CHUYÊN đề PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH vô tỉ

TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn CHUYấN : PHNG PHP GII PHNG TRèNH Vễ T I PHNG PHP BIN I TNG NG Bỡnh phng v ca phng trỡnh a) Phng phỏp Thụng thng nu ta gp phng trỡnh dng : A + B = C + D , ta thng bỡnh phng v , iu ú ụi li gp khú khn hóy gii vớ d sau A + B = C A + B + 3 A.B ( ) A+ B =C v ta s dng phộp th : A + B = C ta c phng trỡnh : A + B + 3 A.B.C = C b) Vớ d Bi x + + 3x + = x + x + Gii phng trỡnh sau : Gii: k x Bỡnh phng v khụng õm ca phng trỡnh ta c: + ( x + 3) ( 3x + 1) = x + x ( x + 1) , gii phng trỡnh ny d nhiờn l khụng khú nhng hi phc mt chỳt Phng trỡnh gii s rt n gin nu ta chuyn v phng trỡnh : 3x + x + = x x + Bỡnh phng hai v ta cú : Th li x=1 tha x + x + = x + 12 x x = Nhn xột : Nu phng trỡnh : f ( x) + g ( x) = h( x) + k ( x) M cú : f ( x ) + h ( x ) = g ( x ) + k ( x ) , thỡ ta bin i phng trỡnh v dng : f ( x ) h ( x ) = k ( x ) g ( x ) sau ú bỡnh phng ,gii phng trỡnh h qu Bi Gii phng trỡnh sau : x3 + + x + = x2 x + + x + x+3 Gii: iu kin : x Bỡnh phng v phng trỡnh ? Nu chuyn v thỡ chuyn nh th no? Ta cú nhn xột : (2) x3 + x + = x x + x + , t nhn xột ny ta cú li gii nh sau : x+3 x3 + x + = x2 x + x + x+3 x = x3 + = x2 x x2 2x = Bỡnh phng v ta c: x+3 x = + Th li : x = 3, x = + l nghim Qua li gii trờn ta cú nhn xột : Nu phng trỡnh : f ( x) + g ( x) = h( x) + k ( x) M cú : f ( x ) h ( x ) = k ( x ) g ( x ) thỡ ta bin i f ( x) h ( x) = k ( x) g ( x) Trc cn thc 2.1 Trc cn thc xut hin nhõn t chung a) Phng phỏp TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Mt s phng trỡnh vụ t ta cú th nhm c nghim x0 nh vy phng trỡnh luụn a v c dng tớch ( x x0 ) A ( x ) = ta cú th gii phng trỡnh A ( x ) = hoc chng minh A ( x ) = vụ nghim , chỳ ý iu kin ca nghim ca phng trỡnh ta cú th ỏnh gớa A ( x ) = vụ nghim b) Vớ d x x + x = ( x x 1) x x + Bi Gii phng trỡnh sau : Gii: ( ) ( ) 2 Ta nhn thy : x x + x x = ( x ) v (x ) ( x 3x + ) = ( x ) Ta cú th trc cn thc v : x + x x + + ( x x + 1) 3x = x + x 3x + D dng nhn thy x=2 l nghim nht ca phng trỡnh Bi Gii phng trỡnh sau (OLYMPIC 30/4 ngh) : x + 12 + = x + x + Gii: phng trỡnh cú nghim thỡ : x + 12 x + = x x Ta nhn thy : x=2 l nghim ca phng trỡnh , nh vy phng trỡnh cú th phõn tớch v dng ( x ) A ( x ) = , thc hin c iu ú ta phi nhúm , tỏch nh sau : x + 12 = x + x + 2 x2 x + 12 + = 3( x 2) + x2 x2 + + x+2 x +1 ( x 2) 3ữ= x = 2 x2 + + x + 12 + x+2 x+2 < 0, x > D dng chng minh c : x + 12 + x2 + + Bi Gii phng trỡnh : x + x = x3 Gii :k x Nhn thy x=3 l nghim ca phng trỡnh , nờn ta bin i phng trỡnh = ( x 3) ( x + x + ) x2 x3 + ( ) + x2 + x+3 x+3 1+ = 1+ < < x + 3x + 2 Ta chng minh : 3 x2 x +1 + ( ) + x2 + x3 + x + x = x ( x 3) + x+3 ( ) Vy pt cú nghim nht x=3 2.2 a v h tm a) Phng phỏp Nu phng trỡnh vụ t cú dng A + B = C , m : A B = C dõy C cú th l hng s ,cú th l biu thc ca x Ta cú th gii nh sau : A + B = C A B = C A B = , ta cú h: A = C + A B A B = TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn b) Vớ d Bi Gii phng trỡnh sau : x + x + + x x + = x + Gii: ( ) ( ) 2 Ta thy : x + x + x x + = ( x + ) x = khụng phi l nghim Xột x Trc cn thc ta cú : 2x + 2x + x + 2x x + 2 = x + 2x2 + x + 2x2 x + = x = x + x + x x + = 2 2x + x + = x + Vy ta cú h: 2 x = x + x + + x x + = x + Th li tha; vy phng trỡnh cú nghim : x=0 v x= x + x + + x x + = 3x 2 Ta thy : ( x + x + 1) ( x x + 1) = x + x , nh vy khụng tha iu kin trờn Bi Gii phng trỡnh : Ta cú th chia c hai v cho x v t t = thỡ bi toỏn tr nờn n gin hn x Bi ngh Gii cỏc phng trỡnh sau : 1) x + 3x + = ( x + 3) x + 2) 10 x = x (HSG Ton Quc 2002) 3) ( x ) ( x ) = x + ( x ) ( 10 x ) 4) x + = x + x 5) x + 3x3 = x 6) x 11x + 21 3 x = (OLYMPIC 30/4-2007) 7) x + x 3x = x + x + + x x + 8) x + 16 x + 18 + x = x + 9) x + 15 = 3x + x + Phng trỡnh bin i v tớch S dng ng thc u + v = + uv ( u 1) ( v 1) = au + bv = ab + vu ( u b ) ( v a ) = A2 = B Bi Gii phng trỡnh : Gii: pt ( )( x +1 x + + x + = + x + 3x + x = x + = x = 3 ) Bi Gii phng trỡnh : x + + x = Gii: + x = , khụng phi l nghim x + x2 + x TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn + x , ta chia hai v cho x: Bi Gii phng trỡnh: Gii: dk : x x +1 x +1 + x = 1+ x +1 1ữ x x ( ) x = x = x + + x x + = 2x + x2 + x + x = x +1 = x = 4x =4 x Bi Gii phng trỡnh : x + + x+3 pt ( x + 2x )( ) Gii: k: x 4x 4x 4x =2 x + : 1+ ữ = x =1 x+3 x+3 x + Chia c hai v cho Dựng hng ng thc Bin i phng trỡnh v dng : Ak = B k Bi Gii phng trỡnh : 3x = x 3+x Gii: k: x ú pt cho tng ng : x + x + x = 3 10 10 x+ x= ữ = 3 3 Bi Gii phng trỡnh sau : x + = x x Gii: k: x phng trỡnh tng ng : (1+ 3+ x ) x = x + + = 3x = 9x x = 97 x + + = x 18 Bi Gii phng trỡnh sau : + 3 x ( x + ) = x + 3 x ( x + ) Gii : pttt ( x + 3x ) = x =1 II PHNG PHP T N PH Phng phỏp t n ph thụng thng i vi nhiu phng trỡnh vụ vụ t , gii chỳng ta cú th t t = f ( x ) v chỳ ý iu kin ca t nu phng trỡnh ban u tr thnh phng trỡnh cha mt bin t quan trng hn ta cú th gii c phng trỡnh ú theo t thỡ vic t ph xem nh hon ton Núi chung nhng phng trỡnh m cú th t hon ton t = f ( x ) thng l nhng phng trỡnh d Bi Gii phng trỡnh: iu kin: x Nhn xột t t = x x2 + x + x2 = x x x + x = 1 x x thỡ phng trỡnh cú dng: t + t = t = Thay vo tỡm c x = TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Bi Gii phng trỡnh: x x = x + Gii iu kin: x t2 Thay vo ta cú phng trỡnh sau: t 10t + 25 2 (t 5) = t t 22t 8t + 27 = 16 (t + 2t 7)(t 2t 11) = t t = x + 5(t 0) thỡ x = Ta tỡm c bn nghim l: t1,2 = 2; t3,4 = Do t nờn ch nhn cỏc gỏi tr t1 = + 2, t3 = + T ú tỡm c cỏc nghim ca phng trỡnh l: x = vaứx = + Cỏch khỏc: Ta cú th bỡnh phng hai v ca phng trỡnh vi iu kin x x Ta c: x ( x 3) ( x 1) = , t ú ta tỡm c nghim tng ng n gin nht l ta t : y = x + v a v h i xng (Xem phn dt n ph a v h) Bi Gii phng trỡnh sau: x + + x = iu kin: x t y = x 1( y 0) thỡ phng trỡnh tr thnh: y + ( vi y 5) ( y + y 4)( y y 5) = y = T ú ta tỡm c cỏc giỏ tr ca x = y + = y 10 y y + 20 = + 21 + 17 (loaùi), y = 2 11 17 ( )( Bi (THTT 3-2005) Gii phng trỡnh sau : x = 2004 + x x Gii: k x t y = x pttt ( y ) (y ) + y 1002 ) = y = x = Bi Gii phng trỡnh sau : x + x x = 3x + x Gii: iu kin: x < Chia c hai v cho x ta nhn c: x + x t t = x 1 = 3+ x x , ta gii c x Bi Gii phng trỡnh : x + x x = x + Gii: x = khụng phi l nghim , Chia c hai v cho x ta c: x t t= x ữ+ x = x x 1 , Ta cú : t + t = t = x = x TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Bi ngh Gii cỏc phng trỡnh sau a 15 x x = x 15 x + 11 b ( x + 5)(2 x) = x + x (1 + x)(2 x) = + x x c d x + 17 x + x 17 x = 3x + x = x + 3x x + e f x + x + 11 = 31 g n (1 + x) + n x + n (1 x) = h x = (2004 + i x )(1 x ) ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x j x2 + x2 = Nhn xột : i vi cỏch t n ph nh trờn chỳng ta ch gii quyt c mt lp bi n gin, ụi phng trỡnh i vi t li quỏ khú gii t n ph a v phng trỡnh thun nht bc i vi bin : Chỳng ta ó bit cỏch gii phng trỡnh: u + uv + v = (1) bng cỏch u u Xột v phng trỡnh tr thnh : ữ + ữ+ = v v v = th trc tip Cỏc trng hp sau cng a v c (1) a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) u + v = mu + nv Chỳng ta hóy thay cỏc biu thc A(x) , B(x) bi cỏc biu thc vụ t thỡ s nhn c phng trỡnh vụ t theo dng ny a) Phng trỡnh dng : a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) Nh vy phng trỡnh Q ( x ) = P ( x ) cú th gii bng phng phỏp trờn nu P ( x ) = A ( x ) B ( x ) Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x ) Xut phỏt t ng thc : x + = ( x + 1) ( x x + 1) x + x + = ( x + x + 1) x = ( x + x + 1) ( x x + 1) ( )( ) x4 + = x2 x + x2 + 2x + x + = ( x x + 1) ( x + x + 1) Hóy to nhng phng trỡnh vụ t dng trờn vớ d nh: x 2 x + = x + cú mt phng trỡnh p , chỳng ta phi chn h s a,b,c cho phng trỡnh bc hai at + bt c = gii nghim p ( ) Bi Gii phng trỡnh : x + = x + TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Gii: t u = x + 1, v = x x + ( phng trỡnh tr thnh : u + v Tỡm c: x = 2 ) u = 2v = 5uv u = v 37 x + x2 + Bi Gii phng trỡnh : x x + = Bi 3: gii phng trỡnh sau : x + x = x Gii: k: x ( ) ( x 1) ( x + x + 1) Nhn xt : Ta vit ( x 1) + x + x + = ng nht th ta c ( x 1) + ( x + x + 1) = ( x 1) ( x + x + 1) v = 9u t u = x , v = x + x + > , ta c: 3u + 2v = uv v = u Ta c : x = Bi Gii phng trỡnh : x 3x + ( x + 2) 6x = Gii: Nhn xột : t y = x + ta hy bin pt trn v phng trỡnh thun nht bc i vi x v y : x = y x 3x + y x = x 3xy + y = x = y Pt cú nghim : x = 2, x = 22 b).Phng trỡnh dng : u + v = mu + nv Phng trỡnh cho dng ny thng khú phỏt hin hn dng trờn , nhg nu ta bỡnh phng hai v thỡ a v c dng trờn Bi gii phng trỡnh : x + x = x x + Gii: u = x Ta t : ú phng trỡnh tr thnh : u + 3v = u v 2 v = x Bi 2.Gii phng trỡnh sau : Gii k x (x x + x + x = 3x + x + 1 Bỡnh phng v ta cú : + x ) ( x 1) = x + (x + x ) ( x 1) = ( x + x ) ( x 1) TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn u= v u = x + x 2 Ta cú th t : ú ta cú h : uv = u v v = x 1+ v u = 1+ 1+ Do u , v u = v x2 + 2x = ( x 1) 2 x 14 x + x x 20 = x + Bi gii phng trỡnh : Gii: (x k x Chuyn v bỡnh phng ta c: x x + = ( x 20 ) ( x + 1) ) 2 Nhn xột : khụng tn ti s , : x x + = x x 20 + ( x + 1) vy ta khụng th t u = x x 20 v = x + ( ) ( 2 Nhng may mn ta cú : x x 20 ( x + 1) = ( x + ) ( x ) ( x + 1) = ( x + ) x x ( ) ) 2 Ta vit li phng trỡnh: x x + ( x + ) = ( x x 5)( x + 4) n õy bi toỏn c gii quyt Cỏc em hóy t sỏng to cho mỡnh nhng phng trỡnh vụ t p theo cỏch trờn Phng phỏp t n ph khụng hon ton T nhng phng trỡnh tớch ( 2x + x )( ( )( x +1 ) ) x +1 x + = , 2x + x + = Khai trin v rỳt gn ta s c nhng phng trỡnh vụ t khụng tm thng chỳt no, khú ca phng trỡnh dng ny ph thuc vo phng trỡnh tớch m ta xut phỏt T ú chỳng ta mi i tỡm cỏch gii phng trỡnh dng ny Phng phỏp gii c th hin qua cỏc vớ d sau ) ( 2 Bi Gii phng trỡnh : x + x + x = + x + Gii: t = t = x + , ta cú : t ( + x ) t + 3x = t = x Bi Gii phng trỡnh : ( x + 1) x2 2x + = x2 + Gii: t : t = x x + 3, t Khi ú phng trỡnh tr thnh : ( x + 1) t = x + x + ( x + 1) t = Bõy gi ta thờm bt , c phng trỡnh bc theo t cú chn : 2 t = x x + ( x + 1) t + ( x 1) = t ( x + 1) t + ( x 1) = t = x T mt phng trỡnh n gin : ( x 1+ x )( ) x + + x = , khai trin ta s c pt sau TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Bi Gii phng trỡnh sau : x + = x + x + x Gii: Nhn xột : t t = x , pttt: + x = x + 2t + t + x (1) ( ) Ta rt x = t thay vo thỡ c pt: 3t + + x t + ( ) 1+ x = Nhng khụng cú s may mn gii c phng trỡnh theo t ( = + 1+ x ) 48 ( ) x + khụng cú dng bỡnh phng Mun t c mc ớch trờn thỡ ta phi tỏch 3x theo C th nh sau : x = ( x ) + ( + x ) ( ) ( x , 1+ x ) thay vo pt (1) ta c: Bi Gii phng trỡnh: 2 x + + x = x + 16 Gii ( ) 2 Bỡnh phng v phng trỡnh: ( x + ) + 16 x + 16 ( x ) = x + 16 ( ) = ( x ) + ( + ) x Ta t : t = x Ta c: x 16t 32 + x = Ta phi tỏch x 2 lm cho t cú dng chỡnh phng Nhn xột : Thụng thng ta ch cn nhúm cho ht h s t thỡ s t c mc ớch t nhiu n ph a v tớch Xut phỏt t mt s h i s p chỳng ta cú th to c nhng phng trỡnh vụ t m gii nú chỳng ta li t nhiu n ph v tỡm mi quan h gia cỏc n ph a v h Xut phỏt t ng thc ( a + b + c ) = a + b3 + c + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) , Ta cú a + b3 + c3 = ( a + b + c ) ( a + b ) ( a + c ) ( b + c ) = T nhn xột ny ta cú th to nhng phng trỡnh vụ t cú cha cn bc ba x + x2 x + x2 8x + = 3x + + x + x x = Bi Gii phng trỡnh : x = x x + x x + x x u = x ( u + v ) ( u + w ) = 2 u = uv + vw + wu Gii : v = x , ta cú : v = uv + vw + wu ( u + v ) ( v + w ) = , gii h ta c: w2 = uv + vw + wu ( v + w ) ( u + w ) = w = x 30 239 u= x= 60 120 Bi Gii phng trỡnh sau : x + x x = x + x + + x x + a = b = Gii Ta t : c = d = 2x2 x 3x 2x2 + 2x + a + b = c + d , ú ta cú : 2 2 a b = c d x = x2 x + Bi Gii cỏc phng trỡnh sau 1) x2 + 5x + x2 x + = x TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn 2) x + x ( x ) + ( x ) = x + x3 + x ( x ) t n ph a v h: 5.1 t n ph a v h thụng thng t u = ( x ) , v = ( x ) v tỡm mi quan h gia ( x ) v ( x ) t ú tỡm c h theo u,v ( ) 3 Bi Gii phng trỡnh: x 25 x x + 25 x = 30 t y = 35 x3 x + y = 35 xy ( x + y ) = 30 , gii h ny ta tỡm c 3 x + y = 35 ( x; y ) = (2;3) = (3;2) Tc l nghim ca phng trỡnh l x {2;3} x + x = Bi Gii phng trỡnh: iu kin: x x = u 0u 1,0 v t x = v u = v u + v = Ta a v h phng trỡnh sau: u + v = v + v = ữ Khi ú phng trỡnh chuyn v h phng trỡnh sau: Gii phng trỡnh th 2: (v + 1) v + ữ = , t ú tỡm v ri thay vo tỡm nghim ca 2 phng trỡnh Bi Gii phng trỡnh sau: x + + x = iu kin: x t a = x 1, b = + x 1(a 0, b 0) thỡ ta a v h phng trỡnh sau: a + b = (a + b)(a b + 1) = a b + = a = b b a = 11 17 Vy x + = + x x = x x = 2x + 2x + = Bi Gii phng trỡnh: x 5+ x Gii iu kin: < x < ( ) t u = x , v = y < u , v < 10 10 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn (u + v) = 10 + 2uv u + v = 10 Khi ú ta c h phng trỡnh: 4 + 2(u + z ) = (u + v) ữ = u v uv 5.2 Xõy dng phng trỡnh vụ t t h i xng loi II Ta hóy i tỡm ngun gc ca nhng bi toỏn gii phng trỡnh bng cỏch a v h i xng loi II ( x + 1) = y + Ta xột mt h phng trỡnh i xng loi II sau : ( y + 1) = x + thỡ n gin Bõy gii ta s bin h thnh phng trỡnh bng cỏch t y = f ( x ) (1) (2) vic gii h ny cho (2) luụn ỳng , y = x + , ú ta cú phng trỡnh : ( x + 1) = ( x + 1) + x + x = x + 2 Vy gii phng trỡnh : x + x = x + ta t li nh trờn v a v h ( x + ) = ay + b Bng cỏch tng t xột h tng quỏt dng bc : , ta s xõy dng c ( y + ) = ax + b phng trỡnh dng sau : t y + = ax + b , ú ta cú phng trỡnh : a ( x + ) = ax + b + b a n Tng t cho bc cao hn : ( x + ) = n ax + b + b Túm li phng trỡnh thng cho di dng khia trin ta phi vit v dng : (x + ) n = p n a ' x + b ' + v t y + = n ax + b a v h , chỳ ý v du ca ??? Vic chn ; thụng thng chỳng ta ch cn vit di dng : ( x + ) = p n a ' x + b ' + l n chn c Gii phng trỡnh: x x = 2 x Bi iu kin: x Ta cú phng trỡnh c vit li l: ( x 1) = 2 x x x = 2( y 1) t y = x thỡ ta a v h sau: y y = 2( x 1) Tr hai v ca phng trỡnh ta c ( x y )( x + y ) = Gii ta tỡm c nghim ca phng trỡnh l: x = + Bi Gii phng trỡnh: x x = x + Gii iu kin x Ta bin i phng trỡnh nh sau: x 12 x = x + (2 x 3) = x + + 11 11 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn (2 x 3) = y + ( x y )( x + y 1) = t y = x + ta c h phng trỡnh sau: (2 y 3) = x + Vi x = y x = x + x = + Vi x + y = y = x x = Kt lun: Nghim ca phng trỡnh l {1 2; + 3} Cỏc em hóy xõy dng mt s h dng ny ? Dng h gn i xng (2 x 3) = y + x + (1) õy khụng phi l h i xng loi nhng chỳng Ta xt h sau : (2 y 3) = x + ta gii h c , v t h ny chỳng ta xõy dng c bi toỏn phng trỡnh sau : Bi Gii phng trỡnh: x + 13 x + x + = 13 33 Nhn xột : Nu chỳng ta nhúm nh nhng phng trỡnh trc : x ữ = x + 4 13 = x + thỡ chỳng ta khụng thu c h phng trỡnh m chỳng ta cú th gii t y c thu c h (1) ta t : y + = x + , chn , cho h chỳng ta cú th gii c , (i xng hoc gn i xng ) 2 ( y + ) = 3x + y + y 3x + = (1) (*) Ta cú h : (2) x 13 x + y + + = x 13 x + = y gii h trờn thỡ ta ly (1) nhõn vi k cng vi (2): v mong mun ca chỳng ta l cú nghim x= y Nờn ta phi cú : 2 = = , ta chn c = 2; = 13 5+ Ta cú li gii nh sau : iu kin: x , 3 x + = (2 y 3), ( y ) (2 x 3) = y + x + ( x y )(2 x + y 5) = Ta cú h phng trỡnh sau: (2 y 3) = x + 15 97 Vi x = y x = 11 + 73 Vi x + y = x = 15 97 11 + 73 ; Kt lun: nghim ca phng trỡnh l: 8 t Chỳ ý : ó lm quen, chỳng ta cú th tỡm ; bng cỏch vit li phng trỡnh ta vit li phng trỡnh nh sau: (2 x 3) = x + + x + 12 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn ú t x + = y + , nu t y = x + thỡ chỳng ta khụng thu c h nh mong mun , ta thy du ca cựng du vi du trc cn Mt cỏch tng quỏt f ( x) = A.x + B y + m f ( y ) = A '.x + m ' (1) h cú nghim x = y thỡ : A-A=B v m=m, (2) Xột h: Nu t (2) tỡm c hm ngc y = g ( x ) thay vo (1) ta c phng trỡnh Nh vy xõy dng pt theo li ny ta cn xem xột cú hm ngc v tỡm c v hn na h phi gii c Mt s phng trỡnh c xõy dng t h Gii cỏc phng trỡnh sau 1) x 13 x + + x + = 2) x 13 x + + x + = 3) 81x = x x + x2 x + = x3 x 15 30 x x ) = 2004 30060 x + + 5) ( 6) x = x3 36 x + 53 25 4) ( ) Gii (3): Phng trỡnh : 27 81x = 27 x 54 x + 36 x 54 27 81x = ( x ) 46 Ta t : y = 81x Cỏc em hóy xõy dng nhng phng trỡnh dng ny ! III PHNG PHP NH GI Dựng hng ng thc : T nhng ỏnh giỏ bỡnh phng : A2 + B , ta xõy dng phng trỡnh dng A2 + B = T phng trỡnh : ( ) ( 5x x + ( ) x + x = ta khai trin cú phng trỡnh x + 12 + x = x x + x ) Dựng bt ng thc A m nu du bng (1) B m Mt s phng trỡnh c to t du bng ca bt ng thc: v (2) cựng dt c ti x0 thỡ x0 l nghim ca phng trỡnh A = B , du bng x +1 + 1+ x v ch x=0 Vy ta cú phng trỡnh: 2008 x + + 2008 x = x +1 Ta cú : + x + x Du bng v ch x = v x +1 + 13 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn A f ( x ) ú : B f ( x) ụi mt s phng trỡnh c to t ý tng : A = f ( x ) A=B B = f ( x ) Nu ta oỏn trc c nghim thỡ vic dựng bt ng thc d dng hn, nhng cú nhiu bi nghim l vụ t vic oỏn nghim khụng c, ta dựng bt ng thc ỏnh giỏ c Bi Gii phng trỡnh (OLYMPIC 30/4 -2007): Gii: k x 2 x = x+9 + x +1 + x + x + ữ 1 x= x +1 2 + xữ 2 Ta cú : x +1 Du bng 2 = x +1 2 + x = x+9 x +1 ( ) Bi Gii phng trỡnh : 13 x x + x + x = 16 Gii: k: x ( Bin i pt ta cú : x 13 x + + x p dng bt ng thc Bunhiacopxki: ( 13 13 x + 3 + x 2 ) = 256 ( 13 + 27 ) ( 13 13 x + + x ) = 40 ( 16 10 x ) ( p dng bt ng thc Cụsi: 10 x 16 10 x ) 2 ) 16 ữ = 64 2 x = + x x2 = Du bng 10 x = 16 10 x x = Bi gii phng trỡnh: x 3` x x + 40 4 x + = Ta chng minh : 4 x + x + 13 v x x x + 40 ( x 3) Bi ngh Gii cỏc phng trỡnh sau ( x + 3) x + 13 2x + 2x + + 2x 2x x + x + x x = + 2x + + 2x = 1) 2) 3) x + = 4 + x + x 4) 16 x + = x3 + x 5) x 3` x x + 40 4 x + = 14 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn 6) 7) + x + 64 x3 = x x + 28 1 x2 + = x + ữ x x Xõy dng bi toỏn t tớnh cht cc tr hỡnh hc 3.1 Dựng ta ca vộc t r r Trong mt phng ta Oxy, Cho cỏc vộc t: u = ( x1 ; y1 ) , v = ( x2 ; y2 ) ú ta cú r r r r u+v u + v ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 ) x12 + y12 + x22 + y22 r r x1 y1 = = k , chỳ ý t s x2 y2 Du bng xy v ch hai vộc t u , v cựng hng phi dng rr r r r r r u.v = u v cos u v , du bng xy v ch cos = u v 3.2 S dng tớnh cht c bit v tam giỏc Nu tam giỏc ABC l tam giỏc u , thỡ vi mi im M trờn mt phng tam giỏc, ta luụn cú MA + MB + MC OA + OB + OC vi O l tõm ca ng trũn Du bng xy v ch M O Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn v im M tựy ý mt mt phng Thỡ MA+MB+MC nh nht im M nhỡn cỏc cnh AB,BC,AC di cựng mt gúc 1200 Bi ( ) 1) 2x2 2x + + 2x2 x + + 2x2 + 2) x x + x 10 x + 50 = ( ) +1 x +1 = IV PHNG PHP HM S 1.Xõy dng phng trỡnh vụ t da theo hm n iu Da vo kt qu : Nu y = f ( t ) l hm n iu thỡ f ( x ) = f ( t ) x = t ta cú th xõy dng c nhng phng trỡnh vụ t Xut phỏt t hm n iu : y = f ( x ) = x + x + mi x ta xõy dng phng trỡnh : f ( x) = f ( ) 3x x3 + x + = ( ) 3x + (3 x 1) + , Rỳt gn ta c phng trỡnh x + x 3x + = ( x 1) x T phng trỡnh f ( x + 1) = f ( x + x + x + = ( x 1) ) 3x thỡ bi toỏn s khú hn ( 3x 1) gi hai bi toỏn trờn chỳng ta cú th lm nh sau : x + x + x + = y t y = x ú ta cú h : cng hai phng trỡnh ta c: 3x = y 2 ( x + 1) + ( x + 1) = y + y Hóy xõy dng nhng hm n iu v nhng bi toỏn vụ t theo dng trờn ? 