Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 42 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
42
Dung lượng
1,79 MB
Nội dung
§ BẤTPHƯƠNGTRÌNHCHỨACĂNTHỨC GIỚI THIỆU Kể từ năm 2005 đến nay, đề thi đại học môn toán có toán bấtphươngtrìnhchứa căn: Bµi (Đề thi đại học − Khối D năm 2002): Giải bấtphương trình: (x Bµi Bµi Bµi − 3x ) 2x − 3x − ≥ 0, x ∈ ¡ (Đề thi đại học − Khối B năm 2012): Giải bấtphương trình: x + + x − 4x + ≥ x , (x ∈ ¡ ) (Đề thi đại học − Khối A năm 2005): Giải bấtphương trình: 5x − − x − > 2x − 4, x ∈ ¡ (Đề thi đại học − Khối A năm 2010): Giải bấtphương trình: x− x − ( x − x + 1) ≥ 1, x ∈ ¡ ĐỊNH HƯỚNG Nhận thấy: Bài thuộc Dạng bấtphươngtrìnhchứa bậc hai Bài thuộc Dạng bấtphươngtrìnhchứa bậc hai Bài thuộc Dạng bấtphươngtrìnhchứa có bậc khác Bài 4, thuộc Dạng bấtphươngtrìnhchứa nhiều Từ đó, để cung cấp cho em học sinh giáo trình gọn nhẹ với đầy đủ kiến thức, giảng chia thành phần (4 dạng bấtphương trình) Ví dụ phần quan trọng, cung cấp phương pháp để giải Hoạt động sau ví dụ tập BẤTPHƯƠNGTRÌNHCHỨA MỘT CĂN BẬC HAI VÝ dô 1: (Đề thi đại học − Khối D năm 2002): Giải bấtphương trình: (x − 3x ) 2x − 3x − ≥ 0, x ∈ ¡ ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Đây dạng bấtphươngtrình đơn giản dạng AB ≥ nhiều học sinh không tìm đầy đủ nghiệm Chúng ta cần sử dụng phép biến đổi tương đương sau: g(x) = f (x) g(x) ≥ , với f(x) g(x) có nghĩa ⇔ g(x) > f (x) ≥ Giải Bấtphươngtrình tương đương với: x = ∨ x = − 2x − 3x − = x ≥ x > ⇔ x = 2x − 3x − > ⇔ x < −1/ x − 3x ≥ x ≤ −1/ x ≥ x ≤ 1 Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình −∞; − ∪ { 2} ∪ [ 3; + ∞ ) 2 HOẠT ĐỘNG 1: Giải bấtphương trình: a (x − 1) 2x − ≤ 3(x − 1), x ∈ ¡ b (x + 1) + (x + 1) + 3x x + > 0, x ∈ ¡ DẠNG CƠ BẢN Với bấtphươngtrình f(x) < g(x) ta có phép biến đổi tương đương: f(x) ≥ g(x) > f(x) < g2(x) (*) Các em học sinh cần biết đánh giá tính giải bấtphươngtrình (*) VÝ dô 2: Giải bấtphương trình: x + ≥ 2(x − 1), x ∈ ¡ ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Sử dụng lược đồ “DẠNG CƠ BẢN 1” bới trường hợp (*) bấtphươngtrình bậc hai − Giải Giải Bấtphươngtrình tương đương với: x ≥1 x ≥1 2(x − 1) ≥ ⇔ x ≥ −1 ⇔ x ≥ −1 ⇔ x + ≥ 2(x − 1) ≤ (x + 1) x − 2x − ≤ −1 ≤ x ≤ Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình [1; 3] ∪ {−1} x = −1 1 ≤ x ≤ HOẠT ĐỘNG 2: Giải bấtphương trình: VÝ dô 3: a x − 3x − 10 < x − 2, x ∈ ¡ b x − 2x − 15 ≤ x − 3, x ∈ ¡ Giải bấtphương trình: x2 + ≤ 3x2 − 1, x ∈ ¡ ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Sử dụng lược đồ “DẠNG CƠ BẢN 1” bới trường hợp (*) bấtphươngtrình trùng phương − Giải Ngoài ra, bấtphươngtrình giải theo cách