Bất đẳng thức hình học jack garfunkel

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG KHÁNH TRÌNH BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC JACK GARFUNKEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG KHÁNH TRÌNH BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC JACK GARFUNKEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRỊNH THANH HẢI Thái Nguyên - 2017 Mục lục Danh mục ký hiệu Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số bất đẳng thức 1.2 Một số bất đẳng thức liên quan đến độ dài yếu tố tam giác 11 1.2.1 Một số đẳng thức bất đẳng thức tam giác 12 1.2.2 Một số bất đẳng thức liên quan đến độ dài yếu tố tam giác 1.3 2.2 2.3 13 Một số kiến thức sử dụng để chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel 31 1.3.1 Khái niệm hàm lồi 31 1.3.2 Các ví dụ hàm lồi 31 1.3.3 Một số tính chất hàm lồi 32 1.3.4 Các định lý hàm lồi 32 Chương Bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel 2.1 34 Lịch sử vấn đề 34 2.1.1 Lịch sử đời bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel 34 2.1.2 Mô tả thí nghiệm Jack Garfunkel 35 Bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel cách chứng minh 41 2.2.1 Cách chứng minh C.S Gardner 41 2.2.2 Một hướng chứng minh bất đẳng thức Jack Garfunkel khác 44 Một số toán liên quan 46 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 Danh mục ký hiệu ∆ABC Tam giác ABC SABC Diện tích tam giác ∆ABC a, b, c Độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C ∆ABC , hb , hc Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A, B, C ∆ABC ma , mb , mc Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C ∆ABC la , lb , lc Độ dài đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, B, C ∆ABC Bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác a+b+c Nửa chu vi tam giác p = Ký hiệu tổng a1 + a2 + · · · + am bi Ký hiệu tích b1 b2 · · · bm R, r p m i=1 m i=1 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong chương trình toán Trung học phổ thông, nội dung bất đẳng thức nói chung, bất đẳng thức liên quan đến yếu tố hình học nói riêng luôn thu hút quan tâm giáo viên học sinh đa dạng, phong phú ứng dụng thực tiễn Đã có vài luận văn thạc sĩ, chẳng hạn như: Trần Quang Hùng (Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội), Đặng Văn Hiếu, Nguyễn Thị Huyền Trang (Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên), thực liên quan đến chủ đề bất đẳng thức, nhiên nhiều mảng liên quan đến bất đẳng thức, đặc biệt bất đẳng thức liên quan đến hình học chưa khai thác cách đầy đủ Từ đời, máy tính điện tử trở thành công cụ mạnh hỗ trợ cho việc ứng dụng nghiên cứu toán học Nhiều mô hình trừu tượng mô cách trực quan nhờ đồ họa máy tính ngược lại, từ mô hình máy tính dẫn đến dự đoán, giả thuyết để từ dẫn đến tính chất, toán thú vị Bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel tình Từ việc đo đạc yếu tố nhiều tam giác, nhà toán