuu r uuur uuuu r AB − k DC Chứng minh rằng: MN = [6] 1− k Hướng dẫn: Với điểm O ta có uuu r uuur uuuu r OA − k OD M chia AD theo tỷ số k: OM = ; 1− k Sáng kiến kinh nghiệm 2017 2016- uuur uuur uuur OB − k OC N chia BC theo tỷ số k: ON = ; 1− k uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuur uuuu r uuur uuuu r OB − OA − k OC − OD AB − k DC Suy ra: MN = ON − OM = = 1− k 1− k ( ) * Các tập vận dụng véc tơ phương, véc tơ đồng phẳng uuuu r uuuu r Bài Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M cho AM = 3MD vàr uuur uuuu uuur uuur uuur cạnh BC lấy điểm N cho NB = −3NC Chứng minh ba véc tơ AB, MN , DC đồng phẳng.[6] uuur uuuu r uuu r uuur Hướng dẫn: Theo giả thiết MA = − MD, NB = −3NC uuuu r uuur uuu r uuur uuuu r uuuu r uuur uuur Mặtuu khác MN = MA + AB + BN (1) MN = MD + DC + CN uu r uuuu r uuur uuur (2) ⇒ 3MN = 3MD + 3DC + 3CN Cộng đẳng thức (1) (2) với vế theo vế, ta có uuuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur MN = MA + 3MD + AB + 3DC + BN + 3CN uuuu r uuur uuur ⇔ MN = AB + DC 4 uuur uuuu r uuur Hệ thức chứng tỏ ba véc tơ AB, MN , DC đồng phẳng Bài Cho tam giácuu ABC Lấy điểm S nằm mặt phẳng (ABC) Trên đoạn SA ur uuur lấy điểm M cho MS = −2MA đoạn BC lấy điểm N cho uuur uuur uuuu r uuu r uuur NB = − NC Chứng minh ba véc tơ AB, MN , SC đồng phẳng.[2] Hướng dẫn: Dựa vào tính chất véc tơ, phép toán véc tơ, tính chất véc tơ trung điểm uuuu r uuur uuu r uuur uuuu r uuur uuu r uuur Phân tích : MN = MS + SC + CN ; MN = 2MA + AB + BN uuuu r uuu r uuur 3 uuur uuuu r uuu r Từ ta có MN = SC + AB chứng tỏ ba véc tơ AB, MN , SC đồng phẳng Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Lấy điểm M ∈ AC, N ∈ BD’ cho uuuu r uuur uuur uuuu r AM = AC , BN = BD ' Chứng minh MN song song với AB' uuuu r uuur Hướng dẫn: Chứng minh MN , AB' phương M ∉ AB ' uuuu r uuuu r ∈ AM = AB ' Tìm Bài Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Lấy điểm M AB’ cho điểm I ∈ BC , J ∈ A ' C ' cho I, M, J thẳng hàng uur uuur uuuu r uuuuu r ĐS: BI = BC , A ' J = − A ' C ' Bài Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Lấy điểm M∈ A’D, N ∈ BD’ cho uuuuur uuuur A ' M = A ' D Tìm điểm I ∈ AB ', J ∈ CD ' cho I, M, J thẳng hàng uur uuur uuuur uuuur ĐS: AI = AB, D ' J = − D ' C * Các tập vận dụng tích vô hướng hai véc tơ: Bài Gọi A ', B ', C ', trung điểm cạnh BC, CA, AB tam giác ABC Tính: 10 Sáng kiến kinh nghiệm 2017 2016- uuu r uuur uuur uuur uuu r uuuu r CB AA' + AC.BB ' + BA.CC ' ĐS: Bài Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng: AB ⊥ CD ⇔ AC + BD = AD + BC Hướng dẫn AC + BD = AD + BC ⇔ AC − AD + BD − BC = uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ⇔ AC − AD + BD − BC = ⇔ AC − AD AC + AD + BD − BC BD + BC = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ⇔ DC AC + AD + CD BD + BC = ⇔ CD BD + BC − AC − AD = uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur uuu r ⇔ CD BC + CA + BD + DA = ⇔ CD BA + BA = ⇔ CD.2 BA = ⇔ AB ⊥ CD ( W) ( ( ) ( ) ) ( ( )( ( ) ( ) )( ) ) Bài Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, cạnh đáy a CA' ⊥ AB ' Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: V = a3 uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r Bài Cho tam giác ABC có cạnh Tính