Về tích chia hết của các số Fibonacci suy rộng (LV thạc sĩ)

Về tích chia hết của các số Fibonacci suy rộng (LV thạc sĩ)Về tích chia hết của các số Fibonacci suy rộng (LV thạc sĩ)Về tích chia hết của các số Fibonacci suy rộng (LV thạc sĩ)Về tích chia hết của các số Fibonacci suy rộng (LV thạc sĩ)Về tích chia hết của các số Fibonacci suy rộng (LV thạc sĩ)Về tích chia hết của các số Fibonacci suy rộng (LV thạc sĩ)Về tích chia hết của các số Fibonacci suy rộng (LV thạc sĩ)Về tích chia hết của các số Fibonacci suy rộng (LV thạc sĩ)Về tích chia hết của các số Fibonacci suy rộng (LV thạc sĩ)Về tích chia hết của các số Fibonacci suy rộng (LV thạc sĩ)Về tích chia hết của các số Fibonacci suy rộng (LV thạc sĩ)Về tích chia hết của các số Fibonacci suy rộng (LV thạc sĩ)Về tích chia hết của các số Fibonacci suy rộng (LV thạc sĩ)Về tích chia hết của các số Fibonacci suy rộng (LV thạc sĩ)Về tích chia hết của các số Fibonacci suy rộng (LV thạc sĩ)Về tích chia hết của các số Fibonacci suy rộng (LV thạc sĩ)Về tích chia hết của các số Fibonacci suy rộng (LV thạc sĩ)Về tích chia hết của các số Fibonacci suy rộng (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN QUYÊN VỀ TÍNH CHIA HẾT CỦA CÁC SỐ FIBONACCI SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN QUYÊN VỀ TÍNH CHIA HẾT CỦA CÁC SỐ FIBONACCI SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên - 2017 Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu Chương Dãy Fibonacci suy rộng 1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1.2 Định nghĩa dãy Fibonacci suy rộng 1.3 Một số tính chất dãy Fibonacci suy rộng Chương Tính chia hết số Fibonacci suy rộng 14 2.1 Kết Hoggatt Long 14 2.2 Kết Aoki Sakai 18 2.3 So sánh với kết Kôzaki Nakahara 33 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Ngô Văn Định, Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Ngô Văn Định, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Văn Quyên ii Mở đầu Dãy số Fibonacci {Fn } dãy số nhiều người biết đến, quan tâm nghiên cứu Có nhiều tính chất thú vị dãy số tìm Dãy số Fibonacci định nghĩa phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Fn+2 = Fn+1 + Fn , n ≥ 0, với điều kiện ban đầu F0 = F1 = Khái niệm dãy Fibonacci mở rộng theo nhiều cách khác Mục đích luận văn trình bày lại số kết số dãy Fibonacci {xn } suy rộng xác định xn+2 = pxn+1 + qxn , n ≥ 0, với x0 = a, x1 = b, p, q, a, b số nguyên không âm Đầu tiên, Luận văn trình bày lại kết Panwar, Singh Gupta [9] số tính chất thú vị hai dãy Fibonacci suy rộng {Vn } {Un } xác định Vn+2 = Vn+1 + 2Vn , n ≥ 0, với V0 = 2, V1 = 2, Un+2 = Un+1 + 2Un , n ≥ 0, với U0 = 2, U1 = Tiếp theo, Luận văn trình bày số kết Hoggatt Long [4] dãy Fibonacci suy rộng {un } xác định phương trình sai phân un+2 = pun+1 + qun , n ≥ 0, với u0 = 0, u1 = 1, p, q hai số nguyên dương Cuối cùng, Luận văn trình bày lại kết Aoki Sakai [2, 3] dãy Fibonacci suy rộng {Gn } xác định Gn+2 = Gn+1 + Gn , n ≥ 1, với G1 = a, G2 = b, a, b hai số nguyên Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày thành chương: • Chương 1: Dãy Fibonacci suy rộng Trong chương này, trình bày sơ lược lý thuyết phương trình sai phân tuyến tính cấp hai nhất; khái niệm dãy Fibonacci suy rộng kết Panwar, Singh Gupta [9] • Chương 2: Tính chia hết số Fibonacci suy rộng Chương trình bày số kết Hoggatt Long [4]; kết Aoki Sakai [2, 3] Chương Dãy Fibonacci suy rộng Trong chương mở đầu này, trình bày sơ lược phương trình sai phân tuyến tính cấp hai đặc biệt nghiệm phương trình trường hợp phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt Sau đó, trình bày khái niệm dãy Fibonacci suy rộng kết Panwar, Singh Gupta [9] hai trường hợp riêng dãy Fibonacci suy rộng 1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp Trong mục này, nhắc lại khái niệm phương trình sai phân tuyến tính cấp hai đặc biệt trình bày công thức nghiệm phương trình trường hợp đa thức đặc trưng có hai nghiệm phân biệt Đây kiến thức cần thiết cho nội dung phần sau Luận văn Nội dung phương trình sai phân tham khảo tài liệu [7] Định nghĩa 1.1 Phương trình có dạng un+2 = Aun+1 + Bun , n = 1, 2, , (1.1) A, B số, gọi phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Để tìm nghiệm phương trình sai phân (1.1), xét phương trình bậc hai α2 − Aα − B = (1.2) Phương trình bậc hai gọi phương trình đặc trưng phương trình sai phân (1.1) Định lý sau cho công thức nghiệm phương trình sai phân (1.1) trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt Ở đây, trình bày nội dung định lý để sử dụng phần sau mà không trình bày chứng minh Định lý 1.2 ([7, Theorem 10.1]) Giả sử phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt α1 α2 Khi phương trình sai phân (1.1) có nghiệm un = C1 α1n + C2 α2n , n = 1, 2, , (1.3) C1 C2 số Chúng ta cần ý rằng, biết điều kiện ban đầu u0 u1 số C1 C2 hoàn toàn xác định Khi đó, dãy số {un }∞ n=1 xác định aα1n−1 − bα2n−1 un = , n ≥ 2, α1 − α2 (1.4) α1 , α2 hai nghiệm phương trình đặc trưng (1.2) a = u2 − u1 α2 , b = u2 − u1 α1 Công thức (1.4) gọi công thức Binet dãy {un } Tên công thức đặt theo tên nhà toán học người Pháp Jacques Philippe Marie Binet ông tìm công thức Binet cho dãy Fibonacci vào kỷ 19 Ví dụ 1.3 Ta xét ví dụ quen thuộc dãy số Fibonacci {Fn } xác định phương trình sai phân Fn+2 = Fn+1 + Fn , (1.5) với điều kiện ban đầu F1 = 1, F2 = Phương trình đặc trưng phương trình (1.5) λ2 − λ − = Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt √ √ 1− 1+ λ2 = λ1 = 2 Do đó, nghiệm tổng quát phương trình (1.5) √ n √ n 1+ 1− F n = C1 + C2 , n = 1, 2 Từ điều kiện ban đầu F1 = 1, F2 = ta có hệ phương trình  √ √  − + 5   C + C = 1,   2 √ √  1+ 1−    + C2 = C1 2 Giải hệ phương trình ta C1 = −C2 = √ Từ suy số hạng tổng quát dãy số Fibonacci √ n √ n 1+ 1− Fn = √ − , n = 1, 2, 2 5 Ví dụ 1.4 Ta tiếp tục xét ví dụ khác dãy số quen thuộc - dãy số Lucas {Ln } Dãy Lucas xác định phương trình sai phân (1.5) với điều kiện ban đầu L0 = L1 = Vì vậy, số hạng tổng quát dãy Lucas có dạng: Ln = C1 λn1 + C2 λn2 , với n = 1, 2, , √ √ 1+ 1− λ1 = λ2 = 2 Với điều kiện ban đầu L0 = 2, L1 = 1, ta được:   C1 + C2 = 2,  C λ + C λ = 1 2 Giải hệ ta C1 = 1, C2 = Vậy ta có √ n √ 1+ 1− + Ln = λn1 + λn2 = 2 1.2 n Định nghĩa dãy Fibonacci suy rộng Khái niệm dãy Fibonacci mở rộng nhiều dạng khác Chẳng hạn như, Kalman Mena [6] nghiên cứu dãy số xác định Fn = aFn−1 + bFn−2 , n ≥ 2, với F0 = F1 = Ngoài ra, Horadam [5] định nghĩa dãy Fibonacci suy rộng {Hn } Hn = Hn−1 + Hn−2 , n ≥ 3, với H1 = p H2 = p + q, Chứng minh Gm+2 Gn+1 = (Gm+1 + Gm )Gn+1 = Gm+1 Gn+1 + Gm Gn+1 ≡ Gm+1 Gn+1 + Gm+1 Gn = Gm+1 (Gn+1 + Gn ) = Gm+1 Gn+2 Bổ đề 2.20 Quan hệ ∼∗ quan hệ tương đương tập dãy Fibonacci suy rộng (Gn ) xác định (2.1) thỏa mãn p G1 p G2 Chứng minh Dễ thấy quan hệ ∼∗ có tính chất phản xạ đối xứng Chúng ta cần chứng minh tính chất bắc cầu: (Gn ) ∼∗ (Gn ) (Gn ) ∼∗ (Gn ) (Gn ) ∼∗ (Gn ) Theo giả thiết tồn số nguyên m, n, k, l thỏa mãn Gm+1 Gn ≡ Gn+1 Gm mod p Gk+1 Gl ≡ Gl+1 Gk mod p Đặt t = max(n, k) Theo Bổ đề 2.19, ta suy số nguyên m l thỏa mãn Gm+1 Gt ≡ Gt+1 Gm mod p Gt+1 Gl ≡ Gl+1 Gt mod p Giả sử p|Gt ta có p (2.2) Gt+1 theo Bổ đề 2.18 Từ (2.2) ta có p|Gm p|Gl Vì có (Gn ) ∼∗ (Gn )vì Gm+1 Gl ≡ ≡ 25 Gl+1 Gm mod p Nếu ta giả thiết p|Gt+1 cách lập luận tương tự ta có (Gn ) ∼∗ (Gn ) Tiếp theo giả sử p Gt p Gt+1 Khi có p Gm p Gl từ (2.2) Do −1 có Gm+1 G−1 ≡ Gl+1 Gln−1 mod p Gm+1 Gl ≡ m ≡ Gt+1 Gt Gl+1 Gm mod p Đồng dư có nghĩa (Gn ) ∼∗ (Gn ) Bổ đề 2.21 Giả sử (Gn ), (Gn ) hai dãy Fibonacci suy rộng xác định (2.1) thỏa mãn p G1 p G2 Nếu (Gn ) ∼∗ (Gn ) p Gn với n ∈ Z có p Gn với n ∈ Z Chứng minh Giả sử tồn hai số nguyên m, n thỏa mãn Gm+1 Gn ≡ Gn+1 Gm (mod p) Giả sử tồn tai số nguyên l cho p|Gl Do tính tuần hoàn (Gn mod p), giả sử l ≥ n Sử dụng Bổ đề 2.19, ta suy tồn số nguyên k cho Gk+1 Gl ≡ Gl+1 Gk (mod p).Vì p chia hết Gl không chia hết Gl+1 