học Mỹ Jack Garfunkel đưa dự đoán bất đẳng thức liên quan đến độ dài đường cao, đường trung tuyến đường phân giác tam giác (1960) phải nhiều năm sau (1975) với chứng minh nhà toán học Mỹ C.S Gardner, người ta thấy rõ dự đoán Garfunkel xác Với mong muốn mô tả lại trình phát hiện, chứng minh bất đẳng thức hình học Garfunkel, tác giả chọn đề tài: “Bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel” đề tài cho luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu trình bày cách hệ thống lịch sử cách chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel đồng thời giới thiệu vài ứng dụng bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel để có tài liệu chuyên đề dành cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán Nhiệm vụ nghiên cứu (i) Tìm hiểu sơ lược bất đẳng thức hình học nói chung, bất đẳng thức liên quan đến độ dài cạnh, đường tam giác để có điểm tựa cho việc tìm hiểu lời chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel (ii) Mô lại lịch sử đưa dự đoán bất đẳng thức nhà toán học Jack Garfunkel việc sử dụng phần mềm hình học động máy tính (iii) Trình bày lại việc chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel đồng thời giới thiệu vài ứng dụng bất đẳng thức Nội dung luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn trình bày ngắn gọn hai chương • Chương 1: Trình bày sơ lược vài bất đẳng thức thường sử dụng giải toán bất đẳng thức hình học giới thiệu vài bất đẳng thức liên quan đến độ dài cạnh, đường tam giác • Chương 2: Sau trình bày lịch sử bất đẳng thức Jack Garfunkel, nội dung chương tập trung vào việc trình bày việc chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel giới thiệu vài bất đẳng thức hình học liên quan Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành với hướng dẫn Phó Giáo sư, Tiến sĩ Trịnh Thanh Hải Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy, bảo, hướng dẫn giúp đỡ tận tình, chu đáo thầy suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tác giả muốn gửi lời cảm ơn tốt đẹp tới tập thể lớp Cao học Toán khóa 9B(2015-2017) động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Lê Ích Mộc, huyện Thủy Nguyên, thành phố Hải Phòng tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập công tác Cuối cùng, tác giả muốn dành lời cảm ơn đặc biệt đến thành viên gia đình động viên chia sẻ với tác giả suốt trình học tập thực luận văn Hải Phòng, ngày 19 tháng năm 2017 Học viên Hoàng Khánh Trình Chương Một số kiến thức chuẩn bị Với mục tiêu tìm hiểu số bất đẳng thức liên quan đến cạnh độ dài đường tam giác nên mục này, luận văn đưa số bất đẳng thức dùng chứng minh sau 1.1 Một số bất đẳng thức Định lí 1.1.1 (Bất đẳng thức AM - GM) Cho a1 , a2 , , an số không âm Khi √ a1 + a2 + + an ≥ n a1 a2 an n Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = = an Hệ 1.1.1 Với a, b, c số không âm ta có a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ⇔ a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c) ≥ ab + bc + ca Dấu đẳng thức xảy a = b = c Hệ 1.1.2 Với a1 , a2 , a3 , , an số dương ta có 1 1 n2 + + +···+ ≥ a1 a2 a3 an a1 + a2 + a3 + + an hay (a1 + a2 + a3 + + an ) 1 1 + + +···+ a1 a2 a3 an ≥ n2 Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = a3 = = an Ví dụ 1.1.1 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh 10 a) 1 1 1 + + ≥ + + a+b−c b+c−a c+a−b a b c b) (a + b − c) (b + c − a) (c + a − b) ≤ abc Chứng minh a) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM với x, y > ta có 1 + ≥ x y x+y Khi Tương tự 1 + ≥ = a+b−c b+c−a (a + b − c) + (b + c − a) b 1 + ≥ , a+b−c c+a−b a 1 + ≥ b+c−a c+a−b c Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta có điều cần chứng minh Dấu đẳng thức xảy     a+b−c= b+c−a a + b − c = c + a − b ⇔ a = b = c    b+c−a= b+c−a b) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM với a, b > ta có (a + b) ≥ 4ab Khi [(a + b − c) + (b + c − a)] ≥ (a + b − c) (b + c − a) ⇔ 4b2 ≥ (a + b − c) (b + c − a) ⇔ b2 ≥ (a + b − c) (b + c − a) Một cách tương tự, ta chứng minh a2 ≥ (a + b − c) (c + a − b) c2 ≥ (b + c − a) (c + a − b) 42 2.2 Bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel cách chứng minh Bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel phát biểu sau: Giả sử a, b, c cạnh ∆ABC, , mb , lc tương ứng đường cao hạ xuống cạnh a, trung tuyến ứng với cạnh b, phân giác góc C tam giác ABC Khi ta có mối quan hệ sau √ + mb + lc ≤ (a + b + c) 2.2.1 Cách chứng minh C.S Gardner Đặt a = u + x, b = u − x, c = 2v, u = 0, |x| < v a+b v2 c Suy v < u hay − < Do c < a + b nên < 2 u Từ công thức đường phân giác tam giác lc = abp (p − c) suy a+b ab (a + b) − c2 a + b − c a + b + c = lc2 = ab 2 (a + b) (a + b) = ab − c2 (a + b) hay lc2 = u2 − x2 1− v2 u2 = u2 − v + v2 − x ≤ u2 − v u2 Đẳng thức xảy x = (tức a = b) Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến tam giác ta có m2a = Suy 2ma = b2 + c2 − a2 (b2 + c2 ) − a2 = (3u − x) + 8v − 8u2 (3u − x) + 8v − 8u2 a2 + c2 − b2 Lại có m2b = suy Đặt f (x) = 2mb = (a2 + c2 ) − b2 = (3u + x) + 8v − 8u2 43 Như ta có f (x) = 2ma , f (−x) = 2mb Mặt khác (3u − x) + 8v − 8u2 f (x) = − (3u − x) = 2 (3u − x) + 8v − 8u2 (3u − x) + 8v < − 8u2 Khi f (x) hàm lồi Áp dụng bất đẳng thức hàm lồi ta √ (f (x) + f (−x)) ≤ f (0) = u2 + 8v √ Bổ đề 2.2.1 Giả sử a + b ≤ 2c Khi ta có ma + mb + lc ≤ (a + b + c) đẳng thức xảy a = b = c ma + mb = Chứng minh Để chứng minh Bổ đề ta phải chứng minh √ √ √ u2 + 8v + u2 − v ≤ (u + v) (2.3) đẳng thức xảy u = 2v Thật bình phương hai vế (2.3) ta (u2 + 8v ) (u2 − v ) ≤ u2 + 6uv − 4v hay u2 +8 v2 u2 −1 v2 ≤ u2 u + − v2 v u = y ta (y + 8) (y − 1) ≤ y + 6y − v Vì u > v u ≤ 2v hay < y ≤ nên bất đẳng thức sau tương đương với Đặt y2 + y − ≤ y + 6y − (2 − y) (2 + y) ≥ Điều hiển nhiên < y ≤ Vậy bổ đề chứng minh Có thể kiểm tra với giả thiết a + b ≤ 2c ta có ≤ la ≤ ma nên từ Bổ đề ta suy được√rằng + mb + lc ≤ (a + b + c) a + b ≤ 2c b + c ≤ 2a (2.4) Để chứng minh bắt đẳng thức hình học Jack Garfunkel đắn 44 trường hợp tổng quát ta phải chứng minh (2.4) trường hợp a + b ≥ 2c b + c ≥ 2a Cộng vế với vế hai bất đẳng thức lại ta nhận a + c ≤ 2b, từ suy 4a + 2c ≤ (b + c) + (a + b) = a + 3b + 2c 2a + 4c ≤ (b + c) + (a + b) = 2a + 3b + c ta thu a ≤ b c ≤ b Sử dụng kết ta suy b ≤ 2a + 2c − b ≤ 2a + (a + b) + b = 3a tương tự b ≤ 3c Bây ta chứng minh − hb ≤ ma − mb (2.5) (Vì rằng, từ (2.5) Bổ đề ta nhận √ + mb + lc ≤ ma + hb + lc ≤ ma + mb + lc ≤ (a + b + c) điều mà ta cần phải chứng minh Do toán giải quyết) Không giảm tổng quát ta giả thiết b = Khi ta có 1 ≤ a ≤ 1; ≤ c ≤ 1; 2a ≤ + c; 2c ≤ + a; a + c > 3 Nếu ta gọi S diện tích tam giác 16S = (1 + a + c) (1 + a − c) (c + − a) (c − + a) = 2c2 + a2 − c4 − − a2 biểu thức vế phải hàm tăng ngặt biến c xác định 1+a đoạn ≤ c ≤ Bởi ta thay c vào hàm ta có 16S ≤ Do (3 − a) (3a − 1) (1 + a) 16 45 √ 2S (1 − a) − a2 − hb = ≤ (3 − a) (3a − 1) a a √ √ Vì 2ma = + 2c2 − a2 , mb = 2a2 + 2c2 − ta có √ √ s−t s− t≥ ∀t, s > (s + t) (2.6) Cho nên ta − a2 ma − mb ≥ Thay c (a2 + 4c2 + 1) 1+a vào vế phải bất đẳng thức ta nhận (do 2c ≤ 1+a) − a2 ma − mb ≥ √ (2.7) + a + a2 Nhận xét với a ta có (1 − a) 3a2 − a + ≥ bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức sau √ 3a ≥ (1 + a + a2 ) (3 − a) (3a − 1) (2.8) Và rõ ràng từ bất đẳng thức (2.6), (2.7) (2.8) ta suy bất đẳng thức (2.5) Vậy ta hoàn thành việc chứng minh (2.5) a + b ≥ 2c b + c ≥ 2a (và với (2.4)) Do điều khẳng định Jack Garfunkel đắn Đẳng thức xảy a = b = c 2.2.2 Một hướng chứng minh bất đẳng thức Jack Garfunkel khác Hướng chứng minh tác giả dựa lời giải thầy Nguyễn Ngọc HùngTHCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh  b+c−a   x=       a=y+z c+a−b Đặt ⇒ b=x+z y=       c=x+y   z = a+b−c Từ công thức diện tích tam giác S = a.ha suy 46 = 2S = a p (p − a) (p − b) (p − c) p−b = p (p − a) a a p−b p−c p−b p−c ≤ + = nên ≤ a a a a Theo công thức đường trung tuyến, ta có Vì mb = 2a2 =√ + 2c2 y+ − b2 p (p − a) = x+z y+ = x+z √ − xz y+ p−c a (x + y + z) x − xz x+z √ + xz Suy mb ≤ √ 3 y+ x+z √ − xz + y+ x+z √ + xz 2 x + 2y + z − √ = √ xz Từ công thức tính độ dài đường phân giác theo bất đẳng thức AM GM ta suy lc = Mặt khác cos2 2ab C √ C cos ≤ ab cos a+b 2 C = (1 + cos C) theo định lý côsin ta có 2 1 a2 + b2 − c2 = (1 + cos C) = 1+ cos 2 2ab 2C hay cos C = 2 (a + b) − c2 p(p − c) = = 4ab ab p(p − c) Suy ab lc ≤ √ ab p(p − c) = ab p (p − c) = (x + y + z) z Từ √ √ √ x + 2y + z − xz √ √ + mb + lc ≤ x+ z + x+y+z √ √ √ √ x + 2y + z − xz √ ( x + z) √ = + √ ( x + y + z) 3 √ √ √ ≤ √ x + 2y + z − xz + x + y + z + x+ z 47 √ √ x− z =√ 3(x + y + z) − √ √ (a + b + c) ≤ (x + y + z) = 2 Dấu đẳng thức xảy a = b = c 2.3 Một số toán liên quan Bài toán 2.3.1 Chứng minh tam giác ABC ta có √ la + mb + lc ≤ ≤ , (2.9) a+b+c √ la + mb + hc ≤ ≤ , (2.10) a+b+c + mb + mc ≤ ≤ 