CHUYÊN đề PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH vô tỉ

TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn CHUYấN : PHNG PHP GII PHNG TRèNH Vễ T I PHNG PHP BIN I TNG NG Bỡnh phng v ca phng trỡnh a) Phng phỏp Thụng thng nu ta gp phng trỡnh dng : A B C D , ta thng bỡnh phng v , iu ú ụi li gp khú khn hóy gii vớ d sau A B C A B 3 A.B A B C v ta s dng phộp th : A B C ta c phng trỡnh : A B 3 A.B.C C Vớ d b) Bi Gii phng trỡnh sau : Gii: k x x 3x x x Bỡnh phng v khụng õm ca phng trỡnh ta c: x 33x x x x , gii phng trỡnh ny d nhiờn l khụng khú nhng hi phc mt chỳt Phng trỡnh gii s rt n gin nu ta chuyn v phng trỡnh : 3x x x x Bỡnh phng hai v ta cú : Th li x=1 tha x2 8x x 12 x x Nhn xột : Nu phng trỡnh : f x g x h x k x M cú : f x h x g x k x , thỡ ta bin i phng trỡnh v dng : f x h x k x g x sau ú bỡnh phng ,gii phng trỡnh h qu Bi Gii phng trỡnh sau : x3 x x2 x x x3 Gii: iu kin : x Bỡnh phng v phng trỡnh ? Nu chuyn v thỡ chuyn nh th no? Ta cú nhn xột : (2) x3 x x x x , t nhn xột ny ta cú li gii nh sau : x3 x3 x x2 x x x3 Bỡnh phng v ta c: x x3 x2 x x2 x x3 x Th li : x 3, x l nghim Qua li gii trờn ta cú nhn xột : Nu phng trỡnh : f x g x h x k x M cú : f x h x k x g x thỡ ta bin i f x h x k x g x Trc cn thc 2.1 Trc cn thc xut hin nhõn t chung a) Phng phỏp TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Mt s phng trỡnh vụ t ta cú th nhm c nghim x0 nh vy phng trỡnh luụn a v c dng tớch x x0 A x ta cú th gii phng trỡnh A x hoc chng minh A x vụ nghim , chỳ ý iu kin ca nghim ca phng trỡnh ta cú th ỏnh gớa A x vụ nghim b) Vớ d 3x x x x x x 3x Bi Gii phng trỡnh sau : Gii: Ta nhn thy : 3x 5x 3x 3x x v x x 3x x x Ta cú th trc cn thc v : 3x x x x 3x x x 3x D dng nhn thy x=2 l nghim nht ca phng trỡnh x2 12 3x x 5 x 12 x 3x x Bi Gii phng trỡnh sau (OLYMPIC 30/4 ngh) : Gii: phng trỡnh cú nghim thỡ : Ta nhn thy : x=2 l nghim ca phng trỡnh , nh vy phng trỡnh cú th phõn tớch v dng x A x , thc hin c iu ú ta phi nhúm , tỏch nh sau : x 12 3x x x2 x 12 x x2 x2 x2 x x x 2 x2 x 12 x2 x2 0, x D dng chng minh c : x 12 x2 Bi Gii phng trỡnh : x x x3 Gii :k x Nhn thy x=3 l nghim ca phng trỡnh , nờn ta bin i phng trỡnh x x x3 x x3 Ta chng minh : x x x x x x3 x2 x x3 x3 2 x 1 x 3x x3 Vy pt cú nghim nht x=3 2.2 a v h tm a) Phng phỏp Nu phng trỡnh vụ t cú dng A B C , m : A B C dõy C cú th l hng s ,cú th l biu thc ca x Ta cú th gii nh sau : TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn A B A B C A C C A B , ta cú h: A B A B b) Vớ d Bi Gii phng trỡnh sau : x x x x x Gii: Ta thy : x x x x x x khụng phi l nghim Xột x Trc cn thc ta cú : 2x 2x x 2x x 2 x x2 x x2 x x 2 2x x 2x x 2 Vy ta cú h: 2x x x 2 x 2x x 2x x x Th li tha; vy phng trỡnh cú nghim : x=0 v x= x x x x 3x Ta thy : x x x x x x , nh vy khụng tha iu kin trờn Bi Gii phng trỡnh : Ta cú th chia c hai v cho x v t t thỡ bi toỏn tr nờn n gin hn x Bi ngh Gii cỏc phng trỡnh sau : 1) x2 3x x x 2) 10 3x x (HSG Ton Quc 2002) 3) x x x x 10 x 4) x2 x x 5) x2 3x3 3x 6) x2 11x 21 3 x (OLYMPIC 30/4-2007) 7) 8) 9) x x 3x x x x x 2 x2 16 x 18 x2 x x2 15 3x x2 Phng trỡnh bin i v tớch S dng ng thc u v uv u v au bv ab vu u b v a A2 B Bi Gii phng trỡnh : Gii: pt x 1 x x x 3x x x x 3 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Bi Gii phng trỡnh : x x Gii: + x , khụng phi l nghim + x , ta chia hai v cho x: Bi Gii phng trỡnh: Gii: dk : x 3 x x2 x x x x x x x x x x 2x x 2x x2 4x x x 1 x 4x Bi Gii phng trỡnh : x x x3 pt x 2x Gii: k: x 4x 4x 4x x : x x3 x3 x Chia c hai v cho Dựng hng ng thc Bin i phng trỡnh v dng : Ak B k Bi Gii phng trỡnh : 3x x 3x Gii: k: x ú pt cho tng ng 3 10 10 x : x 3x x x 3 3 Bi Gii phng trỡnh sau : x x x Gii: k: x phng trỡnh tng ng : x x x 3x 9x x 97 x 3x 18 Bi Gii phng trỡnh sau : 3 x x x 3 3x x Gii : pttt x 3x x II PHNG PHP T N PH Phng phỏp t n ph thụng thng i vi nhiu phng trỡnh vụ vụ t , gii chỳng ta cú th t t f x v chỳ ý iu kin ca t nu phng trỡnh ban u tr thnh phng trỡnh cha mt bin t quan trng hn ta cú th gii c phng trỡnh ú theo t thỡ vic t ph xem nh hon ton Núi chung nhng phng trỡnh m cú th t hon ton t f x thng l nhng phng trỡnh d Bi Gii phng trỡnh: iu kin: x x x2 x x2 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Nhn xột x x x x 1 x x thỡ phng trỡnh cú dng: t t t Thay vo tỡm c x Bi Gii phng trỡnh: x2 x x t t Gii iu kin: x t2 Thay vo ta cú phng trỡnh sau: t 10t 25 2 (t 5) t t 22t 8t 27 16 (t 2t 7)(t 2t 11) t t x 5(t 0) thỡ x Ta tỡm c bn nghim l: t1,2 2; t3,4 Do t nờn ch nhn cỏc gỏi tr t1 2, t3 T ú tỡm c cỏc nghim ca phng trỡnh l: x vaứ x Cỏch khỏc: Ta cú th bỡnh phng hai v ca phng trỡnh vi iu kin x2 x Ta c: x2 ( x 3)2 ( x 1)2 , t ú ta tỡm c nghim tng ng n gin nht l ta t : y x v a v h i xng (Xem phn dt n ph a v h) Bi Gii phng trỡnh sau: x x iu kin: x t y x 1( y 0) thỡ phng trỡnh tr thnh: y vi y 5) ( y y 4)( y y 5) y T ú ta tỡm c cỏc giỏ tr ca x y y 10 y y 20 ( 21 17 (loaùi), y 2 11 17 Bi (THTT 3-2005) Gii phng trỡnh sau : x 2004 x x Gii: k x t y x pttt y y y 1002 y x Bi Gii phng trỡnh sau : x x x 3x x Gii: iu kin: x Chia c hai v cho x ta nhn c: x x t t x 1 x x , ta gii c x TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Bi Gii phng trỡnh : x x x x Gii: x khụng phi l nghim , Chia c hai v cho x ta c: x t t= x x x x , Ta cú : t t t x x Bi ngh Gii cỏc phng trỡnh sau a 15x x x 15 x 11 b ( x 5)(2 x) x 3x c (1 x)(2 x) x x2 d x 17 x x 17 x2 e f 3x x x 3x x x x 11 31 g n (1 x)2 x n (1 x)2 n h x (2004 x )(1 x )2 i ( x x 2)( x x 18) 168x x2 x2 j Nhn xột : i vi cỏch t n ph nh trờn chỳng ta ch gii quyt c mt lp bi n gin, ụi phng trỡnh i vi t li quỏ khú gii t n ph a v phng trỡnh thun nht bc i vi bin : Chỳng ta ó bit cỏch gii phng trỡnh: u uv v (1) bng cỏch u u Xột v phng trỡnh tr thnh : v v v th trc tip Cỏc trng hp sau cng a v c (1) a A x bB x c A x B x u v mu nv Chỳng ta hóy thay cỏc biu thc A(x) , B(x) bi cỏc biu thc vụ t thỡ s nhn c phng trỡnh vụ t theo dng ny a) Phng trỡnh dng : a A x bB x c A x B x Nh vy phng trỡnh Q x P x cú th gii bng phng phỏp trờn nu P x A x B x Q x aA x bB x Xut phỏt t ng thc : x3 x x x x4 x2 x4 x x x x x x TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn x4 x2 x x2 2x x x x x x Hóy to nhng phng