BA.BC + CB.CA + AC AB ĐS: ⊥ CD, AC ⊥ BD Chứng minh AD ⊥ BC [2] Bài Cho tứ diện ABCD có AB uuur uuur uuur uuur uuur uuur Hướng dẫn: Ta chứng minh: AB.CD + AC.DB + AD.BC = suy AD ⊥ BC Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc hai đường thẳng BC’ A’B uuuur uuuur AD ' A ' B uuuur uuuur ° cos BC', A ' B = cos AD ', A ' B = u uuur uuuur ( ) ĐS: 60 Tính AD ' A ' B ( ) Bài Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh với điểm M ta có: MA2 + MB + MC = 3MG + GA2 + GB + GC [5] Hướng dẫn Vế trái: uuur uuur uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur uuuu r uuur MA + MB + MC = MG + GA + MG + GB + MG + GC uuuu r uuu r uuur2 uuur uuuu r uuu r uuur uuur = 3MG + GA + GB + GC + MG GA + GB + GC ( ) ( ( ) ( ) ) = 3MG + GA2 + GB + GC = Vế phải 2.3.3 PHẦN III: BÀI TẬP VẬN DỤNG DƯỚI HÌNH THỨC TNKQ r r r r r r rr Câu 1: Cho a = b = 1, ( a + b ) ⊥ ( a − 2b ) Tích vô hướng a.b bằng: A.-1 B.1 C.2 D.-2 [4] Hướng dẫn r r r r r r r r ( a + b ) ⊥ ( a − 2b ) ⇔ ( a + b ) ( a − 2b ) = r2 r r r r r2 ⇔ a − 2a.b + ba − 2b = rr rr ⇔ − a.b − = ⇔ a.b = −1 11 Sáng kiến kinh nghiệm 2017 2016- Đáp án A Câu 2: Cho hai lực F1 = F2 = 100 N , có điểm đặt O tạo với góc 1200 Cường độ lực tổng hợp hai lực bao nhiêu? A.100N B.100 3N C 200N D 50 3N [3] Đáp án A Câu 3: Cho hình hộp ABCDA' B 'C ' D ' với tâm O Hãy đẳng thức sai đẳng thức sau đây: uuuu r uuur uuur uuur r uuur uuuu r ur uuur uuuu A AC ' = AB + AD + AA' B AB + BC ' + CD + D ' A = O r uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuur uuuu uuur uuur uuur uuuur C AB + AA' = AD + DD ' D AB + BC + CC ' = AD ' + D 'O + OC ' [6] Đáp án C Câuuu4: Mệnh đề sau sai ? u r uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur A u B OA + OB = OC + OD OA + OC = OB + OD uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur C AB + AD = AO D BD + AC = AD + BC [5] Hướng dẫn uuu r uuur uuur uuur A Sai OAu+uurOBuu=ur−OC − OD uuu r uuur ur B Đúng OA + OC = OB + OD = O uuur uuur uuur uuur C Đúng AB + AD = AC = AO uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur D Đúng BD + AC = BA + BC + AB + AD = AD + BC Đáp án A uuur uuur uuuu r Câu 5: Cho tam giác ABC , có điểm M thỏa mãn: MA + MB + MC = A.0 B.1 C.2 D.Vô số [3] Đáp án D r r rr r r Câu 6: Cho a = b = 1, a.b = − Góc ( a, b ) (tính độ) bằng: A 600 Hướng dẫn B.1200 C 300 D.Một đáp số khác [4] rr r r r r r r a.b = a b cos a, b ⇔ − = 1.1.cos a, b r r r r ⇔ cos a, b = − ⇔ a, b = 1200 ( ) ( ) ( ) ( ) Đáp án B Câu 7: Cho ba điểm A, B, C phân biệt Điều kiện cần đủ để ba điểm thẳng hàng là: uuur uuur uuur uuuu r uuur A ∃k ∈ ¡ : AB = k AC B ∀M : MA + MC = MB uu uu uruuuuuuur ur uuur uuur uuur uuur u C AC = AB + BC D ∀M : MA + MB + MC = O [5] uuur Hướng dẫn:Điều kiện cần đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng hai véc tơ AB uuur AC phương Đáp án A Câu 8: Cho tứ giác ABCD Gọi Mu,uNuur trung điểm cạnh AB CD uuur uuur Gọi k số thỏa mãn: AC + BD = k MN Vậy k bao nhiêu? A.2 B.3 C D.-2 [3] 12 Sáng kiến kinh nghiệm 2017 2016- Đáp án A Câu 9: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Hãy mệnh đề sai mệnh đề sau đây: uuur uuur uuur uuur a2 uuur uuuruuuuuur uuur ur C AB + CD + BC + DA = O ur B AB ⊥ CD hay AB.CD = O A AB AC = uuur uuur uuur uuur D AC AD = AC.CD [6] Đáp án D Câu 10: Cho tứ giác ABCD Trong mệnh đề sau, tìmuumệnh đề đúng: uuur uuur uuur uuu r ur uuur uuur uuur A uAB B uAB + CD = AD + CB + BC + CD = DA uur uuur uuur uuur uur uuur uuu r uuur C AB + BC = CD + DA D AB + AD = CB + CD [3] Đáp án A Câu 11: Cho tứuudiện ABCD Gọi M, N trung điểm BCuuvà AD uu r uuur uuur ur Tính góc MN AC , biết AC BD góc AC BD α π α − 2 α C π α + 2 α π D − 2 A B [7] Hướng dẫn:Gọi P,Q trung điểm CD AB Ta có MPNQ hình bình hành ( MP / / NQ, MP = NQ = BD ) Lại có AC = BD ⇒ MP = MQ uuur · Vậy MNPQ hình thoi nên MN phân giác góc PMQ Lại có góc BD uuur uuur uuuu r uuuu r uuur π AC góc MP QM Vậy góc MN AC + α Ta chọn B 2.3.4 PHẦN IV: MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN MÔN *Nhận xét: ur Một lực F tác động lên vật uO làm cho vật di chuyển r quãng đường s = OO’ công A lực F tính theo công thức: ur uuuur A = F OO ' cos ϕ ur uuuur ur F OO ' Trong cường độ lực F tính Niuton (viết tắt N), uuuur uuuur ur độ dài vec tơ OO ' tính mét (m), ϕ góc hai vec tơ OO ' F , công A tính Jun (viết tắt J) Trong toán học, giá trị Aurcủa biểu thức trên( không kể đơn vị đo ) gọi tích uuuur vô hướng hai véc tơ F OO ' [1] Chú ý: Quy tắc hình bình hành thường áp dụng vật lý để xác định hợp lực hai lực tác dụng lên vật uu r uur Có hai lực F1 , F2 tác dụng vào vật điểm O Khi xem ur uu r uur uu r uur ur vật chịu tác dụng lực F = F1 + F2 , hợp lực hai lực F1 , F2 Lực F tác dụng theo quy tắc hình bình hành.[7] 13 Sáng kiến kinh nghiệm 2017 2016- uu r uuur uur uuur uu r uuuu r *Bài Cho ba lực F1 = MA, F2 = MB, F3 = MC tác động vào điểm M vật uu r uu r đứng yên Cho biết cường độ F1 , F2 100 N ·AMB = 60° Tìm cường độ uu r hướng lực F3 [1] Lời giải uur uur uur ur uu r uur uuur Vật đứng yên F1 + F2 + F3 = Vẽ hình thoi MAEB ta có F1 + F2 = ME lực uu r uuur uu r uu r r uu r uu r F4 = ME có cường độ 100 Ta có F4 + F3 = ,do F3 véc tơ đối F4 Như uu r uu r F3 có cường độ 100 ngược hướng với F4 *Bài uu r uu r Cho hai lực F1 , F2 có cường độ 50N , có điểm đặt O hợp với góc 600 Tính cường độ lực tổng hợp hai lực này.[4] Lời giải uu r uur uuu r Theo quy tắc hình bình hành thì: F1 + F2 = OR mà OF1 = OF2 = 50 ( N ) nên OF1RF2 hình thoi có góc O 600 hai đường chéo OR F1 F2 vuông góc với ( đường cao tam giác cạnh 50) uu r uu r uuur Vậy F1 + F2 = OR = OR = 2OH = 50 3N trung điểm H Ta có OH = 50 *Bài uu r uu r Cho hai lực F1 , F2 có cường độ 80N 60 N , có điểm đặt O vuông góc với Tính cường độ lực tổng hợp chúng.[4] Lời giải uu r uu r Véc tơ hợp lực tổng hai véc tơ F1 , F2 Vì F1 vuông góc với F2 nên véc tơ uu r uur uuu r tổng đường chéo hình chữ nhật OF1RF2 Ta có F1 + F2 = OR Mà OR = F1 F2 = 602 + 802 = 10 10 Vậy cường độ lực tổng hợp OR bằng10 10N * Bài uu r uur Cho hai lực F1 , F2 có điểm đặt O Tìm cường độ lực tổng hợp chúng trường hợp sau: uu r uur uu r uur a) F1 , F2 có cường độ 100N, góc hợp F1 , F2 120 ° ; uu r uu r uu r uur b) Cường độ F1 40N, F2 30N góc F1 , F2 90 ° [7] ĐS: a) 100N; b) 50N 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC,VỚI BẢN THÂN, ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ TRƯỜNG 2.4.1.Tác dụng SKKN đến chất lượng giảng dạy giáo dục thân Về mặt tự học, tự bồi dưỡng nâng