1, a+b+c √ la + lb + lc ≤ ≤ , a+b+c (2.11) (2.12) la + mb + mc ≤ ≤ 1, a+b+c (2.13) ma + mb + mc ≤ ≤ a+b+c (2.14) Chứng minh Vế phải (2.14) suy từ kết quen biết: Trong tam giác độ dài đường trung tuyến nhỏ nửa tổng hai cạnh kề b+c Vế phải (2.11) (2.13) suy từ vế phải (2.14) từ nhận xét ma ≤ ≤ la ≤ ma Đẳng thức xảy vế phải (2.11), (2.13), (2.14) A = 0, B = C = giác cân suy biến) π (tam Vế trái (2.14) suy từ vế phải từ kết sau đây: Ba đường trung tuyến tam giác ABC lập thành tam giác mà đường 48 3a 3b 3c , , 4 Đẳng thức xảy vế phải (2.14) A = π, B = C = (tam giác cân suy trung tuyến tam giác có độ dài biến) Không tính tổng quát, từ sau ta giả sử a = không đổi b+c = 2v, v ≥ Chú ý v = xảy a = b + c, tức điểm A nằm cạnh BC Để chứng minh bất đẳng thức lại, ta cần Bổ đề sau Bổ đề 2.3.1 Với a = , b + c = 2v, ta có √ α) v − ≤ ta ≤ v − v (2.15) β) max {3, v} ≤ mb + mc ≤ γ) mb ≥ √ v + |3 − v| (2.16) (2.17) Đẳng thức xảy vế trái (2.15), (2.16) A nằm đường thẳng BC Đẳng thức xảy vế phải (2.15), (2.16) tam giác ABC cân A Đẳng thức xảy (2.17) c = v + 1, b = v − Chứng minh 2 α) Vì |b − c| ≤ a = 4bc = (b + c) − (b − c) nên v − ≤ bc ≤ v Ta có la2 = bc − a2 (b + c) v2 − = bc v2 Thay v − ≤ bc ≤ v vào đẳng thức trên, suy (2.15) β) Để chứng minh (2.16) (2.17) ta xét mặt phẳng tọa độ Oxy cố định B (−1; 0) , C (1; 0), điểm A (x, y) di động cho AB + AC = 2v (hình vẽ) Dễ dàng chứng minh điều tương đương với x2 y2 + = v2 v2 − Dùng công thức đường trung tuyến tam giác, ta tính 2mb = (3 + x) + y ; 2mc = (3 − x) + y (2.18) 49 Để chứng minh khẳng định (2.16), ta cần chứng minh mb + mc đạt giá trị nhỏ y = 0, x = ±v đạt giá trị lớn √ y = ± v − 1, x = 2 Đặt T = 2(mb + mc ) = x2 + y + + (x2 + y + 9) − (6x) Để ý từ (2.18) ta có x2 x + y = v − + v 2 (2.19) Do x2 T = T (x) = + v + + v x2 + v2 + v − 36x2 Ta có T (x) = 2x + v2 x2 x + v + − 2x.36 v v 2 x + v2 + v T (x) − 18v = 2x − 36x2 x + v2 + v − 36x2 50 Với ý v ≥ |x| ≤ v dễ dàng chứng minh T (x) − 18v < Do ta có bảng biến thiên −v x + T (x) v 0 − T (0) T (x) T (−v) T (v) √ Từ (2.19) suy T (x) lớn x = 0, y = ± v − T (x) nhỏ x = ±v, y = , bất đẳng thức (2.16) chứng minh γ) Bất đẳng thức (2.17) chứng minh tương tự nhờ việc biểu thức (3 + x) + y = x2 + v + + 6x = U (x) v2 Bổ đề 2.3.2 Trong tam giác ABC ta có 2la ≥ b + c − a (2.20) Chứng minh Thật vậy, theo (2.15) la ≥ v − 1 ≥ v − = (a + c − a) v Trở lại bất đẳng thức cần chứng minh Vế trái (2.12) suy từ bất đẳng thức (2.20) Vế trái (2.9) hệ vế trái (2.12) Đẳng thức xảy hai trường π hợp vừa nêu A = C = , B = (tam giác cân suy biến) Trong ba trường hợp sau, để chứng minh bất đẳng thức cuối (bất đẳng thức vế phải) ta xét tam thức bậc hai biến v Xét vế trái (2.10) Theo (2.15) (2.17), ta có 1 v − + |3 − v| la + mb + hc v ≥ ≥ a+b+c + 2v Đẳng thức xảy v = A trùng với B Vế trái (2.10) chứng minh Xét vế trái (2.11), Theo (2.16) ta có 51 + mb + mc max {3, v} > ≥ a+b+c + 2v Đẳng thức xảy v = 3, b = 2, c = Vế trái (2.11) chứng minh Xét vế trái (2.13) Theo (2.15) (2.16) ta có la + mb + mc ≥ a+b+c + 2v v− + max {3, v} v > Đẳng thức xảy v = 3, b = 2, c = Vế trái (2.13) chứng minh Tiếp theo để chứng minh vế phải bất đẳng thức (2.9), (2.10), (2.12), ta cần đến Bổ đề sau √ la + mb + mc Bổ đề 2.3.3 Giả sử 2a ≥ b + c, ta có ≤ a+b+c Chứng minh Theo (2.15) (2.16) √ √ √ la + mb + mc v2 − + v2 + ≤ ≤ a+b+c + 2v Bất đẳng thức vế phải tương đương với (v − 2) (v + 2) ≤ Bất đẳng thức v ≤ theo điều kiện Bổ đề Đẳng thức xảy v = 2, a = b = c = Nếu 2a ≥ b + c theo Bổ đề 2.4.3 có √ la + mb + mc ≤ a+b+c Nếu 2b ≥ a + c hoán vị a với b Bổ đề 2.3.3 có √ ma + lb + mc ≤ a+b+c Tương tự 2c ≤ a + cvà 2c ≤ a + b 2a ≥ b + c, trở trường hợp Từ suy vế phải (2.9) Vế phải (2.10) (2.12) hệ bất đẳng thức vừa nêu Như tất bất đẳng thức nêu chứng minh Bài toán 2.3.2 Cho tam giác ABC Chứng minh √ ma + lb + lc ≤ (a + b + c) 52 Chứng minh b+c−a c+a−b a+b−c Đặt x = ;y = ;z = 2 Dễ thấy x, y, z dương x + y = c, x + z = b, y + z = a, a + b + c = (x + y + z) Ta có 4m2a = 2b2 + 2c2 − a2 2 = 2(x + z) + 2(x + y) − (y + z) = 4x2 + 4x (y + z) + y − 2yz + z 2 = (2x + y + z) − 4yz √ √ = (2x + y + z − yz) (2x + y + z + yz) Suy ma = √ ≤√ 3 x+ x+ y+z √ − yz y+z √ − yz x+ y+z √ + yz + x+ y+z √ + yz 2 hay 2x + y + z − √ ma ≤ Ta biết √ ac lb = a+c Tương tự có lc ≤ p(p − b) ≤ √ yz p(p − b) = (x + y + z) y (x + y + z) z Khi đó, ta có √ √ 2x + y + z − yz √ √ √ ma + lb + lc ≤ + x+y+z y+ z √ √ √ √ y+ z 2x + y + z − yz √ √ = + √ ( x + y + z) 3 √ √ √ ≤ √ 2x + y + z − yz + x + y + z + y+ z √ √ y− z =√ 3(x + y + z) − √ √ ≤ (x + y + z) = (a + b + c) 53 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy tam giác ABC Nhận xét 2.3.1 Vì la ≤ ma nên từ bất đẳng thức √ ma + lb + lc ≤ (a + b + c) ta có bất đẳng thức sau √ la + lb + lc ≤ (a + b + c) (đã chứng minh Ví dụ 1.2.12) Nhận xét 2.3.2 Hiển nhiên hc ≤ lc từ bất đẳng thức √ ma + lb + lc ≤ (a + b + c) ta suy bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel Một cách tự nhiên, người ta hi vọng bất đẳng thức sau √ (a + b + c) ma + mb + mc ≤ Rất tiếc bất đẳng thức không Tuy nhiên ta "bù đắp" thêm lượng để bất đẳng thức sau Bài toán 2.3.3 Cho tam giác ABC Chứng minh √ ma + mb + mc ≤ (a + b + c) + (|b − c| + |c − a| + |a − b|) Chứng minh Không tính tổng quát giử sử a ≥ b ≥ c Gọi AM, AD đường trung tuyến phân giác xuất phát từ đỉnh A Gọi CN, CE đường trung tuyến phân giác xuất phát từ đỉnh C ac a (b − c) b−c a Dễ thấy M D = M B − BD = − = ≤ b+c (b + c) c (a − b) a−b Tương tự N E = ≤ (a + b) Từ b−c ma = AM ≤ AD + M D ≤ la + , a−b mc = CN ≤ CE + N E ≤ lc + 54 √ Theo bất đẳng thức ma + lb + lc ≤ (a + b + c), ta có √ (a + b + c) la + mb + lc ≤ Từ suy √ ma + mb + mc ≤ (a + b + c) + ((b − c) + (a − c) + (a − b)) Với tam giác ABC ta có √ ma + mb + mc ≤ (a + b + c) + (|b − c| + |c − a| + |a − b|) Đẳng thức xảy tam giác ABC 55 Kết luận Với mong muốn tìm hiểu cách hệ thống lịch sử cách chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel đồng thời giới thiệu vài ứng dụng bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel để có tài liệu chuyên đề dành cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán, luận văn hoàn thành nhiệm vụ sau: (i) Tìm hiểu sơ lược bất đẳng thức hình học nói chung, bất đẳng thức liên quan đến độ dài cạnh, đường tam giác để có điểm tựa cho việc tìm hiểu lời chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel (ii) Mô lại lịch sử đưa dự đoán bất đẳng thức nhà toán học Jack Garfunkel việc sử dụng phần mềm hình học động máy tính (iii) Trình bày lại việc chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel đồng thời giới thiệu vài ứng dụng bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel Đặc biệt lúc trình bày tác giả cố gắng để đưa thêm bước trung gian mà lời giải tài liệu tham khảo trình bày vắn tắt để học sinh nắm bắt hiểu vấn đề Mặc dù vậy, luận văn đề cập phần toán bất đẳng thức liên quan đến bất đẳng thức Jack Garfunkel ứng dụng Luận văn cho thấy hướng nghiên cứu mở thú vị, công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, có lòng say mê tìn tòi toán bất đẳng thức liên quan đến tam giác Tác giả mong tiếp tục nhận bảo, đóng góp Thầy, Cô giáo để tác giả hoàn thiện luận văn tiếp tục tìm hiểu sau trở trường giảng dạy Tác giả xin chân thành cảm ơn! 56 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Vũ Đình Hòa (2006), Bất đẳng thức hình học, NXB Giáo Dục [2] Hội Toán học Việt Nam (1997), Tuyển tập 30 năm Tạp chí Toán học tuổi trẻ, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Ngọc Hùng (2009), Bất đẳng thức cạnh, đường tam giác, http://violet.vn/HungHXH2009 Tiếng Anh [4] Jose A.G.O., Radmila B.M., Rogelio V.D (2009), Inequalities A Mathematical Olympiad Approach, Basel-Boston-Berlin, Germany [5] Mihai B., Bogdan E., Mircea B (1997), Romanian Mathematical Competitions, The Romanian Society of Mathematical Sciences, Romania [6] Mitrinovic D.S, Pecaric J.E., Volenec V (1989), Recent advances in Geometric Ineqalities, Kluwer Academic Publishers, The Netherlands [7] Titu Andreescu, Oleg Mushkanov, Luchezar Stoyanov (2006), Geometric Problems on Maxima and Minima, Basel-Boston-Berlin, Germany ... Chương Bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel 2.1 34 Lịch sử vấn đề 34 2.1.1 Lịch sử đời bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel 34 2.1.2 Mô tả thí nghiệm Jack Garfunkel. .. cách chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel đồng thời giới thiệu vài ứng dụng bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel để có tài liệu chuyên đề dành cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán... hiểu sơ lược bất đẳng thức hình học nói chung, bất đẳng thức liên quan đến độ dài cạnh, đường tam giác để có điểm tựa cho việc tìm hiểu lời chứng minh bất đẳng thức hình học Jack Garfunkel (ii)