trỡnh vụ t dng trờn vớ d nh: x 2 x x cú mt phng trỡnh p , chỳng ta phi chn h s a,b,c cho phng trỡnh bc hai at bt c gii nghim p Bi Gii phng trỡnh : x x3 Gii: t u x 1, v x x u 2v phng trỡnh tr thnh : u v 5uv u v 37 Tỡm c: x x x2 Bi Gii phng trỡnh : x 3x 2 Bi 3: gii phng trỡnh sau : x 5x x3 Gii: k: x x x2 x Nhn xt : Ta vit x x x ng nht th ta c x x x x x x v 9u t u x , v x x , ta c: 3u 2v uv v u Ta c : x Bi Gii phng trỡnh : x3 3x x 6x Gii: Nhn xột : t y x ta hy bin pt trn v phng trỡnh thun nht bc i vi x v y : x y x3 3x y x x3 3xy y x y Pt cú nghim : x 2, x 22 b).Phng trỡnh dng : u v mu nv Phng trỡnh cho dng ny thng khú phỏt hin hn dng trờn , nhg nu ta bỡnh phng hai v thỡ a v c dng trờn Bi gii phng trỡnh : x x Gii: x4 x2 u x Ta t : ú phng trỡnh tr thnh : u 3v u v 2 v x Bi 2.Gii phng trỡnh sau : x x x 3x x TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Gii k x x Bỡnh phng v ta cú : x x x x x x x x x u v u x x 2 Ta cú th t : ú ta cú h : uv u v v x v u 5 Do u, v u v x2 2x x 2 5x2 14 x x x 20 x Bi gii phng trỡnh : Gii: k x Chuyn v bỡnh phng ta c: x x x x 20 x Nhn xột : khụng tn ti s , : x 5x x x 20 x vy ta khụng th t u x x 20 v x Nhng may mn ta cú : x x 20 x x x x x x x Ta vit li phng trỡnh: x x x ( x x 5)( x 4) n õy bi toỏn c gii quyt Cỏc em hóy t sỏng to cho mỡnh nhng phng trỡnh vụ t p theo cỏch trờn Phng phỏp t n ph khụng hon ton T nhng phng trỡnh tớch x 1 x x , 2x x 2x x Khai trin v rỳt gn ta s c nhng phng trỡnh vụ t khụng tm thng chỳt no, khú ca phng trỡnh dng ny ph thuc vo phng trỡnh tớch m ta xut phỏt T ú chỳng ta mi i tỡm cỏch gii phng trỡnh dng ny Phng phỏp gii c th hin qua cỏc vớ d sau Bi Gii phng trỡnh : x x x x Gii: t t x , ta cú : t x t 3x t x Bi Gii phng trỡnh : x x x x Gii: t : t x x 3, t Khi ú phng trỡnh tr thnh : x t x x x t Bõy gi ta thờm bt , c phng trỡnh bc theo t cú chn TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn t t x : x x x t x t x t x T mt phng trỡnh n gin : x x x x , khai trin ta s c pt sau Bi Gii phng trỡnh sau : x 3x x x Gii: Nhn xột : t t x , pttt: x 3x 2t t x (1) Ta rt x t thay vo thỡ c pt: 3t x t x Nhng khụng cú s may mn gii c phng trỡnh theo t x 48 x khụng cú dng bỡnh phng Mun t c mc ớch trờn thỡ ta phi tỏch 3x theo x , C th nh sau : 3x x x thay vo pt (1) ta c: x Bi Gii phng trỡnh: 2 x x x 16 Gii Bỡnh phng v phng trỡnh: x 16 x 16 x x 16 x x Ta t : t x Ta c: x2 16t 32 8x Ta phi tỏch x 2 lm cho t cú dng chỡnh phng Nhn xột : Thụng thng ta ch cn nhúm cho ht h s t thỡ s t c mc ớch t nhiu n ph a v tớch Xut phỏt t mt s h i s p chỳng ta cú th to c nhng phng trỡnh vụ t m gii nú chỳng ta li t nhiu n ph v tỡm mi quan h gia cỏc n ph a v h Xut phỏt t ng thc a b c a3 b3 c3 a b b c c a , Ta cú a3 b3 c3 a b c a b a c b c T nhn xột ny ta cú th to nhng phng trỡnh vụ t cú cha cn bc ba x x2 x x 8x 3x x x x Bi Gii phng trỡnh : x x x x x x x u x u v u w 2 u uv vw wu Gii : v x , ta cú : v uv vw wu u v v w , gii h ta c: w2 uv vw wu v w u w w x 30 239 u x 60 120 Bi Gii phng trỡnh sau : x x 3x x x x x TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn a b Gii Ta t : c d x2 