Tìm hiểu về lời giải dalembert của phương trình sóng

Một số khái niệm cơ bản Các phương trình mô tả sự biến thiên của trường theo thời gian thường là các phương trình vi phân đạo hàm riêng, trong đó chứa hàm chưa biết hàm nhiều biến, các

BÙI THỊ NGỌC

TÌM HIỂU VỀ LỜI GIẢI D’ALEMBERT CỦA

PHƯƠNG TRÌNH SÓNGChuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN HUY THẢO

HÀ NỘI, 2017

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên cho tôi được gửi lời cảm ơn tới Ban Giám Hiệu Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, Ban Chủ Nhiệm Khoa Vật Lý đã tạo điều kiện để tôi được làm khóa luận tốt nghiệp, đã quan tâm và đôn đốc tôi trong quá trình thực hiện khóa luận

Xin cảm ơn sâu sắc nhất tới các thầy cô trong Tổ bộ môn Vật Lí Lý Thuyết và Vật Lí Toán, đặc biệt là Tiến sĩ Nguyễn Huy Thảo đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong thời gian làm khóa luận

Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 19 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Bùi Thị Ngọc

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan: Khoá luận tốt nghiệp với đề tài “Tìm hiểu về lời giải D’Alembert của phương trình sóng” là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi, không sao chép của bất cứ ai Các tài liệu được trích dẫn một cách rõ ràng

Hà Nội, ngày 19 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Bùi Thị Ngọc

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 3

1.1 Một số khái niệm cơ bản 3

1.2 Một số phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng 5

1.2.1 Phương pháp tách biến (Phương pháp Fourier) 5

1.2.2 Phương pháp dùng phép biến đổi Fourier 11

1.2.3 Phương pháp dùng phép biến đổi Laplace 13

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP D’ALEMBERT 15

2.1 Phương pháp D’Alembert 15

2.2 Một số bài toán áp dụng phương pháp D’Alembert 20

KẾT LUẬN 25

TÀI LIỆU THAM KHẢO 26

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật lý học hình thành bằng con đường thực nghiệm nên tính chất cơ bản của nó

là thực nghiệm Và để biểu diễn các quy luật vật lý, trình bày nó một cách chính xác, chặt chẽ trong những quan hệ định lượng phải dùng phương pháp toán học Vật

lý lý thuyết là sự kết hợp giữa phương pháp thực nghiệm và toán học Như vậy, vật

lý lý thuyết có nội dung vật lý và phương pháp toán học Phương pháp toán lý là một môn học của vật lý lý thuyết, nên cũng có những đặc điểm đó Nó là một học phần rất quan trọng trong chương trình đào tạo giáo viên THPT Giúp cho sinh viên làm quen dần với phương pháp toán học hiện đại trong vật lý, hiểu rõ hơn bản chất của quá trình truyền sóng và quá trình truyền nhiệt trong vật chất

Những phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rất phong phú

và đa dạng Nó gồm một khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngành như: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tích phân Các kiến thức toán này không những cần thiết cho các bạn sinh viên để tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu đối với các môn học khác trong khi học tại trường, mà còn là các công

cụ toán hữu ích cho công tác của họ sau khi ra trường Phương pháp D’Alembert là một trong những công cụ toán học có nhiều ứng dụng trong vật lý

Chúng tôi nhận thấy để tìm nghiệmcủabài toán Cauchy bằng phương pháp D’Alembert, trong tài liệu “Phương pháp toán lí” của tác giả Đỗ Đình Thanh và một

số tài liệu khác chưa trình bày chi tiết về lời giải Với mục đích làm sáng tỏ lời giải

đó chúngtôi chọn đề tài: “Tìm hiểu về lời giải D’Alembert của phương trình

sóng”

2 Mục đích nghiên cứu

 Làm rõ nội dung lý thuyết, áp dụng thực tế

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Dao động của dây vô hạn, bài toán Cauchy

4 Giả thuyết khoa học

Nếu làm chi tiết được lời giải D’Alembert của phương trình sóng thì sinh viên

sẽ hiểu rõ và vận dụng tốt hơn khi làm bài toán Cauchy

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

 Tìm hiểu bài toán Cauchy và nghiệm của nó

 Đưa ra lời giải chi tiết của lời giải D’Alembert

 Một số bài tập đề nghị

6 Cấu trúc khóa luận

MỞĐẦU

NỘI DUNG

Chương 1: Phương trình đạo hàm riêng

1.1 Một số khái niệm cơ bản

1.2 Một số phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng

Chương 2: Phương pháp D’Alembert

2.1 Lời giải D’Alembert cho phương trình sóng

2.2 Một số bài toán áp dụng phương pháp D’Alembert

KẾT LUẬN

NỘI DUNG Chương 1: Phương trình đạo hàm riêng

1.1 Một số khái niệm cơ bản

Các phương trình mô tả sự biến thiên của trường theo thời gian thường là các phương trình vi phân đạo hàm riêng, trong đó chứa hàm chưa biết (hàm nhiều biến), các đạo hàm riêng của nó và các biến số độc lập

Cấp của đạo hàm cấp cao nhất của hàm chưa biết có mặt trong phương trình là cấp của phương trình

Phương trình đạo hàm riêng gọi là tuyến tính nếu nó là bậc nhất đối với hàm

chưa biết và đạo hàm riêng của nó

Để đơn giản ta hãy xét việc phân loại các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến số độc lập Trường hợp nhiều biến số độc lập cũng được phân loại tương tự

Dạng tổng quát của phương trình như vậy là:

là phương trình truyền nhiệt

Nghĩa là D3 = F3 =0

Trong các phương trình (1.5) và (1.7), ta thường lấy một biến số là thời gian, còn một biến số kia là tọa độ x, khi đó ta có phương trình dao động của dây (hay phương trình sóng một chiều) :

hạn (dao động của sợi dây có hai đầu gắn chặt) truyền nhiệt trong thanh hữu hạn thì

ta có hai loại điều kiện phụ sau:

1) Điều kiện ban đầu cho biết trạng thái lúc t = 0

2) Điều kiện biên cho biết quá trình xảy ra ở biên của khoảng không gian Bài

toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn các điều kiện ban đầu và điều kiện biên gọi là bài toán hỗn hợp, nếu quá trình xảy ra trên cả khoảng vô hạn ,

thì ta chỉ cần điều kiện ban đầu Bài toán đó gọi là bài toán Côsi (Cauchy)

Phương trình (1.10) không chứa thời gian, cả hai biến số x, y đều là biến số không gian Nó xuất hiện khi nghiên cứu các quá trình dừng Để xác định nghiệm,

ta chỉ cần các điều kiện biên, vì vậy, bài toán này gọi là bài toán biên

Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên thường xuất phát từ việc đo đạc thực nghiệm trong vật lí và kỹ thuật nghĩa là mang tính chất gần đúng Những sai số nhỏ của các điều kiện đó sẽ kéo theo những sai số nhỏ của nghiệm Do đó, ta đòi hỏi nghiệm của bài toán đặt ra phải phụ thuộc liên tục vào các điều kiện biên và điều kiện ban đầu Các bài toán được thiết lập sao cho nghiệm của nó tồn tại, duy nhất và phụ thuộc liên tục vào các điều kiện phụ, gọi là các bài toán được thiết lập đúng Những bài toán ta xét dưới đây là những bài toán truyền thống của Vật lí – Toán, chúng đều được thiết lập đúng

1.2 Một số phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng

1.2.1 Phương pháp tách biến (Phương pháp Fourier)

Phương pháp phân li biến số còn được gọi là phương pháp Fourier Phương pháp này, người ta giả sử nghiệm của bài toán là tích của các hàm theo các biến độc lập của phương trình đạo hàm riêng

Hệ quả của việc đặt một nghiệm của phương trình đạo hàm riêng là tích của các hàm theo chỉ một biến độc lập là người ta rút phương trình đạo hàm riêng về một hệ thống các phương trình vi phân thường tương đương Như thế, thay vì phải giải bài toán biên với phương trình đạo hàm riêng, người ta chỉ phải giải một số bài toán biên với phương trình vi phân thường

Ví dụ: Để giải phương trình dạng

(1.11)

Ta làm như sau:

Đặt

Khi đó:

Thay vào phương trình (1.1) ta được phương trình:

Chia hai vế phương trình cho XY, ta được:

Chúng ta thấy rằng hàm X chỉ phụ thuộc vào biến x, hàm Y chỉ phụ thuộc vào biến y nên nếu chọn tham số thích hợp, ta sẽ được phương trình vi phân cấp hai Giải phương trình này, chúng ta sẽ suy ra nghiệm của phương trình (1.11) Chú ý thêm rằng, số nói trên là hằng số tùy ý nên theo nguyên lý chồng chất nghiệm, về mặt hình thức, nghiệm của phương trình đạo hàm riêng là chuỗi hàm lượng giác mà các số hạng chính là nghiệm của phương trình vi phân ở trên 1.2.1.1 Phương trình sóng Là bài toán biên trị có dạng: {

Đặt u(x,t) = X(x)T(t) (1.15) Thế vào (1.12), chúng ta được: Hay

(1.13) (1.14) (1.12)

Vì các hàm ở vế trái chỉ tùy thuộc vào x và các hàm ở vế phải chỉ tùy thuộc vào

t, nên cả hai vế phải bằng hằng số , do đó:

, Điều kiện (1.13) buộc rằng:

Bài toán trị riêng hàm riêng là:

Áp dụng điều kiện biên tại x = 0, x = l ta được A = B = 0 Như vậy X(x)=0, điều này dẫn tới u=0, trái với (1.15), do đó giả thuyết bị loại

Tới đây chúng ta tiên đoán được trường hợp là dùng được

(1.16)

Trường hợp :

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân trong (1.16) là

√ √ Với A, B là các hằng số tùy ý

Chuỗi (1.23) với các hệ số (1.24) gọi là chuỗi Fourier sin của f(x) Chuỗi (1.22)

với các hệ số (1.24) được gọi là nghiệm hình thức của bài toán (1.12), (1.13), (1.14)

1.2.1.2 Phương trình truyền nhiệt

Là bài toán biên trị có dạng:

{

(1.28)

Hay

Vì các hàm ở vế trái chỉ phụ thuộc vào x và các hàm ở vế phải chỉ phụ thuộc

vào t, nên cả hai phải bằng một hằng số , đó là:

,

Hơn nữa, vì hàm u=XT phải thỏa mãn điều kiện (1.26) nên:

Điều kiện biên trong bài toán (1.2.22) buộc rằng:

√ Điều này dẫn tới

√

Các trị riêng của bài toán (1.32) được cho bởi (1.33) là một tập vô hạn các số nguyên âm { }, n=1,2,… Các hàm riêng tương ứng với các trị riêng này là:

Với cho bởi (1.33), phương trình thứ hai trong (1.30) bây giờ là:

Chuỗi (1.36) với hệ số (1.37) được gọi là chuỗi Fourier của f(x) Hàm u cho bởi

(1.35) với hệ số (1.37) gọi là nghiệm hình thức của bài toán (1.25), (1.26), (1.27)

1.2.2 Phương pháp dùng phép biến đổi Fourier

Phép biến đổi Fourier cho chúng ta tìm được nghiệm hình thức của bài toán giá trị biên Phép biến đổi này rút phương trình đạo hàm riêng về phương trình vi phân thường

Giải phương trình vi phân thường chúng ta được biến đổi Fourier của nghiệm hình thức của bài toán Dùng công thức đảo ta tìm được nghiệm hình thức của bài toán

(1.34)

(1.36)

(1.37)

Chẳng hạn ta xét bài toán sau:

{

∑ ̂

∑

̂

Nhƣ vậy hàm ̂ phải thỏa mãn:

̂ ̂ ̂ ̂ ̂

Dùng công thức Fourier đảo ta có:

∑ ̂

u này gọi là nghiệm hình thức của bài toán

1.2.3 Phương pháp dùng phép biến đổi Laplace

Các bước tiến hành áp dụng phép biến đổi Laplace để tìm nghiệm bài toán biên:

 Xác định biến số của hàm nhiều biến có thể thực hiện biến đổi Laplace

 Thực hiện phép biến đổi Laplace cho hai vế của phương trình đạo hàm riêng

có để ý đến các điều kiện phụ

 Xác định ảnh Laplace của hàm cần tìm

 Dùng phép biến đổi Laplace đảo xác định hàm cần tìm

Ví dụ: Giải bài toán

{

Lấy biến đổi Laplace đối với t của (1.38)

[ ] *

+

* + [ ]

[

Từ đây suy ra:

(1.38)

Chương 2: Phương pháp D’Alembert

2.1 Phương pháp D’Alembert

Sợi dây vô hạn là sự trừu tượng hóa sợi dây có chiều dài lớn đến mức là các đầu mút không ảnh hưởng gì đến dao động của phần sợi dây đang xét Lúc đó dao động của phần này chỉ chịu ảnh hưởng của điều kiện ban đầu

