Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 12 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔTỈ – P3 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] Ví dụ 1: [ĐVH] Giải bất phương trình x + x + + x + 11 < x + ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ − Bất phương trình cho tương đương với x − x − + x + − ( x + ) + x + 11 − ( x + 3) < − x2 + x + − x2 + x + ⇔ ( x − x − 2) + + x + 11 + x + 5x + + x + 1 1 + < + < 2, ∀x ≥ − 5x + + x + x + 11 + x + − 6 13 3− + 5 (1) Do (1) ⇔ x − x − < ⇔ ( x + 1)( x − ) < ⇔ −1 < x < Kết luận nghiệm −1 < x < Ví dụ 2: [ĐVH] Giải bất phương trình x + x + + x3 + x + x ≥ ( x + 1) x + ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ −2 Nhận xét x = −2 thỏa mãn bất phương trình cho Xét trường hợp x > −2 bất phương trình cho tương đương x + x + − + x3 + x + x + − ( x + 1) x + ≥ ( ⇔ x + x + − + ( x + 1) x + − x + ⇔ x2 + x − x2 + x + + (x + + 1)( x + x − ) x + + 3x + ) ≥0 x2 + ⇔ ( x − 1)( x + ) + ≥ (1) x + x + + x + + 3x + x2 + + > 0, ∀x > −2 nên (1) ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ Kết luận x ≥ Ta có ( x + ) x + x + + x + + 3x + Ví dụ 3: [ĐVH] Giải bất phương trình ( 3x + 1) > x + 5x + ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ − Bất phương trình cho tương đương với Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( 3x + 1) ( ) x + − x > x + x + − x ( x + 1) ( x + − x ) > −4 x + x + ⇔ ( x + 1) ( x + − x ) > ( x + − x )( ⇔ ( x + − x )( x + − x − 1) < (1) ⇔ ( x + 1) Ta có x + + x + > 0, ∀x ≥ − nên (1) ⇔ ( Facebook: LyHung95 ) 3x + − x x ( x − 1) 3x + + x + >0⇔ ( 3x + + x ) ) 3x + − x x ( x − 1) > ( ) Xét hai trường hợp xảy x < x >1 x < • Với x ( x − 1) > ⇔ ( ) ⇔ x + > x ⇔ x ≥ ⇔ ⇔ x 3 x + + ( x + ) x + Lời giải Điều kiện x ≥ −2 Bất phương trình cho tương đương với ( ) ( ) ( x ∈ ℝ) x + − x + + ( x + ) x + − x + + x3 + 17 x + 49 x + 49 ( ) ( ) ⇔ ( x + 5) x + − x + + x + − 3x + + ( x + ) ( x2 + 5x + ) > 2x + ⇔ ( x2 + 5x + ) + + 2x + 7 > x + + x + x + + 3x + (1) 2x + 5 Để ý x + x + = x + + > 0, ∀x ∈ ℝ + + x + > 0, ∀x ≥ −2 nên 2 x + + x + x + + 3x + (1) nghiệm Kết luận x ≥ −2 Ví dụ 5: [ĐVH] Giải bất phương trình ( x − x + ) − 1 − x + x + ≥ x − x + 11 ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≤ 2 ( Nhận xét ) ( x − x + ) − = x + ( x − 1) + − > − > nên bất phương trình cho trở thành − x + x +1 ≥ x − x + 11 ( x − x + 6) −1 = ( x2 − x + 6) + ⇔ − x + x ≥ ( x2 − x + 6) Áp dụng bất đẳng thức a + b ≤ a + b ≤ ( a + b ) ta có − x + x ≤ ( − x + x2 ) [1] [2] x ≥ ⇔ x = Do [1] có nghiệm [2] xảy đẳng thức ⇔ − x = x ⇔ x + x − = Vậy bất phương trình cho có nghiệm x = Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Ví dụ 6: [ĐVH] Giải bất phương trình Facebook: LyHung95 ( x ∈ ℝ) x2 − x + + x2 + x + ≥ x Lời giải 2 1 1 x − x + + x + x + = x − + + x + + > 0, ∀x ∈ ℝ 4 4 Do bất phương trình ban đầu nghiệm với x ≤ Điều kiện x ∈ ℝ Nhận xét Xét trường hợp x > ⇒ x + x + > x − x + , bất phương trình cho trở thành 2x ≥ x ⇔ x2 + x + − x2 − x + ≤ ⇔ x2 + x + ≤ + x2 − x + 2 2x + x + − 2x − x + ⇔ x2 + x + ≤ x2 − x + + 2 x2 − x + ⇔ x − ≤ 2 x2 − x + 2 x < 2 x < ⇔ 2 x ≥ ⇔ 2 x ≥ ⇔ x∈ℝ ⇒ x > 4 x − x + ≤ x − x + 4 x + ≥ Kết hợp hai trường hợp ta có tập nghiệm x ∈ ℝ 2x Ví dụ 7: [ĐVH] Giải bất phương trình ( 3x − + x − 2x + + Lời giải ) + 15 < 2x + ( x ∈ ℝ) Lúc bất phương trình cho tương đương với 3x − + x − < x + + 2x + − Điều kiện x ≥ 2x ( ⇔ 2x ( ) ( )( x − ) < 5.2 x ⇔ x − + 3x − + ) 4x − < ⇔ x − + 12 x − 29 x + 15 < 25 ⇔ 12 x − 29 x + 15 < 33 − x 33 5 33 33 5 5 ≤ x < 3 ≤ x < ≤x< ⇔ ⇔ 3 ⇔ 3 ⇔ ≤ x x > 343 ∨ x < Vậy bất phương tình ban đầu có nghiệm ≤ x < Ví dụ 8: [ĐVH] Giải bất phương trình x − − 3x + ≥ x − x − Lời giải Bất phương trình tương đương với x − − + − 3 x + ≥ x − x − 2x − − 3x ⇔ + − ( x − )( x + 1) ≥ 2 x − + 3x + + 3x + + Điều kiện: x ≥ ( ) ⇔ ( x − 2) − ( x + 1) ≥ (2) 2x − +1 − 3x + + 3x + + 2 Ta có: − − ( x + 1) ≤ − − − < 2 x − + 3x + + 3x + + ( ( ) ) Nên (2) ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 3 Kết hợp điều kiện ta S = ; tập nghiệm bất phương trình 2 Ví dụ 9: [ĐVH] Giải bất phương trình ( x − 3) ( 2x −1 + x ) ≥ ( x − 1) ( x ∈ ℝ) Lời giải Điều kiện x ≥ Nhận xét x = không thỏa mãn toán, Bất phương trình cho tương đương với x−3≥ ( ( x − 1) 2x −1 + x ) ⇔ x −3≥ ( 2x −1 ≠ x 2x −1 − x ) ⇔ x − ≥ 3x − − 2 x − x ⇔ x − x ≥ x + ⇔ x − x ≥ x + x + ⇔ x − 3x − ≥ ⇔ x ≥ Kết hợp điều kiện ta thu nghiệm x ≥ Ví dụ 10: [ĐVH] Giải bất phương trình 13 + ( x ∈ ℝ) x2 + x + + x2 + ≥ x Lời giải Điều kiện x ∈ ℝ Nhận xét + 13 − 13 ∨x≤ 2 x + x + + x + > 0, ∀x ∈ ℝ nên bất phương trình nghiệm trường hợp x ≤ Xét khả x > ⇒ x + x + > x + , bất phương trình cho trở thành x ≥ x ⇔ x2 + x + ≤ + x2 + ⇔ x2 + x + ≤ x2 + + x2 + 2 4x + x + − 4x + x < x < ⇔ x − ≤ x + ⇔ x ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x∈ℝ ⇒ x > 2 x − x + ≤ 16 x + 15 x + x + ≥ Vậy bất phương trình cho có nghiệm x ∈ ℝ BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 2: [ĐVH] Giải bất phương trình ( x2 ) 2x + +1 > 2x + x −1 + Bài 3: [ĐVH] Giải bất phương trình x ≤ x + − x + Bài 4: [ĐVH] Giải bất phương trình Bài 5: [ĐVH] Giải bất phương trình ( x ∈ ℝ) x + − 2x + ≤ x −1 Bài 1: [ĐVH] Giải bất phương trình + 3x + − x ≥ + 3x − − x x 11 x2 − + 4x − ≥ Bài 6: [ĐVH] Giải bất phương trình x3 − − − x ≤ Bài 7: [ĐVH] Giải bất phương trình x + 10 + x + ≤ x + ( x ∈ ℝ) ( x ∈ ℝ) ( x ∈ ℝ) Bài 8: [ĐVH] Giải bất phương trình sau Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! Khóa học Toán Cơ Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x2 a) > x−4 (1 + + x )2 b) (3 − x2 + 2x Facebook: LyHung95 ) ≤ x + 21 Bài 9: [ĐVH] Giải bất phương trình sau ( a) 4( x + 1)2 < (2 x + 10) − + x ) ( b) 4( x + 1)2 ≤ (3 x + 7) − x + ) Bài 10: [ĐVH] Giải bất phương trình sau a) (1 − x2 1+ 2x ) < 2x + b) 2x > 2x + 2x + −1 Tham gia khóa Toán Cơ Nâng cao 10 MOON.VN để có chuẩn bị tốt cho kì thi THPT quốc gia! ... 5.2 x ⇔ x − + 3x − + ) 4x − < ⇔ x − + 12 x − 29 x + 15 < 25 ⇔ 12 x − 29 x + 15 < 33 − x 33 5 33 33 5 5 ≤ x < 3 ≤ x < ≤x< ⇔ ⇔ 3 ⇔ 3 ⇔ ≤ x