x 3x 2x 2x a b c d , ú ta cú : 2 2 a b c d x x2 x Bi Gii cỏc phng trỡnh sau 1) x2 5x x2 x x 2) x x x x x x3 x x t n ph a v h: 5.1 t n ph a v h thụng thng t u x , v x v tỡm mi quan h gia x v x t ú tỡm c h theo u,v Bi Gii phng trỡnh: x 25 x3 x 25 x3 30 3 t y 35 x3 x3 y3 35 xy ( x y ) 30 , gii h ny ta tỡm c 3 x y 35 ( x; y) (2;3) (3;2) Tc l nghim ca phng trỡnh l x {2;3} Bi Gii phng trỡnh: x x iu kin: x x u t 0u 1,0 v x v u v u v Ta a v h phng trỡnh sau: u v v v Khi ú phng trỡnh chuyn v h phng trỡnh sau: Gii phng trỡnh th 2: (v 1) v , t ú tỡm v ri thay vo tỡm nghim ca 2 phng trỡnh Bi Gii phng trỡnh sau: x x iu kin: x t a x 1, b x 1(a 0, b 0) thỡ ta a v h phng trỡnh sau: a b (a b)(a b 1) a b a b b a 11 17 Vy x x x x x 10 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Bi Gii phng trỡnh: Gii iu kin: x 2x 2x x x t u x , v y u, v 10 (u v)2 10 2uv u v 10 Khi ú ta c h phng trỡnh: 4 2(u z ) (u v) u v uv 5.2 Xõy dng phng trỡnh vụ t t h i xng loi II Ta hóy i tỡm ngun gc ca nhng bi toỏn gii phng trỡnh bng cỏch a v h i xng loi II x y Ta xột mt h phng trỡnh i xng loi II sau : y x (1) vic gii h ny (2) thỡ n gin Bõy gii ta s bin h thnh phng trỡnh bng cỏch t y f x cho (2) luụn ỳng , y x , ú ta cú phng trỡnh : x ( x 1) x x x 2 Vy gii phng trỡnh : x x x ta t li nh trờn v a v h x ay b Bng cỏch tng t xột h tng quỏt dng bc : , ta s xõy dng c y ax b phng trỡnh dng sau : t y ax b , ú ta cú phng trỡnh : a x ax b b Tng t cho bc cao hn : x n a n ax b b Túm li phng trỡnh thng cho di dng khia trin ta phi vit v dng : x n p n a ' x b ' v t y n ax b a v h , chỳ ý v du ca ??? Vic chn ; thụng thng chỳng ta ch cn vit di dng : x p n a ' x b ' l chn c n Gii phng trỡnh: x x 2 x Bi iu kin: x Ta cú phng trỡnh c vit li l: ( x 1)2 2 x x x 2( y 1) t y x thỡ ta a v h sau: y y 2( x 1) Tr hai v ca phng trỡnh ta c ( x y)( x y) Gii ta tỡm c nghim ca phng trỡnh l: x Bi Gii phng trỡnh: x2 x x 11 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Gii iu kin x Ta bin i phng trỡnh nh sau: x2 12 x x (2 x 3)2 x 11 (2 x 3) y t y x ta c h phng trỡnh sau: ( x y )( x y 1) (2 y 3) x Vi x y x x x Vi x y y x x Kt lun: Nghim ca phng trỡnh l {1 2; 3} Cỏc em hóy xõy dng mt s h dng ny ? Dng h gn i xng (2 x 3) y x Ta xt h sau : (1) õy khụng phi l h i xng loi nhng chỳng (2 y 3) x ta gii h c , v t h ny chỳng ta xõy dng c bi toỏn phng trỡnh sau : Bi Gii phng trỡnh: x2 13x 3x 13 33 Nhn xột : Nu chỳng ta nhúm nh nhng phng trỡnh trc : x 3x 4 13 3x thỡ chỳng ta khụng thu c h phng trỡnh m chỳng ta cú th gii t y c thu c h (1) ta t : y 3x , chn , cho h chỳng ta cú th gii c , (i xng hoc gn i xng ) y y 3x (1) y 3x Ta cú h : (*) x 13 x y (2) x 13 x y gii h trờn thỡ ta ly (1) nhõn vi k cng vi (2): v mong mun ca chỳng ta l cú nghim x y Nờn ta phi cú : , ta chn c 2; 13 Ta cú li gii nh sau : iu kin: x , 3x (2 y 3), ( y ) 2 (2 x 3) y x ( x y )(2 x y 5) Ta cú h phng trỡnh sau: (2 y 3) x 15 97 Vi x y x 11 73 Vi x y x t 12 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn 15 97 11 73 ; 8 Kt lun: nghim ca phng trỡnh l: Chỳ ý : ó lm quen, chỳng ta cú th tỡm ; bng cỏch vit li phng trỡnh ta vit li phng trỡnh nh sau: (2 x 3)2 3x x ú t 3x y , nu t y 3x thỡ chỳng ta khụng thu c h nh mong mun , ta thy du ca cựng du vi du trc cn Mt cỏch tng quỏt f ( x) A.x B y m f ( y ) A '.x m ' (1) Xột h: (2) h cú nghim x = y thỡ : A-A=B v m=m, Nu t (2) tỡm c hm ngc y g x thay vo (1) ta c phng trỡnh Nh vy xõy dng pt theo li ny ta cn xem xột cú hm ngc v tỡm c v hn na h phi gii c Mt s phng trỡnh c xõy dng t h Gii cỏc phng trỡnh sau 1) x2 13x 3x 2) x2 13x 3x 3) 81x x3 x x2 x x3 x 15 5) 30 x x 2004 30060 x 3x 8x3 36 x2 53 25 6) 4) Gii (3): Phng trỡnh : 27 81x 27 x3 54 x 36 x 54 27 81x 3x 46 Ta t : y 81x Cỏc em hóy xõy dng nhng phng trỡnh dng ny ! III PHNG PHP NH GI Dựng hng ng thc : T nhng ỏnh giỏ bỡnh phng : A2 B2 , ta xõy dng phng trỡnh dng A2 B2 T phng trỡnh : 5x x x x ta khai trin cú phng trỡnh x 12 x x x x Dựng bt ng thc A m nu du bng (1) B m v (2) cựng dt c ti x0 thỡ x0 l nghim ca phng trỡnh A B Mt s phng trỡnh c to t du bng ca bt ng thc: 13 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn , du bng x 1 v ch x=0 Vy ta cú phng trỡnh: 2008 x 2008 x x x A f x ụi mt s phng trỡnh c to t ý tng : ú : B f ( x ) A f x A B B f x Ta cú : x x Du bng v ch x v x Nu ta oỏn trc c nghim thỡ vic dựng bt ng thc d dng hn, nhng cú nhiu bi nghim l vụ t vic oỏn nghim khụng c, ta dựng bt ng thc ỏnh giỏ c Bi Gii phng trỡnh (OLYMPIC 30/4 -2007): Gii: k x 2 x x9 x x x 1 x x 2 Ta cú : x 2 x Du bng 2 x 2 x x9 x Bi Gii phng trỡnh : 13 x x x x 16 Gii: k: x Bin i pt ta cú : x 13 x x p dng bt ng thc Bunhiacopxki: 13 13 x 3 x 256 13 27 13 13x 3x 40 16 10 x 2 2 16 p dng bt ng thc Cụsi: 10 x 16 10 x 64 2 2 x x x2 Du bng 10 x 16 10 x x Bi gii phng trỡnh: x3` 3x 8x 40 4 x Ta chng minh : 4 x x 13 v x3 3x x 40 x Bi ngh Gii cỏc phng trỡnh sau 1) 2x 2x 2x 2x 2x 2x x x 13 14 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn 2) x x x x 3) x 4 x x 4) 16 x x3 x 5) x3` 3x 8x 40 4 x 6) 7) x3 64 x3 x4 8x 28 1 x2 x x x Xõy dng bi toỏn t tớnh cht cc tr hỡnh hc 3.1 Dựng ta ca vộc t Trong mt phng ta Oxy, Cho cỏc vộc t: u x1; y1 , v x2 ; y2 ú ta cú uv u v x1 x2 y1 y2 2 x12 y12 x22 y22 x1 y1 k , chỳ ý t s x2 y2 Du bng xy v ch hai vộc t u, v cựng hng phi dng u.v u v cos u v , du bng xy v ch cos u v 3.2 S dng tớnh cht c bit v tam giỏc Nu tam giỏc ABC l tam giỏc u , thỡ vi mi im M trờn mt phng tam giỏc, ta luụn cú MA MB MC OA OB OC vi O l tõm ca ng trũn Du bng xy v ch M O Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn v im M tựy ý mt mt phng Thỡ MA+MB+MC nh nht im M nhỡn cỏc cnh AB,BC,AC di cựng mt gúc 1200 Bi 1) x2 x x2 2) x x x 10 x 50 x 2x2 x IV PHNG PHP HM S 1.Xõy dng phng trỡnh vụ t da theo hm n iu Da vo kt qu : Nu y f t l hm n iu thỡ f x f t x t ta cú th xõy dng c nhng phng trỡnh vụ t Xut phỏt t hm n iu : y f x x3 x mi x ta xõy dng phng trỡnh : f x f 3x x x 3x (3x 1) , Rỳt gn ta c phng trỡnh x3 x2 3x 3x 3x T phng trỡnh f x f x3 x 5x 3x 3x thỡ bi toỏn s khú hn 3x gi hai bi toỏn trờn chỳng ta cú th lm nh sau : 15 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn 3 x x x y t y 3x ú ta cú h : cng hai phng trỡnh ta c: 3x y x x = 2y y Hóy xõy dng nhng hm n iu v nhng bi toỏn vụ t theo dng trờn ? Bi Gii phng trỡnh : x x x 3x x Gii: x x 3x 3x f x f 3x Xột hm s f t t t , l hm ng bin trờn R, ta cú x Bi Gii phng trỡnh x3 x 5x x x x x 5x y Gii t y x x , ta cú h : y y x x x x y Xột hm s : f t t t , l hm n iu tng T phng trỡnh x f y f x y x x x x x 3 Bi Gii phng trỡnh : x 8x x V PHNG PHP LNG GIC HểA Mt s kin thc c bn: y 0; cho x cos y cho : sin t x v mt s y vi ; 2 Nu x thỡ cú mt s t vi t cho : sin t x v mt s y vi Nu x thỡ cú mt s t vi t 0; y 0; cho x cos y ; cho : x tan t 2 Nu : x , y l hai s thc tha: x y , thỡ cú mt s t vi t , cho x sin t , y cos t Vi mi s thc x cú t T ú chỳng ta cú phng phỏp gii toỏn : ; hoc x cos y vi y 0; 2 Nu x thỡ t sin t x , vi t 0; hoc x cos y , vi y 0; 2 Nu : x , y l hai s thc tha: x y , thỡ t x sin t , y cos t vi Nu : x thỡ t sin t x vi t 16 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn t a , vi t ; , tng t cho trng hp sin t 2 Nu x a , ta cú th t : x khỏc ; 2 X l s thc bt k thi t : x tan t , t Ti li phi t iu kin cho t nh vy ? Chỳng ta bit rng t iu kin x f t thỡ phi m bo vi mi x cú nht mt t , v iu kin trờn m bo iu ny (xem li vũng trũn lng giỏc ) Xõy dng phng trỡnh vụ t bng phng phỏp lng giỏc nh th no ? T cụng phng trỡnh lng giỏc n gin: cos3t sin t , ta cú th to c phng trỡnh vụ t Chỳ ý : cos3t 4cos3 t 3cos t ta cú phng trỡnh vụ t: x3 3x x Nu thay x bng ta li cú phng trỡnh : 3x x x x (1) (2) Nu thay x phng trỡnh (1) bi : (x-1) ta s cú phng trỡnh v t khú: x3 12 x x x x (3) Vic gii phng trỡnh (2) v (3) khụng n gin chỳt no ? Tng t nh vy t cụng thc sin 3x, sin 4x,.hóy xõy dng nhng phng trỡnh vụ t theo kiu lng giỏc Mt s vớ d x x Bi Gii phng trỡnh sau : x x 3 Gii: iu kin : x Vi x [1;0] : thỡ x x (ptvn) x [0;1] ta t : x cos t , t 0; Khi ú phng trỡnh tr thnh: 1 vy phng trỡnh cú nghim : x cos x sin t sin t cos t 6 Bi Gii cỏc phng trỡnh sau : 2x 2x 2x 2x 1) 2x 2x 2) x2 x x2 3) x3 3x s: x 2cos x 2cos x HD: chng minh x vụ nghim x2 Bi Gii phng trỡnh sau: DH: tan x 6x 2x Gii: Lp phng v ta c: x3 x x3 3x 17 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Xột : x 1, t x cos t , t 0; Khi ú ta c S cos ;cos ;cos m 9 phng trỡnh bc cú ti a nghim vy ú cng chớnh l nghim ca phng trỡnh x2 Gii: k: x , ta cú th t x , t ; sin t 2 cos t Khi ú ptt: cot t sin 2t sin x Phng trỡnh cú nghim : x 1 Bi .Gii phng trỡnh x x x x 2x x x Bi Gii phng trỡnh : Gii: k x 0, x ; 2 Khi ú pttt 2sin t cos2t cos2t sin t sin t 2sin t Ta cú th t : x tan t , t Kt hp vi iu kin ta cú nghim x Bi tng hp Gii cỏc phng trỡnh sau 1) x3 x x 2x2 2) x x 30 2007 30 x 2007 30 2007 2x 2 x 3) 12 x x 16 x x x 5) x x x x 3x x x 6) 4) 7) x 3x x x 10 3x x (HSG Ton Quc 2002) 8) 9) 10) x x x x 10 x x2 x x x 3x 3x 12) x 11x 21 3 x (OLYMPIC 30/4-2007) 11) 13) x x 3x x x x x 18 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn x2 16 x 18 x2 x 3x 3x 15) x x 3x 16) 12 x x 3x 14) x x x3 x 18) x2 3x x x 2 x 17) 19) x x3 x x x 20) x 16 x 16 x x 16 21) x (2004 x )(1 x )2 22) ( x x 2)( x x 18) 168x 23) x 3x x x2 24) x 3 x x 2 25) 2008x2 x 2007 x 26) x x 3x x 27) x x 12 x 36 28) x x3 x3 x 29) x x 1 x x x x 5x2 14 x x x 20 x 31) x 8x3 x 15 30 x x 2004 30060 x 32) 4x 33) x2 x 28 30) 34) x x 10 8x x 10 35) 3x x xx 19 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn CHUYấN : PHNG TRèNH Vễ T I PHNG PHP BIN I TNG NG x D (*) Dng : Phng trỡnh A B A B A B Lu ý: iu kin (*) c chn tu thuục vo phc ca A hay B B Dng 2: Phng trỡnh A B A B Dng 3: Phng trỡnh A (chuyn v dng 2) A B C B A B AB C A B C A B 3 A.B A B C v ta s dng phộp th : A B C ta c phng trỡnh : A B 3 A.B.C C Bi 1: Gii phng trỡnh: f) x x a) x x b) x x g) c) x x h) d) e) x x 3x x x 2x 3x x x i) ( x 3) 10 x x x 12 Bi 2: Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim: x2 3x 2m x x Bi 3: Cho phng trỡnh: x x m a) Gii phng trỡnh m=1 b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim Bi 4: Cho phng trỡnh: x mx x m a) Gii phng trỡnh m=3 b) Vi giỏ tr no ca m thỡ phng trỡnh cú nghim II PHNG PHP T N PH 1) Phng phỏp t n ph thụng thng a) Nu bi toỏn cú cha f ( x) v f ( x) ú t t f ( x) (vi iu kin ti thiu l t i vi cỏc phng trỡnh cú cha tham s thỡ nht thit phi tỡm iu kin ỳng cho n ph) b) Nu bi toỏn cú cha f ( x) , g ( x) v f ( x) g ( x) k (vi k l hng s) ú cú th t : t c) Nu bi toỏn cú cha t: t k t f ( x) g ( x) ; f ( x).g ( x) v f ( x) g ( x) k ú cú th f ( x) , ú g ( x) f ( x) g ( x) suy d) Nu bi toỏn cú cha vi t f ( x).g ( x) t2 k a x thỡ t x a sin t vi t hoc x a cos t 20 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn x a thỡ t x e) Nu bi toỏn cú cha x a vi t ; \ hoc sin t 2 a vi t 0; \ cos t x a ta cú th t x a tan t vi t ; 2 f) Nu bi toỏn cú cha Bi 1: Gii phng trỡnh: a) x x x 12 x f) x2 5x 2 x2 5x b) x x 3x 3x g) x 3x 2 x x c) x x x 8x 12 h) x x 11 31 d) 3x 15x x 5x i) ( x 5)(2 x) x 3x e) ( x 4)( x 1) x x Bi 2: Gii phng trỡnh: a) x3 x x x b) x x c) x 2x x2 2x2 x x2 d) 64 x6 112 x 56 x x e) x x x2 35 12 f) x x x Bi 3: Cho phng trỡnh: x x x x x x m a) Gii phng trỡnh vi m=3 b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim c) Tỡm m phng trỡnh cú nghim nht 1 m x x2 a) Gii phng trỡnh vi m Bi 4: Cho phng trỡnh: b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim Bi 5: Cho phng trỡnh: x x x x m a) Gii phng trỡnh vi m = b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim Phng phỏp t n ph khụng hon ton L vic s dng mt n ph chuyn phng trỡnh ban u thnh mt phng trỡnh vi mt n ph nhng cỏc h s cũn cha x T nhng phng trỡnh tớch x 1 x x , 2x x 2x x 21 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Khai trin v rỳt gn ta s c nhng phng trỡnh vụ t khụng tm thng chỳt no, khú ca phng trỡnh dng ny ph thuc vo phng trỡnh tớch m ta xut phỏt T ú chỳng ta mi i tỡm cỏch gii phng trỡnh dng ny Phng phỏp gii c th hin qua cỏc vớ d sau Bi Gii phng trỡnh : x x x x Gii: t t x , ta cú : t x t 3x t x Bi Gii phng trỡnh : x x x x Gii: t : t x x 3, t Khi ú phng trỡnh tr thnh : x t x x x t Bõy gi ta thờm bt , c phng trỡnh bc theo t cú chn t x x x t x t x t x t x T mt phng trỡnh n gin : x x x x , khai trin ta s c pt sau Bi Gii phng trỡnh sau : x 3x x x Gii: Nhn xột : t t x , pttt: x 3x 2t t x (1) Ta rt x t thay vo thỡ c pt: 3t x t x Nhng khụng cú s may mn gii c phng trỡnh theo t x 48 x khụng cú dng bỡnh phng Mun t c mc ớch trờn thỡ ta phi tỏch 3x theo x , C th nh sau : 3x x x thay vo pt (1) ta c: x Bi Gii phng trỡnh: 2 x x x 16 Gii Bỡnh phng v phng trỡnh: x 16 x 16 x x 16 x x Ta t : t x Ta c: x2 16t 32 8x Ta phi tỏch x 2 lm cho t cú dng chỡnh phng Nhn xột : Thụng thng ta ch cn nhúm cho ht h s t thỡ s t c mc ớch Bi tp: Gii cỏc phng trỡnh sau: a) (4 x 1) x3 x3 x b) x x x x c) x x x x d) x x ( x 2) x x Phng phỏp t n ph chuyn v h a) Dng thụng thng: t u x , v x v tỡm mi quan h gia x v x t ú tỡm c h theo u,v Chng hn i vi phng trỡnh: m a f x m b f x c ta cú 22 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn u m a f x u m v m a b m m th t: t ú suy u v a b Khi ú ta cú h u v c v m b f x Bi tp: Gii cỏc phng trỡnh sau: a) x x b) x x c) x x ( x 1) x x x b) Dng phng trỡnh cha cn bc hai v ly tha bc hai: d ac ax b c(dx e)2 x vi e bc Cỏch gii: t: dy e ax b ú phng trỡnh c chuyn thnh h: dy e ax b dy e ax b ->gii 2 dy e c ( dx e ) x c dy e x dy e Nhn xột: D s dng c phng phỏp trờn cn phi khộo lộo bin i phng trỡnh ban u v dng tha iu kin trờn t n ph.Vic chn ; thụng thng chỳng ta ch cn vit di dng : x p n a ' x b ' l chn c n c) Dng phng trỡnh cha cn bc ba v ly tha bc ba d ac ax b c dx e x vi e bc Cỏch gii: t dy e ax b ú phng trỡnh c chuyn thnh h: dy e ax b dy e ax b 3 dy e c dx e x c dx e x dy e c dy e acx bc c(dx e) (ac d ) x dy bc Bi tp: Gii cỏc phng trỡnh sau: 1) x x x 3x x2 13x 3) x3 3 3x 4x 4) x2 x x 28 5) x x 2) 6) x 35 x3 x 35 x3 30 8) x2 13x 3x x2 10) x 8x3 x 9) 81x x3 x 11) 15 30 x x 2004 30060 x 12) 3x 8x3 36 x 53 25 7) x2 13x 3x III PHNG PHP HM S S dng cỏc tớnh cht ca hm s gii phng trỡnh l dng toỏn khỏ quen thuc Ta cú hng ỏp dng sau õy: 23 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Hng 1: Thc hin theo cỏc bc: Bc 1: Chuyn phng trỡnh v dng: f ( x) k Bc 2: Xột hm s y f ( x) Bc 3: Nhn xột: Vi x x0 f ( x) f ( x0 ) k ú x0 l nghim Vi x x0 f ( x) f ( x0 ) k ú phng trỡnh vụ nghim Vi x x0 f ( x) f ( x0 ) k ú phng trỡnh vụ nghim Vy x0 l nghim nht ca phng trỡnh Hng 2: thc hin theo cỏc bc Bc 1: Chuyn phng trỡnh v dng: f ( x) g ( x) Bc 2: Dựng lp lun khng nh rng f ( x) v g(x) cú nhng tớnh cht trỏi ngc v xỏc nh x0 cho f ( x0 ) g ( x0 ) Bc 3: Vy x0 l nghim nht ca phng trỡnh Hng 3: Thc hin theo cỏc bc: Bc 1: Chuyn phng trỡnh v dng f (u) f (v) Bc 2: Xột hm s y f ( x) , dựng lp lun khng nh hm s n iu Bc 3: Khi ú f (u) f (v) u v Vớ d: Gii phng trỡnh : x x x 3x x Gii: pt x x 3x 3x f x f 3x Xột hm s f t t t , l hm ng bin trờn R, ta cú x Bi tp: Gii phng trỡnh: a) b) c) x x2 x x3 x x x x2 e) x x x x3 x x f) x x2 x d) Cỏc em c ti liu tham kho thờm nhộ ! Lp phng trỡnh vụ t, bt phng trỡnh v h phng trỡnh ca Thy c d kin t chc vo cui T3 sau kt thỳc t luyn ụn hỡnh hc ta Oxy ( 28/2 27/3 vo cỏc bui sỏng ch nht hng tun.Cỏc bn hóy ún xem nhng video v phn hc ny ca thy sp ti nhộ Mun trao i thờm thụng tin vi Thy cỏc bn liờn h qua ST 0986.035.246 hoc vo nhúm fb https://www.facebook.com/groups/564286070405967/ Chỳc cỏc em ụn bi t kt qu tt ! 24