Tổng hợp các dạng toán tịnh tiến biến hình lớp 11 ôn thi năm học 2017 2018

BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN TỔNG HỢP BÀI TẬP PHÉP TỊNH TIẾN – PHÉP BIẾN HÌNH CÁC DẠNG TRONG ÔN 11 HỌC 2017-2018 ( QUYỀN ) Mục Lục THI TOÁN LỚP NĂM ĐỘC : 32 BÀI TẬP - TRẮC NGHIỆM PHÉP TỊNH TIẾN - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT HƯỚNG DẪN GIẢI 32 BÀI TẬP - TRẮC NGHIỆM PHÉP TỊNH TIẾN PHÉP BIẾN HÌNH VÀ PHÉP DỜI HÌNH PHÉP TỊNH TIẾN [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN I 32 BÀI TẬP - TRẮC NGHIỆM PHÉP TỊNH TIẾN - CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT 2 Câu Tìm m để  C  : x  y  x  2my   ảnh đường tròn  C ' :  x  1   y  3   qua phép tịnh tiến theo vectơ v   3;5  A m  2 B m  C m  D m  3 Câu Cho parabol  P  : y  x  mx  Tìm m cho  P  ảnh  P ' : y   x  x  qua  phép tịnh tiến theo vectơ v   0,1 A m  B m  1 C m  D m    là: Câu Cho lục giác ABCDEF tâm O Ảnh tam giác FEO qua T AB A ABO Câu  C ' :  x   B ODC Trong mặt phẳng C AOB Oxy, cho đường D OCD tròn C  :  x  4 2   y    36   x  x ' a   y    36 ảnh  C  qua  Vậy tọa độ v là:  y  y ' b A  3;7  B  3; 7  C  3;7  D  3; 7   Câu Trong mặt phẳng Oxy cho v   2; 1 Tìm tọa độ điểm A biết ảnh điểm A '  4; 1  qua phép tịnh tiến theo vectơ v : A A  2;0  B A 1;1 C A  2;3 D A  0;   Câu Ảnh d ' đường thẳng d : x  y   qua phép tịnh tiến theo vectơ v   3; 2  là: A d ' : x  y   B d ' : x  y   C d ' : 3x  y   D d ' : x  y  11   Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v   a; b  Với điểm M  x; y  ta có M '  x '; y '  ảnh    M qua phép tịnh tiến theo v Khi MM '  v cho x '  x  a y'  y  b A  x '  x  a y'  y  b B   x  x ' a  y  y ' b  x  x ' a  y  y ' b C  D   Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A  4;5  Phép tịnh tiến v  1;  biến điểm A thành điểm điểm sau đây? A A '  5;7  B A ' 1;6  C A '  3;1 D A '  4;7  [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN Câu Có phép tịnh tiến biến đường tròn thành nó? A B C Câu 10 Cho đường tròn  C  :  x     y   D Vô số   16 v   3;4  Đường tròn  C ' ảnh  C  qua phép Tv Vậy  C ' cần tìm là: 2 B  x     y    16 2 D  x     y    16 A  x     y  3  16 C  x  3   y    16 2 2 Câu 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ảnh đường thẳng  d  : x  y  qua phép tịnh tiến  v  1;3 là: A  x  y  B x  y  C x  y  D  x  y   Câu 12 Cho đường thẳng d : x  y   Ảnh d qua phép tịnh tiến theo vectơ u  1;  là: A x  y   B x  y   C x  y   D x  y   Câu 13 Cho đường tròn  C  :  x  1  y  Ảnh  C  qua phép tịnh tiến theo vectơ  u   1;3 là: 2 A x   y  3  10 B x   y  3  C x  y  z   D x  y  z   Câu 14 Cho điểm A 1;  B  0; 1 Ảnh đường thẳng AB qua phép tịnh tiến theo vectơ  u   3; 2  là: A x  y   B x  y  12  C x  y   D x  y  12   Câu 15 Ảnh đường tròn  C  : x  y  x  y   qua phép tịnh tiến theo vectơ u   2;1 2 B x  y  2 D x  y  A  x     y    C  x     y     Câu 16 Cho điểm A 1;2  , B  2;3 , C  6;7  Giả sử qua phép tịnh tiến theo vectơ u điểm A, B, C biến thành điểm A '  2;0  , B ', C ' Khẳng định sau đúng? A C '  7;5  B B '  3;5   C u  1;  D C '  7;9  [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN Câu 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A 1;3 B  2; 4  , tọa độ M ' ảnh  là: M  4;3 qua phép tính tiến T AB A M '  4;3 B M '  5;10  C M '  3; 4  D M '  3; 4   Câu 18 Trong mặt phẳng Oxy cho A  3; 1 , phép tịnh tiến theo vectơ v   3;2  thành điểm sau đây: A B  6;3 B C  6;1 C D  0;3  D E  0; 3    Câu 19 Có phép tịnh tiến biến vectơ AB thành vectơ CD với AB  CD ? A Một B Hai C Ba D Bốn  Câu 20 Trong mặt phẳng cho vectơ v Phép biến hình biến điểm M thành điểm M ' gọi  phép tịnh tiến theo vectơ v thỏa mãn         A MM '  v B M ' M  v C MM '  kv D MM '  v Câu 21 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn  C  có phương trình: x2  y2  x  y   A x  y  x  y   B x  y  x  y   C x  y  x  y   D x  y  x  y   Câu 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A  3;6  , B  1;5  , C  0;  Gọi G trọng tâm tam  giác ABC Ảnh G qua phép tịnh tiến theo vectơ AB 26 10 A  ;    10 26 B  ;   3  3  10 10 C   ;   26 26 D  ;   3  3  Câu 23 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn  C   C ' có phương trình  x  y  x  y  11  x  y  x  y   Phép tịnh tiến theo vectơ u biến đường tròn   C ' thành đường tròn  C  tọa độ vectơ u là: A  4;6  B  4; 6  C  4;6  D Đáp án khác  Câu 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép tịnh tiến Tv với v   2;1 , cho đường tròn C  :  x  2 2   y  3  25 Tìm ảnh đường tròn  C  ? 2 A  x     y    25 2 B  x     y  3  25 [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN 2 C  x  3   y    25 D  x     y    25 2 Câu 25 Tạo ảnh đường tròn  C ' :  x  3   y  1  25 qua phép tịnh tiến theo vectơ  v   3;2  đường tròn  C  có phương trình B  x     y  3  25 2 D x   y  1  25 A x   y  1  2 C x   y  1  25  2 Câu 26 Trong mặt phẳng Oxy vectơ u  1; 2  Ảnh đường tròn  C  :  x     y  3   qua phép tịnh tiến vectơ u là: 2 A  C ' :  x  1   y  3  2 2 B  C '  :  x  3   y    C  C ' : x   y    D  C '  :  x     y  1  Câu 27 Hãy chọn khẳng định khẳng định sau? A Tv  M   M '  T  M '  M v B Tv  M   M '  Tv  M '  M C Tv  M   M '  T M   M ' v D Tv  M   M '  T  M '  M ' v  Câu 28 Cho điểm A  2;5  vectơ v   3; 2  Tìm tọa độ A ' cho A ảnh A ' qua  phép tịnh tiến vectơ v A A '  2;4  B A '  2;2  C A '  5;7  D A '  5;1  Câu 29 Trong mặt phẳng Oxy cho v   2;3 ,  C  : x  y  x  y   Gọi  C ' ảnh đường tròn  C  qua phép tịnh tiến Tv Phương trình  C ' có dạng: 2 2 A  x     y    B  x     y    C x  y  D  x    y  Câu 30 Cho hai đồ thị hàm số f  x   x  x  (C) g  x   x  x  15 x    vectơ v   a; b  cho tịnh tiến đồ thị  C  theo vectơ v ta đồ thị  C '     A v   2; 9  B v   2;11 C v   3;2  D v   9;   Câu 31 Trong mặt phẳng Oxy, phép tịnh tiến điểm M 1;0  qua v phép đồng khi:     A v  1;0  B v   0;1 C v  1;1 D v   0;0  [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018  C ' Tìm Page BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN 2 Câu 32 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn  C  :  x  m     y   m   10 ;    y   m   10 Biết  C '   Tv   C   Tìm v ?    A v   2; 8  B v    2m; 2m   C v    m; m  1  C ' :  x   m   D v   6; 2  HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Chọn đáp án B Đường tròn  C  có tâm I  2; m  , bán kính R  m    1   m  m  3  Đường tròn  C ' có bán kính tâm I '  1; 3 , bán kính R '  Ta có  Câu Chọn đáp án D  Giả sử M  x; y    P  ảnh M  x '; y '   P '  qua phép tịnh tiến theo vectơ v   0;1 x  x ' x '  x   y    x  x   y   x2  x   y  y '  y '  y  Ta có  Câu Chọn đáp án B  ODC Ảnh tam giác FEO qua T AB Câu Chọn đáp án D  Đường tròn  C  có tâm I  4;5  , đường tròn  C ' có tâm I '  7; 2   v   3; 7  Câu Chọn đáp án A Ta có A  2;0  Câu Chọn đáp án D x '  x   x  x '  y'  y   y  y ' Giả sử M  x '; y '  d ' ảnh điểm M  x; y   d   Suy  x ' 3   y '     x ' y ' 11 Câu Chọn đáp án A x '  x  a y'  y  b Ta có  [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN Câu Chọn đáp án A Ta có A '  5;7  Câu Chọn đáp án C Có phép tịnh tiến biến đường tròn thành Câu 10 Chọn đáp án B 2 Ta có  C '  :  x     y    16 Câu 11 Chọn đáp án C Ta có d ' : x  y   Câu 12 Chọn đáp án D Ta có d ' : x  y   Câu 13 Chọn đáp án B Ta có  C ' : x   y  3  Câu 14 Chọn đáp án B  u  3;2  A 1;2  , B  0; 1   A '  4;0  , B  3; 3   x4 y   x  y  12  Câu 15 Chọn đáp án A  C  : x2  y  x  y     x    2   y  1   I  2;1 ; R  2 Theo công thức tịnh tiến T : u   2;1  J  4;2    x     y    Câu 16 Chọn đáp án A  Ta có u  1; 2   B '  3;1 , C '  7;5  Câu 17 Chọn đáp án C  AB  1; 7  ; M  4;3  M '  3; 4  Câu 18 Chọn đáp án B C  6;1 Câu 19 Chọn đáp án A   Biến AB thành vectơ Câu 20 Chọn đáp án D [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN Câu 21 Chọn đáp án D 1 17  1  x  y  x  y     x     y  1   I  ;1 2  2  Tịnh theo tiến phương Ox bên trái đơn vị:    v   3;0   J   ;0    C '  : x  y  x  y     Câu 22 Chọn đáp án C  13    10 10  Ta có G  ;  , AB   4; 1  G '   ;  3   3 Câu 23 Chọn đáp án B  Dễ thấy hai tâm I 1; 2  J  3;  suy u   4; 6  Câu 24 Chọn đáp án D 2 Tâm I  2;3 suy ảnh tâm J  4;4  , suy ảnh đường tròn:  x     y    25 Câu 25 Chọn đáp án B 2 Tâm I  3; 1 suy tâm tạo ảnh J  6; 3 , suy tạo ảnh đường tròn  x     y  3  25 Câu 26 Chọn đáp án B   Ta có I  2; 3 , II '  u   xI '  2; yI '  3  1; 2  2  I '  3; 5    C '  :  x  3   y    Câu 27 Chọn đáp án A    Tv  M   M '  MM '  v   Ta có        Tv  M   M '  T v  M '  M T v  M '   M  M ' M  v  MM '  v Câu 28 Chọn đáp án C    2  x A '   A '  5;7  5  y A '  2 Ta có A ' A  v   2  x A ' ;5  y A '    3; 2    Câu 29 Chọn đáp án C 2 Ta có  C  :  x     y  3   I  2; 3 [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN   Khi II '  v   xI '  2; y I '  3   2;3  I '  0;0    c '  : x  y  Câu 30 Chọn đáp án B  y  x3  x  x '  x  a Ta có    y '  y  b  y  b   x  a    x  a   15  x  a    x3  x a  xa  a   x  xa  a   15  x  a    b  x  x  3a    a    3a  12a  15    v   2;11  a  6a  15a   b  b  11  Cách khác nhanh sau:  a   v   2;11 b  12   11 Ta có g  x    x    x    x     x    12   Câu 31 Chọn đáp án D Phép tịnh tiến theo vectơ–không phép đồng Câu 32 Chọn đáp án A    I   m; m  3  v  II '   2; 8   I '   m; m   Ta có  II CHUYÊN ĐỀ: PHÉP BIẾN HÌNH  biến: Câu 1: Cho hình bình hành ABCD Phép tịnh tiến T DA A/ B thành C B/ C thành A C/ C thành B D/ A thành D   biến điểm A thành điểm: Câu 2: Cho hình bình hành ABCD Phép tịnh tiến T AB  AD A/ A’ đối xứng với A qua C B/ A’ đối xứng với D qua C C/ O giao điểm AC BD D/ C Câu 3: Cho đường tròn (C) có tâm O đường kính AB Gọi  tiếp tuyến (C) điểm A Phép  biến  thành: tịnh tiến T AB A/ Đường kính (C) song song với  B/ Tiếp tuyến (C) điểm B [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN C/ Tiếp tuyến (C) song song với AB D/ Cả đường  Câu 4: Cho v  1;5  điểm M '  4;  Biết M’ ảnh M qua phép tịnh tiến Tv Tìm M A/ M  5; 3 B/ M  3;5  C/ M  3;  D/ M  4;10   Câu 5: Cho v  3;3 đường tròn  C  : x  y  x  y   Ảnh  C  qua Tv  C '  : 2 B/  x     y  1  2 D/ x  y  x  y   A/  x     y  1  C/  x     y  1  2  Câu 6: Cho v  4;  đường thẳng  ' : x  y   Hỏi  ' ảnh đường thẳng  qua Tv : A/  : x  y  13  B/  : x  y   C/  : x  y  15  D/  : x  y  15  Câu 7: Khẳng định sai: A/ Phép tịnh tiến biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng B/ Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với C/ Phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác D/ Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có bán kính Câu 8: Khẳng định sai: A/ Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách hai điểm B/ Phép quay bảo toàn khoảng cách hai điểm C/ Nếu M’ ảnh M qua phép quay QO ,   OM '; OM    D/ Phép quay biến đường tròn thành đường tròn có bán kính Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy, ảnh điểm M  6;1 qua phép quay Q O ,90 là:   o A/ M '  1; 6  B/ M ' 1;  C/ M '  6; 1 D/ M '  6;1 Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy, qua phép quay Q O ,90 , M '  3; 2  ảnh điểm :   o A/ M  3;  B/ M  2;3 C/ M  3; 2  D/ M  2; 3 [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page 10 BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN - Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k : a/ Biến ba điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm b/ Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng âý , biến tia thành tia , biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng c/ Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với , biến góc thành góc d/ Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính III TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN Định lý : Với hai đường tròn có phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn ngược lại Tâm phép vị tự gọi tâm vị tự hai đường tròn Cách tìm tâm vị tự hai đường tròn  Trường hợp : I trùng với I’ Khi phép vị tự tâm I tỉ số R’/Rvà phép vị tự tâm I tỉ số R’/R biến đường tròn (I;R) thành đường tròn (I;R’)  Trường hợp I  I '; R  R ' Trên (O;R) lấy diểm M , (O’;R’) lấy điểm M’ cho IM//I’M’ I’M’’//IM Hai đường thẳng MM’ MM’’ cắt đường thẳng nối hai tâm II’ hai điểm O O’ Khi O nằm II’ gọi tâm vị tự , O’ nằm đoạn II’ gọi tâm vị tự  Trường hợp I khác I’ R=R’ Khi MM’//II’ nên có phép vị tự tâm O’ với k=-1 Đó phép đối xứng IV CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP BÀI TOÁN : TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA MỘT PHÉP VỊ TỰ Sử dụng định nghĩa tính chất phép vị tự Từ định nghía tâm vị tự I(a;b) , điểm M(x;y) điểm M’(x’;y’) ta có :    x ' a  k  x  a   x '  k  x  a   a  IM '  k IM    (*)  y ' b  k  y  b   y '  k  y  b   b Chính biểu thức tọa độ phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng d: 3x+2y-6=0 Hãy viết phương trình đường thẳng d’ ảnh đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số vị tự k=-2 ? Giải [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page 36 BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN Gọi M(x;y) thuộc d ,M’(x’;y’) điểm bát kỳ thuộc d’ theo biểu thức tọa độ phép vị tự ta có : x ' x '  x      x '  2  x  1  2 2   y '  y '  y '  2  y    y  2  2 2 x '   y '  Thay vào phương trình đường thẳng d:    2     3x ' y '   2   2  Do d’: 3x+2y-9=0 Ví dụ ( Bài 1.23-tr33-BTHH11CB) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: 2x+y-4=0 a/ Hãy viết phương trình đường thẳng d’ ảnh đường thẳng d qua phép vị tự tâm O tỉ số vị tự k=3 b/ Hãy viết phương trình đường thẳng d’’ ảnh d qua phép vị tự tâm I (-1;2) tỉ số vị tự k=-2 Giải x'   x   x '   x    x'  y' a/ Từ công thức tọa độ :            x ' y ' 12  3 3 y  y'  y '   y    Do đường thẳng d’: 2x+y-12=0 x ' x '  x     x '  2  x  1  2 2   x '    y '     2x ' y '  b/ Tương tự :        2   2   y '  2  y    y  y '   y '  2 2 Do đường thẳng d’’: 2x+y+8=0 Ví dụ ( Bài 1.24-tr33-BTHH11-CB) 2 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C ):  x  3   y  1  Hãy viết phương trình đường tròn (C’) ảnh đường tròn (C ) qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số k=-2 Giải Đường tròn (C ) có tâm O(3;-1) bán kính R=3 Gọi O’ (x’;y’) tâm (C’) ,R’ bán kính (C’) Ta có tọa độ O’ thỏa mãn biểu thực tọa độ phép vị tự : [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page 37 BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN x ' x '    x  2   2  x '  2  x  1  2  y ' y '  x '   y '     y '  2  y     y  2   3    1  2 2  2   2  R'   2  R '  2.3  R   2 2   x ' 3   y '   36 Vậy (C’) :   x  3   y    36 BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐẺ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC Để xác định điểm M ta xem ảnh điểm A biết qua phép vị tự , xem M giao của đường cố định với ảnh đường biết qua phép vị tự Ví dụ Cho tam giác ABC có hai góc B,C nhọn Dựng hình chữ nhật DEEG có EF=2DE với hai đỉnh D,E nằm BC hai đỉnh F,G nẵm hai cạnh AC AB Giải - Vẽ hình ( thỏa mãn yêu cầu toán ) * Phân tích : + Giả sử hình chữ nhật dựng xong , AB lấy điểm G’ , dựng hình chữ nhật G’F’E’F’ có E’F’=2D’E’ hai đỉnh D’,E’ thuộc BC , nối BF’ cắt AC F , ta BG GD 2GF GF    Chứng tỏ B,F’F thẳng hàng Ta xem hình chữ nhật DEFG BG ' GD ' 2G ' F ' G ' F ' BG ảnh hình chữ nhật D’E’F’G’ qua phép vị tự tâm B tỉ số vị tự :  k Từ suy cách BG ' có : dựng * Cách dựng : - Lấy điểm G’ tùy ý AB , sau dựng hình chữ nhật G’F’E’D’ có E’F’=2 D’E’, hai đỉnh D’E’ nẵm BC - Nối BF’ cắt AC F , đường thẳng qua F song song với BC cắt AB G Gọi D E hình chiếu G F BC Thì hình chữ nhật DEFG hình chữ nhật cần dựng * Chứng minh : Thật : Vì GF //G’F’ , GD//G’D’ nên : GF BG GD   Từ suy : G ' F ' BG ' G ' D ' GD G ' D '   Như hình chữ nhật dựng thỏa mãn yêu cầu toán GF G ' F ' [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page 38 BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN Ví dụ ( Bài 1.25-tr33-BTHH11CB) Cho nửa đường tròn đường kính AB Hãy dựng hình vuông có hai đỉnh nằm nửa đường tròn , hai đỉnh lại nằm đường kính AB nửa đường tròn Giải Vẽ hình , từ hình vẽ ta có bước sau * Phân tích Giả sử hình vuông MNPQ dựng xong thỏa mãn yêu cầu toán ( với M,N nẵm AB , P,Q nằm nửa đường tròn ).Gọi O trung điểm AB Nối OQ OP, dựng hình vuông M’N’P’Q’ cho M’,N’ nằm AB O trung điểm M’N’ Khi ta có : OQ OP PQ    k Ta xem MNPQ ảnh M’N’P’Q’ qua phép vị tự tâm O tỉ số OQ ' OP ' P ' Q ' PQ k= Từ suy : P 'Q '  * Cách dựng - Dựng hình vuông M’N’P’Q’ ( có M’N’ thuộc AB O trung điểm M’N’ ) - Nối OP’ OQ’ chúng cắt (O,AB) P Q - Hình chiếu P Q AB N M Khi MNPQ hình vuông cần dựng * Chứng minh : Do M’N’P’Q’ hình vuông , M’N’//AB Tam giác OM’N’ đồng dạng với tam giác OPQ suy : PQ OP OQ PN QM   k   P ' Q ' OP ' OQ ' P'N ' Q'M ' Ví dụ ( Bài 1.26-tr33-BTHH11CB) Cho góc nhọn Oxy điểm C nằm góc Tìm Oy điểm A cho khoảng cách từ A đến trục Ox = AC Giải - Vẽ hình Căn vào hình vẽ ta có phân tích sau * Phân tích : Gọi B hình chiếu A Ox theo đầu tam giác ABC tam giác cân đỉnh A ( AB=AC ) Giả sử tam giác A’B’C tam giác cân đỉnh A’ có A’B’ vuông góc với Ox Dễ dàng nhận thấy hai tam giác đồng dạng ta có : [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page 39 BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN AC OC AB  k  Ta coi tam giác ABC ảnh tam giác A’B’C’ qua phép vị tự tâm OP tỉ A ' C ' OC ' A' B ' số vị tự k Từ suy cách dựng : * Cách dựng : - Nối OC , sau Oy lấy điểm A’ , tìm B’ hình chiếu A’ Ox ( kẻ A’B’ vuông góc với Ox) - Dùng com pa lấy A’ làm tâm , quay cung tròn có bán kính A’B’ cắt OC C’ - Từ C kẻ hai đường thẳng song song với hai cạnh A’C’ C’B’ chúng cắt hai cạnh Oy Ox A B Tam giác ABC tam giác cần tìm * Chứng minh : Giống cách phân tích Ví dụ ( Bài tập O.11-tr76-BTHH10 –T6-2000) Cho tam giác nhọn ABC Hãy dựng hình vuông MNPQ cho M,N nằm cạnh BC , P,Q nằm hai cạnh lại tam giác Giải - Vẽ hình Từ hình vẽ ta có cách phân tích : Gọi hình vuông M’N’P’Q’ có cạnh M’N’ thuộc BC M’N’=N’P’=P’Q’=Q’M’ a cố định Nếu ta coi hình vuông MNPQ ảnh phép vị tự tâm B với tỉ số vị tự : PQ PM PQ P ' Q '      PQ  PM Suy cách dựng P 'Q ' P ' N ' PM P ' N ' - Trên AB lấy điểm Q’ , kẻ đường thẳng qua Q’ vuông góc với BC cắt BC M’ Sau đặt M’N’=A’M’ , dựng hình vuông M’N’P’Q’ - Nối BP’ cắt AC P , kẻ hai đường thẳng qua P // với N’P’ M’N’ chúng cắt BC AB N Q Cuối kẻ qua Q đường thẳng vuông góc với BC cắt BC M ta hình vuông MNPQ cần dựng * Chú ý : Ta có cách khác - Dựng hình vuông BCM’N’ nằm tam giác ABC Gọi B’C’ giao AB AC với M’N’ Như phép vị tự tâm A tỉ số vị tự : k= AB biến tam giác AB’C’ thành tam giác AB ' ABC , Cho nên biến hình vuông BCPQ thành hình vuông MNPQ cần tìm Vì ta cần kẻ qua B’ C’ hai đường thẳng vuông góc với BC chúng cắt cạnh Ac AB điểm P Q , cắt BC N M Hình vuông MNPQ tìm [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page 40 BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN Ví dụ Gọi A giao hai đường đường tròn cắt O O’ Hãy dựng qua A đường thẳng cắt hai đường tròn B C cho AC=2AB Giải Vẽ hình minh họa Từ hình vẽ ta có phân tích sau   - Từ giả thiết , ta có : AC  2 AB  VA2 : B  C Như phép vị tự tâm A biến B thành C Từ ta có cách dựng : - Dựng đường tròn ảnh đường tròn (O) qua phép vị tự tâm A tỉ số k=-2 Giao đường tròn ảnh với đường tròn (O’) C Đường thẳng AC đường thẳng d cần dựng - Chứng minh : Do C ảnh B qua phép vị tự tâm A tỉ số k=-2 AC=2AB Ví dụ Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc với A( có bán kính khác ) Một điểm M nằm đường tròn (O) Dựng đường tròn qua M tiếp xúc với O O’ Giải - Vẽ hình minh họa cho học sinh Từ có phân tích - Gọi S tâm vị tự (O) (O’) ,N ảnh M qua phép vị tự tâm S M’ giao điểm thứ hai AN với (O’) , Gọi O’’ giao OM với O’M’ ( Chú ý : OM//O’N ) ta có : O '' M O '' M '   O ' N  O ' M ' nên O’’M=O’’M’ Chứng tỏ (O’’) tiếp xúc với (O) (O’) M O'N M 'O ' M’ - Cách dựng : Tìm tâm S ( kẻ tiếp tuyến chung O O’ cắt OO’ S Nối SA cắt (O’) N M’ O’ giao OM với O’M’ BÀI TOÁN 3: QUỸ TÍCH ĐIỂM Để giải toán quỹ tích điểm M điểm A thay đổi đường (C ) cho sẵn Trước hết ta cần phải làm số việc sau Trong hình H cho , ta tìm điểm A thay đổi đường (C ) cho sẵn ( đường tròn , đường thẳng ) cho AM nằm đường thẳng qua điểm cố định I Gán cho A M với I hai tam giác dồng dạng , từ tìm tỉ số không đối k   Viết đẳng thức véc tơ : IM  k IA để kết luận M ảnh A qua phép vị tự tâm I với tỉ số vị tự k [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page 41 BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN Nếu A chạy (C ) M chạy (C’) ảnh (C ) qua phép vị tự tâm I tỉ số k Nêu cách dựng (C’) Ví dụ ( Bài 29-tr29-HH11NC) Cho đường tròn (O;R) điểm I cố định khác O Một điểm M thay đổi đường tròn Tia phân giác góc MOI cắt IM N Tìm quỹ tích điểm N Giải - Vẽ hình Từ hình vẽ tính chất đường phân giác chia cạnh đối diẹn làm hai doạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề hai cạnh Ta có kết sau : * Do O,I cố định OI=a không đổi Gọi N chân đường phân giác góc MOI ( N thuộc NI OI a NI a a      IN  IM NM OM R NM  NI a  R aR  a a  Hay :  IN  IM  IN  IM aR aR IM) , từ ta có : Vì I cố định V I ,k  : M  N Nhưng M chạy đường tròn (O;R) N chạy đường tròn (C’) ảnh (O;R) qua phép vị tự tâm I tỉ số vị tự k * Cách xác định (O’;R’) sau   - Nối OI , tìm O’ cho : IO '  kOI , từ suy O’ - Bán kính R’ xác định công thức : k= R’/R suy : R’=kR ( Hoặc : lấy O’ làm tâm quay đường tròn có bán kính O’N ) Ví dụ ( Bài ÔN chương I-tr35-HH11-NC) Cho đường tròn (O) có đường kính AB Gọi C điểm đối xứng với A qua B PQ đường kính thay đổi (O)khác với đường kính AB Đường thẳng CQ cắt PA ,PB M N a/ Chứng minh Q trung điểm CM , N trung điểm CQ b/ Tìm quỹ tích điểm M,N đường kính PQ thay đổi Giải a Vẽ hình Từ hình xẽ ta thấy : Nối AQ, BQ , C đối xứng với A qua B ta có B trung điểm AC : BA=BC (1) Mặt khác BQ vuông góc với AQ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) PA vuông góc với AQ ( góc nội tiếp chắn ½ đường tròn ) suy PA // BQ BQ đường trung bình tam giác ACM , nghĩa Q trung điểm CM - Tương tự BN đường trung bình tam giác ACQ N trung điểm CQ : NC=NQ (2) [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page 42 BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN b/ Từ (1) (2) ta có đẳng thức véc tơ :   1  CM  2CQ  VC ;2 : Q  M Cho nên M chạy đường tròn (O’) ảnh (O) qua phép vị tự tâm C , tỉ số vị tự     CN   CQ  V  : Q  N Vậy N chạy đường tròn (O’’) ảnh (O) qua phép vị tự C   2 tâm C tỉ số k=1/2 - Hướng dẫn học sinh cách xác định hai tâm O’ O’’ Ví dụ ( Bài 9-tr35-HH11NC) Cho đường tròn (O;R) điểm A cố định Một dây cung thay đổi (O;R) có độ dài m     không đổi Tìm quỹ tích điểm G cho GA  GB  GC  Giảỉ * Vẽ hình cho học sinh Từ hình vẽ lấy I trung điểm BC , nối OI ( OI vuông góc với BC ) A điẻm cố định ( nằm (O) hay không cần nằm (O) Do B,O cố định , góc OIB vuông BC thay đổi I chạy đường tròn tâm O bán kính R’= R2  m2 ( Xét tam giác vuông BOI ) * Từ giả thiết G trọng tâm tam giác ABC Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có :   AG   AG  AI  V  : I  G Do : G chạy đường tròn (O’) ảnh đường tròn AI 3  A;   3 (O;R’) qua phép vị tự tâm A ,tỉ số vị tự 2/3 Ví dụ ( Bài toán 6-tr39-HH11CB) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O)bán kính R , dỉnh B,C cố định A thay đổi (O) Chứng minh trọng tâm G tam giác ABC chạy đường tròn Giải - Vẽ hình , Gọi I trung điểm BC , I cố định B,C cố định Theo tính chất trọng tâm :   IG  IA  IG  IA  VI3 : A  G Nhưng A chạy (O) G chạy (O’) ảnh (O) 3 qua phép vị tự tâm I tỉ số 1/3    IO '  IO   - Xác định (o’;R’) hệ :    O '; R    R '  R  [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page 43 BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN Ví dụ Cho hai đường tròn (O;R) (O’;3R) tiếp xúc với A Nếu O biến thành O’ phép vị tự tâm A tỉ số vị tự ? Giải - Vẽ hình Từ giả thiết : AO’=R’, AO=R suy AO’=3AO   Hay : AO '  3OA  VA3 : O  O ' Do tỉ số vị tự k=3 Ví dụ Cho đường tròn O điểm P cố định (O) Từ P kẻ tiếp tuyến thay đổi PBC Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác ABC ? Giải Vẽ hình Gọi I trung điểm BC theo tính chất đường kính qua điểm dây cung : OI vuông góc với BC Như I nằm đường tròn đường kính OP Mặt khác theo tính chất trọng tâm , G nằm AI cách A khoảng 2/3 AI , hay :   AG  AI  VA3 : I  G Nhưng I chạy đường tròn đường kính OP G chạy đường tròn (O’) ảnh đường tròn đường kính OP qua phép vị tự tâm A tỉ số 2/3    AO '  AH - Cách xác định O’ hệ :  ( Với H trung điểm OP )  R '  OP  OP  3 Ví dụ Cho đường tròn (O;R) điểm I cố định với OI=2R M điểm di động O , phân giác góc IOM cắt IM M’ Tìm quỹ tích điểm M’ M chạy đường tròn O Giải - Vẽ hình Theo tính chất đường phân giác :   M 'I OI 2R IM ' 2 IM ' 2   2      IM '  IM  IM '  IM MM ' OM R IM ' M ' M  IM 3 Vậy : Qua phép vị tự tâm I tỉ số 2/3 biến điểm M thành điểm M’ , M chạy đường tròn (O;R) M’ chạy (O’;R’) ảnh (O;R) qua phép vị tự tâm I    IO '  IO - Để xác định (O’;R’) :  R '  R  [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page 44 BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN Ví dụ Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc với A , đường kính kẻ từ A cắt (O) ,(O’) theo thứ tự B,C Qua A vẽ đường thẳng d cắt (O);(O’) M,N Tìm quỹ tích giao điểm T BN CM , d thay đổi ? Giải Vẽ hình minh họa Căn hình vẽ , ta có phân tích : BM CN vuông góc với đường thẳng d , suy BM//CN (1) Hai tam giác OCN đồng dạng với tam giác OBM : TN CN CA 2R ' R ' TN  TB R ' R BN R ' R R          k  BT  BN TB BM CB 2R R BT R BT R R ' R  R R  BN  VBR  R ' : N  T Nhưng N chạy (O’;R’) T chạy đường tròn R  R' R ảnh (O’) qua phép vị tự tâm B tỉ số k = R R' Hay : BT  ( HD học sinh cách tìm giới hạn quỹ tích ) Ví dụ ( Bài 73-tr17- Ôn CI-BTHH11-NC) Cho điểm P nằm đường tròn (O) Một đường thẳng thay đổi qua P , cắt (O) hai điểm    A,B Tìm quỹ tích điểm M cho PM  PA  PB Giải Vẽ hình minh họa choi học sinh Căn hình vẽ ta có phân tích : - Gọi I trung điểm AB Theo tính chất trung điểm dây cung OI vuông góc với AB , có nghĩa I chạy đường tròn đường kính OP (1)     - Theo quy tắc véc tơ trung tuyến ta có : PM  PA  PB  2MI  M phải nằm d I,P nằm   d Ví : PM=2MI=2(PM-PI) suy PM=2PI hay : PM  PI  VP2 : I  M Vậy phép vị tự tâm P biến điểm I thành thành M Nhưng I lại chạy (O;OP) M phải chạy đường tròn ảnh (O) qua phép vị tự tâm P tỉ số k=2 Ví dụ 10 Cho đường tròn (O) điểm P O M điểm thay đổi O H hình chiếu vuông góc của O PM a/ Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác POM ? b/ Tìm quỹ tích điểm H trung điểm I PH ? [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page 45 BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN c/ Tìm quỹ tích trọng tâm K tam giác OPH ? Giải Vẽ hình minh họa cho học sinh Từ hình vẽ phân tích cho HS biết : -Vì H hình chiếu O PM OH vuông góc với PM , H nằm đường tròn O’ có đường kính OP - Gọi J trung điểm PO ( J tâm đường tròn O’) G phải nằm MJ theo tính chất   trọng tâm : JG  JM  VJ3 : M  G Nhưng M lại chạy đường tròn O G chạy đường tròn O’’ ảnh O qua phép vị tự tâm J tỉ số k=1/3   - Vì I trung điểm PH PI=1/2PH hay : PI  PH  VP2 : H  I Nhưng H lại chạy OP tâm J bán kính , I chạy đường tròn ảnh đường tròn tâm J qua phép vị tự tâm P tỉ số k= ½ - Trọng tâm K tam giác OPH phải nằm JH theo tính chất trọng tâm , ta có :   OP JK  JH  VJ3 : H  K Do K chạy đường tròn ảnh đường tròn tâm J bán kính qua phép vị tự tâm J tỉ số k=1/3 Ví dụ 11 Cho đường tròn O điểm A nằm O , M điểm di động đường tròn O a/ Tìm quỹ tích trung điểm I AM ? b/ Đường trung trực AM cắt đường tròn O P P’ Tìm quỹ tích chân đường vuông góc H kẻ từ O đến PP’ ? c/ Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác APP’ ? Giải - Vẽ hình minh họa cho học sịnh Từ hình vẽ cho học sinh số kết :   * Vì I trng điểm AM : AI  AM  VA2 : M  I Như qua phép vị tự tâm A tỉ số ½ biến M thành I , M chạy đường tròn O , I chạy đường tròn ảnh O qua phép vị tự tâm A tỉ số k=1/2 * Đường trung trực AM phải qua I vuông góc với AM [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page 46 BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN BÀI TOÁN CHỨNG MINH Ta hay gặp toán chứng minh đường thẳng qua điểm cố định , hay điểm nằm đường tròn cố định , hình vuông …tóm lại hình H cố định Khi ta cần chứng minh đường thẳng qua tâm vị tự hai hình H H’ chứng minh M nằm đường tròn ảnh hình H qua phép vị tự tâm I tỉ số k Ví dụ Cho hai đường tròn (O ) ( O2 ) , đường tròn (O) thay đổi tiếp xúc với  O1; R1  tiếp xúc với  O2 ; R2  Chứng minh đường thẳng nối hai tiếp điểm qua điểm cố định Giải Vẽ hình minh họa cho học sinh Từ hình vẽ , phân tích cho học sinh thấy : * Gọi M,N thứ tự hai tiếp điểm (O) với hai đường tròn  O1; R1  ;  O2 ; R2  Thì O1O  O2O  O   Kẻ O2 M '/ /O1M Thì ta có O1M  O2 M ' MM’ qua tâm vị tự hai đường tròn Do : O2 M ' O2 N R '   k O1M O1M R * Hai tam giác : ONM đồng dạng với O2 NM ' suy : ON OM ON ON      ON  OM O2 N O2 M ' OM O2 M ' Vậy MN qua tâm vị tự cố định hai đường tròn :  O1; R1  ;  O2 ; R2  Ví dụ Cho hai đường tròn O O’ tiếp xúc với A Một góc vuông xAy quay xung quanh A , tia Ax cắt O M , tia Ay cắt O M’ Chứng minh đường thẳng MM’ qua điểm cố định Giải   Nối MM’ cắt O’ N ta thấy : O ' N song song chiều với AM Tương tự A’ giaocủa OO’     với với O’ ta thấy : A ' M ' / / AM  OM / / O ' M ' Suy MM’ qua tâm vị tự hai đường tròn Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC với trọng tâm G Gọi A’,B’,C’ trung điểm cạnh BC,CA,AB a/ Phép vị tự biến A thành A’,B thành B’ C thành C’ ? b/ Chứng minh tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trực tâm tam giác A’B’C’ [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page 47 BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN   c/ Gọi H trực tâm tam giác ABC , chứng minh : GO   GH Suy G,O,H nằm đường thẳng ( Đường thẳng Ơ-le ) Giải a/ Theo tính   GA '   GA  V  G chất   : A  A '; GA '   GA  V  G trọng tâm   : A  A '; GB '   GB  V  G tam giác : :B  B'    GC '   GC  VG : C  C ' Như phép vị tự tâm G tỉ số k=-1/2 biến ba điểm A,B,C thành ba điểm A’,B,C’ b/ Vì O giao ba đường trung trực , OB’ ∟AC , AC//A’C’ OB’∟A’C’ Chứng tỏ OB’ đường cao tam giác A’B’C’ Tương tự OA’ OC’ O trực tâm tam giác A’B’C’ c/ Do tam giác A’B’C’ ảnh tam giác ABC qua phép vị tự tâm G tỉ số k=-1/2 H biến   thành O : GO   GH BÀI TOÁN TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM – MỘT ĐƯỜNG QUA PHÉP VỊ TỰ * Sử dụng đẳng thức véc tơ phép vị tự tính chất hai véc tơ , ta tìm kết 2 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (O) :  x  1   y  1  Tìm phương trình đường tròn (O’) ảnh (O) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2 Giải Tâm I (O) có tọa độ I(1;1) bán kính R=2 Nếu (O’) có tâm J bán kính R’ ảnh (O) qua phép vị tự tâm O ta có đẳng thức véc tơ :    x '  2.1  x '  OJ  2OI     J  2;  R’=2R=2.2=4  y '  2.1  y '  2 Vậy (O’) :  x     y    16 Ví dụ ( Bài 1.23-BTHH11-CB-tr33) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 2x+y-4=0 [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page 48 BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN a/ Viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép vị tự tâm O tỉ số k=3 b/ Viết phương trình đường thẳng d’’ ảnh d qua phép vị tự tâm I(-1;2) tỉ số k=-2 Giải a/Gọi M(x;y) điểm thuộc d M’(x’;y’) ảnh M qua phép vị tự tâm O tỉ số k=3 Nếu M chạy d M’ chạy đường thảng d’     x   x '  3x Theo tính chất phép vị tự : OM '  3OM     y '  3y  y   x' y' x' y' Thay (x;y) vào d:         2x ' y ' 12  Vậy d’: 2x+y-12=0 3 3  x '  x '  x 1       x '  2  x  1 2   2  b/ Tương tự ta có : IM '  2 IM    y '  y '     y '  2  y   y   2    2    x '   y '  Thay vào d :       2x ' y '  Do d’’: 2x+y+2=0  2   2  Ví dụ ( Bài 1.24-tr33-BTHH11) 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C ):  x  3   y  1  Hãy viết phương trình đường tròn (C’) ảnh đường tròn (C ) qua phép vị tự tâm I(1;2) tỉ số k=-2 Giải Gọi O(3;-1) tâm (C ) có bán kính R=3 Đường tròn (C’) có tâm J(x;y) bán kính R’ ảnh (C ) qua phép vị tự tâm I tỉ số k=-2 Theo tính chất phép vị tự ta có :    x   2   1  x  3 IJ  2 IO     J   3;8  R’=2R=2.3=6 y  y          2 Vậy (C’) :  x  3   y  8  36 [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page 49 BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017-2018 Page 50 ...   biến hình , biến điểm M thành điểm M’ cho MM '  v Ký hiệu : Tv [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017- 2018 Page 12 BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN 2 .Các tính chất phép tịnh tiến. .. MN//CD PN+QM nhỏ Giải - Giống toán khoảng cách hai cạnh hình chữ nhật không đổi ta thực theo cách toán sau : [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017- 2018 Page 15 BIÊN SOẠN SUSHI...  y2  y1  - Phép F phép dời hình [Tổng hợp dạng tập thường đề thi Toán 11 năm học 2017- 2018 Page 17 BIÊN SOẠN SUSHI NGUYỄN x '  x  a Đây công thức phép tịnh tiến y'  y  b - Khi :  