Tọa độ oxy

CHUYÊN ĐỀ 9: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG 1.1 Lý Thuyết 1.1.1 Phương trình đường thẳng a.Vectơ phương phương trình tham số đường thẳng r u r r u≠0 r u *Vectơ VTCP đường thẳng (d) giá song song trùng với (d) r vtcp u = (a; b) ⇒  qua M(x ;y ) * Nếu đường thẳng (d) biết Phương trình tham số (d) là:  x = x0 + at   y = y0 + bt b Vectơ pháp tuyến phương trình tổng quát đường thẳng r n r r n≠0 r n * Vectơ VTPT đường thẳng (d) giá vuông góc với (d) r vtpt n = (a; b) ⇒  qua M(x ;y0 ) *Nếu đường thẳng (d) biết Phương trình tổng quát (d) là: a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = - Nếu (d) có VTCP r u = (a; b) (d) có VTPT r n = ( A; B ) r n = (−b; a) r u = ( − B; A) - Nếu (d) có VTPT (d) có VTCP *) Muốn lập phương trình đường thẳng qua điểm nhận vtpt vtcp c Đường thẳng (d) có phương trình ⇒ VTPT r n = ( A; B) , VTCP Ax + By + C = 0; A2 + B ≠ r u = ( − B; A) nhiều điểm mà (d) qua d Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn (d) cắt Ox, oy hai điểm A(a;0) B(0;b): x y + = 1( a ≠ 0; b ≠ 0) a b e Nếu đường thẳng (d) có phương trình tham số  x = x0 + at   y = y0 + bt với a ≠ 0; b ≠ ta có x − x0 y − y0 = a b phương trình tắc (d) là: Trong trường hợp a=0 b=0 đường thẳng phương trình tắc 1.1.2 Vị trí tương đối hai đường thẳng: Cho (d1): a1 x + b1 y + c1 = a2 x + b2 y + c2 = (d2): Tọa độ giao điểm (d1) (d2) nghiệm hệ phương trình: a1x+b1y+c1 =0 (I )  a x+b y+c2 =0 - Hệ (I) có nghiệm (x0;y0) - Hệ (I) vô số nghiệm - Hệ (I) vô nghiệm ⇔ ⇔ ⇔ (d1)cắt (d2) điểm M(x0;y0) (d1) trùng (d2) (d1)// (d2) ((d1) (d2) điểm chung ) 1.2 Các dạng tập bản: 1.2.1.Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng qua r n = ( A; B) Phương pháp: (d)  qua M ( x0 ; y0 ) r  VTPT n = ( A; B)   M ( x0 ; y0 ) có VTPT Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d qua A(-3;2) song song với ( ∆ ) : 2x − y −1 = Lời giải ∆ d// ∆ có VTPT r n = (2; −1) nên d có VTPT qua A(−3;2) r ⇒ (d )  r VTPT n = (2; −1) n = (2; −1) d có phương trình tổng quát là: 2(x+3)-1(y-2)=0 ⇔ 2x-y+8=0 M ( x1; y1 ) M ( x2 ; y2 ) 1.2.2 Dạng 2: Phương trình đường thẳng qua điểm qua M ( x1; y1 ) qua M ( x1 ; y1 ) uuuuuur r ⇒ (d )   VTCP M 1M = ( x2 − x1; y2 − y1 ) VTPT n = ( y1 − y2 ; x2 − x1 ) Phương pháp: (d) Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d biết: Qua A(1;2); B(3;4) Lời giải qua A(1;2) uuur  vtcp AB(2;2)  Do (d) qua A B nên (d): ⇒  x = + 2t   y = + 2t Phương trình tham số (d) qua A(1;2) r ⇒  vtpt n (2; −2)  (d): Phương trình tổng quát (d): 2(x-1)-2(y-2)=0 ⇔ 2x − y + = ⇔ x − y + = 1.2.3 Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng qua r u = (a; b) M ( x0 ; y0 ) có VTCP qua M ( x0 ; y0 ) qua M ( x0 ; y0 ) r r ⇒ (d )   VTCP u = (a; b) VTPT n = ( −a; b) Phương pháp: (d) Ví dụ 3: Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số, phương