15 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn ) ( ) ( 2 Bi Gii phng trỡnh : ( x + 1) + x + x + + x + x + = Gii: ( ( x + 1) + ( x + 1) ) ( + = ( x ) + ( ( x ) ) + f ( x + 1) = f ( 3x ) ) Xột hm s f ( t ) = t + t + , l hm ng bin trờn R, ta cú x = Bi Gii phng trỡnh x x x + = x + x x3 x x + = y y + y = ( x + 1) + ( x + 1) Gii t y = x + x , ta cú h : x + x = y Xột hm s : f ( t ) = t + t , l hm n iu tng T phng trỡnh x = f ( y ) = f ( x + 1) y = x + ( x + 1) = x + x x = 3 Bi Gii phng trỡnh : x + = x x V PHNG PHP LNG GIC HểA Mt s kin thc c bn: y [ 0; ] cho x = cos y ; cho : sin t = x v mt s y vi 2 Nu x thỡ cú mt s t vi t cho : sin t = x v mt s y vi Nu x thỡ cú mt s t vi t 0; y 0; cho x = cos y ; ữ cho : x = tan t 2 Nu : x , y l hai s thc tha: x + y = , thỡ cú mt s t vi t , cho x = sin t , y = cos t Vi mi s thc x cú t T ú chỳng ta cú phng phỏp gii toỏn : ; hoc x = cos y vi y [ 0; ] 2 Nu x thỡ t sin t = x , vi t 0; hoc x = cos y , vi y 0; 2 Nu : x , y l hai s thc tha: x + y = , thỡ t x = sin t , y = cos t vi t a Nu x a , ta cú th t : x = , vi t ; ữ , tng t cho trng hp sin t 2 Nu : x thỡ t sin t = x vi t khỏc ; ữ 2 X l s thc bt k thi t : x = tan t , t 16 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Ti li phi t iu kin cho t nh vy ? Chỳng ta bit rng t iu kin x = f ( t ) thỡ phi m bo vi mi x cú nht mt t , v iu kin trờn m bo iu ny (xem li vũng trũn lng giỏc ) Xõy dng phng trỡnh vụ t bng phng phỏp lng giỏc nh th no ? T cụng phng trỡnh lng giỏc n gin: cos3t = sin t , ta cú th to c phng trỡnh vụ t Chỳ ý : cos3t = 4cos3 t 3cos t ta cú phng trỡnh vụ t: x 3x = x (1) Nu thay x bng ta li cú phng trỡnh : x = x x x (2) Nu thay x phng trỡnh (1) bi : (x-1) ta s cú phng trỡnh v t khú: x 12 x + x = x x (3) Vic gii phng trỡnh (2) v (3) khụng n gin chỳt no ? Tng t nh vy t cụng thc sin 3x, sin 4x,.hóy xõy dng nhng phng trỡnh vụ t theo kiu lng giỏc Mt s vớ d + x2 ( + x ) Bi Gii phng trỡnh sau : ( x) = + x 3 Gii: iu kin : x Vi x [ 1;0] : thỡ ( 1+ x) ( x) (ptvn) x [0;1] ta t : x = cos t , t 0; Khi ú phng trỡnh tr thnh: 1 cos x + sin t ữ = + sin t cos t = vy phng trỡnh cú nghim : x = 6 Bi Gii cỏc phng trỡnh sau : 2x + 2x + + 2x 2x 1) 2x + + 2x = 2) + x2 = x + x2 3) x x = ( ) DH: tan x = s: x = + 2cos x 2cos x HD: chng minh x > vụ nghim x+2 Bi Gii phng trỡnh sau: 6x + = 2x ;cos m Xột : x , t x = cos t , t [ 0; ] Khi ú ta c S = cos ;cos 9 3 Gii: Lp phng v ta c: x x = x x = phng trỡnh bc cú ti a nghim vy ú cng chớnh l nghim ca phng trỡnh ữ x2 , t ; ữ Gii: k: x > , ta cú th t x = sin t 2 Bi .Gii phng trỡnh x + 17 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn cos t = Khi ú ptt: ( + cot t ) = sin x sin 2t = Phng trỡnh cú nghim : x = + ( ) x + ( x + 1) x +1 = + 2x 2x ( x2 ) 2 Bi Gii phng trỡnh : Gii: k x 0, x ; ữ 2 Khi ú pttt 2sin t cos 2t + cos 2t = sin t ( sin t 2sin t ) = Ta cú th t : x = tan t , t Kt hp vi iu kin ta cú nghim x = Bi tng hp Gii cỏc phng trỡnh sau 1) x + (1 x ) = x x2 2) x x 30 2007 30 + x 2007 = 30 2007 2x + 2 x > 3) 4) 5) 6) x + 16 x + x +1 = x x + x + = 2x + x + + 3x + = x + + x + 7) x + x + = ( x + 3) x2 + 10 x = x (HSG Ton Quc 2002) 8) 9) 10) 12 x ( x) ( x) = x+ ( x ) ( 10 x ) x2 + = x + 2x x + 3x3 = x 12) x 11x + 21 3 x = (OLYMPIC 30/4-2007) 11) x + x 3x = x + x + + x x + 13) x + 16 x + 18 + x = x + 3x + 3x + 2 15) x + x + = 3x + 16) 12 x + x = x + 14) x + + x = + x3 + x 18) x + x + = x x + + 2 x 17) 19) x + x3 + x + x + = + x 18 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn 20) ( x + ) + 16 ( x ) + 16 ( x ) = x + 16 21) x = (2004 + x )(1 x ) 22) ( x + x + 2)( x + x + 18) = 168 x 23) x x + = x + x2 + 24) ( + x ) + 3 x + ( x) =0 25) 2008 x x + = 2007 x 26) ( ) ( x + = x + 3x + x + ) 27) x + x + 12 x + = 36 28) ( x 1) 29) x + x3 + = x3 + x + x 1 = + x x x x x 14 x + x x 20 = x + 31) x + = x x 15 30 x x ) = 2004 30060 x + + 32) ( 4x + 33) = x2 + 7x 28 30) ( ) 34) x x 10 = x x 10 35) 3x =x x+x 19 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn CHUYấN : PHNG TRèNH Vễ T PHNG PHP BIN I TNG NG x D (*) Dng : Phng trỡnh A = B A = B A = B Lu ý: iu kin (*) c chn tu thuục vo phc ca A hay B B Dng 2: Phng trỡnh A = B A = B Dng 3: Phng trỡnh A A + B = C B (chuyn v dng 2) A + B + AB = C I A + B = C A + B + 3 A.B ( ) A+ B =C v ta s dng phộp th : A + B = C ta c phng trỡnh : A + B + 3 A.B.C = C Bi 1: Gii phng trỡnh: f) + x x = a) x = x g) x + = x + b) x x + = 3x + x + = x + h) c) x + x + = d) + x + x = e) x + x = i) ( x + 3) 10 x = x x 12 Bi 2: Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim: x + 3x = 2m + x x Bi 3: Cho phng trỡnh: x x = m a) Gii phng trỡnh m=1 b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim Bi 4: Cho phng trỡnh: x + mx = x m a) Gii phng trỡnh m=3 b) Vi giỏ tr no ca m thỡ phng trỡnh cú nghim II PHNG PHP T N PH 1) Phng phỏp t n ph thụng thng a) Nu bi toỏn cú cha f ( x) v f ( x) ú t t = f ( x) (vi iu kin ti thiu l t i vi cỏc phng trỡnh cú cha tham s thỡ nht thit phi tỡm iu kin ỳng cho n ph) b) Nu bi toỏn cú cha f ( x) , g ( x) v f ( x) g ( x) = k (vi k l hng s) ú cú th t : t = c) Nu bi toỏn cú cha t: t = k t f ( x ) g ( x ) ; f ( x ).g ( x ) v f ( x) + g ( x) = k ú cú th f ( x) , ú g ( x) = f ( x) g ( x) suy d) Nu bi toỏn cú cha vi t f ( x).g ( x) = t2 k a x thỡ t x = a sin t vi t hoc x = a cos t 2 20 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn e) Nu bi toỏn cú cha x= x a thỡ t x = a vi t [ 0; ] \ cos t f) Nu bi toỏn cú cha a vi t ; \ { 0} hoc sin t 2 x + a ta cú th t x = a tan t vi t ; ữ 2 Bi 1: Gii phng trỡnh: a) x + x + x + = 12 x f) x2 + 5x + 2 x2 + 5x = b) x x + x + = x g) x + 3x + 2 x + x + = c) x x + = x x + 12 h) x + x + 11 = 31 d) x + 15 x + x + x + = i) ( x + 5)(2 x) = x + x e) ( x + 4)( x + 1) x + x + = Bi 2: Gii phng trỡnh: a) x + (1 x ) = x ( x2 ) b) + x2 ( x ) c) x 2x x2 x2 + = ( 1+ x) = + x2 d) 64 x 112 x + 56 x = x e) x + x x2 = 35 12 x +1 = x3 f) ( x 3) ( x + 1) + ( x 3) Bi 3: Cho phng trỡnh: ( 1+ x) ( x) 1+ x + x + =m a) Gii phng trỡnh vi m=3 b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim c) Tỡm m phng trỡnh cú nghim nht 1 + =m x x2 a) Gii phng trỡnh vi m = + Bi 4: Cho phng trỡnh: b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim ( ) 2 Bi 5: Cho phng trỡnh: x x + x x m = a) Gii phng trỡnh vi m = b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim Phng phỏp t n ph khụng hon ton L vic s dng mt n ph chuyn phng trỡnh ban u thnh mt phng trỡnh vi mt n ph nhng cỏc h s cũn cha x T nhng phng trỡnh tớch ( 2x + x )( ( )( x +1 ) ) x +1 x + = , 2x + x + = 21 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Khai trin v rỳt gn ta s c nhng phng trỡnh vụ t khụng tm thng chỳt no, khú ca phng trỡnh dng ny ph thuc vo phng trỡnh tớch m ta xut phỏt T ú chỳng ta mi i tỡm cỏch gii phng trỡnh dng ny Phng phỏp gii c th hin qua cỏc vớ d sau ) ( 2 Bi Gii phng trỡnh : x + x + x = + x + Gii: t = t = x + , ta cú : t ( + x ) t + 3x = t = x Bi Gii phng trỡnh : ( x + 1) x2 2x + = x2 + Gii: t : t = x x + 3, t Khi ú phng trỡnh tr thnh : ( x + 1) t = x + x + ( x + 1) t = Bõy gi ta thờm bt , c phng trỡnh bc theo t cú chn 2 t = x x + ( x + 1) t + ( x 1) = t ( x + 1) t + ( x 1) = t = x T mt phng trỡnh n gin : ( x 1+ x )( ) x + + x = , khai trin ta s c pt sau Bi Gii phng trỡnh sau : x + = x + x + x Gii: Nhn xột : t t = x , pttt: + x = x + 2t + t + x (1) ( ) Ta rt x = t thay vo thỡ c pt: 3t + + x t + ( ) 1+ x = Nhng khụng cú s may mn gii c phng trỡnh theo t ( = + 1+ x ) 48 ( ) x + khụng cú dng bỡnh phng Mun t c mc ớch trờn thỡ ta phi tỏch 3x theo C th nh sau : x = ( x ) + ( + x ) ( ) ( x , 1+ x ) thay vo pt (1) ta c: Bi Gii phng trỡnh: 2 x + + x = x + 16 Gii ( ) 2 Bỡnh phng v phng trỡnh: ( x + ) + 16 x + 16 ( x ) = x + 16 ( ) = ( x ) + ( + ) x Ta t : t = x Ta c: x 16t 32 + x = Ta phi tỏch x 2 lm cho t cú dng chỡnh phng Nhn xột : Thụng thng ta ch cn nhúm cho ht h s t thỡ s t c mc ớch Bi tp: Gii cỏc phng trỡnh sau: a) (4 x 1) x + = x + x + b) x = x x x c) x = x x + x d) x + x = ( x + 2) x x + Phng phỏp t n ph chuyn v h 22 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn a) Dng thụng thng: t u = ( x ) , v = ( x ) v tỡm mi quan h gia ( x ) v ( x ) t ú tỡm c h theo u,v Chng hn i vi phng trỡnh: m a f ( x ) + m b + f ( x ) = c ta cú u = m a f ( x ) u m + v m = a + b m m th t: t ú suy u + v = a + b Khi ú ta cú h u + v = c v = m b + f ( x ) Bi tp: Gii cỏc phng trỡnh sau: a) x = x b) x = x c) x x ( x 1) x + x x = b) Dng phng trỡnh cha cn bc hai v ly tha bc hai: d = ac + ax + b = c(dx + e) + x + vi e = bc + Cỏch gii: t: dy + e = ax + b ú phng trỡnh c chuyn thnh h: dy + e = ax + b ( dy + e ) = ax + b ->gii 2 dy + e = c(dx + e) + x + c ( dy + e ) = x + dy + e Nhn xột: D s dng c phng phỏp trờn cn phi khộo lộo bin i phng trỡnh ban u v dng tha iu kin trờn t n ph.Vic chn ; thụng thng chỳng ta ch cn vit di dng : ( x + ) = p n a ' x + b ' + l chn c n c) Dng phng trỡnh cha cn bc ba v ly tha bc ba d = ac + ax + b = c ( dx + e ) + x + vi e = bc + Cỏch gii: t dy + e = ax + b ú phng trỡnh c chuyn thnh h: 3 dy + e = ax + b ( dy + e ) = ax + b 3 dy + e = c dx + e + x + ( ) c ( dx + e ) = x + dy + e c ( dy + e ) = acx + bc c(dx + e) = ( ac d ) x + dy + bc Bi tp: Gii cỏc phng trỡnh sau: 1) x + = x + x + x + = x + 13 x 3) x + = 3 x 4x + 4) = x2 + x x > 28 5) x + = x 2) ( ) 3 3 6) x 35 x x + 35 x = 30 7) x 13x + + 3x + = 8) x 13x + + 3x + = x2 10) x + = x x 9) 11) 81x = x3 x + ( ) 15 30 x x ) = 2004 30060 x + + ( 12) 3 x = x3 36 x + 53 25 III PHNG PHP HM S 23 TRUNG TM O TO T HC WTS a ch: Tng s nh 403 ng Nguyn Khang, Cu giy, H Ni Hotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn S dng cỏc tớnh cht ca hm s gii phng trỡnh l dng toỏn khỏ quen thuc Ta cú hng ỏp dng sau õy: Hng 1: Thc hin theo cỏc bc: Bc 1: Chuyn phng trỡnh v dng: f ( x) = k Bc 2: Xột hm s y = f ( x) Bc 3: Nhn xột: Vi x = x0 f ( x ) = f ( x0 ) = k ú x0 l nghim Vi x > x0 f ( x ) > f ( x0 ) = k ú phng trỡnh vụ nghim Vi x < x0 f ( x ) < f ( x0 ) = k ú phng trỡnh vụ nghim Vy x0 l nghim nht ca phng trỡnh Hng 2: thc hin theo cỏc bc Bc 1: Chuyn phng trỡnh v dng: f ( x) = g ( x) Bc 2: Dựng lp lun khng nh rng f ( x) v g(x) cú nhng tớnh cht trỏi ngc v xỏc nh x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 ) Bc 3: Vy x0 l nghim nht ca phng trỡnh Hng 3: Thc hin theo cỏc bc: Bc 1: Chuyn phng trỡnh v dng f (u ) = f (v) Bc 2: Xột hm s y = f ( x) , dựng lp lun khng nh hm s n iu Bc 3: Khi ú f (u ) = f (v) u = v ) ( ( ) 2 Vớ d: Gii phng trỡnh : ( x + 1) + x + x + + x + x + = Gii: ( pt ( x + 1) + ( x + 1) ( ) ( + = ( x ) + ( 3x ) ) ) + f ( x + 1) = f ( x ) Xột hm s f ( t ) = t + t + , l hm ng bin trờn R, ta cú x = Bi tp: Gii phng trỡnh: a) x + x = b) c) x = x3 x + x = + x x2 e) x = x + x x3 x + x + = f) 2x + x2 + = x d) Cỏc em c ti liu tham kho thờm nhộ ! Lp phng trỡnh vụ t, bt phng trỡnh v h phng trỡnh ca Thy c d kin t chc vo cui T3 sau kt thỳc t luyn ụn hỡnh hc ta Oxy ( 28/2 27/3 vo cỏc bui sỏng ch nht hng tun.Cỏc bn hóy ún xem nhng video v phn hc ny ca thy sp ti nhộ Mun trao i thờm thụng tin vi Thy cỏc bn liờn h qua ST 0986.035.246 hoc vo nhúm fb https://www.facebook.com/groups/564286070405967/ Chỳc cỏc em ụn bi t kt qu tt ! 24