Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 18 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
18
Dung lượng
1,35 MB
Nội dung
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Kĩ thuật sử dụng máy tính giải Tốn Đại cương Trần Nam Hiếu LỜI NÓI ĐẦU Đối với nhiều bạn việc đậu ĐH thành công lớn nên vào nhũng năm đầu ĐH bạn lơ việc học, cho thời gian nghỉ ngơi sau 12 năm đèn sách cực khổ Bởi khơng bạn thời THPT học tốt lên học Đại cương năm đầu ln tìm tàn có xuất học lại Về chất môn Đại cương không khác so với mơn thời THPT mà bạn không học công việc mưu sinh bạn muốn không học hết ! Hơm nay, xin giới thiệu tới bạn Kĩ thuật sử dụng máy tính cầm tay giải Tốn Đại cương dựa kinh nghiệm sử dụng máy tính mà có, tài liệu tính đến cập nhật phương pháp nha bạn Vì yêu cầu bạn tôn trọng quyền tác giả tài liệu Sau tham khảo qua tài liệu viết đảm bảo việc học, làm kiểm tra mơn Tốn Đại cương bạn trở nên dễ vơ !!! Bởi bạn chứng minh công thức, thuộc công thức máy tính cầm tay dùng máy tính cầm tay làm toán mà bạn chưa biết giải trược tiếp tay thời gian Đặc biệt bối cảnh nhiều trường ĐH kiểm tra trắc nghiệm công cụ vô mạnh Tài liệu vận dụng làm tập với dịng máy tính khác nhau, cấu hình khác khả khác Máy tính CASIO fx-570ES, CASIO fx-570VNPLUS, VINACAL 570ES PLUS khả tính tốn 95% muốn nâng lên bạn phải dung máy tính sản xuất gần với lúc đọc tài liệu tốt Muốn đạt đến 100% có phần mềm mơ loại máy tính tải Laptop (Laptop khơng mang vào phịng thi nên có hạn chế) Hãy sống cống hiến cho lý tưởng bạn TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Kĩ thuật sử dụng máy tính giải Tốn Đại cương Trần Nam Hiếu I Bài tốn tính lim Ở giới thiệu đến bạn cách sử dụng máy tính để tính lim Cách 1: Sử dụng chức với phím SOLVE Trình tự thao tác bàn phím máy tính cầm tay (thuộc lịng) Bước 1: Nhập biểu thức cần tính lim vào máy tính Bước 2: Bấm nút SOLVE(CALC) + nhập giá trị x + bấm dâu “ = “ X ? nhập giá trị x đề + “ = “ Đáp án máy tính kết cần tìm Ưu điểm: Nhanh nhất, thao tác cách Nhược điểm: Phải máy đời có chức Cách 2: Sử dụng chức với phím SHIFT + SOLVE Bước 1: Nhập biểu thức cần tính lim vào máy tính Thay tác x đề thành y Bước 2: Cho biểu thức y vừa nhập x (Quan trọng cách 2) Bước 3: Bấm nút SHIFT + SOLVE(CALC) + nhập giá trị x đề + bấm “ = “ Y ? giá trị y x đề + “ = “ SOLVE FOR X bấm “ = “ Đợi đáp án máy tính kết cần tìm Bước 4: Bấm ON + ANS + “ = “ (Không cần thiết, muốn lấy kết xác thao tác bước này) Ưu điểm: Tính lim, nhanh so với tính tay Nhược điểm: Máy có cấu hình yếu đáp án lâu, dùng cách với máy đời Hãy sống cống hiến cho lý tưởng bạn TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Kĩ thuật sử dụng máy tính giải Tốn Đại cương Trần Nam Hiếu Cách 3: Sử dụng chức với phím MODE + TABLE Bước 1: MODE (SETUP) + “ ” Bước 2: Nhập biểu thức x cần tính vào + “ = “ START ? nhập giá trị x nhỏ x đề + “ = “ END ? nhập giá trị lớn x + “ = “ STEP? Nhập giá trị cho lấy xcủa Start + n.kStep phải có có giá trị xđề +” =” (Nói cách khác STEP ? hiệu số liên tiếp mà có só x đề ) Bước 4: Di chuyển trỏ tính đến giá trị x Phía bên trái màng hình x, phía bên phải y (x, f(x) hàng giá trị tương ứng x) Kết f(x) nhận cần tìm Ưu điểm: tính lim, tính nhiều giá trị cận x Khuyết điểm: Quá nhiều thao tác, dễ nhầm lẫn thực thao tác, nên ấp dụng cho toán mà đề yêu cầu tính lim với nhiều cận x khác Lời khuyên: Các bạn nên thuộc thông thạo cách để tính tốn thơi Tốt cách đơn giản, thao tác, nhanh so với phương pháp cịn lại Các đầu tơi sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, ví dụ sau tơi lựa chọn phương pháp hiệu để trình bày Các bạn thử phương pháp khác nêu toán Những câu viết …+ “ = “ dịch ta bấm nút(phím) “=”…các bạn nên lưu ý ta thực hiên bấm “+” bấm “=” Hãy sống cống hiến cho lý tưởng bạn TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Kĩ thuật sử dụng máy tính giải Tốn Đại cương Cách chuẩn hóa cận tốn đặc biệt (0.∞, 1∞, Trần Nam Hiếu 0 ,…….) Nếu x → +∞ : Khi tính tốn chọn bất x = a, a có giá trị thật lớn (Lớn mà máy tính làm việc linh hoạt, số vài trăm vài ngàn ,… không nên cho số 1010 máy tính khơng tính báo lỗi) Nếu x → -∞ : Chon cận nhỏ tương tự nguyên tắc tiến tới +∞ Nếu x → x0 mà ta thay x = x0 máy tính báo lỗi khơng tính bạn nên chọn x > x0 x < x0 cho x0 gần với x0 Hiệu chúng 0,001 hay 0,00001 chẳn hạn (Càng nhỏ tốt, mà máy chạy bạn) Nếu x → x0+ hay x → x0- trường hợp nhỏ x → x0 Khi x → x0+ chọn x > x0 Khi x → x0- chọn x < x0 Quan trọng với tính máy tính bạn phải chuẩn hóa lim cần tính Có nhiều cách bạn lấy kết trắc nghiệm đề , hay làm xem gần kết máy tính giá trị phải tìm (sai số hay nói cách khác hiệu giữ chúng vô nhỏ) Hoặc quan sát kết bạn chuẩn hóa dễ dàng cách quan sát ( viết dấu = tính lim t tính dấu “ = “ chứa khơng phải ~ Nói để bạn khỏi phải phân vân VD “ = ” được) e VD: 0.3678…… = , 0.3183…… = 1.10081996 × 1018 = +∞ , , 2.7182… = e 0.26011994 × 1023 = – 77,25687533 × 1069 = – ∞ Hãy sống cống hiến cho lý tưởng bạn TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Kĩ thuật sử dụng máy tính giải Tốn Đại cương Trần Nam Hiếu Dạng 1: Bài toán nhập giá trị cụ thể giới hạn VD1: x2 5x V lim x 3 x6 Giải: (Nhưng bước bấm máy đơn giản khơng trình bày) Cách 1: Sử dụng chức với phím SOLVE Bước 1: Nhập biểu thức 2X 5X cần tính lim vào X 6 máy tính Bước 2: Bấm nút SOLVE(CALC) X ? nhập + “ = “ Đáp án máy tính 7 V cần tìm (V = ) 9 Cách 2: Sử dụng chức với phím SHIFT + SOLVE Bước 1+2: Nhập biểu thức cần tính lim vào máy tính thay x y cho biểu thức với x 2Y 5Y (Có nhiều bạn nhập X hỏi hay khơng Xin trả lời Y 6 đúng, tính chất giao hốn phép cộng học từ lớp rồi) Bước 3: Bấm SHIFT + SOLVE + “ = “ SHIFT + SOLVE máy tính Y ? nhập giá trị cận x đề vào Bấm dấu “ = “ máy tính SOLVE FOR X bấm “ = “ Đáp án lim cần tính (Nếu khơng trịn số bạn thực thao tác hi vọng có đáp án trịn…vấn đề cịn tùy tốn) Hãy sống cống hiến cho lý tưởng bạn TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Kĩ thuật sử dụng máy tính giải Tốn Đại cương Trần Nam Hiếu Bước 4: Bấm ON + ANS + “ = “ Nhận xét: Đây tốn q dễ, không rơi vào trường hợp phức tạp Chả cần phải chuẩn hóa số liệu VD2: H lim x (e x 1 x e x 2) Bước 1: Nhập biểu thức x (e e x x 2) cần tính lim vào máy tính Bước 2: Bấm nút SOLVE(CALC) X ? nhập 699696 chẳng hạn bấm “ = “ Đáp án máy tính, quan sát dễ dàng suy H = +∞ Ngồi ta cịn nhờ máy tính thuộc lim, hay chứng minh kết lim quen thuộc dùng tính tốn tự luận x 1 lim(1 x) lim 1 e, lim 1 x x x 0 x x e x 0 ln(1 x) ex 1 lim 1, lim 1 x 0 x 0 x x tanx x lim lim x 0 x x tan x x Hãy sống cống hiến cho lý tưởng bạn TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Kĩ thuật sử dụng máy tính giải Tốn Đại cương Trần Nam Hiếu Dạng 2: Chuẩn hóa cận x để tính lim x 3x a V lim x 2 x x 10 x 3x cos 3x cos x b D lim x(ln( x 3) ln x) d V lim c H xlim x 2 x x x 0 0 x2 Giải: x 3x x 3x 10 a V lim x 2 Bước 1: Nhập biểu thức X 3X cần tính X X 10 lim vào máy tính Bước 2: Bấm nút SOLVE(CALC) X ? nhập bấm “ = “ máy tính báo khơng tính ( Nếu bạn nhập bấm theo bước dưới) phím thực X ? nhập giá trị nhỏ lớn gần 1,999999 , x →2-) (hay 2.000001 x →2+) Bài nên nhập khoản kết luận (Muốn biết sao, đến câu d bán hiểu) Đáp án máy tính, quan sát dễ dàng suy V = cos 3x cos x x2 b D lim x 0 Bước 1: Nhập biểu thức cos X cos X vào máy X2 tính Bước 2: Bấm nút SOLVE(CALC) X ? nhập 10-9 chẳng hạn Đáp án máy tính, quan sát dễ dàng suy D = Hãy sống cống hiến cho lý tưởng bạn TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Kĩ thuật sử dụng máy tính giải Tốn Đại cương Trần Nam Hiếu c H lim x(ln( x 3) ln x) x 0 Bước 1: Nhập biểu thức x(ln( x 3) ln x) vào máy tính Bước 2: Bấm nút SOLVE(CALC) X ? nhập 0.00001 chẳng hạn Đáp án máy tính, quan sát dễ dàng suy D = x 3x x 3x d V lim x 2 Bước 1: Nhập biểu thức X 3X cần tính lim vào máy tính X X 10 Bước 2: Bấm nút SOLVE(CALC) X ? nhập bấm “ = “ máy tính báo khơng tính ( Nếu bạn nhập bấm theo bước dưới) phím thực X ? nhập giá trị nhỏ lớn gần X ? nhập 1,999999(x →2-) đáp án X ? nhập 2.000001đáp(x →2+) án Tại lại có đáp án ???!!! PS: Đơn giản khơng có lim thơi Nếu làm tay bạn có kết luận hồn tồn tương tự, dễ nên tính tay nhanh bạn khơng thấy sức mạnh máy tính cầm tay… Đừng xem thương, hay lấy tập vô khó, vơ phức tạp kết luận… Hãy sống cống hiến cho lý tưởng bạn TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Kĩ thuật sử dụng máy tính giải Tốn Đại cương Trần Nam Hiếu II Bài tốn tìm miền giá trị hàm số Bài toán dễ với thường thi trắc nghiệm bấm máy nhanh Cách giải bạn chọn giá trị biên có khoản, đoạn, nửa đoạn đáp án vào hàm Nếu máy tính khơng tính ta loại đáp án, máy tính tính chọn VD: Tìm miền giá trị hàm số y x 3x lg( x x) x 3 A [-1,0) ∪ (2,3) ∪ (3,4] B [-1,4]/{3} C [-1,0] ∪ (2,3) D [-1,0] ∪ (3,4] Bước 1: Nhập hàm số đề cho vào máy tính X 3X lg(X X ) X 3 Bước 2: Ta thấy đáp án có biên -1, 0,2,3,4 ta thay lần lựt chúng khoảng giữ chúng vào ( Việc thay dùng chức SOLVE cách phần ) x = -1 có giá trị chọn [-1,… x = khơng tính chọn …,0) x = khơng tính chọn (2,… x = khơng tính chọn ….,3) (3,… x = có giá trị chọn ….,4] Kết hợp lại ta được: [-1,0) ∪ (2,3) ∪ (3,4] (Đáp án A) x VD2: Tìm miền giá trị hàm số y arcsin ln e A [1,e2] B [1,e2]/{e} C [0,e2] D [1,e] Hãy sống cống hiến cho lý tưởng bạn TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Kĩ thuật sử dụng máy tính giải Tốn Đại cương Trần Nam Hiếu X Bước 1: Nhập hàm số đề cho vào máy tính arcsin ln e Bước 2: Ta thấy đáp án có biên 0,1, e,e2 ta thay lần lựt chúng khoảng giữ chúng vào ( Việc thay dùng chức SOLVE cách phần ) x = khơng tính được, bỏ x = tính chọn [1,… x = e tính x = e2 tính chọn …,e2] Kết hợp lại ta được:[1,e2] (Đáp án A) PS: Cách khác hay, dụng tính liên tục để dùng cách Hãy sống cống hiến cho lý tưởng bạn 10 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Kĩ thuật sử dụng máy tính giải Tốn Đại cương Trần Nam Hiếu III Bài tốn tính liên tục hàm số Thực chất toán liên tục tốn tính lim mở rộng nên ta dễ dàng sử dụng máy tính để làm Dạng 1: Xác định tính liên tục, gián đoạn hàm số điểm, đoạn VD1: Xét tính liên tục hàm số Áp dụng PP tính lim phần trên( nên tơi khơng trình bày mà nêu kết quả) f ( x) s inx | x| 1, x lim f (x) lim f (x) 1 nên không liên tục x = x 0 x 0 VD2: Hàm số sau không liên tục giá trị A B C D f ( x) sin x , x0 x2 ,0 x1 2 x ,1 x2 x3, x2 Giải Ở thao tác máy tính hồn tồn giống PP tính lim phần lim f ( x) lim f ( x) hàm số liên tục x = x 0 x 0 lim f ( x) lim f ( x) hàm số liên tục x = x 1 x 1 1 lim f ( x) lim f ( x) hàm số không liên tục x = (Đáp án C) x 2 x 2 PS: Bài toán xác định liên tục đoạn tổng hợp tốn xác định tính liên tục điểm ( Vì hồn tồn tương tự nên khơng trình bày đay) Hãy sống cống hiến cho lý tưởng bạn 11 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Kĩ thuật sử dụng máy tính giải Tốn Đại cương Trần Nam Hiếu Dạng 2: Tìm giá trị a liên tục, gián đoạn hàm số f ( x) VD3: Tìm a để hàm số liên tục x = A B 3 C 3 D 1 x , x0 x e 1 arc cos(x ),x 4 Giải Với tốn ta có hương giả Hướng 1: Tính trược tiếp giá trị a Tính lim nhánh hàm f(x) + chức cực mạnh phím SOLVE Bước 1: Nhập nhánh hàm số vào máy tính Thay x đề thành y, thay a đề thành x Bước 2: SHIFT + SOLVE Y ? nhập 0,000001 ( = 10-6) bấm “ =” SOLVE FOR X bấm “ = “ Máy tính 0.2387324……thử lại với đáp án ta thấy kết máy tính 4 PS: Lúc máy tính SOLVE FOR X ta khơng nhập, nhập giá trị bất kì, muốn kết nhanh bạn hạy nhập đáp án đề Ưu điểm: Nhanh hướng thứ 2…???!!Nhưng… Nhược điểm: Nếu cấu hình máy bạn khơng đủ mạnh thì đáp án không thỏa mãn đáp án…Hãy cẩn thận dùng cách ! Hãy sống cống hiến cho lý tưởng bạn 12 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Kĩ thuật sử dụng máy tính giải Tốn Đại cương Trần Nam Hiếu Hướng 2: Thay giá trị a vào, nhanh hay chậm lựa chọn a Bước 1: Tính lim nhánh khơng chứa a… Bước 2: SHIFT + STO(RCL) + A ( Có thể thay A chữ B, C, phép gán đơn giản) Nếu nhanh bạn thấy ln lim vừa tính 0.5 = Bước 3: Tính lim nhánh cịn lại khơng tính a nhập a vào máy tính Thực các bạn biết cọn x = bấm SHIFT + STO(RCL) + B (Chỉ làm với dạng có a khơng phụ thuộc vào biến x) Bước 4: Lấy A : B a cần tìm (nếu khơng trịn số nên thử lại với đáp án) Nhìn nhanh ta thấy: 2 = a →a= ( Đáp án D) 4 Hướng 3: Dùng máy tính ta tính lim x = x 0 x e 1 1 Nhánh ta thay giá trị a đáp án vào có lim chọn (Cách thay a bạn nên chon chức phím SOLVE nhanh hơn, dùng chức phím MODE + TABLE ) Hãy sống cống hiến cho lý tưởng bạn 13 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Kĩ thuật sử dụng máy tính giải Tốn Đại cương IV Trần Nam Hiếu Bài toán đạo hàm, vi phân, tích phân Dạng 1: Tính đạo hàm cấp hàm số giá trị xác dịnhđạo hàm cấp hàm số VD1: Tính đạo hàm cấp hàm số x = a y x2 ex 1 b y ln 1 x2 Các bạn tự bấm máy, chỗ đơn giản PS: Ở chủ yếu giới thiệu cho bạn chức tính đạo hàm cấp có sắn máy mà tin không nhiều bạn biết 2x 1 VD2: Đạo hàm hàm số y = x2 A (2x -1) x4 2x 2x B ln x x 2x 2x ln ln ln ln C D x x3 x x3 Với dạng sử dụng máy tính lâu tính tay trực tiếp Tuy nhiên dùng máy tính kiểm tra lại xem ta làm hay sai Giả sử bạn không thuộc công thức đạo hàm Muốn biết chon đáp án bán chuyển VD1 cách tính đạo hàm x tập xác định hàm số (Nên chọn số nhỏ, để có kết nha nh nhất) Lần lượt thử x = vào đáp án đáp án trùng đáp án cần tìm ( Đáp án B) Hãy sống cống hiến cho lý tưởng bạn 14 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Kĩ thuật sử dụng máy tính giải Tốn Đại cương Trần Nam Hiếu Dạng 2: Tính tích phân, vào tích phân suy rộng ln(2 cosx 3sinx) dx cos x VD1: Tính tích phân sau : I Bài tốn khơng thi trắc nghiệm, thi trắc nghiệm mà bạn tính tay thử mấy phút (Các bạn tự nhập máy tính tính nhá, muốn làm bày tự luận khơng liên hệ tơi !!!) Đối với tính ngun hàm ta chuyển chúng tích phân cách thêm cận ( Chỗ giống hệt cách đạo hàm phía trên) VD2: Tính tích phân I A.1 dx x 1 x B.2 C.-1 D Có hướng sử dụng máy tính: Hướng 1: Tính tích phân dùng tính tính lim b I 2 , b x 1 Bấm máy đáp án I = (quá đơn giản nên bạn tự làm) Hướng 2: Dùng chức phím SOLVE Cho x = 9999 chẳng hạn, y = 99999 chẳng hạn (Càng lớn tốt bạn, lớn gần kết máy tính lây ) Ta thấy sau khâu chuẩn hóa số liệu I = Hướng nhanh hiệu nhiều không bạn ! Hãy sống cống hiến cho lý tưởng bạn 15 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Kĩ thuật sử dụng máy tính giải Tốn Đại cương Trần Nam Hiếu V Bài toán liên quan đến hội tụ phân kì Dạng 1: Tính tổng (1)n a. 3n n 0 VD1: Tính tổng 2n.3n b. (1) n n 1 n Giải Ta dùng sức mạnh chức SOLVE để giải bạn toán (1) n a 3n n 0 Hướng 1: Bước 1: Nhập giống hệt đề vào máy tính (Như hình bên) Bước 2: Bấm SOLVE X ? nhập x ( thõa mãn ≤ x ) + “ = “ Y ? nhập y = bất kì, phải đủ lớn, cho 100 chẳng hạn bấm dấu “ = “ Máy trả đáp án 15 tổng cần tìm Hướng 2: Bước 1: Nhập giống đề thay ∞ thành giá trị đủ lớn, chẳng hạn 50 Bước 2: Bấm SOLVE X ? nhập x ( thõa mãn ≤ x ) + “ = “ Máy trả đáp án 15 tổng cần tìm 2n.3n 6 b (1) n làm tương tự câu a ta có đáp án 31 n 1 n Hãy sống cống hiến cho lý tưởng bạn 16 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Kĩ thuật sử dụng máy tính giải Tốn Đại cương Trần Nam Hiếu Dạng 2: Tính hồi tụ, phân kì chuỗi số Hãy thận trọng dùng máy tính mà làm tốn hội tụ, phân kì chuỗi số Dùng máy tính ta tính bán kính hội tụ Những thao tác phần hoàn tồn giống tính lim nên khơng trình bày VI Bài tốn tính giá trị gần Với tốn giá trị gần đúng, ưu điểm máy tính có đủ sức mạnh để tính đến vài chữ số sau phần thập phân Phần đề cho bạn bấm nên khơn có đặc sắc Dùng máy tính cầm tay ta tính giá trị gần áp dụng tính lim sin x x , acr sin x x tanx x, arctan x x ln 1 x x, ex 1 x Hãy sống cống hiến cho lý tưởng bạn 17 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Kĩ thuật sử dụng máy tính giải Tốn Đại cương Trần Nam Hiếu LỜI KẾT Ở không nêu tập tự luyện nhiều thiếu sót , momg bạn thơng cảm Các bạn lấy đề thi trường vận dụng… Nếu bạn hiểu biết vận dụng phương pháp nêu ra, tin bạn đạt điểm cao kiểm tra thi minh Tài liệu viết dựa kinh nghiệm tìm tịi nghiên cứu tơi, tin chưa có tài liệu thứ hồn này, mong bạn đọc trích dẫn nhớ để tên tác giả Là sinh viên nên trình viết có số từ ngữ chưa thật chuẩn chun mơn mong người bỏ qua Nếu có sai xót, góp ý mong bạn gửi ý kiến đóng góp qua gmail: tr.namhieu96@gmail.com https://www.facebook.com/tr.namhieu Chân thành cảm ơn bạn tham khảo qua viết !!! Tài liệu viết gửi tặng bạn lớp ĐH14TY – ĐH Nông Lâm TP.HCMG Hãy sống cống hiến cho lý tưởng bạn 18 ... bỏ qua Nếu có sai xót, góp ý mong bạn gửi ý kiến đóng góp qua gmail: tr.namhieu96@gmail.com https://www.facebook.com/tr.namhieu Chân thành cảm ơn bạn tham khảo qua viết !!! Tài liệu viết gửi... Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Kĩ thuật sử dụng máy tính giải Tốn Đại cương Trần Nam Hiếu Dạng 2: Tính tích phân, vào tích phân suy rộng ln(2 cosx 3sinx) dx cos x VD1: Tính tích phân sau : I ... máy tính, quan sát dễ dàng suy D = Hãy sống cống hiến cho lý tưởng bạn TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Kĩ thuật sử dụng máy tính giải Tốn Đại cương Trần Nam Hiếu c H lim x(ln(