trình tắc (nếu có) đường thẳng (d) trường hợp sau: r u a) (d) qua điểm M(1;-2) có vtcp =(2;-1) b) (d) qua điểm A(3;2) vuông góc với (d1):5x+2y-1=0 Lời giải: a) Ta có:  qua M (1; −2)  x = + 2t r ⇒   vtcp u (2; −1)  y = −2 − t (d): Phương trình tham số (d) là:  qua M (1; −2) r ⇒  vtpt n (1;2)  (d): Phương trình tổng quát (d): 1(x-1)+2(y+2)=0↔ (d): x+2y+3=0 x −1 y + = −1 Phương trình tắc (d) là:  qua A(3;2)  x = + 5t qua A(3;2) uur ⇒ ⇒      y = + 2t ⊥ d1 vtcp nd1 (5; 2) b) (d): phương trình tham số (d): qua A(3; 2) r ⇒  vtpt n(2; −5) ⇔ 2x − y + = (d) Phương trình tổng quát (d): 2(x-3)-5(y-2)=0 Phương trình tắc (d): x −3 y −2 = *Muốn lập phương trình đường thẳng (d) ta cần biết (d): - Qua điểm biết VTCP - Qua điểm biết VTPT - Qua điểm phân biệt 1.3 Các toán liên quan đến góc khoảng cách 1.3.1 Kiến thức liên quan a Góc hai đường thẳng: *Định nghĩa: Hai đường thẳng (d1), (d2) cắt tạo thành góc Số đo nhỏ góc góc đường thẳng (d1) (d2) Kí hiệu (d1, d2) Suy ra, góc hai đường thẳng kề bù với góc hai VTPT (hoặc góc hai VTCP) Nếu (d1): a1x + b1 y + c1 = a2 x + b2 y + c2 = , (d2): ur uu r n1.n2 ur uu r a1a2 + b1b2 cos(d1 , d ) = cos(n1 , n2 ) = ur uu r = n1 n2 a12 + b12 a2 + b2 Chú ý: * (d1) ⊥ (d2) ur uu r ⇔ n1 ⊥ n2 ⇔ a1a2 + b1b2 = * Nếu (d1) (d2) có dạng y = k1 x + m1 y = k2 x + m2 (d1) ⊥ (d2) ur uu r ⇔ k1.k2 = −1 b Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng Cho (d): đường thẳng (d): ax+by+c=0 d (M , d ) = điểm M ( x0 ; y0 ) Khi khoảng cách từ điểm M tới ax +by +c a + b2 Chú ý: * Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) là: , - Là khoảng cách từ M đến M hình chiếu M lên (d) - Là khoảng cách ngắn từ M đến điểm thuộc (d) * Cho (d): ax+by+c=0 hai điểm M ( x0 ; y0 ) N ( x1; y1 ) (ax +by0 +c)(ax1 +by1 +c) - Nếu t < M, N nằm hai phía (d) - Nếu t>0 M, N nằm phía với (d) 1.3.2 Ví dụ minh họa , Đặt t = Ví dụ 1: a) Tìm góc đường thẳng  x = 3t d1 :  y = −t b) Tính khoảng cách từ M(-2;3) đến Lời giải a) r u = (3; −1) ⇒ d1 d2 : x − y − =  x = − 2t d :  y = 1+ t ur n1 = (1;3) có VTCP VTPT uu r d2 n2 = (1; −2) VTPT ur uu r n1.n2 1.1+3.(-2) cos(d1 ,d )= = ur uu = = r = + + 50 n1 n2 ⇒ ( d1 , d2 ) = 450 b) d qua A(3;1) r  VTPT    n = (1;2) ⇒ d :1( x − 3) + 2( y − 1) = ⇔ x + y − = d (M , d ) = −2 + 2.3 − 1+ = Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d qua M(0;1) tạo với d: 450 góc Lời giải (Có đường thẳng lập luận hình vẽ) qua M (0;1) r  VTPT    n =(A;B), A +B2 ≠   ∆ đường thẳng ur n1 = (1;2) d có VTPT x + 2y + = A.1 + B.2 cos(∆, d ) = cos450 ⇔ A + B 1+ 2 A + 2B = cos450 ⇔ A +B 2 = ⇔ 5( A2 + B ) = 2( A + B)2 ⇔ A2 − AB − 3B = ⇔ ( A − 3B)(3 A + B ) =  A = 3B ⇔ 3 A = − B *) A=3B: chọn A=3 ⇒ *) 3A=-B: chọn A=1 B=1 ⇒ Vậy có đường thẳng: ⇒ ∆ : 3( x − 0) + 1( y − 1) = ⇔ 3x + y − = B=-3 ⇒ ∆ :1( x − 0) − 3( y − 1) = ⇔ x − y + = 3 x + y − = x − 3y + =  Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng đường thẳng qua P(2;-1), d cắt Lời giải d1 : x − y + = d : x + y − = ; d1; d2 Lập phương trình tạo thành tam giác cân giao điểm d1 d2 r n=(A;B), A +B2 ≠ Giả sử d có VTPT qua P(2; −1) r  2 VTPT   n=(A;B), A +B ≠ ⇒ d : A( x − 2) + B ( y + 1) = d đường thẳng Tam giác cân giao điểm d1 d2 nên (d ; d1 ) = (d ; d ) cos(d , d1 ) = cos(d , d ) ⇔ A.2 + B.(−1) A2 + B + = A + 6.B + 36 A2 + B ⇔ A − B = A + B ⇔ A − B = A + 2B 2 A − B = A + 2B  A = 3B ⇔ ⇔  A − B = − ( A + B ) 3 A = − B *) A=3B Chọn A=3 B=1 ⇒ d : 3( x − 2) + 1( y + 1) = ⇔ x + y − = ⇒ d :1( x − 2) − 3( y + 1) = ⇔ x − y − = *) 3A=-B chọn A=1 B=-3 Ví dụ 4: Cho hình vuông, đỉnh có tọa độ (-4; 5) đường chéo có phương trình 7xy+8=0 Lập phương trình cạnh Lời giải Gọi A(-4; 5) d: 7x-y+8=0 , A ∆ Lập phương trình đường thẳng Gỉa sử ∆ Cos450 = có VTPT r n = ( A; B) A − B A + B 49 + 2 qua A tạo với BD góc 45 với ⇔ ∉ d ⇒ BD : x − y + = A2 + B ≠ = 7A − B A + B 50 ⇔ ( A − B ) = 25 ( A2 + B ) ⇔ 12 A2 − AB − 12 B = ⇔ ( A − B ) ( A + 3B ) = 3 A = B ⇔  A = −3B *) 3A=4B, chọn A=4 B=3 ⇒ ∆ : 4( x + 4) + ( y − ) = ⇔ x + y + = *) 4A=-3B, chọn A=3 B=-4 Chọn AB: AD: ⇒ ∆ : ( x + ) − ( y − ) = ⇔ x − y + 32 = 4x + 3y +1 = x − y + 32 = B = AB ∩ BD ⇒ B ( −1;1) D = AD ∩ BD ⇒ D ( 0;8 ) ⇒ I trung điểm AC nên: Tâm I( − ; 2 )   1 xC =  − ÷− ( −4 ) =    2 ⇒ C ( 3; )   y = − = C   CD: qua C(3;4) qua C(3;4) r ⇒ CD :    / /   AB VTPT    n = (4;3) ( x − 3) + ( y − ) = ⇔ x + y − 24 = CD: BC: 3x-4y+7=0 Vậy phương trình cạnh: 4x+3y+1=0 4x+3y-24=0 3x-4y+32=0 3x-4y+7=0 Ví dụ 5: Cho tam giác ABC, A(3;2), B(1;6), C(-5;3) Tính chiều cao Lời giải ha = d ( A, BC ) qua B(1;6) qua B(1;6) uuur r BC :  ⇒ BC :  VTPT    n = (1; −2) VTCP    BC = ( −6; −3) ⇒ BC :1( x − 1) − ( y − ) = ⇔ x − y + 11 = = d ( A, BC ) = − 2.2 + 11 1+ Ví dụ 6: Tìm M thuộc Lời giải =2 x = ∆: y = 3+ t để d (M , ∆' ) = với ∆' : x + y + = M ∈ ∆ ⇒ M ( 1;3 + t ) d (M , ∆' ) = *) *) ⇔ 1+ + t +1 t = −3 ⇒ M ( 1;0 ) t = −7 ⇒ M ( 1; −4 ) 1+1 t + = t = −3 = ⇔ t +5 = 2⇔  ⇔ t + = −2 t = −7 Ví dụ 7: Cho tam giác ABC, A(2;-3), B(3;-2), trọng tâm G thuộc S ABC = tọa độ C để Lời giải ∆ : 3x − y − = G ∈ ∆ ⇒ G ( a;3a − ) Vì G trọng tâm tam giác ABC  x A + xB + xC = 3xG  xC = 3xG − x A − xB = 3a − − ⇔ ⇔  y A + yB + yC = yG  yC = yG − y A − yB = 9a − 24 + + C(3a-5;9a-19) S ABC = 3 ⇔ CH AB = ⇔ d (C , AB ) AB = 2 uuu r AB = ( 1;1) ⇒ AB = + = (1) qua A(2;-3) qua A(2;-3) uuur r AB :  ⇔ AB :  VTCP    AB = (1;1) VTPT    n = (1; −1) AB :1( x − ) − 1( y + 3) = ⇔ x − y − = d (C , AB ) = ⇔ (1) 3a − − ( 9a − 19 ) − −6a + 1+1 = −6a +  2a − = a = = ⇔ 6a − = ⇔ 2a − = ⇔  ⇔  2a − = −1  a = C1 ( 1; −1) ; C2 ( −2; −10 ) Vậy có điểm: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy 1) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng (d): a)A(3;5) (d): x − y −1 = Tìm cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích điểm A có hoành độ dương Bài 5: (B10) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A, có đỉnh C(− 4; 1), phân giác góc A có phương trình x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hoành độ dương 1.4.5 Các toán tứ giác a Kiến thức liên quan i) Hình bình hành *) uuur uuur AB = DC S ABCD = AC.BD.sin I *) (đúng với tứ giác lồi bất kì) *) AC, BD chia hình bình hành thành tam giác có diện tích *) Nếu M thuộc AB N điểm đối xứng với M qua tâm I hình bình hành N thuộc CD ii) Hình thoi Hình thoi Hình bình hành có: *) AB=AD AC ⊥ BD *) *) AC đường phân giác góc BD đường phân giác góc iii) Hình chữ nhật ∠ ∠ DAB, góc ABC, góc ∠ ∠ DCB ADC AB ⊥ AD Là Hình bình hành có: *) *)AC=BD d ( I , AB) AD d ( M , AB) = = d ( I , AD) AB d ( N , AD) *) (Sử dụng tính chất biết tỉ lệ cạnh Hình chữ nhật ví dụ: AB=2AD) IH ⊥ AB ⇔ *) H trung diểm AB *) Các góc nhau: A1 = B1 = C1 = D1 ; *) IA=IB=IC=ID iv) Hình vuông uuu r uuur  AB = DC r uuur   uuu  AB ⊥ AD  uuur uuur   AC ⊥ BD *) Là tứ giác có *) d(P,AB)=d(Q,AD); (AB=AD) Lưu ý: Với số toán ta giải cách dựa vào dựng hình b Bài tập tự luyện Bài 1: Hình chữ nhật ABCD, I giao diểm AC BD, I(6;2), M(1;5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E CD thuộc Đ/S: TH1:y-5=0 TH2: x-4y+19=0 ∆ :x+y-5=0 Viết phương trình cạnh AB Bài 2: Hình chữ nhật ABCD, có diện tích 12, tâm I ∈d : x − y −3 = , có hoành độ , trung điểm AB giao diểm d Ox Tìm tọa độ đỉnh Hình chữ nhật Đ/S:TH1:A(4;-1);B(2;1);C(5;4);D(7;2) TH1:A(2;1);B(4;-1);C(7;2);D(5;4) Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng AB ∆: x + y −5 = Viết phương trình đường thẳng BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 2.1 Dạng 1: Viết phương trình đường tròn x2 + y − 4x = 1) Cho d: 2x-2y+1=0; (C): ; CMR d cắt (C) điểm phân biệt Lập ' phương trình đường tròn (C ) qua giao điểm tiếp xúc với x+y=0 2) Cho d: x-y+1=0; (C): x2 + y + x − y = Xác định M thuộc d để từ kẻ tiếp tuyến đến (C) tiếp tuyến tạo với góc x2 + y − x − y − = 3) (C): tiếp tuyến vuông góc tới (C) 4) (C ) : x + y + x − y = ∆ : x − y + 10 = cắt (C ) 600 ; d: x+y+1=0 Tìm M thuộc d cho từ M kẻ Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với điểm A, B thỏa mãn AB=6 (C ) : x + y − x − y − = (C ) (C ) : x + y = (C ) 5) K(0;2); đường thẳng d qua K cắt phương trình đường thẳng d trường hợp MN ngắn 6): A(1;2); ngắn 7) : Lập phương trình đường thẳng qua A cắt d1 : x + y − = 0; d2 : x − y − = tâm I thuộc d1 cắt d2 Viết phương trình đường tròn điểm A, B cho AB= (C ) M, N Viết theo dây cung qua M(1 ;-1), BÀI ĐỌC THÊM Sủ dụng phép biến hình toán tọa độ hình học phẳng 3.1 Kiến thức liên quan 3.1.1 Phép tịnh tiến Tvr Tvr r v = ( a; b ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép tịnh tiến theo Vectơ biến điểm M(x;y) thành điểm M’(x+a;y+b) 3.1.2 Phép đối xứng tâm Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép đối xứng tâm I(a;b) biến điểm M(x;y) thành điểm M’(2a-x;2b-y) 3.1.3 Phép đối xứng trục Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép đối xứng trục điểm M’sao cho +) Nếu +) Nếu +) Nếu +) Nếu ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ biến điểm M(x;y) thành đường trung trực MM’ trục Ox M’(x;-y) trục Oy M’(-x;y) đường phân giác góc phần tư thứ I thứ III M’(y;x) đường phân giác góc phần tư thứ II thứ IV M’(-y;-x) c0 =ax + by0 M ( x0 ; y0 ) ∆ +) Nếu đường thẳng ax+by+c=0, đặt với tọa độ M’ là: 3.1.4 Phép quay  2a ( c + c0 ) xM ' = x0 −   a2 + b2   y = y − 2b ( c + c0 )  M a + b2  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép quay tâm I(a;b) góc quay thành điểm M’(x’;y’) +) Nếu tâm quay gốc tọa độ góc quay 900 +) Nếu tâm quay gốc tọa độ góc quay +) Nếu tâm quay gốc tọa độ góc quay 90 ϕ ϕ biến điểm M M’(-y;x) M’(y;-x) tọa độ M’ thỏa mãn:  x ' = x cos ϕ − y sin ϕ   y ' = x sin ϕ + y cos ϕ 3.1.5 Phép vị tự Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép vị tự tâm I(a;b), tỉ số k biến điểm M(x;y) thành M’(x’;y’) thỏa mãn: uuuur uuur IM ' = k IM Tọa độ M’ thỏa mãn 3.2 Các ví dụ minh họa  x ' = a + k ( x − a )   y' = b + k ( y − a ) ( x − 1) + ( y + 3) = Ví dụ 1: Cho đường tròn (T): hai điểm A(-1;1); B(2;-2) Tìm tọa độ điểm C; D đường tròn (T) cho tứ giác ABCD hình bình hành Lời giải Cách 1: Đường tròn (T) có tâm I(1;-3) bán kính R=3 uuu r r AB = ( 3; −3) = ( 1; −1) ⇒ n = ( 1;1) Phương trình CD có VTCP VTPT ⇒ CD : x + y + m = Tứ giác ABCD hình bình hành ⇒ AB = CD = CD 18 ⇒ d ( I ; CD ) = IH = R − = 9− = 4 2 d ( I ; CD ) = 1− + m Mà +)m=5 = m−2 = m = ⇔  m = −1 ⇒ CD : x + y + = Tọa độ C, D thỏa mãn hệ phương trình:  x + y + =  2  ( x − 1) + ( y + ) =  x = ⇒ y = −6 2 ⇒ y = − x − ⇒ ( x − 1) + ( − x − ) = ⇔ x + x − = ⇔   x = −2 ⇒ y = −3 C(1;-6); D(-2;-3) +)m=-1 ⇒ CD : x + y − = Tọa độ C, D thỏa mãn hệ phương trình:  x + y −1 =  2  ( x − 1) + ( y + ) = x = 1⇒ y = 2 ⇒ y = − x ⇒ ( x − 1) + ( − x ) = ⇔ x − 10 x + = ⇔   x = ⇒ y = −3 C(1;0); D(4;-3) Cách 2: Sử dụng tịnh tiến: Ta có uuur AB = (3; −3) Phép TuABuur : D → C (I) → (I') x = +1 = ⇒  I' ⇒ I '(4; −6);R' = R =  yI ' = −3 − = −6 Phương trình đường tròn (T’): Tọa độ ( x − 4) + ( y + 6) =  x = ( x − ) + ( y + ) = ( x − ) + ( y + ) =   y = −3 C = (T) ∩ (T') ⇒  ⇔ ⇒ 2  x =  x = y + ( x − 1) + ( y + 3) =    y = −6 +) C(4;-3) uuu r uuur ⇒ AB = DC ⇒ D ( 1;0 ) uuu r uuur ⇒ AB = DC ⇒ D ( −2; −3) +) C(1;-6) Vậy cặp điểm C(4;-3); D(1;0) C(1;-6); D(-2;-3) Ví dụ 2: Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết tâm I(1;1), điểm J(-2;2) thuộc đường thẳng AB điểm K(2;-2) thuộc đường thẳng CD Lời giải Vì I(1;1) tâm đối xứng hình vuông Đ I : J → J ' ⇒ J'(2.1 + 2;2.1 − 2) ⇒ J'(4;0) ∈ CD ⇒ CD : qua K(2;-2) có VTCP uuuur −1 − J ' K = ( −2; −2 ) = −2 ( 1;1) ⇒ CD : x − y − = ⇒ d ( I ; CD ) = =2 2 ⇒ IC = 2 = ⊕ Mà C(t;t-4) t = ⇔ t = uur 2 ⇒ IC = ( t − 1; t − ) ⇒ ( t − 1) + ( t − ) = 16 ⇔ 2t − 12t + 10 = t = ⇒ C ( 1; −3) ⇒ A ( 1;5) Do a = D ∈ CD ⇒ D ( a; a − ) ⇒  a = ⇒ Vai trò A, B   A ( 1;5) ⇒ B ( −3;1)   C ( 1; −3) ⇒ D ( 5;1) ⊕ với ngược lại Ví dụ 3: (Trích đề thi khối A năm 2009) Cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB trung điểm ∆:x+ y−5= E cạnh CD thuộc đường thẳng Viết phương trình đường thẳng AB Lời giải Do điểm I(6;2) tâm đối xứng hình chữ nhật Xét phép đối xứng: Đ I : M → M ' ⇒ M '(2.6 − 1;2.2 − 5) ⇒ M '(11; −1) ∈ CD Mà Vì uur uuuur E ∈ ∆ ⇒ E ( t ;5 − t ) ⇒ IE = ( t − 6;3 − t ) ; M 'E = ( t − 11;6 − t ) uur uuuuur M ' E ⊥ IE ⇒ IE.M ' E = t = ⇒ ( t − ) ( t − 11) + ( − t ) ( − t ) = ⇔ ( t − ) ( 2t − 17 ) = ⇔  17 t =  1  I  ;2 ÷ 2  Ví dụ 4: Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD biết tâm điểm M(-1;2); N(5;2); P(1;1); Q(4;-2) nằm đường thẳng AB, BC, CD, DA Lời giải Vì tứ giác ABCD hình bình hành, I tâm đối xứng nên Đ I : M → M ' ⇒ M '(2;2) ∈ CD Do CD ≡ M ' P ⇒ CD : x − y = Vì AB//CD Xét ⇒ AB : x − y + = Đ I : N → N ' ⇒ N '(−4;2) ∈ A D ⇒ AD ≡ QN' : x + y = ⇒ BC : x + y − = Mặt khác: BC//AD Từ phương trình cạnh hình bình hành ABCD ta xác định tọa độ đỉnh A(1;4); B(3;3); C(0;0); D(-2;1)  1 M  0; ÷  3 Ví dụ 5: Cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) AC=2BD Điểm thuộc đường thẳng B, điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ điểm B, biết hoành độ điểm B dương Lời giải Vì I tâm đối xứng hình thoi Đ I : N → N ' ⇒ N '(4 − 0;2 − 7) ⇒ N' ( 4; −5 ) ∈ AB ⇒ AB ≡ M N' : x + y− = ⇒ d ( I ; AB ) = 4.2 + 3.1 − = = IH Theo đề AC=2BD ⇒ IA = IB Mà tam giác vuông ABI có 1 1 1 = + ⇔ = + ⇔ IB = 2 2 IH IA IB 4 IB IB 2  − 4b   4b +  B ∈ AB ⇒ B  b; ÷, b > ⇒ IB = ( b − ) +  ÷ = ⇒ b = ⇒ B ( 1; −1)     Do Nhận xét: Các hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông giả thiết cho biết tọa độ giao điểm hai đường chéo biết tọa độ tâm đối xứng nên ta sử dụng phép đối xứng tâm Ví dụ 6: (Trích đề thi khối B năm 2008) Xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vuông góc C đường thẳng AB điểm H(-1;-1), đường phân giác góc A có phương trình: x-y+2=0 đường cao qua B là: 4x+3y-1=0 Lời giải Xét phép đối xứng trục AD: Đ AD : H → H ' Kẻ HK vuông góc với đường phân giác góc A cắt phân giác góc A I, K thuộc BC HK có phương trình: Toạ độ Gọi ⇒ ∆AKH cân A x + y + m = ⇒ −1 − + m = ⇔ m =  x + y + =  x = −2 I : ⇔ ⇒ I ( −2;0 ) ⇒ K ( −3;1) x − y + = y =   BE ⊥ AC ; E ∈ AC ; AK ⊥ BE ⇒ phương trình AK có dạng: x − y + n = ⇒ −3.3 − 4.1 + n = ⇒ n = 13 ⇒ AK : x − y + 13 = ⇒ toạ độ đỉnh A là: uuur 3 x + y + 13 =  x = ⇔ ⇒ A ( 5;7 ) ⇒ AH = ( −6; −8 ) = −2 ( 3;4 )  x − y + = y = −3t − 13   −3t − 17   3t + 13  uuur  C ∈ AK ⇒ C  t ; − ÷ =  −1 − t; ÷ ⇒ CH =  −1 − t; ÷  4      uuur uuur 10  10  AH CH ⇔ ( + t ) + 3t + 17 = ⇔ t = − ⇒ C  − ; ÷  4 Ví dụ 7: (Trích đề thi khối B năm 2007) Cho ∆1 : x + y − = 0; ∆ : x + y − = ∆ABC vuông cân Lời giải: Cách 1: Tìm toạ độ A ( 2; ) B A B ∈ ∆1 ⇒ B ( b;2 − b ) C ∈ ∆ ⇒ C ( c;8 − c ) uuu r uuur ⇒ AB = ( b − 2; −b ) ; AC = ( c − 2;6 − c ) C đường thẳng thuộc ∆1; ∆ cho ∆ABC vuông cân A uuur uuur  AB AC = ( b − ) ( c − ) + ( − c ) ( −b ) = ⇔ ⇔  2 2 ( b − ) + b = ( c − ) + ( − c )  AB = AC ( 1) Giải hệ phương trình khó! học sinh uuu r AB = ( b − 2; −b ) ∆ABC A Cách 2: Ta có Điều kiện cần đủ để vuông cân uuur  AC = ( b; b − )  uuur  AC = ( −b;2 − b )  uuur  xC − = b  xC = b + AC = ( b; b − ) ⇒  ⇔ ⇒ C ( b + 2; b ) ∈ ∆ y − = b − y = b  C  C ⇒ b + + b − = ⇒ b = ⇒ B ( 3; −1) ; C ( 5;3)  uuur  xC = − b AC = ( −b;2 − b ) ⇒  ⇒ C ( − b;4 − b ) ∈ ∆ y = − b  C ⇒ − b + − b − = ⇒ b = −1 ⇒ B ( −1;3) ; C ( 3;5 ) uuur r AB ≠ ∆ABC với uuur ∆ABC A AC = ( y0 ; − x0 ) b) Điều kiện cần đủ để vuông cân uuur AC = ( − y0 ; x0 ) Lưu ý Với phép quay ta có kết quan trọng sau: Cho c) Điều kiện cần đủ để ∆ABC  uuur  x0 3 x0 y0  y0 ; + ÷  AC =  − 2 2 ÷     uuur  AC =  x0 + y ; − 3x0 + y0   ÷  2 ÷    Chứng minh: Suy trực tiếp từ công thức:  x′ = x cos α − y sin α   y′ = x sin α + y cos α A ( 2;2 ) Ví dụ Cho Tìm điểm 0x ∆ABC cho Lời giải: B thuộc đường thẳng d:y =3 điểm C thuộc trục uuu r B ∈ y = ⇒ B ( b;3) ⇒ AB = ( b − 1; ) Cách 1: Do uuur uuur C ∈ x ⇒ C ( c;0 ) ⇒ AC = ( c − 1; −1) ; BC = ( c − b; −3 ) ∆ABC ( b − 1) + = ( c − 1) +  AB = AC ⇔ ⇔ 2  AB = BC ( b − 1) + = ( c − b ) + ( 1) Giải hệ phương trình khó! học sinh uuu r B ( b;3) AB = ( b − 1; ) ⇔ ∆ABC Cách 2: Gọi Ta có Mà  uuur  b −  ( b − 1) − 3; + 1÷  AC =   ÷      ( b − 1)  uuur  b − AC = + 3; − +  ÷   ÷     b +1  ( b − 1) ⇒ C − 3; + 2÷  ÷    Với  b +1  ( b − 1) C + 3; − + 2÷  ÷    b +1  ( b − 1) ( b − 1) −4 C − 3; + ÷∈ x ⇒ +2=0⇔b= +1  ÷ 2    −4    ⇒ B + 1;3 ÷; C 1 − ;0 ÷      Với  b +1  ( b − 1) ( b − 1) C + 3; − + ÷∈ x ⇒ − +2=0⇔b= +1  ÷ 2       ⇒ B + 1;3 ÷; C  + ;0 ÷     Ví dụ 9: (Trích đề thi khối D năm 2011) Cho đường tròn điểm ∆AMN A ( 1;0 ) Viết phương trình đường thẳng vuông cân A ∆ cắt ( C ) : x2 + y − x + y − = ( C) điểm M;N cho Lời giải: Cách 1: Đáp án giáo dục đào tạo ( C) I ( 1; −2 ) 10 Đường tròn có tâm , bán kính IM = IN AM = AN ⇒ AI ⊥ MN ⇒ Ta có: phương trình ∆ có dạng: Hoành độ M;N y=m nghiệm phương trình: x − x + m + 4m − = ( 1) ( 1) x1; x2 ⇔ m + 4m − < ( *) M ( x1 ; m ) ; N ( x2 ; m ) có nghiệm Khi ta có: uuuu r uuur AM ⊥ AN ⇔ AM AN = ⇔ ( x1 − 1) ( x2 − 1) + m = ⇔ x1 x2 − ( x1 + x2 ) + m + = m = ⇒ 2m + 4m − = ⇔  ( t / m *)  m = −3 áp dụng định lí viét Vậy phương trình ∆ y = y = −3 ( 1) Cách 2: Do vai trò M; N nên ta giả sử góc lượng giác: ( AM;AN ) = 900 M ( x ; y ) ∈ ( C ) ⇒ x 02 + y 02 − 2x + 4y − = ( 1) Gọi Ta có: uuuu r uuur AM = ( x − 1; y0 ) ⇒ AN = ( − y ; x − 1) ⇒ N ( − y ; x − 1) N ∈ ( C ) ⇒ ( − y ) + ( x − 1) − ( − y ) + ( x − 1) − = ⇔ x 02 + y 02 + 2x − = mà Ta có hệ phương trình: x   y0 ⇔  x    y 2   x − y0 − =  x + y − 2x + 4y − = ⇔   2  x + y + 2x − =  x + y0 + 2x − =  =2 =1 = −2 = −3  Nếu x0 = ⇒ M ( 2;1) ; N ( 0;1) ⇒ ∆ : y =   y0 =  x = −2 ⇒ M ( −2; −3 ) ; N ( 4; −3 ) ⇒ ∆ : y = −3  y = −  Nếu   KL: ∆ : y = y = −3 C : x − 1) Ví dụ 10: (Trích đề thi khối D năm 2009) Cho ( ) ( + y2 = Gọi I tâm, xác · M ∈ ( C) định toạ độ điểm cho IM0 = 30 Lời giải: Cách 1: Đáp án giáo dục đào tạo M ( a;b ) ∈ ( C ) ⇒ ( a − 1) + b = 1; ∈ ( C ) ⇒ I0 = IM = Gọi · ∆IM0 có 0IM = 1200 ⇒ 0M = I0 + IM − 2I0.IM.cos1200 ⇔ a + b = 3  a= 2  ( a − 1) + b =  ⇔  3 3 a + b = b = ± M =  ;± ÷ 2     M Toạ độ nghiệm hệ: Vậy C I 1;0 Cách 2: Đường tròn ( ) có tâm ( ) , bán kính R = 0 · · ∈ ( C ) ∆ 0MI Dễ thấy cân I nên IM = 30 ⇔ MI0 = 120 uuu r 1 3 3 3 IM = ( − cos1200 ; − sin1200 ) =  ; − ÷⇒ M  ; − ÷ 2  2    Do nên uuu r 1 3 3 3 IM = − cos ( −1200 ) ; − sin ( −1200 ) =  ; ÷⇒ M  ; ÷ 2  2    Hoặc 3 3 3 3 M ;− M ; ÷ ÷ 2  2     KL: uu r I0 = ( −1;0 ) ( ) Ví dụ 11: (Trích đề thi khối A năm 2005) Cho hai đường thẳng d1 : x − y = 0; d : 2x + y − = Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD , biết A;C thuộc d1 ;d B;D thuộc Ox Lời giải: Cách 1: Đáp án Bộ giáo dục đào tạo A ∈ d1 ⇒ A ( t; t ) Vì B;D ∈ 0x ⇒ C ( t; −t ) Vì A C đối xứng qua BD C ∈ d ⇒ 2t − t − = ⇒ t = ⇒ A ( 1;1) ;C ( 1; −1) Vì IB = IA =  I 1;0 Trung điểm AC ( ) Vì I tâm hình vuông nên ID = IA =  B ( b;0 )  B ∈ 0x  b − = b = 0;b = ⇔ ⇒ ⇔ ⇒ B ( 0;0 ) ;D ( 2;0 )   D ∈ 0x  D ( d;0 )  d − = d = 0;d = B ( 2;0 ) ;D ( 0;0 ) Vậy bốn đỉnh hình vuông A ( 1;1) ;B ( 0;0 ) ;C ( 1; −1) ;D ( 2;0 ) A 1;1 ;B 2;0 ) ;C ( 1; −1) ; D ( 0;0 ) ( ) ( uuur  AD = ( a;b − a ) uuur A ( a;a ) ;B ( b;0 ) ⇒ AB = ( b − a; −a ) ⇒  uuur  AD = ( −a; −b + a ) Cách 2: uuur AD = ( a; b − a ) ⇒ D ( 2a;b ) ∈ 0x ⇒ b = 0; D ( 2a;0 ) +) ⇒ B ( 0;0 ) ;D ( 2a;0 ) ⇒ I ( a;0 ) ⇒ C ( a; −a ) ∈ d ⇒ 2a − a − = ⇔ a = ⇒ A ( 1;1) ;D ( 2;0 ) ;C ( 1; −1) ... Tìm tọa độ tâm đỉnh lại 4) Cho tam giác ABC, M(-1;1) trung điểm BC, AB: x+y-2=0, AC: 2x+6y+3=0 Tìm tọa độ A, B, C 5) Cho d1 : 2x-y+1=0; d2 : x+2y-7=0, viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa. .. , có hoành độ , trung điểm AB giao diểm d Ox Tìm tọa độ đỉnh Hình chữ nhật Đ/S:TH1:A(4;-1);B(2;1);C(5;4);D(7;2) TH1:A(2;1);B(4;-1);C(7;2);D(5;4) Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình... BÀI ĐỌC THÊM Sủ dụng phép biến hình toán tọa độ hình học phẳng 3.1 Kiến thức liên quan 3.1.1 Phép tịnh tiến Tvr Tvr r v = ( a; b ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép tịnh tiến theo Vectơ biến điểm