nên suy p|Gk Mẫu thuẫn với giả thiết Bổ đề 2.22 Cho (Gn ) dãy Fibonacci suy rộng xác định (2.1) Khi tồn số nguyên n thỏa mãn p|Gn (Gn ) ∼∗ (Fn ) Chứng minh Đầu tiên, giả sử tồn số nguyên n thỏa mãn p|Gn Chúng ta có (Gn ) ∼∗ (Fn ) F1 Gn ≡ ≡ Gn+1 F0 (mod p) (Chú ý F0 = 0) Tiếp theo, giả sử (Gn ) ∼∗ (Fn ) Khi phải tồn hai số nguyên m n thỏa mãn Gm+1 Fn ≡ Fn+1 Gm (mod p) Mặt khác, 26 F0 = tính tuần hoàn (Fn mod p) nên tồn số nguyên l thỏa mãn p|Fl với l ≥ n Sử dụng Bổ đề 2.19 ta suy có số nguyên k cho Gk+1 Fl ≡ Fl+1 Gk (mod p) Theo Bổ đề 2.18 p Fl+1 nên ta có p|Gk Bây xét tập thương quan hệ tương đương ∼∗ : Xp∗ = {(Gn ) | p G1 p G2 }/ ∼∗ Đặt Yp∗ = {(Gn ) ∈ Xp∗ | p Gn với n ∈ Z} Bổ đề 2.23 (1) Xp∗ = Yp∗ ∪ {(Fn )} (2) Với lớp tương đương (Gn ) Xp∗ , ta chọn phần tự đại diện (Gn ) thỏa mãn p G1 , G2 (3) Cho (Gn ) lớp tương đương Yp∗ Với dãy (Gn ) ∈ (Gn ), ta có p G1 , G2 Chứng minh Khẳng định (1) suy từ Bổ đề 2.22 Chúng ta chứng minh khẳng định (2) Giả sử p|G1 p|G2 , theo Bổ đề 2.22 ta có (Gn ) ∼∗ (Fn ) Do ta có (Gn ) = (Fn ) F1 = F2 = Khẳng định (3) suy từ Bổ đề 2.21 Bổ đề 2.24 Cho p(= 2, 5) số nguyên tố (1) Nếu p ≡ ±1( mod 5), X − X − = có hai nghiệm phân biệt Fp 27 (2) Nếu p ≡ ±2( mod 5), X − X − = vô nghiệm Fp Chứng minh Nghiệm X − X − = Fp (bao đóng đại số √ Fp ) X = 2−1 (1 ± 5) Do giả thiết p = 2, nên nghiệm √ √ −1 khác Chúng ta có (1± 5) ∈ Fp ∈ Fp Hơn điều tương đương với p = p = 1, tức p ≡ ±1(mod 5) Định nghĩa 2.25 (1) Với số nguyên n thỏa mãn n ≡ mod d(p), định nghĩa số nguyên fn (0 ≤ fn ≤ p − 1) thỏa mãn fn ≡ Fn+1 Fn−1 mod p (2) Cho (Gn ) dãy Fibonacci suy rộng xác định (2.1) thỏa mãn p Gn với n ∈ Z Chúng ta định nghĩa số nguyên gn (1 ≤ gn ≤ p − 1) cho gn ≡ Gn+1 G−1 mod p n Bằng phương pháp quy nạp, ta dễ dàng chứng minh hai bổ đề đây: Bổ đề 2.26 Với n, m ∈ Z, có Gn = Fn−m Gm+1 + Fn−m−1 Gm Bổ đề 2.27 Với n ∈ Z, có G2n+1 − Gn Gn+1 − G2n = −(G2n − Gn−1 Gn − G2n−1 ) Để đơn giản, đưa kí hiệu Nếu (Gn ) dãy 28 Fibonacci suy rộng xác định (2.1) thỏa mãn G1 = a G2 = b viết (Gn ) = (G(a,b) ) Định lý 2.28 Giả sử (Gn ) = (G(a,b) ) thỏa mãn p Gn với n ∈ Z Giả sử thêm a b thỏa mãn b2 − ab − a2 ≡ (mod p) Với số nguyên n m, có gn = gm n ≡ m mod d(p) Chứng minh Đầu tiên theo định nghĩa gn gm , có gn = gm Gm Gn+1 ≡ Gm+1 Gn mod p Vì Gn+1 = Fn−m+1 Gm+1 + Fn−m Gm Gn = Fn−m Gm+1 + Fn−m−1 Gm theo Bổ đề 2.26, Chúng ta có gn ≡ gm ≡ (mod p) G2m+1 Fn−m − Gm Gm+1 (Fn−m+1 − Fn−m−1 ) − G2m Fn−m (2.3) Theo Bổ đề 2.27,với vế trái (2.3), có G2m+1 Fn−m − Gm Gm+1 (Fn−m+1 − Fn−m−1 ) − G2m Fn−m ≡ G2m+1 Fn−m − Gm Gm+1 Fn−m − G2m Fn−m ≡ (G2m+1 − Gm Gm+1 − G2m )Fn−m ≡ (−1)m−1 (G22 − G1 G2 − G21 )Fn−m ≡ (−1)m−1 (b2 − ab − a2 )Fn−m mod p Theo giả thiết b2 − ab − a2 ≡ mod p, ta suy gn = gm n ≡ m mod d(p) 29 Định nghĩa 2.29 Giả sử (Gn = (G(a, b))) thỏa mãn p Gn với n ∈ Z Chúng ta định nghĩa chu kì thứ hai (Gn ) chu kì (gn ) Hệ 2.30 Giả sử (Gn ) = (G(a, b)) thỏa mãn p Gn với n ∈ Z (1) Nếu b2 − ab − a2 ≡ mod p, chu kì thứ hai (Gn ) (2) Nếu b2 − ab − a2 ≡ mod p, chu kì thứ hai (Gn ) d(p) Chứng minh Khẳng định (2) sau từ Định lý 2.28 Chúng ta chứng minh (1) cách gn = g1 ≡ ba−1 mod p với n ∈ Z Do tính tuần hoàn (Gn ) mod p ta cần xét n ∈ N Chúng ta sử dụng phương pháp quy nạp Với n = 1, khẳng định Chúng ta giả sử khẳng định với số tự nhiên nhỏ n + Khi có gn+1 ≡ Gn+2 G−1 n+1 ≡ (Gn+1 + Gn )(Gn + Gn−1 )−1 −1 −1 ≡ (Gn+1 G−1 n + 1)(1 + Gn−1 Gn ) −1 −1 ≡ (gn + 1)(1 + gn−1 ) ≡ (ba−1 + 1)(1 + b−1 a)−1 ≡ (ba−1 + 1) × b−1 a(ba−1 + 1) −1 30 ≡ ba−1 ≡ g1 mod p Mặt khác ≤ g1 , gn+1 ≤ p − 1, có gn+1 = g1 Bổ đề 2.31 Giả sử (Gn ) (Gn ) thỏa mãn p Gn , Gn với n ∈ Z Cho υ chu kì thứ hai Gn Khi ta có (Gn ) ∼∗ (Gn ) tồn số nguyên n với (1 ≤ n ≤ υ) cho gn = g1 (≡ G2 G−1 mod p) Chứng minh Đầu tiên, giả sử gn = g1 với số nguyên n(1 ≤ n ≤ υ) Khi có Gn−1 Gn −1 ≡ G2 G−1 mod p (Gn ) ∼∗ (Gn ) Tiếp theo, giả sử (Gn ) ∼∗ (Gn ) Khi phải tồn hai số nguyên m n cho Gm+1 Gn ≡ Gn+1 Gm mod p Theo Bổ đề 2.19, tồn số nguyên n cho G2 Gn ≡ Gn+1 G1 mod p Vì có gn ≡ g1 mod p Chúng ta có g1 = gn ≤ g1 ≤ p − ≤ gn ≤ p − Hơn nữa, chọn số nguyên n thỏa mãn ≤ n ≤ υ chu kì (gn ) υ Tương tự Định lý 2.14, định lý sau cho ta tính chất số lớp tương đương quan hệ ∼∗ Định lý 2.32 (1) Nếu p ≡ ±2 (mod 5) ta có |Yp∗ | = |Yp | p+1 = − d(p) d(p) 31 (2) Nếu p ≡ ±1 (mod 5) ta có |Yp∗ | = + |Yp | − p − = + d(p) d(p) (3) Nếu p = ta có |Yp∗ | = |Yp | = Chứng minh Khẳng định (3) suy trực tiếp từ Hệ 2.15 Chúng ta chứng minh (1) (2) Theo Định lý 2.14 ta có Yp = Xp − G(1, fi )|1 ≤ i ≤ d(p) − , Xp = {(Gn )|p G1 ; p G2 } / ∼ = (G(1, b))|1 ≤ b ≤ p − • Chứng minh (1): Chúng ta xét lớp tương đương (Gn )((Gn ) = (G(1, b))) Yp Vì p ≡ ±2 mod (5), ta có b2 − b − ≡ mod p X − X − = nghiệm Fp theo Bổ đề 2.24 Do có chu kỳ thứ hai (Gn ) d(p) theo Hệ 2.30 g1 , g2 , , gd(p) giá trị khác theo Định lý 2.28, gn số nguyên cho gn = Gn+1 G−1 n (mod p) ≤ gn ≤ p − Từ định nghĩa quan hệ ∼∗ , có (Gn ) = (G(1, b)) ∼∗ (G(1, gi )) với i (1 ≤ i ≤ d(p)) Mặt khác với lớp tương đương (Gn )((Gn = (G(1, b ))) Yp thỏa mãn b ≡ g1 , , gd(p) (mod p), có (Gn ) ∼∗ (Gn ) theo Bổ đề 2.31 Như với lớp (G(1, b)) Yp∗ sinh d(p) lớp (G(1, gi ))(1 ≤ i ≤ d(p)) quan hệ tương đương ∼ Do có |Yp∗ | = định |Yp | d(p) = p+1 d(p) |Yp | d(p) Khẳng − suy từ Định lý 2.14 32 • Chứng minh (2): Nếu p ≡ ±1(mod 5) X − X − = có hai nghiệm phân biệt α β Fp theo Bổ đề 2.24 Chúng ta xét dãy Fibonacci suy rộng (G(1, α)) = (Gn ) Ta có p Gn với n ∈ Z α2 − α − ≡ (mod p) Vì theo Bổ đề 2.18 Hệ 2.30 Chúng ta có (G(1, α)) ∈ Yp Tương tự vậy, có (G(1, β)) ∈ Yp Cho b số nguyên thỏa mãn ≤ b ≤ p − Khi chu kỳ thứ hai (G(1, α)) (G(1, β)) theo Hệ 2.30 Do có (G(1, b)) ∼∗ (G(1, α)) b = α theo Bổ đề 2.31 Bằng lập luận này, có kết tương tự với (G(1, β)) Mặt khác, d(p)lớp (G(1, b)) Yp thỏa mãn b = α, β lớp Yp∗ Như có |Yp∗ | = + |Yp |−2 d(p) đẳng thức sau suy từ Định lý 2.14 2.3 So sánh với kết Kôzaki Nakahara Định nghĩa 2.33 Một số nguyên m gọi kiểu không ước (the type of a non-divisor) tồn dãy Fibonacci suy rộng (Gn ) xác định (2.1) cho m Gn với n ∈ Z Với số nguyên tố p, kí hiệu k(p) chu kỳ (Fn mod p) Năm 1999, Kôzaki Nakahara [8] chứng minh kết sau: Định lý 2.34 (Định lý Kôzaki Nakahara) Một số nguyên tố p kiểu không ước điều kiện sau thỏa mãn (1) p = 33 (2) p ≡ 1, 9, 11, 13, 17, 19 (mod 20) (3) p ≡ 3, 7(mod 20) k(p) < 2(p + 1) Ta kết Kôzaki Nakahara suy từ kết Aoki Sakai Thật vậy, từ Định lý 2.14 Hệ 2.15 ta suy hệ sau đây: Hệ 2.35 Một số nguyên tố p kiểu không ước khẳng định sau thỏa mãn (1) p = (2) p ≡ ±1 (mod 5) (3) p ≡ ±2 (mod 5) d(p) < p + Chúng ta chứng minh Định lý 2.34 tương đương với Hệ 2.35 Cụ thể hơn, chứng minh ba điều kiện Định lý 2.34 thỏa mãn ba điều kiện Hệ 2.35 thỏa mãn Đầu tiên, Chúng ta chứng minh (1) (2) (3) Định lý 2.34 thỏa mãn (1) (2) (3) Hệ 2.35 thỏa mãn Điều hiển nhiên điều kiện (1) Định lý 2.34 thỏa mãn Giả sử điều kiện (2) Định lý 2.34 thỏa mãn Nếu p ≡ 1, 9, 11, 19 (mod 20) có p ≡ ±1 (mod 5) Nếu p ≡ 13, 17 34 (mod 20) có p ≡ ±2 (mod 5) p ≡ 1(mod 4) Theo Bổ đề 2.7 Bổ đề 2.11 ta có d(p) < p + Chúng ta giả sử điều kiện (3) Định lý 2.34 thỏa mãn Trong trường hợp ta có p ≡ (mod 4) p ≡ ±2 (mod 5) Bởi p ≡ ±2 (mod 5), có Fp ≡ −1 (mod p) Fp+1 ≡ (mod p), có k(p) = p + Nếu d(p) = p + ta có p + 1|k(p) d(p)|k(p) Tuy nhiên điều mẫu thuẫn k(p) = p + 1, k(p) < 2(p + 1) k(p)|2(p + 1) thỏa mãn Do d(p) < p + Tiếp theo, chứng minh (1) (2) (3) Hệ 2.35 thỏa mãn ba điều kiện (1), (2) (3) Định lý 2.34 thỏa mãn Hiển nhiên điều (1) Hệ 2.35 thỏa mãn Chúng ta giả sử điều kiện (2) Hệ 2.35 thỏa mãn Nếu p ≡ (mod 5) có p ≡ 1, 11(mod 20) Nếu p ≡ −1 (mod 5) có p ≡ 9, 19 (mod 20) Cuối giả sử (3) Hệ 2.35 thỏa mãn Khi p ≡ −2(mod 5) p ≡ 7, 17 (mod 20) Khi p ≡ −2(mod 5) có p ≡ 3, 13(mod 20) Nếu p ≡ 13, 17(mod 20) điều kiện (2) Định lý 2.34 thỏa mãn Chúng ta xét trường hợp p ≡ 3, 7(mod 20) Trong trường hợp có p ≡ 3(mod 4) p ≡ ±2(mod 5), k(p)|2(p+1) Từ công thức Fn−1 Fn+1 −Fn2 = (−1)n , có Fd(p)−1 Fd(p)+1 − Fd(p) ≡ (−1)d(p) (mod p) 35 Do có Fd(p)−1 ≡ (−1)d(p) (mod p) Fd(p) ≡ (mod p) Fd(p)−1 ≡ Fd(p)+1 (mod p) Nếu Fd(p)−1 ≡ −1(mod p) mâu thuẫn với −1 p = −1 p ≡ 3(mod 4) Nếu Fd(p)−1 ≡ 1(mod p) Fd(p)−1 ≡ ±1(mod p) thỏa mãn Trong trường hợp Fd(p)−1 ≡ 1(mod p), có k(p) = d(p), k(p) < p + Trong trường hợp Fd(p)−1 ≡ −1(mod p), có k(p) ≤ 2d(p) < 2(p+1) F2d(p)−1 ≡ 1(mod p) 36 Kết luận Luận văn trình bày số vấn đề sau: Khái niệm dãy Fibonacci suy rộng; Một số tính chất thú vị hai dãy Fibonacci suy rộng {Vn } {Un } xác định Vn+2 = Vn+1 + 2Vn , n ≥ 0, với V0 = 2, V1 = 2, Un+2 = Un+1 + 2Un , n ≥ 0, với U0 = 2, U1 = 0; Một số kết Hoggatt Long [4] dãy Fibonacci suy rộng {un } xác định phương trình sai phân un+2 = pun+1 + qun , n ≥ 0, với u0 = 0, u1 = 1, p, q hai số nguyên dương; Các kết Aoki Sakai [2, 3] dãy Fibonacci suy rộng {Gn } xác định Gn+2 = Gn+1 + Gn , n ≥ 1, với G1 = a, G2 = b, a, b hai số nguyên 37 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2] Aoki M and Sakai Y (2015), "On divisibility of genneralized Fibonacci numbers", Integers 15, Paper No A31 [3] Aoki M and Sakai Y (2016), "On equivalence class of genneralized fibonacci sequences", Journal of Integer Sequences, Vol 19, Article 16.2.6 [4] Hoggatt E V and Long C T (1974), "Divisibility properties of genneralized Fibonacci polynomial", April ,113–120 [5] Horadam A F (1961), “The Generalized Fibonacci Sequences", The American Math Monthly, 68, No 5, 455–459 [6] Kalman D and Mena R (2002), “The Fibonacci Numbers – Exposed", The Mathematical Magazine, 38 [7] Koshy T (2001), Fibonacci and Lucas numbers with Applications, John Wiley & Sons, Inc., Toronto [8] Kôzaki M and Nakahara T (1999), “On arithmetic properties of generalized Fibonacci sequences", Reports of the Faculty of Science and Engineering, Saga University, Mathematics 28, 1— 18 [9] Panwar K Y., Singh B and Gupta K V (2014), "Generalized Fibonacci sequences and its properties", Palestine Journal of Mathematics, 3(1), 144–147 39 ... Fibonacci suy rộng 1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1.2 Định nghĩa dãy Fibonacci suy rộng 1.3 Một số tính chất dãy Fibonacci suy rộng Chương Tính chia hết số. .. dãy Fibonacci suy rộng kết Panwar, Singh Gupta [9] • Chương 2: Tính chia hết số Fibonacci suy rộng Chương trình bày số kết Hoggatt Long [4]; kết Aoki Sakai [2, 3] Chương Dãy Fibonacci suy rộng. .. TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN QUYÊN VỀ TÍNH CHIA HẾT CỦA CÁC SỐ FIBONACCI SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC