Một số dạng bất đẳng thức hình học : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 40

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Quang Hùng TÓM TẮT LUẬN VĂN CAO HỌC MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC Hà Nội - 2011 MỤC LỤC Các kiến thức đại số hình học 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Nguyên lý cực trị hình học Nguyên lý Dirchlet hình học Nguyên lý khởi đầu cực trị Phép chứng minh phản chứng Các bất đẳng thức đại số 1.5.1 Bất đẳng thức AM-GM 1.5.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 1.5.3 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức 1.5.4 Bất đẳng thức Holder 1.5.5 Bất đẳng thức trung bình lũy thừa 1.5.6 Bất đẳng thức Jensen 1.5.7 Bất đẳng thức Schur 1.5.8 Bất đẳng thức Nesbitt Một số bất đẳng thức hình học 1.6.1 Các hệ thức tam giác 1.6.2 Các hệ thức liên quan đến vector 1.6.3 Một số kết quan trọng hình học Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức tam giác 2.1 2.2 2.3 Phương pháp sử dụng đại số Phương pháp vector 2.2.1 Ứng dụng làm mạnh bất đẳng thức tam giác 2.2.2 Kết hợp bất đẳng thức Ptolemy bất đẳng thức tam giác 2.2.3 Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy-Swartz dạng vector 2.2.4 Phương pháp bình phương vơ hướng 2.2.5 Một số toán kỳ thi Olympiad Phương pháp R, r, p 2.3.1 Bổ đề Jack Garfunkel 2.3.2 Một vài toán ứng dụng 2.3.3 Sử dụng tham số xây dựng bất đẳng thức từ bất đẳng thức 5 6 6 7 9 9 10 11 14 14 27 27 29 30 32 32 33 33 34 43 Luận văn thạc sĩ khoa học chuyên ngành Toán sơ cấp – Trần Quang Hùng 2.4 Một số toán chọn lọc Tài liệu tham khảo 45 75 LỜI NÓI ĐẦU Lịch sử bất đẳng thức bắt nguồn từ lâu xuyên suốt, thăng hoa qua thời gian tận ngày Như Richard Bellman nói: “ Có ba lý giải thích ln quan tâm tới bất đẳng thức Đó thực hành, lý thuyết, quan trọng thẩm mỹ – vẻ đẹp tồn mắt người quan tâm tới bất đẳng thức; Mọi người thường dễ dàng cảm nhận vẻ đẹp nhạc, hay lời thơ Thế vẻ đẹp Tốn học lại thật kì lạ thú vị, địi hỏi tâm hồn phong phú, tri thức lãng mạn.” Trong vẻ đẹp xuyên qua lịch sử bất đẳng thức khơng thể khơng nhắc tới phận làm nên vẻ đẹp đó, bất đẳng thức hình học Bất đẳng thức mà tính đại số, hình học mang tính tư trực quan, kết hợp đại số hình học nảy sinh bất đẳng thức hình Bất đẳng thức hình học phần quan trọng hình học, xuất nhiều lĩnh vực khác hình học Với hỗ trợ bất đẳng thức hình học, giải nhiều vấn đề hóc búa hình học từ sơ cấp đến cao cấp Bên cạnh đó, bất đẳng thức hình học có ứng dụng rộng rãi sống, từ việc so sánh độ dài đến so sánh diện tích, thể tích thấy có mặt bất đẳng thức hình học Việc chứng minh bất đẳng thức hình học cơng việc khơng phải sớm chiều, cần tổng hợp, phân tích, đánh giá, kết hợp kiến thức đại số hình học khả liên tưởng nhạy bén, sáng tạo để sáng tạo toán hay cách giải tốn bất đẳng thức có yếu tố hình học Ngày nay, kỳ thi Olympic nước giới, bất đẳng thức hình học chiếm vị trí quan trọng Bằng nhìn tổng quan, luận văn nêu số ví dụ điển hình kỳ Olympic nước thời gian qua Luận văn chia thành chương: Chương Các kiến thức hình học Chương nêu lên kiến thức hình học phẳng, chủ yếu vấn đề cực trị, kết quan trọng tam giác, tứ giác, hình trịn Các nguyên lý nguyên lý bất đẳng thức đại số thường sử dụng Chương Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức tam giác Chương thứ hai tập hợp số phương pháp giải toán bất đẳng thức tam giác kĩ thuật xây dựng bất đẳng thức hình học trình bày dạng phương pháp giải xây dựng Luận văn thạc sĩ khoa học chuyên ngành Toán sơ cấp – Trần Quang Hùng Để hoàn thành luận văn này, trước xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới người thầy đáng kính PGS.TS Nguyễn Vũ Lương người thầy dìu dắt tơi từ ngày khởi nghiệp dạy tơi hồn thành luận văn Thầy bảo tận tình giúp đỡ tơi thật nhiều việc, khơng khóa luận mà cịn q trình làm việc tơi Qua xin gửi lời cảm ơn chân thành thầy cô đọc, kiểm tra, đánh giá cho ý kiến quý báu để luận văn đầy đủ hơn, phong phú Cũng xin gửi lời cảm ơn tới tất thầy cô giáo trường THPT chuyên KHTN đặc biệt các thầy giáo mơn tốn trường, người thầy, người bạn giúp đỡ nhiều q trình làm luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phịng sau Đại học, khoa Tốn-Cơ-Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc khơng thể tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong góp ý xây dựng thầy bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà nội, ngày 10 tháng 11 năm 2011 Học viên Trần Quang Hùng CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC 1.1 Nguyên lý cực trị hình học (1) Trong tất cách nối hai điểm A B đoạn thẳng có độ dài ngắn (2) Trong tất đoạn thẳng nối từ điểm cho trước tới điểm đường thẳng (hoặc mặt phẳng) cho trước đoạn vng góc có độ dài ngắn (3) Trong tất đường xiên kẻ từ điểm cho trước tới đường thẳng (hoặc mặt phẳng) cho trước, đường xiên có hình chiếu ngắn ngắn (4) Trong tam giác có chu vi, tam giác có diện tích lớn Trong tam giác có diện tích, tam giác có chu vi nhỏ (5) Độ dài đoạn thẳng nằm đa giác lồi không lớn khoảng cách lớn nối hai đỉnh (6) Nếu đa giác lồi chứa đa giác lồi khác, chu vi đa giác ngồi lớn chu vi đa giác (7) Nếu M điểm nằm đường trịn tâm O dây cung qua M, dây cung vng góc với OM có độ dài ngắn 1.2 Nguyên lý Dirchlet hình học Một cơng cụ hữu ích dùng giải nhiều vấn đề Toán học, có hình học, ngun lý Dirichlet Định lý 1.1 (Nguyên lý Dirichlet) Nếu nhốt n + thỏ vào n chuồng có thỏ bị nhốt vào chuồng Ngoài dạng phát biểu trên, nguyên lý Dirichlet cịn phát biểu dạng hình học sau: Định lý 1.2 (Nguyên lý Dirichlet với độ dài) Trên đường thẳng cho đoạn AB có độ dài a số đoạn Ai Bi (i = 1, n) có tổng độ dài b Khi đó, Luận văn thạc sĩ khoa học chuyên ngành Toán sơ cấp – Trần Quang Hùng • Nếu b < ka (k ∈ N∗ ) bên đoạn AB tồn điểm M thuộc không k − đoạn Ai Bi • Nếu b > ka (k ∈ N∗ ) đoạn AB chứa tất đoạn Ai Bi có k + đoạn Ai Bi có điểm chung Định lý 1.3 (Nguyên lý Dirichlet diện tích) Trong mặt phẳng cho hình (H) có diện tích S hình (Hi ) (i = 1, n) có tổng diện tích T Khi đó, • Nếu T < kS (k ∈ N∗ ) tồn điểm M nằm hình (H) cho M điểm chung khơng q k − hình hình (Hi ) (i = 1, n) • Nếu T > kS (k ∈ N∗ ) hình (H) chứa tất hình (Hi ) (i = 1, n) tồn điểm M (H) cho M điểm chung (k + 1) hình số hình Hi 1.3 Nguyên lý khởi đầu cực trị Nguyên lý khởi đầu cực trị phát triển mạnh mẽ Graph hữu hạn Nó phát biểu dạng tập hợp sau: Định lý 1.4 (Nguyên lý khởi đầu cực trị) Trong tập hợp hữu hạn (khác rỗng) số thực ln chọn số bé số lớn 1.4 Phép chứng minh phản chứng Phép chứng minh phản chứng có sở dựa vào định lý sau: Định lý 1.5 Mệnh đề A → B tương đương với mệnh đề B → A Với kết thu từ định lý này, ta thấy việc A → B gặp khó khăn, ta giả sử khơng có B Sau với phép lập luận biện chứng, ta tìm cách đưa đến kết A kết khơng phù hợp với tiên đề, định lý, giá trị có Một phép lập luận ta gọi phép phản chứng 1.5 Các bất đẳng thức đại số Nhiều bất đẳng thức đại số có ứng dụng sâu rộng, phải kể đến bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Mean – Geometric Mean), bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bất đẳng thức Schwarz, bất đẳng thức Jensen 1.5.1 Bất đẳng thức AM-GM Định lý 1.6 (Bất đẳng thức AM-GM) Với n số thực khơng âm a1 , a2 , , an , ta có bất đẳng thức √ a1 + a2 + · · · + an n a1 a2 · · · an n đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an Luận văn thạc sĩ khoa học chuyên ngành Toán sơ cấp – Trần Quang Hùng Chú ý Ngoài ra, bất đẳng thức AM-GM cịn viết dạng sau ( )n a1 + a2 + · · · + an a1 a2 · · · an n 1.5.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Định lý 1.7 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Xét hai số thực tùy ý a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn Khi đó, ta có (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 (a21 + a22 + · · · + a2n )(b21 + b22 + · · · + b2n ) a1 a2 an = = ··· = (Lưu ý ta sử dụng b1 b2 bn quy ước mẫu tử 0.) Đẳng thức xảy 1.5.3 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức Định lý 1.8 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức) Xét hai số thực tùy ý a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn bi > 0, ∀i = 1, 2, , n Khi đó, ta có a21 a22 a2 (a1 + a2 + · · · + an )2 + + ··· + n b1 b2 bn b1 + b2 + · · · + bn a1 a2 an Đẳng thức xảy = = ··· = b1 b2 bn Từ định lý này, ta thu hai hệ quan trọng sau: • Với n số thực tùy ý a1 , a2 , , an , ta có a21 + a22 + · · · + a2n (a1 + a2 + · · · + an )2 n Kết thu cho b1 = b1 = · · · = bn = • Với n số thực dương tùy ý x1 , x2 , , xn , ta có 1 + + ··· + x1 x2 xn n2 x1 + x + · · · + xn Kết thu cách cho a1 = a2 = · · · = an = b1 = x1 , b2 = x2 , , bn = xn 1.5.4 Bất đẳng thức Holder Định lý 1.9 (Bất đẳng thức Holder) Cho xij với i = 1, 2, , m j = 1, 2, , n số thực khơng âm, ta có bất đẳng thức sau ( n m ∏ ∑ i=1 j=1 xij )1 m n ∏ m ∑ xijm j=1 i=1 Luận văn thạc sĩ khoa học chuyên ngành Toán sơ cấp – Trần Quang Hùng Chú ý Khi ứng dụng vào giải toán, ta thường sử dụng bất đẳng thức Holder hai dạng đặc biệt sau: • Với sáu số thực khơng âm a, b, c, x, y, z, ta có (a3 + x3 )(b3 + y )(c3 + z ) Đẳng thức xảy (abc + xyz)3 a b c = = x y z • Với chín số thực khơng âm a, b, c, x, y, z, m, n, p, ta có (a3 + b3 + c3 )(x3 + y + z )(m3 + n3 + p3 ) Đẳng thức xảy 1.5.5 (axm + byn + czp)3 a b c a b c = = = = x y z m n p Bất đẳng thức trung bình lũy thừa Định lý 1.10 (Bất đẳng thức trung bình lũy thừa) Cho a1 , a2 , , an số thực khơng âm r s > Khi đó, ta có ( )1 ar1 + ar2 + · · · + arn r n ( )1 as1 + as2 + · · · + asn s n Đẳng thức xảy r = s a1 = a2 = · · · = an Đặc biệt: • Khi r = n s = 1, ta có √ n n n n a1 + a2 + · · · + an n hay , ta có n a1 + a2 + · · · + an n hay ( an1 + an2 + · · · + ann n • Khi r = s = √ n a1 + √ n a2 + · · · + n a1 + a2 + · · · + an , n (√ n √ n a1 + a2 + · · · + an n a1 + an √ n √ n a2 + · · · + n )n √ n an )n , a1 + a2 + · · · + an n Đây kết quen thuộc hay sử dụng chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt bất đẳng thức liên quan đến yếu tố hình học (điều thể rõ chương sau) Luận văn thạc sĩ khoa học chuyên ngành Toán sơ cấp – Trần Quang Hùng 1.5.6 Bất đẳng thức Jensen Định lý 1.11 (Bất đẳng thức Jensen) Cho f : D → R hàm lồi n ∈ N∗ Xét hai dãy số {xi }ni=1 ⊂ D {λi }ni=1 ⊂ [0, 1] cho λ1 + λ2 + · · · + λn = Khi ta có f (λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λn xn ) 1.5.7 λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 ) + · · · + λn f (xn ) Bất đẳng thức Schur Định lý 1.12 (Bất đẳng thức Schur) Với số thực không âm a, b, c cho trước k số thực dương bất kì, ta có ak (a − b)(a − c) + bk (b − c)(b − a) + ck (c − a)(c − b) Đẳng thức xảy a = b = c a = b, c = hoán vị Trường hợp hay sử dụng bất đẳng thức Schur k = 1, lúc ta viết lại bất đẳng thức dạng a3 + b3 + c3 + 3abc − ab(a + b) − bc(b + c) − ca(c + a) 1.5.8 Bất đẳng thức Nesbitt Định lý 1.13 (Bất đẳng thức Nesbitt) Cho số dương a, b, c Khi ta có a b c + + b+c c+a a+b Đẳng thức xảy a = b = c 1.6 1.6.1 Một số bất đẳng thức hình học Các hệ thức tam giác Trong luận văn này, ta sử dụng số kí hiệu thống tam giác sau: Xét tam giác ABC cho trước Khi đó, ta kí hiệu: • BC = a, CA = b, AB = c; • ma , mb , mc , la , lb , lc , , hb , hc độ dài trung tuyến, phân giác đường cao tương ứng với cạnh a, b, c; • p nửa chu vi tam giác; • SABC diện tích tam giác ABC trường hợp khơng nhầm lẫn, ta kí hiệu S; • r, R bán kính đường trịn nội tiếp, đường trịn ngoại tiếp tam giác; • , rb , rc bán kính đường trịn bàng tiếp góc A, B, C