Sự xuất hiện dao động của sợi dây vô hạn có thể hình dung như sau: ở thời

điểm ban đầu nào đó t =0, sợi dây có một hình dạng nào đó

u(x,t)|t=0 = u(x,0) =f(x)

và mỗi điểm của sợi dây nhận một vận tốc ban đầu:

u t (x,t)| t=0 = u t (x,0) = F(x)

sau đó sợi dây tự nó chuyển động

Hàm f(x) và F(x) phải được xác định trên toàn bộ trục x

Thành thử ta có bài toán vật lí – toán sau đây:

Tìm nghiệm u =u(x,t), của phương trình

) (

)

(2.1)

(2.2)

*(

) (

)+

( ) ( ) Vậy phương trình (2.1) có dạng:

Trở về các biến số cũ x, t ta được

Trong đó và là các hàm tùy ý, khả vi liên tục hai lần để cho phép đổi biến

số trên là đúng Nghiệm (2.3) được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) Bây giờ ta dựa vào các điều kiện ban đầu (2.2) để xác định các hàm và

(với a = c = const)

Lấy tích phân hai vế của (3-17) từ 0 đến x ta được:

(2.3)

(2.4)

(3-17)

[ ] [ ] ∫

Ở đây chúng tôi nhận thấy tài liệu này chưa làm rõ cách lấy tích phân hai vế của phương trình (3-17) khiến nhiều bạn sinh viên không hiểu và gặp khó khăn khi làm bài tập Do đó, chúng tôi đã đưa ra lời giải chi tiết như sau:

Ta có:

Xét hàm : đặt , khi đó là hàm của và a (a=const) hay

Ta có:

Xét hàm , đặt , khi đó là hàm của x’ và b (b=const) hay

Ta có:

Tại t = 0, theo điều kiện ban đầu ta có:

|

|

| Hay

|

|

Tích phân hai vế phương trình (2.5) từ x 0 đến x ta được:

∫ ∫ ∫

∫

∫ Đặt K = , khi đó (2.6) trở thành:

∫ Giải hệ phương trình (2.4) và (2.7) ta được:

∫

∫ Thay các biểu thức này vào (2.3)

chuyển truyền theo hướng x dương với tốc độ c và hình dạng của nó không thay đổi

Tương tự, cũng là một sóng di chuyển lan truyền theo hướng âm x với

tốc độ c mà không thay đổi hình dạng Một làn sóng truyền theo hướng x dương với tốc độ không đổi c mà không thay đổi hình dạng được thể hiện trong hình 1

Phương trình sóng (2.1) và (2.2) có hai bộ đặc trưng của đường cong bao gồm những đường thẳng rõ ràng Các thành viên của bộ với độ dốc và được gọi là chạy phải và chạy trái đặc trưng tương ứng Chúng được thể hiện trong hình 2

Hình1 Sóng truyền đi lan truyền theo hướng x dương

Hình 2 Các đường đặc trưng của phương trình sóng

2.2 Một số bài toán áp dụng phương pháp D’Alembert

Bài toán 1: Giải phương trình:

Với các điều kiện:

|

t

Có nghiệm duy nhất cho bởi:

Bài toán 5: Tìm nghiệm của bài toán:

{

Nghiệm D’Alembert là:

[ ]

∫

ở đây f(x) = sinx, F(x) = cosx và c = 1

Khi đó nghiệm tổng quát là

Bài toán 6: Giải bài toán {

Nghiệm D’Alembert là: [ ]

∫

ở đây, f(x) = 3x 2 , F(x) = 2x 3 và c = 1 Khi đó nghiệm tổng quát là: [ ] ∫

[ ] [ ]

[ ] * [ ]+

( )

Bài tập đề nghị: Sử dụng phương pháp D’Alembert để giải các bài toán sau: 1 {

2

{

Với A là hằng số

3

{

Với , là các hàm cho khá tốt

KẾT LUẬN

Trong khóa luận này, chúng tôi đã hệ thống được một số phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng, cụ thể là: phương pháp tách biến Fourier, phương pháp dùng phép biến đổi Fourier và phương pháp Laplace Đồng thời, chúng tôi đã đưa ra

lời giải chi tiết D’Alembert cho phương trình sóng mà trong tài liệu Phương pháp toán lí của tác giả Đỗ Đình Thanh chưa làm rõ điều này Cũng trong khóa luận này,

chúng tôi đưa ra một số bài tập vận dụng lời giải D’Alembert cho phương trình sóng và một số bài tập đề nghị để các bạn có thể áp dụng phương pháp này giải bài tập

Hy vọng khóa luận sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn sinh viên quan tâm đến đề tài này và có thể dễ dàng hơn trong việc giải bài tập về dao động của sợi dây dài vô hạn