cao trình độ: Không riêng môn toán, môn Vật lý có nhiều toán sử dụng véc tơ gia tốc, vận tốc, tổng hợp lực, trình ôn tập nhấn mạnh vai trò, tầm quan trọng phần nội dung kiến thức này.Từ thân trau dồi, bổ sung kịp thời vốn kiến thức hỗ trợ từ phân môn khác 14 Sáng kiến kinh nghiệm 2017 2016- Về mặt nội dung: Bản thân rút kinh nghiệm ôn tập cho học sinh không cần ôn tất kiến thức học mà chọn vấn đề quan trọng nhất, có trọng tâm bám sát chương trình sách giáo khoa hành; không nặng, không nhẹ; khắc phục thiếu sót học sinh; phải ôn tập lý thuyết phương pháp giải toán; hình thức tự luận lẫn hình thức trắc nghiệm; phân môn toán lẫn tích hợp phân môn khác Về mặt phương pháp: Để giúp học sinh ôn tập tốt nội dung chuyên đề này, giáo viên cần nắm đối tượng học sinh để tập phù hợp, cần áp dụng phương pháp xen kẽ nhau: Đàm thoại trước giảng mới; Ôn tập công tác luyện tập công tác độc lập; Ôn tập tập nhà, kiểm tra tổng hợp, tập dài hạn, giải dạng tập từ dễ đến khó Qua tạo cho học sinh tự tin, đạt mục tiêu học tập, thấy mối quan hệ chặt chẽ chủ đề kiến thức lớp 10, 11, 12 ( lớp có toán liên quan đến véc tơ); biết sử dụng kiến thức liên môn (toán lý) 2.4.2 Tác dụng SKKN học sinh Khi thực nội dung kiến thức trình giảng dạy, tiến hành thử nghiệm nhằm mục đích kiểm nghiệm khả thực thi tính hiệu việc sử dụng nội dung sáng kiến vào ôn tập cho học sinh lớp 10 lớp 11 trường THPT Thọ Xuân (năm học 2016 – 2017) theo chương trình chuẩn Tôi thực việc khảo sát đánh giá kết học tập học sinh hai lần với tổng số 65 học sinh hai lớp 11C2 11C5 Lần 01: thực vào tháng 12 năm 2016 chưa áp dụng SKKN cho học sinh Các em làm kiểm tra 45 phút báo trước kiểm tra tuần với kết cụ thể sau: Điểm Điểm Điểm - Điểm – Điểm - 10 Lớp 11 C2, C5 47,7% 44,6% % 7,7% Lần 02: thực vào tháng 02 năm 2017 sau áp dụng SKKN với 65 em trên, làm kiểm tra lần hai với thời lượng 45 phút, thu kết sau: Điểm Điểm Điểm - Điểm – Điểm - 10 Lớp 11 C2, C5 23,1% 56,9% 10,8% 9,2% Kết thử nghiệm cho thấy sau ôn tập học sinh nắm vững kiến thức véc tơ vào giải toán Một số học sinh tỏ hiểu sâu sắc toán thể qua lời giải viết Đối chiếu kết lớp thử nghiệm lớp đối chứng nhận thấy học sinh lớp thử nghiệm nắm nội dung sách giáo khoa tương đối thuận lợi Nói cách khác bước đầu xác nhận tính khả thi tính hữu hiệu nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.4.3 Ảnh hưởng SKKN đến phong trào giáo dục nhà trường 15 Sáng kiến kinh nghiệm 2017 2016- Thông qua việc dạy học thử nghiệm, tổ tự nhiên triển khai kinh nghiệm bước đầu để giáo viên tổ tham khảo, ứng dụng vào việc soạn giảng buổi học toán khối lớp 10,11 sử dụng đợt hội giảng cấp trường, đồng chí sử dụng sáng kiến đạt điểm cao đợt hội giảng tạo không khí học tập sôi nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 KẾT LUẬN SKKN viết với số trang ngắn gọn với mục đích trang bị kiến thức thường sử dụng song thu kết định: Nội dung sáng kiến kinh nghiệm làm sáng tỏ thêm vai trò, tầm quan trọng chủ đề VÉC TƠỨNG DỤNG chương trình toán THPT Giúp học sinh có nhìn tổng quát kiến thức véc tơ theo chiều dọc chương trình.Hệ thống lại tương đối đầy đủ toán liên quan đến chủ đề véc tơ phạm vi chương trình Học sinh thấy khái niệm véc tơ có mối quan hệ chặt chẽ với chủ đề kiến thức khác chương trình toán Trung học phổ thông môn Vật lý (lực, gia tốc, ) Tuy nhiên, SKKN cần phát triển hoàn thiện để trở thành tài liệu hoàn chỉnh chuyên đề VÉC TƠ - ỨNG DỤNG SKKN dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh cần thực chuyên đề Với tính khả thi SKKN thực tốt giải pháp SKKN tác giả tin học sinh có hứng thú việc học chủ đề để ôn tập tốt, đạt điểm cao kì thi THPT quốc gia hàng năm Các nội dung có sáng kiến kinh nghiệm hệ thống, sưu tầm theo ý kiến cá nhân dạng toán véc tơ - ứng dụng Vì mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý thầy cô môn toán để nội dung sáng kiến kinh nghiệm hoàn thiện 3.2 KIẾN NGHỊ Với mục tiêu ngày nâng cao chất lượng học sinh mong muốn kết điểm thi học sinh ngày cao, tác giả xin đề nghị với Sở GD&ĐT Thanh Hóa nói chung Lãnh đạo trường THPT Thọ Xuân nói riêng cần có biện pháp để động viên giáo viên việc viết SKKN để ngày có thêm nhiều tài liệu giúp phục vụ việc dạy học thầy trò XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 05 tháng 06 năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết SKKN 16 Sáng kiến kinh nghiệm 2017 2016- Lê Mai Hương TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình học 10, Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) tác giả, NXB Giáo dục Việt Nam, xuất năm 2010 Hình học 11, Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) tác giả, NXB Giáo dục , xuất năm 2007 Bài tập trắc nghiệm Toán 10, Trần Đức Huyên, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, xuất năm 2006 Giải toán câu hỏi trắc nghiệm hình học 10, Trần Thành Minh tác giả, NXB Giáo dục, xuất năm 2006 Bài tập trắc nghiệm đề kiểm tra hình học 10, Văn Như Cương Nguyễn Thị Lan Phương, NXB Giáo dục, xuất năm 2006 Bài tập hình học 11, Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) tác giả, NXB Giáo dục, xuất năm 2007 Bài tập trắc nghiệm hình học 11, Phan Hoàng Ngân, NXB Đại học sư phạm, xuất năm 2007 17 Sáng kiến kinh nghiệm 2017 2016- DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Mai Hương Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Thọ Xuân TT Tên đề tài SKKN Một phương pháp hay để giải phương trình,hệ phương trình,bất phương trình Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 12 nắm vững số kỹ thuật giải phương trình hệ phương trình vô tỷ bậc THPT Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh…) Ngành GD cấp tỉnh Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) C Ngành GD cấp tỉnh C Năm học đánh giá xếp loại 2013 2016 18 Sáng kiến kinh nghiệm 2017 2016- 19 ... NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH THPT ÔN TẬP KIẾN THỨC VÀ GIẢI TOÁN VECTƠ" với mong muốn giúp em học sinh THPT có nhìn toàn diện véc tơ, hệ thống hóa lại kiến thức dạng toán véc tơ, giúp em ôn tập chuẩn... DẪN HỌC SINH THPT ÔN TẬP KIẾN THỨC VÀ GIẢI TOÁN VÉC TƠ" Hy vọng SKKN giúp ích phần trình học tập thi cử học sinh, giảng dạy giáo viên 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Năm học 2016–2017 viết SKKN: "KINH NGHIỆM... sung kịp thời vốn kiến thức hỗ trợ từ phân môn khác 14 Sáng kiến kinh nghiệm 2017 2016- Về mặt nội dung: Bản thân rút kinh nghiệm ôn tập cho học sinh không cần ôn tất kiến thức học mà chọn vấn