khác: Nhẩm nghiệm x0 chuyển bấtphươngtrình dạng tích (x − x0)h(x) phép nhân liên hợp Cụ thể: − Nhận xét x0 = nghiệm bấtphươngtrình − Biến đổi bấtphươngtrình dạng: x + − ≤ 3x − ⇔ 2 x2 + 3− x + 3+ ⇔ (x2 − 1) − 3÷ ≤ x + 3+ ( ) ≤ x2 − Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với t = x2 + 3, t ≥ Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Với điều kiện 3x2 − ≥ tức x ≥ ( ) x2 + ≤ 3x2 − , ta biến đổi phươngtrình dạng: ( )( ) 2 ⇔ 9x4 − 7x2 − ≥ ⇔ x − 9x + ≥ ⇔ x2 − 1≥ ⇔ x ≥ Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình (−∞; −1] ∪ [1; +∞) Cách 2: Biến đổi phươngtrình dạng: x + − ≤ 3x − ⇔ 2 x2 + 3− x + 3+ ⇔ (x2 − 1) − 3÷ ≤ x + 3+ ( ) ≤ x2 − (*) Nhận xét rằng: 1 ⇒ x + 3+ 2 < x + 3+ 2 − 3< nên (*) biến đổi dạng: x2 − 1≥ ⇔ x ≥ Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình (−∞; −1] ∪ [1; +∞) Cách 3: Đặt t = x2 + 3, t ≥ Suy x2 = t2 − Bấtphươngtrình có dạng: t ≤ 3(t2 − 3) − ⇔ 3t2 − t − 10 ≥ ⇔ (3t + 5)(t − 2) ≥ t≥ 2 ⇒ t − ≥ ⇒ x + ≥ ⇔ x + ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x ≥ Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình (−∞; −1] ∪ [1; +∞) HOẠT ĐỘNG 3: Giải bấtphương trình: VÝ dô 4: a x2 + ≤ 4x2 − 1, x ∈ R b x + < 5− x, x ∈ ¡ Giải bấtphương trình: 1− x3 ≤ x + 5, x ∈ ¡ ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Sử dụng lược đồ “DẠNG CƠ BẢN 1” bới trường hợp (*) bấtphươngtrình bậc ba − Giải Ngoài ra, bấtphươngtrình giải theo cách: Nhẩm nghiệm x0 chuyển bấtphươngtrình dạng tích (x − x0)h(x) phép nhân liên hợp Cụ thể: − Nhận xét x0 = −2 thoả mãn VT = VP − Biến đổi bấtphươngtrình dạng: 1− x3 − ≤ x + ⇔ 1− x3 − 1− x3 + ≤ x+ ⇔ x + 2+ x2 − x + ≥ ⇔ (x + 2) 1+ ÷≥ 1− x3 + 1− x3 + 3 x3 + Sử dụng phương pháp hàm số, với điều kiện x ≤ nhận xét: − VP hàm đồng biến − VT hàm nghịch biến Hai đồ thị cắt điểm có hoành độ x = −2 Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình [−2; 1] Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Bấtbấtphươngtrình tương đương với: 1− x3 ≥ x3 ≤ ⇔ x + ≥ ⇔ x + ≥ 1− x3 ≤ (x + 5)2 x3 + x2 + 10x + 24 ≥ x ≤ ⇔ x ≥ −5 ⇔ x + ≥ x ≤ x ≥ −5 (x + 2)(x2 − x + 12) ≥ x ≤ x ≥ −5 ⇔ −2 ≤ x ≤ x ≥ −2 Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình [−2; 1] Cách 2: Với điều kiện − x3 ≥ tức x ≤ 1, ta biến đổi bấtphươngtrình dạng: 1− x3 − ≤ x + ⇔ 1− x3 − 1− x3 + ≤ x + ⇔ x + 2+ x3 + 1− x3 + ≥0 x2 − x + ⇔ (x + 2) 1+ ÷ ≥ ⇒ x + ≥ ⇔ x ≥ −2 1− x3 + 3 Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình [−2; 1] Cách 3: Với điều kiện x ≤ nhận xét: VP hàm đồng biến VT hàm nghịch biến Hai đồ thị cắt điểm có hoành độ x = −2 Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình [−2; 1] Nhận xét: Như vậy, để giải bấtphươngtrìnhchứa ta lựa chọn cách: Cách 1: Biến đổi tương đương Lưu ý cách nhẩm nghiệm x0 chuyển bấtphươngtrình dạng tích (x − x0)h(x) phép nhân liên hợp, nhiều trường hợp nhận cách giải hay Cách 2: Đặt ẩn phụ Một nhiều ẩn phụ Cách 3: Sử dụng phương pháp hàm số Sử dụng đạo hàm Cách 4: Đánhgiá HOẠT ĐỘNG 4: Giải bấtphương trình: VÝ dô 5: a x3 + ≤ 3x − 1, x ∈ ¡ b x + < 3x − 4, x ∈ ¡ Với a > 0, giải bấtphương trình: x + a2 − x2 ≤ a, x ∈ ¡ ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Sử dụng lược đồ “DẠNG CƠ BẢN 1” bới trường hợp (*) bấtphươngtrình bậc hai − Giải Ngoài ra, bấtphươngtrình giải theo cách lượng giác hoá với: x = a.cost, t ∈ [0; π] Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Biến đổi bấtphươngtrình dạng: a2 − x2 ≤ a− x⇔ a − x ≥ 2 ⇔ a − x ≥ 2 a − x ≤ (a − x) − a ≤ x ≤ a ⇔ x ≥ a x ≤ x = a − a ≤ x ≤ Vậy, nghiệm bấtphươngtrình − a ≤ x ≤ x = a Cách 2: Điều kiện − a ≤ x ≤ a Đặt x = a.cost, với t ∈ [0, π] ⇒ a2 − x2 = a.sint Khi đó, bấtphươngtrình có dạng: a.cost + a.sint ≤ a ⇔ cost + sint ≤ ⇔ cos(t − π ⇔ ≤ t≤ π t = − ≤ cost ≤ cost = ⇔ − a ≤ a.cost ≤ a.cost = a ⇔ π ) ≤ − a ≤ x ≤ x = a ⇔ Vậy, nghiệm bấtphươngtrình −a ≤ x ≤ x = a HOẠT ĐỘNG 5: Giải bấtphương trình: x2 + a2 ≤ x + 2a x2 + a2 , x∈¡ DẠNG CƠ BẢN Với bấtphươngtrình f(x) > g(x) ta có phép biến đổi tương đương: g(x) ≥ f(x) ≥ (I) : (II): g(x) < f(x) > g (x) (*) Các em học sinh cần biết đánh giá tính giải bấtphươngtrình (*) Giải bấtphương trình: 2x + > 1− x, x ∈ ¡ ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Sử dụng lược đồ “DẠNG CƠ BẢN 2” bới trường hợp (*) bấtphươngtrình bậc hai − Giải Ngoài ra, phươngtrình giải theo cách khác: Nhẩm nghiệm x0 chuyển bấtphươngtrình dạng tích (x − x0)h(x) phép nhân liên hợp Cụ thể: − Nhận xét x0 = thoả mãn VT = VP − Biến đổi bấtphươngtrình dạng: VÝ dô 6: ( ) 2x + − + x > ⇔ 2x + 1− + x > ⇔ x + 1÷ > 2x + + 2x + + Sử dụng phương pháp hàm số, với nhận xét: − VT hàm đồng biến − VP hàm nghịch biến Hai đồ thị cắt điểm có hoành độ x = Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình (0; +∞) Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Bấtphươngtrình tương đương với: 1 − x ≥ 2x + ≥ (I) : (II) : 1 − x < 2x + > ( − x ) Ta lần lượt: Giải (I) ta được: x ≥ − ⇔ x > x > Giải (II) ta được: (1) x ≤ x ≤ (2) ⇔ ⇔ < x ≤ 0 < x < x − 4x < Từ (1) (2) suy tập nghiệm bấtphươngtrình (0; +∞) Cách 2: Với điều kiện 2x + ≥ tức x ≥ − , ta biến đổi bấtphươngtrình dạng: ( ) 2x + − + x > ⇔ ⇔ x > 2x + 1− + x > ⇔ x + 1÷ > 2x + + 2x + + Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình (0; +∞) Cách 3: Điều kiện 2x + ≥ tức x ≥ − t2 −1 Đặt t = 2x + 1, (t ≥ 0) Suy x = Bấtphươngtrình có dạng: t > t2 −1 ⇔ t2 + 2t − > ⇔ t > 1− t < −3 (loai) ⇒ 2x + > ⇔ 2x + > ⇔ x > Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình (0; +∞) Cách 4: Nhận xét rằng: VT hàm đồng biến VP hàm nghịch biến Hai đồ thị cắt điểm có hoành độ x = Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình (0; +∞) HOẠT ĐỘNG 6: Giải bấtphương trình: x + > − x, x ∈ ¡ VÝ dô 7: Giải bấtphương trình: 1 − x ≥ x + , x∈¡ ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Sử dụng lược đồ “DẠNG CƠ BẢN 2” bới trường hợp (*) bấtphươngtrình bậc hai có chứa dấu giá trị tuyệt đối − Giải phương pháp chia khoảng Giải Bấtphươngtrình tương đương với: x + > (I) : x + ≤ (II) : 1 −x ≥ x+ ÷ (*) 2 Giải (I) ta x ≤ − (1) Giải (II): Ta có biến đổi cho (*): 1 Với − x ≥ tức x ≤ thì: 4 1 − x ≥ x + ÷ ⇔ x2 + 2x ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ 0, thoả mãn 2 1 Với − x < tức x > thì: 4 1 1 x − ≥ x + ÷ ⇔ x + ≤ , vô nghiệm 2 Suy ra, nghiệm (*) −2 ≤ x ≤ Và hệ (II) có dạng: x > − ⇔ − < x ≤ (2) −2 ≤ x ≤ Từ (1) (2) suy tập nghiệm bấtphươngtrình (−∞; 0] HOẠT ĐỘNG 7: Giải bấtphương trình: x −1 ≥ x − , x ∈ ¡ VÝ dô 8: Giải bấtphương trình: x2 − 3x + ≥ 3x2 − 9x + 8, x ∈ ¡ ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THỰC HIỆN: Nếu sử dụng lược đồ “DẠNG CƠ BẢN 2” (*) bấtphươngtrình bậc bốn − Để giải bấtphươngtrìnhcần có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử Ngoài ra, phươngtrình giải theo cách khác: Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với t = x2 − 3x + 6, t ≥ Nhẩm nghiệm x0 chuyển phươngtrình dạng tích (x − x0)h(x) phép nhân liên hợp Cụ thể: − Nhận xét x0 = nghiệm phươngtrình − Biến đổi phươngtrình dạng: x2 − 3x + − x − 3x + − = 3x − 9x + ⇔ 2 x − 3x + + ⇔ (x2 − 3x + 2) − 3÷ = x − 3x + + = 3(x2 − 3x + 2) Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Biến đổi phươngtrình dạng: ( ) x2 − 3x + = x2 − 3x + − 10 Đặt t = x2 − 3x + 6, (t ≥ 0) ta được: t ≥ 3t2 − 10 ⇔ 3t − t − 10 ≤ ⇔ − ≤ t≤ ⇒ t≤ ⇒ x2 − 3x + ≤ ⇔ x − 3x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình [1; 2] Cách 2: Ta có biến đổi: x − 3x + − ≥ 3x − 9x + ⇔ 2 x2 − 3x + − x − 3x + + 2 ⇔ (x2 − 3x + 2) − 3÷ ≥ x − 3x + + Nhận xét rằng: 1 ⇒ x2 − 3x + + 2 < x2 − 3x + + − 3< nên (*) biến đổi dạng: ⇔ x2 − 3x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình [1; 2] HOẠT ĐỘNG 8: Giải bấtphương trình: x2 + 3x + > 2x2 + 6x − 5, x ∈ ¡ 10 ≥ 3(x2 − 3x + 2) (*) Cách 1: Với điều kiện 4x2 − ≥ tức x ≥ ( ) x2 + ≤ 4x2 − , ta biến đổi bấtphươngtrình dạng: ( )( ) 2 ⇔ 16x4 − 9x2 − ≥ ⇔ x − 16x + ≥ ⇔ x2 − 1≥ ⇔ x ≥ Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình (−∞; −1] ∪ [1; +∞) Cách 2: Biến đổi bấtphươngtrình dạng: x2 + − ≤ 4x2 − ⇔ x2 + 8− x + 8+ ( ) ≤ x2 − ⇔ (x2 − 1) − 4÷ ≤ x + 8+ (*) Nhận xét rằng: 1 ⇒ x + 8+ 3 < x + 8+ − 4< nên (*) biến đổi dạng: x2 − 1≥ ⇔ x ≥ Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình (−∞; −1] ∪ [1; +∞) Cách 3: Đặt t = x2 + 8, t ≥ 2 Suy x2 = t2 − Bấtphươngtrình có dạng: t ≤ 4(t2 − 8) − ⇔ 4t2 − t − 33 ≥ ⇔ (4t + 11)(t − 3) ≥ t≥ 2 ⇒ t − 3≥ ⇒ x2 + ≥ ⇔ x2 + ≥ ⇔ x2 ≥ ⇔ x ≥ Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình (−∞; −1] ∪ [1; +∞) b Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Biến đổi bấtphươngtrình dạng: x + 1≥ x ≥ −1 −1≤ x < ⇔ x < ⇔ x < ⇔ −1 ≤ x < 5 − x > x2 − 11x + 24 > x > x + 1< ( − x) Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình [−1; 3) Cách 2: Với điều kiện x + ≥ tức x ≥ −1, ta biến đổi bấtphươngtrình dạng: x + 1− x− < 3− x ⇔ + x − 3< x + − < 3− x ⇔ x + 1+ x + 1+ 28 ⇔ ( x − 3) + 1÷ < ⇔ x − < ⇔ x < +1 1 4x 2+4243 >1 Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình [−1; 3) Cách 3: Điều kiện x + ≥ tức x ≥ −1 Đặt t = x + 1, (t ≥ 0) Suy x = t2 − Bấtphươngtrình có dạng: t < − (t2 − 1) ⇔ t2 + t − < ⇔ −3 < t < ⇒ x+1< ⇔ x + < ⇔ x < Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình [−1; 3) Cách 4: Điều kiện x + ≥ tức x ≥ −1 Nhận xét rằng: VT hàm đồng biến VP hàm nghịch biến Hai đồ thị cắt điểm có hoành độ x = Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình [−1; 3) HOẠT ĐỘNG 4: a Bấtbấtphươngtrình tương đương với: x3 + ≥ x3 + ≥ ⇔ 3x − 1≥ ⇔ 3x − 1≥ x3 + ≤ (3x − 1)2 x3 − 9x2 + 6x + ≤ x3 + ≥ 3x − 1≥ (x − 1)(x2 − 8x − 2) ≤ x ≥ − 3 ⇔ x ≥ ⇔ 1≤ x ≤ + 3 x ≤ − hoac 1≤ x ≤ + Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình 1; + 2 b Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Biến đổi bấtphươngtrình dạng: 29 x> x + ≥ x ≥ −2 ⇔ 3x > ⇔ x > ⇔ x > 3x − > x + < (3x − 4)2 9x2 − 25x + 14 > x < Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình (2; +∞) Cách 2: Với điều kiện x + ≥ tức x ≥ −2 , ta biến đổi bấtphươngtrình dạng: x + − < 3x − ⇔ x + 2− x+ 2+ ⇔ (x − 2) − 3÷ < x+ 2+ Nhận xét rằng: < 3x − (*) 1 ⇒ − 3< x+ 2+ x+ 2+ 2 nên (*) biến đổi dạng: x − > ⇔ x > Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình (2; +∞) < Cách 3: Điều kiện x + ≥ tức x ≥ −2 Đặt t = x + 2, (t ≥ 0) Suy x = t2 − Phươngtrình có dạng: t < 3(t2 − 2) − ⇔ 3t2 − t − 10 > t > ⇔ t < − (loai) ⇒ x + > ⇔ x > Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình (2; +∞) HOẠT ĐỘNG 5: Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Đặt x = | a| tgt, với t ∈ ( − x2 + a2 = π π , ) 2 suy ra: |a| cost Khi đó, bấtphươngtrình có dạng: |a| cost ⇔− 30 ≤ | a| tgt + 2a cost ⇔ ≤ sint + 2cos2t ⇔ 2sin2t − sint − ≤ |a| ≤ sint ≤ ⇔ tgt ≥ − ⇔x ≥ − |a| Vậy, nghiệm bấtphươngtrình x ≥ − |a| Cách 2: Biến đổi bấtphươngtrình dạng: x2 + a2 ≤ x x2 + a2 + 2a2 ⇔ x2 − a2 ≤ x x2 + a2 Xét hai trường hợp: Nếu x ≥ 0, (2) viết lại dạng: x2 − a2 ≤ x≥ ⇔ x2(x2 + a2) ⇔ (2) x2 − a2 ≤ x2 − a2 ≥ (x2 − a2)2 ≤ x2(x2 + a2) ⇔ | x |≤| a | | x |≥| a | | a| | x |≥ x ≥ Nếu x < 0, (2) viết lại dạng: x2 − a2 ≤ ⇔ 22 (x − a ) ≥ x2(x2 + a2) − | a |≤ x ≤| a | | a | x< |a| ⇔ − ≤ x ≤ 3 Vậy, nghiệm bấtphươngtrình x ≥ − |a| − |a| ≤ x − x ( ) 4 − x < Ta lần lượt: Giải (I) ta được: x ≥ −2 ⇔ x > x > Giải (I) ta được: x ≤ x ≤ ⇔ < x ≤ ⇔ 2 < x < x − 9x + 14 < (1) (2) Từ (1) (2) suy tập nghiệm bấtphươngtrình (2; +∞) Cách 2: Với điều kiện x + ≥ tức x ≥ −2 , ta biến đổi bấtphươngtrình dạng: x + − > 2− x ⇔ x + 2− x+ 2+ > 2− x 31 ⇔ (x − 2) + 1÷ > ⇔ x − > ⇔ x > x+ 2+ Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình (2; +∞) Cách 3: Điều kiện x + ≥ tức x ≥ −2 Đặt t = x + 2, (t ≥ 0) Suy x = t2 − Bấtphươngtrình có dạng: t > t > − (t2 − 2) ⇔ t2 + t − > ⇔ ⇒ t < −3 (loai) x+ > ⇔ x > Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình (2; +∞) Cách 4: Nhận xét rằng: VT hàm đồng biến VP hàm nghịch biến Hai đồ thị cắt điểm có hoành độ x = Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình (2; +∞) HOẠT ĐỘNG 7: Bấtphươngtrình tương đương với: x − > (I) : x − ≤ (II) : x − ≥ x − (*) ÷ 4 Giải (I) ta x ≤ Giải (II): Ta có biến đổi cho (*): Với x − ≥ tức x ≥ thì: (1) 17 1 x − ≥ x − ÷ ⇔ x − x + ≤ , vô nghiệm 16 4 Với x − < tức x < thì: 15 1 − x ≥ x − ÷ ⇔ x + x − ≤ ⇔ − ≤ x ≤ , thoả mãn 16 4 4 Suy ra, nghiệm (*) − ≤ x ≤ Và dễ thấy hệ (II) vô nghiệm 4 1 Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình −∞; 4 32 HOẠT ĐỘNG 8: Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Biến đổi bấtphươngtrình dạng: ( ) x2 + 3x + > x2 + 3x + − 15 Đặt t = x2 + 3x + 5, (t ≥ 0) ta được: t > 2t2 − 15 ⇔ 2t − t − 15 < ⇔ − < t< 2 ⇒ x2 + 3x + < ⇔ x + 3x − < ⇔ − < x < Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình (−4; 1) Cách 2: Ta có biến đổi: x + 3x + − > 2x + 6x − ⇔ 2 x2 + 3x + − x + 3x + + ⇔ (x2 + 3x − 4) − 2÷ > x + 3x + + > 2(x2 + 3x − 4) (*) Nhận xét rằng: 1 ⇒ x2 + 3x + + 3 < x2 + 3x + + − 2< nên (*) biến đổi dạng: x2 + 3x − < ⇔ − < x < Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình (−4; 1) HOẠT ĐỘNG 9: Điều kiện: − ≤ x < 1 − 4x ≥ ⇔ 0 < x ≤ x ≠ Cách 1: Thực phép nhân liên hợp: 2 (1) ⇔ (1− 1− 4x )(1+ 1− 4x ) < 3(1 + 1− 4x2 ) x ⇔ 4x < + 1− 4x2 ⇔ 1− 4x2 > 4x − 33 ⇔ 4x − < 1− 4x2 ≥ ⇔ 4x − ≥ 2 9(1− 4x ) > (4x − 3) x < | x |< x≠0 ←→ x ≥ 9(1− 4x2) > (4x − 3)2 − ≤ x < 0 < x ≤ Cách 2: Xét hai trường hợp dựa điều kiện • Với − ≤ x < thì: 1− 3x > (1) ⇔ 1− 4x2 < − 3x ⇔ 1− 4x2 < (1− 3x)2 ⇔ x < 13x2 − 6x > ⇔ x < Kết hợp với điều kiện xét nghiệm − • Với < x ≤ 2 ≤ x < thì: (1) ⇔ 1− 4x2 > − 3x x > 1− 3x < 1 1 3 < x ≤ 1− 4x2 ≥ − ≤ x ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔0 0 < x ≤ 1− 3x ≥ 2 x ≤ 1− 4x > (1− 3x) 13x2 − 6x < ⇔ x + + 2x + + (x + 1)(2x + 3) > 25 21 − 3x < ⇔ (x + 1)(2x + 3) > 21 − 3x ⇔ 21 − 3x ≥ 4(x + 1)(2x + 3) > (21 − 3x) ⇔ x > Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình (3; +∞) Cách 2: Điều kiện: x + ≥ ⇔ x ≥ −1 2x + ≥ Biến đổi bấtphươngtrình dạng: x + + 2x + > Nhận xét rằng: VT hàm đồng biến VP hàm Hai đồ thị cắt điểm có hoành độ x = Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình (3; +∞) 36 (*) b Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Điều kiện: 3 − x ≥ ⇔ −2 ≤ x ≤ x + ≥ Biến đổi bấtphương trình: 3− x > 1+ x + ⇔ 3− x > 1+ (x + 2) + x + ⇔ x + < −x x ≤ − x ≥ x ≤ ⇔ ⇔ ⇔ x < −1 ⇔ x < −1 x + < (− x) x − x − > x > Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình [−2; −1) Cách 2: Điều kiện: 3 − x ≥ ⇔ −2 ≤ x ≤ x + ≥ Biến đổi bấtphươngtrình dạng: 3− x > 1+ x + Nhận xét rằng: VT hàm nghịch biến VP hàm đồng biến Hai đồ thị cắt điểm có hoành độ x = −1 Vậy, tập nghiệm bấtphươngtrình [−1; 3) HOẠT ĐỘNG 14: Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Đặt t = x2 − 3x + 3, ta có: 3 3 t= x− ÷ + ≥ 2 4 đó, điều kiện cho ẩn phụ t t ≥ Khi đó, bấtphươngtrình có dạng: t + t + < ⇔ t + t + + t(t + 3) < ⇔ t(t + 3) < − t 3 − t ≥ ⇔ t(t + 3) < (3− t) t ≤ ⇔ t < ⇔ x2 − 3x + < t < ⇔ ⇔ x2 − 3x + < ⇔ < x < Vậy, bấtphươngtrình có tập nghiệm (1; 2) Cách 2: Biến đổi phươngtrình dạng: 37 ) ( ( ) x2 − 3x + − + x2 − 3x + 3− ⇔ x2 − 3x + + x2 − 3x + ⇔ x2 − 3x + − < x2 − 3x + − + x2 − 3x + + x2 − 3x + t > (**) ⇔ t < / ⇔ t>2⇔ x + > 2 x Đặt X = x , X > 0, đó: X+ ⇔ 2X > ⇔ 2X2 − 4X + > 2+ X > 2− X < ⇔ 2+ x> 2− x< Vậy, bấtphươngtrình có nghiệm (0, 38 ⇔ 3 x > + 0 < x < − 2 − 2)∪ ( + , + ∞) HOẠT ĐỘNG 16: a Điều kiện: 2x2 + 12x + ≥ ⇔x 2x − ≥ ≥ (*) Biến đổi bấtphươngtrình dạng: 2(x + 2)2 + 2(2x − 1) > x + + 2x − (2) Đặt u = 2x − ≥ v = x + Khi đó, bấtphươngtrình có dạng: 2u2 + 2v2 u + v ≥ ⇔ 2u2 + 2v2 > (u + v)2 >u+v ⇔ u + v ≥ (u − v)2 > ⇔ u ≠ v Xét trường hợp u = v x = ⇔ 2x − = x + ⇔ x2 − 6x + = ⇔ x=5 Suy ra, để u ≠ v, ta phải có x ∈[ , + ∞) \ {1, 5} Vậy, nghiệm bấtphươngtrình x ∈ [ ; +∞) \ {1; 5} b Hướng dẫn: Viết lại bấtphươngtrình dạng: 2(x − 1) + 2(x − 3)2 ≤ x−1 + x − Sử dụng phép biến đặt ẩn phụ u = x − v = x − HOẠT ĐỘNG 18: a Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Viết lại bấtphươngtrình dạng: x − 1+ x − + + x − 1− x − + > 3 ⇔ ( x − + 1)2 + ( x − − 1)2 > Điều kiện: x − ≥ ⇔ x ≥ Khi đó, phươngtrình trở thành: (*) 39 x−1 + + | x − − 1| > x − − ≥ 2 x − > x − − < 2 > ⇔ x ≥ x < ⇔ ⇔ ∀x Kết hợp với điều kiện (*) x ≥ nghiệm bấtphươngtrình Cách 2: Điều kiện: x −1 ≥ x + x − ≥ ⇔ x ≥ x − x −1 ≥ Bình phương hai vế bấtphương trình, ta được: 2x + x + x − x − x − > 9 ⇔ 2x + x − 4(x − 1) > ⇔ 2x + x − 4x + > 4 ( )( ) 9 − 2x ⇔ x − > − 2x 4 Ta có biến đổi cho (1): Với x − ≥ tức x ≥ thì: 25 25 (1) ⇔ 2(x − 2) > − 2x ⇔ 4x > ⇔ x> 4 16 Suy ra, nghiệm trường hợp x ≥ Với x − < tức x < thì: ⇔ (x − 2) > (1) ⇔ 2(2 − x) > 9 − 2x ⇔ > , 4 ≤ , vô nghiệm Suy ra, nghiệm trường hợp x < 22 Suy (1) nghiệm với x Vậy, bấtphươngtrình có tập nghiệm [1; +∞) b Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Điều kiện: ⇔ x2 + 40 (*) (1) x2 − ≥ x − x − ≥ ⇔ x x + x2 − ≥ ≥ (*) Nhận xét rằng: VT = x − x2 − + x + x2 − ≥ x − x2 − x + x2 − = Vậy, bấtphươngtrình có nghiệm VT = ⇔ x − x2 − = x + x2 − ⇔ x − x − = x + x − x = ⇔ x2 −1 = ⇔ x −1 = ⇔ x = −1 (loai) Vậy, nghiệm bấtphươngtrình x = Cách 2: Điều kiện: x2 − ≥ x − x − ≥ ⇔ x x + x2 − ≥ ≥ (*) Bình phương hai vế bấtphương trình, ta được: 2x + (x− )( ) x −1 x + x2 −1 ≤ ⇔ 2x + x − ( x − 1) ≤ ⇔ 2x + ≤ ⇔ x ≤ Vậy, nghiệm bấtphươngtrình x = HOẠT ĐỘNG 20: Điều kiện: 7x + ≥ ⇔x ≥ 7x − ≥ (*) Sử dụng phép biến đặt ẩn phụ: u = 7x + v = 7x − , với u, v ≥ Khi đó, bấtphươngtrình có dạng: u + v + 2uv < 181 − (u2 + v2 − 1) ⇔ (u + v)2 + (u + v) − 182 < ⇔ (u + v + 14)(u + v − 13) < ⇔ u + v < 13 ⇔ 7x + + 7x − < 13 ⇔ 14x + + 49x2 + 7x − 42 < 169 ⇔ 49x2 + 7x − 42 < 84 − 7x Giải tiếp, ta nhận nghiệm ≤ x < 41 HOẠT ĐỘNG 21: Biến đổi tương đương bấtphươngtrình dạng: ( x + + 1) − x + < ⇔ 2 x + + 1− x + < ⇔ 2( x + + 1) − x + < x + ≥ ⇔ x +1 < ⇔ ⇔ −1 ≤ x < x + < Vậy, bấtphươngtrình có tập nghiệm [−1; 3) Cách khác: Với điều kiện x ≥ −1, biến đổi bấtphươngtrình dạng: x + + x +1 < + x +1 ( ) ( ⇔ x + + x +1 < + x +1 ) ⇔ 3x < ⇔ x < Vậy, bấtphươngtrình có tập nghiệm [−1; 3) 42 ... x ≤ −2 Vậy, bất phương trình có nghiệm x ≥ HOẠT ĐỘNG 12: Giải bất phương trình: x2 + 4x ≥ (x + 4) x − 2x + BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA HAI CĂN BẬC HAI VÝ dô 13: Giải bất phương trình: x + > 5−... x − < t < x − < 0 < x < Vậy, bất phương trình có nghiệm x > < x < HOẠT ĐỘNG 19: Giải bất phương trình: 3x − + − 5x − < 0, x ∈ ¡ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA NHIỀU CĂN BẬC HAI VÝ dô 20: (Đề thi đại... đồ “DẠNG CƠ BẢN 2” (*) bất phương trình bậc bốn − Để giải bất phương trình cần có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử Ngoài ra, phương trình giải theo cách khác: Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ,