Tiểu luận ỨNG DỤNG TOÁN HỌC ĐỂ GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TẾ

Giải toán là một hoạt động chủ yếu trong học toán. Các Bài là một phương tiện hữu hiệu để học sinh có thể áp dụng các tri thức Toán học vào cuộc sống, từ đó góp phần rèn kỹ năng thực hành, nâng cao các kĩ năng cuộc sống thông qua các tri thức lĩnh hội ở trường phổ thông. Kĩ năng được định nghĩa là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế. Một định nghĩa khác kĩ năng là khả năng thành công trong các công việc dự định tiến hành, trong việc giải quyết các vấn đề thực tế; khả năng, kinh nghiệm trong việc thực hiện một hoạt động trí tuệ hay nghệ thuật. Hai định nghĩa này đã nêu lên đặc điểm của kĩ năng vận dụng các kiến thức đã có vào một vấn đề trong thực tế.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA SƯ PHẠM

TIỂU LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài: ỨNG DỤNG TOÁN HỌC ĐỂ GIẢI NHỮNG BÀI

TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TẾ

LỜI CẢM ƠN

ua 3 năm học tập và tích lũy kiến thức trên giảng đường, trải qua 2 tháng làm tiểu luận.Tôi đã đạt được kết quả như mong đợi là hoàn thành bài tiểu luận với vốn kiến thức của mình Để có được như vậy là nhờ sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô trong Bộ môn Toán Khoa sư phạm Đặc biệt là

cô Lại Thị Cẩm và các bạn sinh viên các khoá 32, 33, 34, 35 đã tạo điều kiện tốt

nhất cho tôi hoàn thành đề tài tiểu luận của mình.Tôi xin chân thành gởi đến quý thầy cô và các bạn lời cám ơn sâu sắc nhất

Cuối cùng, tôi xin gởi lời chúc sức khoẻ đến quý thầy cô cùng các bạn

MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU - Trang 1

1 Lý do chọn đề tài - Trang 1

2 Mục đích nghiên cứu - Trang 1

3 Phạm vi nghiên cứu - Trang 1

4 Phương pháp nghiên cứu - Trang 2

PHẦN NỘI DUNG - Trang 3

Chương 1: CƠ SỞ THỰC TIỄN - Trang 3

Chương 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT - Trang 5

1 HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VUÔNG - Trang 5

2 HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC THƯỜNG - Trang 6

3 PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH - Trang 8

Chương 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN DỤNG NỘI DUNG TOÁN HỌC CỤ THỂ - Trang 10

1 VẬN DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG - Trang 101.1 Các ví dụ - Trang 9 1.2 Bài tập tham khảo - Trang 17

2 VẬN DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG - Trang 20

2.1 Các ví dụ - Trang 20 2.2 Bài tập tham khảo - Trang 23

3 VẬN DỤNG PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH - Trang 26 3.1 Các ví dụ - Trang 26 3.2 Bài tập tham khảo - Trang 34

PHẦN KẾT LUẬN - Trang 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO - Trang 39

PHẦN NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ THỰC TIỄN

Giải toán là một hoạt động chủ yếu trong học toán Các Bài là một phương tiệnhữu hiệu để học sinh có thể áp dụng các tri thức Toán học vào cuộc sống, từ đó gópphần rèn kỹ năng thực hành, nâng cao các kĩ năng cuộc sống thông qua các tri thứclĩnh hội ở trường phổ thông Kĩ năng được định nghĩa là khả năng vận dụng nhữngkiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế Một định nghĩa khác

kĩ năng là khả năng thành công trong các công việc dự định tiến hành, trong việc giảiquyết các vấn đề thực tế; khả năng, kinh nghiệm trong việc thực hiện một hoạt động

trí tuệ hay nghệ thuật Hai định nghĩa này đã nêu lên đặc điểm của kĩ năng vận dụng

các kiến thức đã có vào một vấn đề trong thực tế.

Trong dạy học Toán giải quyết vấn đề thông qua việc giải các Bài trong Toánhọc là một trong các hoạt động chủ yếu trong dạy học Toán Do đó việc giải các Bài

có nội dung thực tiễn sẽ hỗ trợ học sinh hình thành và phát triển kĩ năng cuộc sống.Muốn sử dụng được những điều đã biết, cần phải kết hợp, biến đổi chúng, làm chochúng thích hợp với tình huống Ví dụ cần làm cho học sinh làm toán có nội dungthực tiễn như giải những Bài bằng cách lập phương trình, giải toán cực trị, đo nhữngkhoảng cách không tới được bằng cách dùng những hàm số lượng giác hay việc giảicác Bài góp phần hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khácnhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn

Thật vậy, tri thức Toán học không phải được cho sẵn mà phải được kiến tạo,xây dựng bắt đầu từ hoạt động giải toán của học sinh Chính học sinh tự mình xâydựng các kiến thức Toán học thông qua hoạt động giải các bài tập Học Toán là họcnêu lên, học trình bày và học giải quyết các bài tập; học xem xét lại các bài tập dướiánh sáng của những công cụ lí thuyết nảy sinh từ chính nhu cầu giải quyết các vấn đề.Như vậy, hoạt động giải các bài tập - giá mang các tri thức đóng vai trò trung tâmtrong hoạt động học Toán

Trong các chức năng của bài tập trong việc dạy học Toán như tạo đông cơ;hoạt hóa kiến thức cũ; phương tiện đưa vào kiến thức mới; củng cố kiến thức, rènluyện kĩ năng và kĩ xảo Toán học; phát triển năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ;

công cụ chẩn đoán biểu tượng của học sinh về một khái niệm; cho phép làm rõ vai trò

ý nghĩa thực tiễn của tri thức Toán học,cho phép tiếp cận dạy học mô hình hóa vàbằng mô hình hóa Cần đặc biệt quan tâm đến làm rõ vai trò, ý nghĩa thực tiễn củaToán học vì như đã chỉ ra ở trên, chúng góp phần phát triển các kĩ năng cuộc sống củahọc sinh

Theo khái niệm kĩ năng trong cuộc sống được trình bày ở trên, chương trìnhToán Phổ Thông nhấn mạnh và coi việc giải các Bài có nội dung thực tiễn sẽ gópphần hình thành và phát triển các kĩ năng này Các Bài có nội dung thực tiễn đượcđưa vào các chủ đề quen thuộc từ cấp Trung Học Cơ sở mỗi khi việc áp dụng tri thứcToán học trong cuộc sống được nói đến Đó là dạy học các nội dung phương trình và

hệ phương trình (bậc nhất, bậc hai), dạy học việc đo đạc thể tích, diện tích, khoảngcách của các hình hình học trong cuộc sống Các Bài có nội dung thực tiễn liên quanđến các nội dung dạy học mới được đề cập ở Trung Học Phổ Thông như hàm số bậchai, góc và cung lượng giác (phần Đại số) hoặc phương pháp tọa độ trong mặt phẳng(phần Hình học) hầu như không được giới thiệu học sinh do đó không có cơ hội đểhình thành và phát triển các kĩ năng áp dụng Toán học vào cuộc sống trong các lĩnhvực khác của Toán học

Tóm lại, dạy học giải quyết vấn đề thông qua việc giải các Bài trong Toán học

là một trong các hoạt động chủ yếu trong dạy học Toán Do đó việc giải các Bài nộidung thực tế sẽ hỗ trợ học sinh hình thành và phát triển kĩ năng cuộc sống

Chương 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Cho tam giác ABC, AH là đường cao kẻ từ A Đặt AB=c, AC=b, BH=c’, CH=b’

đường cao tương ứng

cos ;

c a b c c b

 Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

+ Cạnh huyền nhân sin góc đối hoặc nhân với cosin góc kề

+ Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với cotang góc kề

2 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG

Trong tam giác ABC, ta gọi:

A, B, C lần lượt là các đỉnh của tam giác

a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh của tam giác

p là nữa chu vi tam giác

S là diện tích tam giác

R, r lần lượt là bán kính đường kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác

Với các ký hiệu trên ta có công thức cơ bản trong tam giác ABC như sau:

 Công thức bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp:

3.1.1 Cho phương trình dạng ax+b=0 (1)

Giải và biện luận phương trình (1)

 Nếu a 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x b









 thì phương trình (1) vô nghiệm

 Nếu a b  0 thì phương trình (1) có nghiệm đúng với mọi x R

 Với a 0 thì (1) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn



 Nếu   0 thì phương trình (2) vô nghiệm

3.2 Hệ phương trình

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn a a x b y cx' by c' '

 (a2b2 0; 'a2b'2 0)Các phương pháp giải hệ phương trình trên:

1 Phương pháp thế:

+Bước 1: Từ một phương trình đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễnmột ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình mới.+Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ.Giải hệ phương trình mới

2 Phương pháp cộng:

+Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho để được mộtphương trình mới

+Bước 2: Dùng phương trình mới đó thay thế cho một trong hai phương trình của

hệ (và giữ nguyên phương trình kia)

3 Dùng định thức:

* Tính:

' ' ;' '

' ' ;' '

' '' '

 Nếu D=Dx= Dy=0: Hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tậpnghiệm của phương trình ax+by=c.

Chương 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN DỤNG NỘI DUNG TOÁN HỌC CỤ THỂ

Nhờ việc ứng dụng giải tam giác vào đo đạc trong thực tế, người ta có thể đo đạc được chiều cao của một cây cổ thụ, tòa nhà, tháp,…Phức tạp hơn là những nơi mà ta không tới được như ngọn núi, chiều rộng của một con sông…Sau đây là một số Bài ứng dụng giải tam giác vào đo đạc thực tế

1 VẬN DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1.1 Các ví dụ

*Bài 1: Tính chiều cao của cây trong hình, biết rằng người đo đứng cách cây 2,25m

và khoảng cách từ người đo đến mặt đất là 1,5m

Vậy chiều cao của cây là:

AC=AB+BC=1,5+3,375=4,875 (m)

* Bài 2: Một chiếc thang dài 3m(Hình 2) Cần đặt chân thang cách tường một khoảng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” 650 (tức là bảo đảm thang không bị đổ khi sử dụng)?

Giải

Bài được đưa về Bài tìm cạnh của một tam giác như sau :

2,25m

1,5mA

B

D

C

Hình 1

Tường là cạnh AB (B nằm trên mặt đất), chân cầu thang tại

điểm C

Yêu cầu ta đi tìm độ dài cạnh BC Theo định lý về cạnh

tam giác vuông ta có:

BC=AC.cosACB=3.cos650  1,268 (m)

Vậy để thang không bị đổ thì đặt chân thang cách tường từ

1,268 m

* Bài 3: Một chiếc máy bay bay lên với vận tốc 500 km/h Đường bay lên tạo với

phương nằm ngang một góc 300 (Hình 3) Hỏi sau 1,2

phút máy bay lên cao bao nhiêu km theo phương thẳng

đứng?

Giải

Giả sử trong hình 4, AB là đoạn đường máy bay bay

lên trong 1,2 phút thì BH chính là độ cao máy bay đạt được trong 1,2 phút đó Vì 1,2

phút = 1

50 giờ nên AB=500

50 =10(km) Do đó: BH=AB.sinA=10.sin300=10.1

2=5(km)Vậy sau 1,2 phút máy bay lên cao được 5km

* Bài 4: Hai cột thẳng đứng của hai trại A và B, của lớp 9A và 9B cách nhau 8m Từ

một cái cọc chính giữa hai trại A và B đến cọc tạo với mặt đất lần lượt là 350 và 300

(Hình 4) Hỏi trại nào cao hơn và cao hơn bao nhiêu mét?

Hình 3

Hình 4

Vậy cột của trại A cao hơn trại B: 2,8 – 2,32 = 0,48(m)

* Bài 5: Một người trinh sát đứng các tòa nhà

một khoảng 10m Góc “nâng” từ chỗ anh ta

đến nóc tòa nhà là 400()

a) Tính chiều cao của tòa nhà?

b) Nếu anh ta dịch chuyển sao cho góc

“nâng” là 350 thì anh ta cách tòa nhà bao

nhiêu mét? Khi đó anh ta tiến lại gần hay ra xa ngôi nhà

b) Nếu người trinh sát dịch chuyển sao cho góc “nâng” là 350 thì khoảng cách củangười này so với tòa nhà là:

* Bài 6: Một máy bay đang bay ở độ cao 10 km Khi bay hạ cánh xuống mặt đất,

đường đi của máy bay tạo một góc nghiêng so với mặt đất (Hình 6)

a) Nếu phi công muốn tạo với góc nghiêng 30 thì cách sân bay bao nhiêu kilometphải bắt đầu cho máy bay hạ cánh?

b) Nếu cách sân bay 300km máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng là bao nhiêu?

Vậy để cách sân bay 300km máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng gần 1,890

* Bài 7: Bài chiếu xạ chữa bệnh

Một khối u của một bệnh nhân cách mặt da 5,7cm, được chiếu bởi một chùm tia gamma Để tránh làm tổn thương mô, bác sĩ đặt nguồn tai cách khối u (trên mặt da) 8,3cm (Hình 7)

da.?

Cách đo được tiến hành như sau (Hình 8):

1) Vào một ngày hạ chí trong năm, mặt

trời chiếu thẳng các đáy giếng ở thành

phố Syen, tức là tia nắng chiếu thẳng



Hình 8Trái Đất

C

Hình 7

tháp cao 25m có bóng trên mặt đất dài 3,1m Từ đây ta có thể tính xấp xỉ chu vicủa trái đất như sau:

Gọi O là tâm của trái đất, AC là chiều cao của cái tháp với C là đỉnh tháp AB là

độ dài bóng của tháp,  là góc ở tâm trái đất như hình vẽ

Ta thấy: ACB= (hai góc so le trong)

25

AB ACB

AC

Gọi Ctd là chu vi của trái đất Ta có tỉ lệ:

0 0 td 0 0

Vậy chu vi của trái đất gần bằng 40563,38(km)

* Bài 9: Bài “Cây sậy”

Một hồ nước có cạnh là một trượng Giữa bể mọc một cây sậy nhô cao 1

10 cách mặtnước Nếu kéo vào bờ thì ngọn sậy vừa chạm bờ Hỏi bể sâu bao nhiêu, cây sậy caobao nhiêu?

Giải

Bài được mô tả bằng hình sau đây (Hình 9):

Gọi A, B, C như hình vẽ

a là nửa độ dài của cái hồ

b là chiều sâu của cái hồ

c là chiều cao của cây sậy

Ta thấy tam giác ABC là tam giác vuông tại

B nên áp dụng định lý Pytago ta có:

Hình 9

Vậy: Hồ sâu 1,2 trượng

Cây cao 1,3 trượng

* Bài 10: (Bài cây bông sen)

Giữa hồ nước có cây bông sen nhô cao khỏi mặt nước 1( )

2 m Bỗng có một ngọn gióthổi bông sen ngã về phía xa chỗ cũ 2(m) vàbông sen vừa chạm đến mặt nước(Hình 10).Hỏi hồ nước sâu bao nhiêu?

Giải

Bài được mô tả như sau:

Gọi a là khoảng cách như hình vẽ

b là chiều sâu của hồ nước

c là chiều cao của cây

Ta thấy tam giác tạo bởi 3 cạnh a, b, c là tam giác vuông tạo bởi hai cạnh a và b

Áp dụng định lý Pitago ta có:

Hình 10

b a c

Vậy: Hồ sâu 3,75m và cây cao 4,25m

* Bài 11: Tính chiều cao của bức tường Biết rằng

chiều dài của thang là 4m và thang cách chân tường

Vậy tường cao gần bằng 3,87m

* Bài 12: Cạnh nhà Jacque có mảnh đất trống dài 30m, rộng 10m Mỗi lần đi học về

Jacque đi đường chéo chứ không đi vòng theo vỉa hè Hỏi Jacque tiết kiệm được baonhiêu mét?

Vậy nếu đi theo đường chéo của mảnh đất thì Jacque tiết kiệm được

(30+10)-31,623=8,377(m)

1.2 Bài tập tham khảo

Bài 1: Từ đỉnh của một ngọn hải đăng cao 38m so với mặt nước biển, người ta nhìn

thấy hòn đảo dưới góc 300 so với đường nằm ngang của chân đèn (Hình 12) Hỏikhoảng cách từ đảo đến chân đèn (ở mực nước biển) là bao nhiêu?

Bài 2:

Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 340 và bóng của một tháptrên mặt đất dài 86m (Hình 13) Tính chiều cao của tháp?

Bài 3: Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m Hãy tính góc (làm tròn đến

phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất

Bài 4: Một khúc sông rộng khoảng 250m.

Một chiếc đò chèo qua sông bị nước đẩy

xiên nên chèo khoảng 320m mới sang

được bờ bên kia Hỏi dòng nước đẩy chiếc

đò một góc bằng bao nhiêu độ (góc 

trong hình 14)?

Bài 5: Hai chiếc thuyền A và B được mô

tả như hình15 Hãy tính khoảng cách giữa

Bài 7: Một tòa nhà cao 60m, người ta thấy một chiếc xe ô tô đang đỗ dưới một góc

280 so với đường nằm ngang Hỏi chiếc xe đó đỗ cách tòa nhà bao nhiêu mét?

Bài 8: Một em học sinh đứng ở mặt đất cách ăng-ten 150m Biết rằng em nhìn thấy

đỉnh tháp ở góc 200 so với đường nằm ngang, khoảng cách từ mắt đến mặt đất bằng1,5m Hãy tính chiều cao của tháp?

Bài 9: Con mèo ở cành cây 6,5m Để bắt mèo xuống cần phải đặt thang sao cho đầu

thang đạt độ cao đó, khi đó góc của thang với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc thangdài 6,7m?

Bài 10: Đài quan sát ở Toronto, Ontario, Canada cao 533m Ở một thời điểm nào đó

vào ban ngày, Mặt Trời chiếu tạo thành bóng dài 1100m Hỏi lúc đó góc tạo bởi tiasáng mặt trời và mặt đất là bao nhiêu?

Bài 11: Một người quan sát ở đài hải đăng cao 80 feet (đơn vị đo lường Anh) so với

mực nước biển, nhìn một chiếc tàu ở xa với một góc 0042’ Hỏi khoảng cách từ tàuđến chân hải đăng là bao nhiêu tính theo đơn vị hải lí? (1 hải lí = 5280 feet)

Bài 12: Bài tàu ngầm:Tàu ngầm đang ở mặt biển bỗng đột ngột lặn xuống theo

phương tạo với mặt nươc biển 210

a) Nếu tàu chuyển động theo phương lặn xuống được 300m thì nó ở độ sâu bao nhiêu? Khi đó khoảng cách theo phương nằm ngang là bao nhiêu?

b) Tàu phải ở độ sâu là bao nhiêu mét để đạt đến độ sâu là 1000m?

Bài 13: (Bài cây tre) Một cây tre cao 10m mọc thẳng đứng, qua một cơn bão cây tre

bị gãy ngang thân Biết ngọn của cây vừa chạm mặt đất và cách gốc một khoảng bằng3m Hãy tính chiều cao từ gốc đến chỗ gãy và từ chỗ gãy đến ngọn?

Bài 14: Người ta buộc con Cún bằng sợi dây có đầu buộc tại điểm O, là cho Cún cách

điểm O nhiều nhất là 9m (Hình 17) Hỏi Cún có thể tới các vị trí A, B, C, D để canhgiữ mảnh vườn hình chữ nhật A, B, C, D hay không?(Các kích thước như hình vẽ)

Bài 15: Jean đang làm mô hình máy

bay trong phòng Nhưng đến khi lắp

cánh máy bay vào mô hình thì bỗng

Jean tự hỏi: “Không biết khi làm

xong, máy bay của ta có lọt khỏi

phòng không?” Biết sải cánh của

máy bay là 1m70, kích thước cánh

cửa là 1m50×1m

Bài 16: “Bài của Heron”

Một người muốn đi từ nhà ra một con sông thẳng để múc một sô nước rồi mang vềnhà kho (khác vị trí vói nhà người đó) ở cùng bên bờ sông với ngôi nhà đó Tìm điểmmúc nước sao cho đoạn đường đó là ngắn nhất