BTN 2 2 TIEP TUYEN VOI DUONG CONG

BTN_2_2 Chun đề Các tốn liên qn đến đồ thị hàm số CHỦ ĐỀ 2.2 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A KIẾ KIẾN THỨ THỨC CƠ CƠ BẢ BẢN Cho hàm số y = f ( x ) , có đồ thị (C) Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) có dạng: y − y0 = f ′ ( x0 )( x − x0 ) Trong đó: Điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) gọi tiếp điểm ( với y0 = f ( x0 ) ) k = f ' ( x0 ) hệ số góc tiếp tuyến Lưu ý: Tiếp tuyến (C) hồn tồn xác định biết hệ số góc tiếp tuyến hồnh độ tiếp điểm Đường thẳng qua M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k , có phương trình y − y0 = k ( x − x0 ) Cho hai đường thẳng ∆1 : y = k1 x + m1 ∆ : y = k2 x + m2 Lúc đó: ∆1 ∆ ⇔ k1 = k m1 ≠ m2 ; ∆1 ⊥ ∆ ⇔ k1.k2 = −1 Điều kiện tiếp xúc: Cho hai hàm số y = f ( x ) , (C ) y = g ( x ) , (C ') ( C ) ( C ′ ) tiếp xúc khi hệ phương trình  f ( x ) = g ( x ) có nghiệm  / /  f ( x ) = g ( x ) Đặc biệt: Đường thẳng y = kx + m tiếp tuyến với (C ) : y = f ( x ) khi hệ  f ( x ) = kx + m có nghiệm  /  f ( x) = k B KỸ NĂNG CƠ BẢ BẢN Bài tốn 1: Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp Cho hàm số y = f ( x ) , gọi đồ thị hàm số ( C ) Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) M ( xo ; yo ) Phương pháp o Bước Tính y′ = f ′ ( x ) suy hệ số góc phương trình tiếp tuyến k = y′ ( x0 ) o Bước Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng y − y0 = f / ( x0 )( x − x0 ) Chú ý: o Nếu đề u cầu viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0 ta tìm y0 cách vào hàm số ban đầu, tức y0 = f ( x0 ) Nếu đề cho y0 ta thay vào hàm số để giải x0 Xem chun đề khác toanhocbactrungnam.vn 1|THBTN BTN_2_2 Chun đề Các tốn liên qn đến đồ thị hàm số o Nếu đề u cầu viết phương trình tiếp tuyến giao điểm đồ thị ( C ) : y = f ( x ) đường thẳng d : y = ax + b Khi hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm d ( C ) Sử dụng máy tính: Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng d : y = ax + b o Bước 1: Tìm hệ số góc tiếp tuyến k = y′ ( x0 ) Nhập SHIFT ∫ □ □ d ( f ( x ) ) x = x0 dx cách nhấn □ sau nhấn = ta a o Bước 2: Sau nhân với − X tiếp tục nhấn phím + f ( x) CALC X = xo nhấn phím = ta b Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = x + 3x Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm M (1; ) A y = −9 x + B y = x + C y = −9 x − D y = x − Hướng dẫn giải Ta có y ' = x + x ⇒ k = y′ (1) = Phương trình tiếp tuyến M (1; ) d : y = y ′ ( x0 )( x − x0 ) + y0 = ( x − 1) + = x − Chọn đáp án D Sử dụng máy tính: o Nhập d X + 3X ) ( x =1 dx o Sau nhân với nhấn dấu = ta ( − X ) nhấn dấu + X + X CALC X = = ta −5 Vậy phương trình tiếp tuyến M y = x − Ví dụ Cho hàm số y = −2 x + x − Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M thuộc ( C ) có hồnh độ A y = −18 x + 49 B y = −18 x − 49 C y = 18 x + 49 D y = 18 x − 49 Hướng dẫn giải Ta có y ′ = −6 x + 12 x Với x0 = ⇒ y0 = −5 ⇒ M ( 3; −5 ) hệ số góc k = y′ ( 3) = −18 Vậy phương trình tiếp tuyến M y = −18 ( x − ) − = −18 x + 49 Chọn đáp án A Sử dụng máy tính: o Nhập d −2 X + X − ) ( x=3 dx o Sau nhân với ( − X ) nhấn dấu nhấn dấu = ta −18 + −2 X + X − CALC X = nhấn dấu = ta 49 Vậy phương trình tiếp tuyến M y = −18 x + 49 Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = x − x Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M có hồnh độ x0 > 0, biết y ′′ ( x0 ) = −1 Xem chun đề khác toanhocbactrungnam.vn 2|THBTN BTN_2_2 Chun đề Các tốn liên qn đến đồ thị hàm số A y = −3 x − C y = −3 x + Hướng dẫn giải B y = −3 x + 1 D y = −3 x + Ta có y′ = x − x , y′′ = 3x − Mà y ′′ ( x0 ) = −1 ⇒ 3x0 − = −1 ⇔ x0 = ⇔ x0 = (vì x0 > ) Vậy y0 = − , suy k = y′ (1) = −3 Vậy phương trình tiếp tuyến M d : y = −3 ( x − 1) − ⇒ y = −3 x + ⋅ Chọn đáp án C 4 Sử dụng máy tính: o Nhập d 1 2  X − 2X  dx  x ( o Sau nhân với − X nhấn dấu = ta −3 =1 ) nhấn dấu + X − 2X CALC X = = ta Vậy phương trình tiếp tuyến d : y = −3 x + ⋅ Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) có hệ số góc k cho trước Phương pháp o Bước Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tính y′ = f ′ ( x ) o Bước Hệ số góc tiếp tuyến k = f ' ( x0 ) Giải phương trình tìm x0 , thay vào hàm số y0 o Bước Với mỗ i tiếp điểm ta tìm tiếp tuyến tương ứng d : y − y0 = f ′ ( x0 )( x − x0 ) Chú ý: Đề thường cho hệ số góc tiếp tuyến dạng sau: • Tiếp tuyến d // ∆ : y = ax + b ⇒ hệ số góc tiếp tuyến k = a • Tiếp tuyến d ⊥ ∆ : y = ax + b, ( a ≠ ) ⇔ hệ số góc tiếp tuyến k = − ⋅ a • Tiếp tuyến tạo với trục hồnh góc α hệ số góc tiếp tuyến d k = ± tan α Sử dụng máy tính: Nhập k ( − X ) + f ( x ) CALC X = x0 nhấn dấu = ta b Phương trình tiếp tuyến d : y = kx + b Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = x3 − x + Phương trình tiếp tuyến ( C ) biết hệ số góc tiếp tuyến là:  y = x − 14 A   y = x + 18  y = x + 15 B   y = x − 11  y = 9x −1  y = 9x + C  D   y = 9x +  y = 9x + Hướng dẫn giải Ta có y′ = 3x − Vậy k = y′ ( x0 ) = ⇔ 3x0 − = ⇔ x0 = ⇔ x0 = ∨ x0 = −2 + Với x0 = ⇒ y0 = ta có tiếp điểm M ( 2; ) Xem chun đề khác toanhocbactrungnam.vn 3|THBTN BTN_2_2 Chun đề Các tốn liên qn đến đồ thị hàm số Phương trình tiếp tuyến M y = ( x − ) + ⇒ y = x − 14 + Với x0 = −2 ⇒ y0 = ta có tiếp điểm N ( −2; ) Phương trình tiếp tuyến N y = ( x + ) + ⇒ y = x + 18 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y = x − 14 y = x + 18 Chọn đáp án A Sử dụng máy tính: + Với ta nhập nhấn dấu 9(− X ) + X − 3X + CALC X =2 x0 = −2 ta nhập ( − X ) + X − X + CALC X = −2 nhấn dấu x0 = = ta −14 ⇒ y = x − 14 + Với = ta 18 ⇒ y = x + 18 2x +1 ⋅ Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến song x+2 song với đường thẳng có phương trình ∆ : x − y + = Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = A y = x − B y = 3x + 14 C y = x + D y = x − Hướng dẫn giải Ta có y ' = nên k = ( x + )2 ( x0 + ) , ∆ : x − y + = ⇒ y = 3x + Do tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆  x0 + =  x0 = −1 = ⇔ ( x0 + ) = ⇔  ⇔  x0 + = −1  x0 = −3 X +1 X +2 d : y = 3x + (loại trùng với ∆ ) + Với x0 = −1 nhập ( − X ) + + Với x0 = −3 CALC CALC X = −1 nhấn dấu = ta 2, suy X = −3 nhấn dấu = ta 14 ⇒ d : y = 3x + 14 Vậy phương trình tiếp tuyến d : y = 3x + 14 Chọn đáp án B Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) biết tiếp tuyến qua điểm A ( x A ; y A ) Phương pháp Cách o Bước 1: Phương trình tiếp tuyến qua A ( x A ; y A ) hệ số góc k có dạng d : y = k ( x − x A ) + y A (∗) o Bước 2: d tiếp tuyến ( C ) hệ sau có nghiệm:  f ( x ) = k ( x − xA ) + y A  ′ = f x k ( )  o Bước 3: Giải hệ tìm x suy k vào phương trình (∗) , ta tiếp tuyến cần tìm Cách o Bước Gọi M ( x0 ; f ( x0 ) ) tiếp điểm tính hệ số góc tiếp tuyến k = y ′ ( x0 ) = f ′ ( x0 ) theo x0 o Bước Phương trình tiếp tuyến có dạng: d : y = y′ ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 (∗∗) Do điểm A ( x A ; y A ) ∈ d nên y A = y ′ ( x0 ) ( x A − x0 ) + y0 giải phương trình ta tìm x0 Xem chun đề khác toanhocbactrungnam.vn 4|THBTN BTN_2_2 Chun đề Các tốn liên qn đến đồ thị hàm số o Bước Thế x0 vào (∗∗) ta tiếp tuyến cần tìm Chú ý: Đối với dạng viết phương trình tiếp tuyến qua điểm việc tính tốn tương đố i thờ i gian Ta sử dụng máy tính thay đáp án: Cho f ( x ) kết đáp án Vào MODE → → nhập hệ số phương trình Thơng thường máy tính cho số nghiệm thực nhỏ số bậc phương trình ta chọn đáp án Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hàm số ( C ) : y = −4 x3 + x + Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến đ i qua điểm A ( −1; )  y = −9 x − A  y =  y = 4x + B   y = x +1 y = x −7 C   y = 3x −  y = −x − D   y = 2x − Hướng dẫn giải Ta có y ' = −12 x + + Tiếp tuyến ( C ) qua A ( −1; ) với hệ số góc k có phương trình d : y = k ( x + 1) + + d tiếp tuyến ( C ) hệ sau có nghiệm: −  x + x + = k ( x + 1) +  −12 x + = k Thay k từ ( ) vào (1) ta (1) ( 2) −4 x3 + 3x + = ( −12 x + 3) ( x + 1) +  x = −1 1  ⇔ x3 + 12 x − = ⇔  x −  ( x + 1) = ⇔  x = 2   + Với x = −1 ⇒ k = −9 Phương trình tiếp tuyến y = −9 x − + Với x = ⇒ k = Phương trình tiếp tuyến y = Chọn đáp án A Dạng Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị hàm số ( C1 ) : y = f ( x ) ( C2 ) : y = g ( x ) Phương pháp o Bước Gọi d tiếp tuyến chung ( C1 ) , ( C2 ) x0 hồnh độ tiếp điểm d ( C1 ) phương trình d có dạng y = f ′ ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) ( ***) o Bước Dùng điều kiện tiếp xúc d ( C2 ) , tìm x0 o Bước Thế x0 vào ( ***) ta tiếp tuyến cần tìm Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hai hàm số: ( C1 ) : y = f ( x ) = x , ( x > ) ( C2 ) : y = g ( x ) = Phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị hàm số là: 1 A y = x + B y = x − C y = x + 2 2 − x2 , ( −2 D y = ) 2 −1 điểm thuộc ( x + 1) (C ) , biết tiếp tuyến (C ) điểm M cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB có trọng tâm G nằm đường thẳng d : x + y = Hỏi giá trị x0 + y0 bao nhiêu? A − B C D − Câu 48 Cho hàm số y = x − 2mx + m (1), m tham số thực Kí hiệu ( Cm ) đồ thị hàm số (1); d 3  tiếp tuyến ( Cm ) điểm có hồnh độ Tìm m để khoảng cách từ điểm B  ; 1 4  đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất? A m = −1 B m = C m = D m = −2 2x + có đồ thị (C ) Có tiếp tuyến đồ thị (C ) x +1 điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng d1 : 3x + y − = Câu 49 Cho hàm số y = A B C Xem chun đề khác toanhocbactrungnam.vn D 13 | T H B T N BTN_2_2 Chun đề Các tốn liên qn đến đồ thị hàm số 2x −1 có đồ thị (C ) Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C ) Tìm điểm x −1 M thuộc (C ) có hồnh độ lớn cho tiếp tuyến (C ) M vng góc với đường Câu 50 Cho hàm số y = thẳng MI ?  7 A M  4;   3  5 B M  3;   2 C M ( 2; 3) D M ( 5; 3) −x + có đồ thị (C ) , đường thẳng d : y = x + m Với mọ i m ta ln có d 2x − cắt (C ) điểm phân biệt A, B Gọi k1 , k hệ số góc tiếp tuyến với (C ) Câu 51 Cho hàm số y = A, B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn A m = −1 B m = −2 C m = D m = −5 x+2 (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) , biết tiếp tuyến 2x + cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O A y = − x − B y = − x C y = − x + D y = − x + Câu 52 Cho hàm số y = 2x −1 có đồ thị (C ) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) cho tiếp x −1 tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A B thoả mãn OA = 4OB Câu 53 Cho hàm số y =  y = − x + A   y = − x + 13  4  y = − x + C   y = − x + 13   y = − x + B   y = − x + 13   y = − x + D   y = − x + 13  4 x có đồ thị ( C ) Gọi ∆ tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) (với x0 > ) x −1 thuộc đồ thị ( C ) Để khoảng cách từ tâm đố i xứng I đồ thị ( C ) đến tiếp tuyến ∆ lớn Câu 54 Cho hàm số y = tung độ điểm M gần giá trị nhất? 7π 3π 5π A B C 2 D π 2x − có đồ thị ( C ) Biết khoảng cách từ I ( −1; ) đến tiếp tuyến ( C ) x +1 M lớn tung độ điểm M nằm góc phần tư thứ hai, gần giá trị nhất? A 3e B 2e C e D 4e Câu 55 Cho hàm số y = Câu 56 Cho hàm số y = 2x − có đồ thị ( C ) Biết tiếp tuyến M ( C ) cắt hai tiệm cận ( C ) x−2 A , B cho AB ngắn Khi đó, độ dài lớn vectơ OM gần giá trị ? A B C D Xem chun đề khác toanhocbactrungnam.vn 14 | T H B T N BTN_2_2 Chun đề Các tốn liên qn đến đồ thị hàm số x−2 có đồ thị ( C ) Phương trình tiếp tuyến ∆ đồ thị hàm số ( C ) tạo với x +1 hai đường tiệm cận tam giác có bán kính đường tròn nộ i tiếp lớn Khi đó, khoảng cách từ tâm đố i xứng đồ thị ( C ) đến ∆ bằng? Câu 57 Cho hàm số y = A B C D 2x +1 có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tiếp tuyến ∆ x −1 ( C ) cắt tiệm cận A B cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ Khoảng cách Câu 58 Cho hàm số y = lớn từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến ∆ gần giá trị nhất? A B C D 2x −1 có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận Tiếp tuyến x−2 ∆ ( C ) M cắt đường tiệm cận A B cho đường tròn ngoại tiếp tam giác Câu 59 Cho hàm số y = IAB có diện tích nhỏ Khi tiếp tuyến ∆ ( C ) tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích lớn thuộc khoảng nào? A ( 27; 28) B ( 28; 29 ) C ( 26; 27 ) Xem chun đề khác toanhocbactrungnam.vn D ( 29; 30 ) 15 | T H B T N BTN_2_2 Chun đề Các tốn liên qn đến đồ thị hàm số D ĐÁP ÁN VÀ VÀ HƯ HƯỚNG DẪ DẪN GIẢ GIẢI BÀI TẬ TẬP TRẮ TRẮC NGHIỆ NGHIỆM B D C A A A A B I – ĐÁP ÁN 10 11 12 C D B D 21 D 22 D 23 C 24 C 25 A 26 B 27 D 28 B 29 B 30 D 31 B 32 A 33 B 34 A 35 D 36 C 37 B 38 A 39 C 41 B 42 C 43 B 44 D 45 B 46 C 47 A 48 B 49 C 50 C 51 A 52 A 53 A 54 D 55 C 56 D 57 D 58 D 59 A 13 B 14 A 15 C 16 C 17 C 18 D 19 D 20 B 40 C II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Chọn B Tính y ' = x − x ⇒ y ' ( 3) = ⇒ phương trình tiếp tuyến y = x − 26 Câu Chọn D Tính y ' = x − x ⇒ y ' (1) = −4 ⇒ phương trình tiếp tuyến y = −4 x + Câu Chọn C Tính y ' = Câu Câu Câu ( x + 1) ⇒ y ' ( −2 ) = ⇒ phương trình tiếp tuyến y = x + Chọn A Tính y0 = y(2) = −4 y = −9 x + 14 Chọn A Tính y0 = y(−3) = −9 y ' = −4 x3 + 16 x ⇒ y ' ( −3) = 60 Vậy phương trình tiếp tuyến y = 60 x + 171 Chọn A Tính y0 = y(2) = y ' = Câu Câu y ' = −3 x + ⇒ y ' ( ) = −9 Vậy phương trình tiếp tuyến −1 ( x − 1) ⇒ y ' ( ) = −1 Vậy phương trình tiếp tuyến y = − x + Chọn A Giải phương trình x03 + x02 = ⇔ x0 = , y ' = x + x ⇒ y ' (1) = 12 Vậy phương trình tiếp tuyến y = 12 x − Chọn B Giải phương trình  x0 = Đồng thời x04 + x02 − = 21 ⇔   x0 = −2 y ' = x3 + x , suy  y ' ( ) = 40 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y = 40 x − 59 y = −40 x − 101   y ' ( −2 ) = −40 Câu Chọn C Giải phương trình x0 + −5 −1 = ⇔ x0 = y ' = ⇒ y ' (3) = Phương trình tiếp x0 − ( x − 1) tuyến y = − x + 5 Câu 10 Chọn D Xem chun đề khác toanhocbactrungnam.vn 16 | T H B T N BTN_2_2 Chun đề Các tốn liên qn đến đồ thị hàm số Giải phương trình y ' ( x0 ) = −3 ⇔ x02 − x0 + = ⇔ x0 = Đồng thời y (1) = −4 nên phương trình tiếp tuyến y = −3x − Câu 11 Chọn B Giải phương trình y ' ( x0 ) = −48 ⇔ − x03 + x0 + 48 = ⇔ x0 = Đồng thời y ( ) = −32 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm y = −48 x + 160 Câu 12 Chọn D Giải phương trình y ' ( x0 ) = ⇔ (1 − x0 )  x0 = ⇒ y ( ) = ⇒ pttt : y = x + =4⇔  x0 = ⇒ y ( ) = −5 ⇒ pttt : y = x − 13 Câu 13 Chọn B Giải phương trình  x0 = ⇒ y (1) = ⇒ pttt : y = x (trùng)  y ' ( x0 ) = ⇔ −3x02 + x0 − = ⇔  1 x0 = ⇒ y   = ⇒ pttt : y = x −  27   27 Câu 14 Chọn A Giải phương trình y ' ( x0 ) = −36 ⇔ x03 + x0 + 36 = ⇔ x0 = −2 Đồng thời y ( −2 ) = 18 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm y = −36 x − 54 Câu 15 Chọn C Giải phương trình −7 y ' ( x0 ) = − ⇔ ( x0 + )  x0 = ⇒ y ( ) = ⇒ pttt : y = − x + ( trùng )  −1 7 = ⇔  x = −9 ⇒ y ( −9 ) = −2 ⇒ pttt : y = − x − 23  7 Câu 16 Chọn C Giải phương trình ⇒ pttt : y = 21x − 33  x0 = ⇒ y ( ) = y ' ( x0 ) = 21 ⇔   x0 = −2 ⇒ y ( −2 ) = −11 ⇒ pttt : y = 21x + 31 Câu 17 Chọn C Giải phương trình y ' ( x0 ) = −8 ⇔ x0 = Đồng thời y (1) = nên phương trình tiếp tuyến cần tìm y = −8 x + Câu 18 Chọn D 1  x0 = ⇒ y ( ) = ⇒ pttt : y = x +  Giải phương trình y ' ( x0 ) = ⇔   x = −8 ⇒ y ( −8 ) = ⇒ pttt : y = x + 13  Câu 19 Chọn D ⇒ pttt : y =  x = ⇒ y '(0) =  Giải phương trình x − x = ⇔  x = ⇒ y '(2) = 16 ⇒ pttt : y = 16 x − 32  x = −2 ⇒ y '(−2) = −16 ⇒ pttt : y = −16 x − 32 Câu 20 Chọn B Ta giải phương trình Xem chun đề khác toanhocbactrungnam.vn 17 | T H B T N BTN_2_2 Chun đề Các tốn liên qn đến đồ thị hàm số ⇒ pttt : y =  x = ⇒ y '(1) = − x + 3x − = ⇔   x = −2 ⇒ y '( −2) = −9 ⇒ pttt : y = −9 x − 18 Câu 21 Chọn D x−5 = ⇔ x = Đồng thời y '(5) = − nên phương trình tiếp tuyế n −x +1 cần tìm y = − x + 4 Câu 22 Chọn D Giao điểm (C ) Oy A ( 0;1) ⇒ y '(0) = −6 nên phương trình tiếp tuyến y = −6 x + Ta giải phương trình Câu 23 Chọn C Giao điểm (C ) Oy M ( 0; −2 ) ⇒ y '(0) = nên phương trình tiếp tuyến y = −2 Câu 24 Chọn C 1  Giao điểm (C ) Oy A  0; −  ⇒ y '(0) = − nên phương trình tiếp tuyến 3  y =− x− Câu 25 Chọn A  x0 = ⇒ y (1) = ⇒ pttt : y = x −  Ta giải phương trình y ' ( x0 ) = ⇔ 3  ⇒ pttt : y = 3x −  x0 = ⇒ y ( 3) = Câu 26 Chọn B −11  x0 = ⇒ y (1) =  Vậy tiếp tuyến song song trục hồnh Ta có y ' = ⇔   x0 = ⇒ y ( 3) = −5, y ' ( 3) = Câu 27 Chọn D Theo giả thiết ta có y0 = ⇒ x0 = y '(3) = − Vậy phương trình tiếp tuyến x + 2y − = Câu 28 Chọn B Theo giả thiết ta có x0 = −1 ⇒ y0 = −4 y '(−1) = Vậy phương trình tiếp tuyến y = 9x + Câu 29 Chọn B Theo giả thiết ta có x0 = ⇒ y0 = y '(0) = −7 Vậy phương trình tiếp tuyến y = −7 x + Câu 30 Chọn D Theo giả thiết ta có x0 = ⇒ y0 = 51 y '(5) = 45 Vậy phương trình tiếp tuyến y = 45 x − 174 Câu 31 Chọn B Ta có y ' = x2 − x + = 3( x − 1)2 + ≥ ⇒ y ' = x = x0 = ⇒ y0 = y(1) = Khi phương trình tiếp tuyến y = 3( x − 1) + = 3x + Câu 32 Chọn A Ta có y ' = −3 x2 + 12 x + = −3( x + 2)2 + 15 ≤ 15 ⇒ max y ' = 15 x = x0 = −2 Lúc y0 = y(−2) = 25 Xem chun đề khác toanhocbactrungnam.vn 18 | T H B T N BTN_2_2 Chun đề Các tốn liên qn đến đồ thị hàm số Khi phương trình tiếp tuyến y = 15( x + 2) + 25 = 15 x + 55 Câu 33 Chọn B [Phương pháp tự luận]  y '( x1 ) = x12 + > Ta có y ' = x + > ⇒  ⇒ y ( x1 ) y , ( x2 ) >  y '( x2 ) = x2 + > hay y '( x1 ) y '( x2 ) ≠ −1 Suy tiếp tuyến A B khơng vng góc [Phương pháp trắc nghiệm] Ta có y ' = x + > 0, ∀x ∈ ℝ Suy hàm số đồng biến ℝ cắt trục hồnh điểm → A, D Với x0 = ⇒ y '(1) = 4, y0 = Vậy phương trình tiếp tuyến y = 4( x − 1) + = x − → C Câu 34 Chọn A Ta có y ' = x + x − ⇒ y '(1) = Khi phương trình tiếp tuyến M (1; 0) a = y = 6( x − 1) = x − , nên  ⇒ ab = 36 b = Câu 35 Chọn D 2 1 1 5   Ta có y ' = x − x + =  x − x +  + =  x −  + ≥ ⇒ y ' = x = x0 = 9 3 3 3   Câu 36 Chọn C Ta có y ' = − < 0, ∀x ≠ Tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) tạo với Ox góc 600 ( x − 1) y '< ⇒ y '( x0 ) = ± tan 60 = ±  → y '( x0 ) = − ⇒ − = − ⇔ ( x0 − 1)2 = ( x0 − 1)  x = ⇒ y0 = ⇔ Các tiếp tuyến tương ứng có phương trình  x0 = ⇒ y0 = Câu 37 Chọn B Ta có y ' = x − 6mx + 3(m + 1) Do K ∈ (Cm ) có hồnh  y = − 3x +   y = − 3x độ −1 , suy K ( −1; −6m − 3) Khi tiếp tuyến K có phương trình ∆ : y = y '(−1)( x + 1) − 6m − = (9m + 6) x + 3m + Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d 9m + = −3 m = −1 ⇒ x + y = ⇔ y = −3 x ⇔  ⇔ 3m + ≠ m ≠ −1 Vậy khơng tồn m , ta chọn ∅ Câu 38 Chọn A 1 x+ 3 Theo u cầu tốn, phải có y ' ( −1) = −3 ⇔ −4 − m = −3 ⇔ m = −1 Ta có y ' = x + mx đường thẳng x − y + = viết thành y = Câu 39 Chọn C Ta có y ' = Gọi x0 hồnh độ tiếp điểm d (C) 2x + Xem chun đề khác toanhocbactrungnam.vn 19 | T H B T N BTN_2_2 Chun đề Các tốn liên qn đến đồ thị hàm số Theo u cầu tốn, ta có y ' ( x0 ) = ⇔ 1 = ⇔ x0 + = ⇔ x0 = x0 + Câu 40 Chọn C Đường thẳng qua M (1; 3) có hệ số góc k có dạng d : y = k ( x − 1) + 3x − x = k ( x − 1) + (1) Thay d tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm:  3 − 12 x = k ( ) (2) vào (1) ta x = k = 3 3 x − x = ( − 12 x ) ( x − 1) + ⇔ x − 12 x = ⇔  ⇒ x =  k = −24  Vậy có tiếp tuyến Câu 41 Chọn B Phương pháp tự luận Ta có y ' = 3x + ⇒ y ' (1) = , suy tiếp tuyến N (1; ) ∆ : y = x Phương trình hồnh độ giao điểm ∆ (C) x = x + x + = x ⇔ x − 3x + = ⇔   x = −2 ⇒ y = −8 Phương pháp trắc nghiệm b x N + x M = − (Với y = ax + bx + cx + d hàm số ban đầu) a ⇔ + xM = ⇔ x M = −2 ⇒ M ( −2; −8 ) Câu 42 Chọn C Phương pháp tự luận Đường thẳng ∆ qua điểm M ( −1; −2 ) có hệ số góc k có dạng ∆ : y = k ( x + 1) − ∆ tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm:  x − x + x + = k ( x + 1) − (1)  ( 2) 3 x − x + = k Thay (2) vào (1) ta  x = −1 x − x + x + = ( x − x + 1) ( x + 1) − ⇔ ( x + 1) ( x − 1) = ⇔  ⇒ N (1; ) Phư x = 1⇒ y = ơng pháp trắc nghiệm b x N + x M = − (Với y = ax + bx + cx + d hàm số ban đầu) a ⇔ xN + (−1) = ⇔ x N = ⇒ N (1; ) Câu 43 Chọn B Ta có y ' = 3x + 6mx + m + Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến cần lập Khi  y ' ( −1) = − 5m x0 = −1 ⇒  ,  y0 = 2m − suy phương trình tiếp tuyến ∆ : y = ( − 5m )( x + 1) + 2m − Do A (1; 3) ∈ ∆ ⇒ = ( − 5m )(1 + 1) + 2m − ⇔ m = Xem chun đề khác toanhocbactrungnam.vn 20 | T H B T N BTN_2_2 Chun đề Các tốn liên qn đến đồ thị hàm số Câu 44 Chọn D Ta có y ' = 1+ m ( x + 1) y ' ( ) = ⇔ + m = ⇔ m = > 0, ∀x ≠ −1 Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm (C ) với tiếp tuyến cần lập Câu 45 Chọn B Ta có y ' = ( x + 1) Tam giác OAB cân O nên OA = OB, suy y '> y ' ( x0 ) = ±1  → y ' ( x0 ) = ⇔ ( x0 + 1) x = =1⇔   x0 = −2 • Với x0 = ⇒ y0 = (loại, M ( 0; ) ≡ O ) • Với x0 = −2 ⇒ y0 = , suy phương trình tiếp tuyến ∆ : y = x + Câu 46 Chọn C OB Do = 36 ⇒ y '( x0 ) = ±36 OA • Với y '( x0 ) = −36 ⇔ −4 x − x0 = −36 ⇔ x03 + x0 − 36 = ⇔ x0 = Vậy y0 = y (2) = −14 Suy phương trình tiếp tuyến y = −36 x + 58 • Với y '( x0 ) = 36 ⇔ −4 x3 − x0 = 36 ⇔ x03 + x0 + 36 = ⇔ x0 = −2 Vậy y0 = y (−2) = −14 Suy phương trình tiếp tuyến y = 36 x + 58 Câu 47 Chọn A  x −1  ∈ C với x0 ≠ −1 điểm cần tìm • Gọi M  x0 ;  ( x + 1)  ( )   • Gọi ∆ tiếp tuyến (C ) M ta có phương trình ∆ : y = f '( x0 )( x − x0 ) + x0 − x −1 = ( x − x0 ) + 2( x0 + 1) ( x0 + 1) 2( x0 + 1)  x02 − x0 −   x02 − x0 −  • Gọi A = ∆ ∩ Ox ⇒ A  − ;  B = ∆ ∩ Oy ⇒ B  0;     2( x0 + 1)  • Khi ∆ tạo với hai trục tọa độ ∆OAB có trọng tâm  x − x0 − x02 − x0 −  ; G −  6( x0 + 1)2   x02 − x0 − x02 − x0 − • Do G thuộc đường thẳng x + y = ⇒ −4 + =0 6( x0 + 1) ⇔4= ( x0 + 1) (vì A, B khơng trùng O nên x02 − x0 − ≠ ) 1    x0 + =  x0 = − ⇔ ⇔ x + = − x = −  2   3 • Vì x0 > −1 nên chọn x0 = − ⇒ M  − ; −  ⇒ x0 + y0 = −  2 Câu 48 Chọn B Xem chun đề khác toanhocbactrungnam.vn 21 | T H B T N BTN_2_2 Chun đề Các tốn liên qn đến đồ thị hàm số • A ∈ ( Cm ) nên A (1;1 − m ) Ngồi y ' = x − 4mx ⇒ y ' (1) = − 4m • Phương trình tiếp tuyến ( Cm ) A y − + m = y ′ (1) ( x − 1) , hay ( − 4m ) x − y − (1 − m ) = • Khi d ( B; ∆ ) = −1 ≤ , Dấu ‘=’ xảy ⇔ m = 16 (1 − m ) + • Do d ( B; ∆ ) lớn m = Câu 49 Chọn C • Giả sử M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) ⇒ y0 = • Ta có d ( M , d1 ) = ⇔ x0 + x0 + 3x0 + y0 − 32 + 42 3 x0 + y0 − 12 = =2⇔ 3 x0 + y0 + =  x0 = ⇒ M ( 0;3)  x0 +   • Với x0 + y0 − 12 = ⇔ 3x0 +   − 12 = ⇔   11  x = ⇒ M2  ;   x0 +   3   7  x0 = −5 ⇒ M  −5;    2x +   4 • Với x0 + y0 + = ⇔ x0 +  +8 = ⇔      x0 +   x0 = − ⇒ M  − ; −1  Suy có tiếp tuyến Câu 50 Chọn C Phương pháp tự luận 2a − • Giao điểm hai tiệm cận I (1; ) Gọi M ( a; b ) ∈ ( C ) ⇒ b = ( a > 1) a −1 2a − x − a) + • Phương trình tiếp tuyến (C ) M y = − ( (a − 1) a −1 ( x − 1) + • Phương trình đường thẳng MI y = ( a − 1)2 • Tiếp tuyến M vng góc với MI nên ta có − ( a − 1) ( a − 1) a = ⇒ b = = −1 ⇔  a = ⇒ b = Vì u cầu hồnh độ lớn nên điểm cần tìm M ( 2; 3) Phương pháp trắc nghiệm Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) , điểm M thoả u cầu tốn có hồnh độ tính sau:  x0 = ⇒ y0 = x0 − = ± ( −1) − ( −1) ⇔ x0 − = ±1 ⇔   x0 = ( L) Vậy M ( 2; 3) Câu 51 Chọn A • Phương trình hồnh độ giao điểm d ( C ) Xem chun đề khác toanhocbactrungnam.vn 22 | T H B T N BTN_2_2 Chun đề Các tốn liên qn đến đồ thị hàm số  −x + x ≠ = x+m ⇔  2x −  g ( x ) = x + 2mx − m − = (*)  −m − Giả sử A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) • Theo định lí Viet ta có x1 + x2 = − m; x1 x2 = −1 • Ta có y ′ = , nên tiếp tuyến (C ) A B có hệ số góc ( x − 1) k1 = − ( x1 − 1) k2 = − k1 + k2 = − ( x2 − 1) Vậy 1 4( x12 + x22 ) − 4( x1 + x2 ) + − = − (2 x1 − 1)2 (2 x2 − 1)2 [ x1 x2 − 2( x1 + x2 ) + 1] = − ( 4m + 8m + ) = −4 ( m + 1) − ≤ −2 • Dấu "=" xảy ⇔ m = −1 Vậy k1 + k2 đạt giá trị lớn −2 m = −1 Câu 52 Chọn A Phương pháp tự luận • Gọi M ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp điểm ⇒ y '( x0 ) = −1 ( x0 + 3) < • ∆OAB cân O nên tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng y = − x (vì tiếp tuyến có hệ −1 số góc âm) Nghĩa y ′( x0 ) = • Với • Với  x0 = −1 ⇒ y0 = = −1 ⇒   x0 = −2 ⇒ y0 = ( x0 + 3) x0 = −1; y0 = ⇒ ∆: y − = − ( x + 1) ⇔ y = − x (loại) x0 = −2; y0 = ⇒ ∆: y − = − ( x + ) ⇔ y = − x − (nhận) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = − x − Phương pháp trắc nghiệm • Tam giác OAB cân gốc tọa độ O nên ta có OA = OB ⇒ n = acx02 + 2bcx0 + bd ≠ ⇒ x02 + x0 + ≠ ⇔ x0 ≠ −1; x0 ≠ −3  x0 = −1 ( L ) cx0 + d = ± n ad − bc ⇒ x0 + = ± −1 ⇔   x0 = −2 ( N ) • Với x0 = −2; y0 = ⇒ ∆: y − = − ( x + ) ⇔ y = − x − (nhận) Câu 53 Chọn A • Giả sử tiếp tuyến d (C ) M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) cắt Ox A , Oy B cho OA = 4OB OB 1 = ⇒ Hệ số góc d − OA 4 < nên hệ số góc d − , suy • Do ∆OAB vng A nên tan A = • Vì y ' ( x0 ) = − ( x0 − 1) Xem chun đề khác toanhocbactrungnam.vn 23 | T H B T N BTN_2_2 Chun đề Các tốn liên qn đến đồ thị hàm số − ( x0 − 1)  x0 = −1 ⇒ y0 =  =− ⇔ x = ⇒ y =     y = − ( x + 1) + y = − x + • Khi có tiếp tuyến thoả mãn là:  ⇔  y = − ( x − 3) +  y = − x + 13 4   Câu 54 Chọn D Phương pháp tự luận −1 • Ta có y ′ = ; I (1;1) ( x − 1)  x  • Gọi M  x0 ;  ∈ ( C ) , x0 −   x0 − 1 + ( x0 − 1) = M có dạng x ( x − x0 ) + ⇔ x + ( x0 − 1)2 y − x02 = ( x0 − 1) x0 − ∆: y = − • d ( I , ∆) = ( x0 ≠ 1) Phương trình tiếp tuyến ( x0 − 1) + ( x0 − 1) ≤ 2 = 2 • Dấu " = " xảy ( x0 − 1) Tung độ gần với giá trị  x0 = ⇒ y0 = ( N ) = ( x0 − 1) ⇔ x0 − = ⇔   x0 = ( L ) π đáp án Phương pháp trắc nghiệm  x0 = ⇒ y0 = ( N ) Ta có IM ⊥ ∆ ⇒ cx0 + d = ± ad − bc ⇒ x0 − = ± −1 − ⇔  x = L ( )  Câu 55 Chọn C Phương pháp tự luận • Ta có y ′ = ( x + 1)  2x −1  • Gọi M  x0 ;  ∈ ( C ) , ( x0 ≠ −1) Phương trình tiếp tuyến M x0 +   2x −1 y= ( x − x0 ) + ⇔ 3x − ( x0 + 1) y + x02 − x0 − = x0 + ( x0 + 1) • d ( I , ∆) = x0 + + ( x0 + 1) = + ( x0 + 1)2 ( x0 + 1) ≤ = • Dấu " = " xảy Xem chun đề khác toanhocbactrungnam.vn 24 | T H B T N BTN_2_2 Chun đề Các tốn liên qn đến đồ thị hàm số  x0 = −1 + ⇒ y0 = − ( L ) 2  = ( + 1) ⇔ + = ⇔ x x ( ) 0 ( x0 + 1)2  x0 = −1 − ⇒ y0 = + ( N ) Tung độ gần với giá trị e đáp án Phương pháp trắc nghiệm Ta có IM ⊥ ∆ ⇒ cx0 + d = ± ad − bc ⇒ x0 + = ± +  x0 = −1 + ⇒ y = − ( L ) ⇔  x0 = −1 − ⇒ y = + ( N ) Câu 56 Chọn D Phương pháp tự luận  2x −  • Gọi M  x0 ;  ∈ ( C ) , ( x0 ≠ ) Phương trình tiếp tuyến M có dạng x0 −   1 ∆: y = − ( x − x0 ) + + ( x0 − 2) x0 −   • Giao điểm ∆ với tiệm cận đứng A  2; +  x0 −   • Giao điểm ∆ với tiệm cận ngang B ( x0 − 2; )   1 2 • Ta có AB = ( x0 − ) + ≥ Dấu " = " xảy ( x0 − ) =  ( x0 − 2)  ( x0 − )   x0 = ⇒ y0 = ⇒ OM ( 3;3) ⇒ OM = ( N ) ⇔  x = ⇒ y = ⇒ OM (1;1) ⇒ OM = ( L )  Phương pháp trắc nghiệm • AB ngắn suy khoảng cách từ I đến tiếp tuyến ∆ M  xM = ⇒ yM = ⇒ IM ⊥ ∆ ⇒ cxM + d = ± ad − bc ⇒ xM − = ± −4 + ⇔   xM = ⇒ yM = ngắn ⇒ OM = Câu 57 Chọn D Phương pháp tự luận  x −2 • Gọi M  x0 ;  ∈ ( C ) , ( x0 ≠ −1) , I ( −1;1) Phương trình tiếp tuyến M có dạng x0 +   ∆: y = ( x0 + 1) ( x − x0 ) + x0 − x0 +  x −5 • Giao điểm ∆ với tiệm cận đứng A  −1;  x +   • Giao điểm ∆ với tiệm cận ngang B ( x0 + 1;1) • Ta có IA = , IB = x0 + ⇒ IA.IB = 12 Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ IAB x0 + S IAB = pr , suy Xem chun đề khác toanhocbactrungnam.vn 25 | T H B T N BTN_2_2 Chun đề Các tốn liên qn đến đồ thị hàm số r= S IAB IA.IB IA.IB IA.IB = = ≤ =2 3− 2 p IA + IB + AB IA + IB + IA + IB IA.IB + 2.IA.IB  x = −1 + ⇒ y0 = − • Suy rmax = − ⇔ IA = IB ⇔ x0 − = ⇔  M  xM = −1 − ⇒ y0 = + • IM ( ) 3; − ⇒ IM = Phương pháp trắc nghiệm • IA = IB ⇒ ∆ IAB vng cân I ⇒ IM ⊥ ∆  x = −1 + ⇒ yM = − • cxM + d = ± ad − bc ⇒ xM + = ± + ⇔  M  xM = −1 − ⇒ yM = + ⇒ IM = Câu 58 Chọn D Phương pháp tự luận   • Gọi M  x0 ; +  ∈ ( C ) , ( x0 ≠ 1) Phương trình tiếp tuyến M có dạng x0 −   −3 ∆: y = ( x − x0 ) + + x0 − ( x0 − 1)   • Giao điểm ∆ với tiệm cận đứng A 1; +  x0 −   • Giao điểm ∆ với tiệm cận ngang B ( x0 − 1; ) • Ta có S∆IAB = 1 IA.IB = ⋅ ⋅ x0 − = 2.3 = 2 x0 − • ∆ IAB vng I có diện tích khơng đổi ⇒ chu vi ∆ IAB đạt giá trị nhỏ IA = IB ⇔  x0 = + = x0 − ⇒  x0 −  x0 = − • Với x0 = + phương trình tiếp tuyến ∆ : y = − x + + Suy d ( O, ∆ ) = 3+ • Với x0 = − phương trình tiếp tuyến ∆ : y = − x + − Suy d ( O, ∆ ) = Vậy khoảng cách lớn −3 + 3+ gần với giá trị đáp án Phương pháp trắc nghiệm x = 1+ ⇒ y = + • IA = IB ⇒ cxM + d = ± ad − bc ⇒ xM − = ± −2 − ⇔  M  xM = − ⇒ y = − ⇒ d ( O, ∆ ) = 3+ (N ) Xem chun đề khác toanhocbactrungnam.vn 26 | T H B T N BTN_2_2 Chun đề Các tốn liên qn đến đồ thị hàm số Câu 59 Chọn A Phương pháp tự luận  2x −1  • Gọi M  x0 ;  ∈ ( C ) , ( x0 ≠ ) Phương trình tiếp tuyến M có dạng x0 −   2x −1 ∆: y = − ( x − x0 ) + x0 − ( x0 − 2)  2x +  • Giao điểm ∆ với tiệm cận đứng A  2;  x0 −   • Giao điểm ∆ với tiệm cận ngang B ( x0 − 2; )  x A + xB = + x0 − = x0  • Xét  ⇒ M trung điểm AB x0 + 2 x0 − + = + = = y y 2 y A B  x0 − x0 −  • ∆ IAB vng I nên M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB   x0 −     ⇒ S = π R = π IM = π ( x0 − 2) +  −   = π  ( x0 − 2)2 + ≥ 6π 2 ( x0 − 2)    x0 −    2 • Dấu " = " xảy ( x0 − 2) = • Với  x0 = + ⇒ y0 = 3+2 ⇔  ( x0 − 2)  x0 = − + ⇒ y0 = − + + ⇒ ∆ : y = − x + + cắt trục tọa độ x0 = E 0; + ( ) ( ) F + 4; , suy SOEF = OE.OF = 14 + ≈ 27,8564 ( ) • Với x0 = − + ⇒ ∆ : y = − x − + cắt trục tọa độ E 0; − + F − + 4; , suy SOEF = OE.OF = 14 − ≈ 0,1435 Phương pháp trắc nghiệm ( ) • IM lớn ⇔ IM ⊥ ∆ ⇒ cx0 + d = ± ad − bc ⇒ x0 − = ± −4 +  x = + ⇒ y0 = 3+2 ⇔ Giải tương tự  x0 = − + ⇒ y0 = − + Xem chun đề khác toanhocbactrungnam.vn 27 | T H B T N ... = − ( x1 − 1) k2 = − k1 + k2 = − ( x2 − 1) Vậy 1 4( x 12 + x 22 ) − 4( x1 + x2 ) + − = − (2 x1 − 1 )2 (2 x2 − 1 )2 [ x1 x2 − 2( x1 + x2 ) + 1] = − ( 4m + 8m + ) = −4 ( m + 1) − ≤ 2 • Dấu "=" xảy... – ĐÁP ÁN 10 11 12 C D B D 21 D 22 D 23 C 24 C 25 A 26 B 27 D 28 B 29 B 30 D 31 B 32 A 33 B 34 A 35 D 36 C 37 B 38 A 39 C 41 B 42 C 43 B 44 D 45 B 46 C 47 A 48 B 49 C 50 C 51 A 52 A 53 A 54 D 55... (1) ( 2) Thay ( ) vào (1) ta phương trình hồnh độ tiếp điểm d ( C2 )  2 < x < 2  x 8− x − x2 = − − ⇔ x ≠ x − x2   x ( − x ) = − x − ( − x ) 2  2 < x < 2  ⇔ x ≠ ⇔ x = 2  x2 − x −