TOAN CAO CAP XD (1)

CHƯƠNG I GIỚI HẠN DÃY SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ I.Tập hợp, ánh xạ 1.Tập hợp a/ Khái niệm Tập hợp khái niệm dùng để tổng thể nhiều đối tượng có số tính chất Các tập hợp thường ký hiệu: A, B, C , Mỗi đối tượng tập hợp gọi phần tử tập hợp, ký hiệu phần tử x thuộc tập hợp A x ∈ A , ngược lại ta ký hiệu x ∉ A Tập hợp không chứa phần tử gọi tập rỗng, ký hiệu: ∅ Xét hai tập hợp A B , phần tử A phần tử B ta nói A chứa B , ký hiệu A ⊂ B , ta nói A phận B tập B Nếu A ⊂ B B ⊂ A ta nói A = B Lưu ý A ∅ hai tập hiển nhiên tập A Ví dụ: N = { 0,1,2,3, } : Tập hợp số tự nhiên Z = { ,−3,−2,−1,0,1,2,3, } : Tập hợp số nguyên a  Q =  , a ∈ Z , b ∈ Z , b ≠ 0 : Tập hợp số hữu tỉ b  R : Tập hợp số thực C = a + ib, a ∈ R, b ∈ R, i = −1 : Tập hợp số phức Và N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C { } Các phép toán tập hợp a Phép hợp: Hợp hai tập hợp A B tập hợp gồm phần tử thuộc A , thuộc B Ký hiệu: C = A ∪ B = { x : x ∈ A ∨ x ∈ B} Ví dụ: A = { a, b, c, d } , B = { a, b, e, f } A ∪ B = { a, b, c, d , e, f } b.Phép giao: Giao hai tập hợp A B tập hợp gồm phần tử vừa thuộc A , vừa thuộc B Ký hiệu: C = A ∩ B = { x : x ∈ A ∧ x ∈ B} Ví dụ: A = { a, b, c, d } , B = { a, b, e, f } A ∩ B = { a, b} c.Phép hiệu: Hiệu hai tập hợp A B tập hợp gồm phần tử thuộc A mà không thuộc B Ký hiệu: C = A \ B = { x : x ∈ A ∧ x ∉ B} Ví dụ: A = { a, b, c, d } , B = { a, b, e, f } A \ B = { c, d } Ánh xạ Một ánh xạ từ tập A vào tập B tương ứng f cho ∀x ∈ A có phần tử y ∈ B ứng với x Ký hiệu f :A→B x y x : gọi tạo ảnh y qua f y : gọi ảnh x qua f , ký hiệu y = f (x) A :gọi tập nguồn (tập xác định), B gọi tập đích (tập giá trị) ánh xạ f Phân loại ánh xạ: + f gọi đơn ánh ⇔ f ( x1 ) = f ( x2 ) x1 = x2 + f gọi toàn ánh ⇔ ∀x ∈ B ∃y ∈ B để y = f (x) + f gọi song ánh ⇔ f vừa đơn ánh vừa toàn ánh Sơ lược tập hợp số phức C a Định nghĩa: Cho tập hợp C = { z = a + ib, a ∈ R, b ∈ R, i = −1} , tập hợp ta định nghĩa hai phép toán cộng nhân sau: z1 + z2 = (a + ib) + (c + id ) = (a + c ) + i (b + d ) z1.z2 = ( a + ib).(c + id ) = (ac − bd ) + i (ad + bc ) a = b Hai số phức (a + ib) = (c + id ) ⇔  b = d Dạng z = a + ib gọi dạng đại số số phức Cho số phức z = a + ib a gọi phần thực ký hiệu Re(z), b gọi phần ảo ký hiệu Im(z), i gọi đơn vị ảo số phức z = a + ib Ta ký hiệu z modun số phức z = a + ib z = a + b Cho số phức z = a + ib , số phức z gọi số phức liên hợp z z = a − ib * Một số tính chất: i/z = z ii / z1 + z2 = z1 + z2 iii / z1.z2 = z1.z2 z  z iv /  ÷ =  z  z2 v / z ∈ R; z = ⇔ z = vi / z = z.z vii / z = z viii / z1.z2 = z1 z2 ix/ z z1 = z2 z2 b Biểu diễn hình học số phức: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M (a, b) số phức z = a + ib , ta gọi OM = z = a + b = r uuuu r uur ϕ = (OM , Ox) = Argument(z) , ký hiệu Arg ( z ) ≤ Arg(z) ≤ 2π Lúc ta xem số phức z = a + ib điểm M (a, b) mặt phẳng Oxy với hoành độ tung độ tương ứng phần thực phần ảo số phức  a = r cos ϕ z = a + ib = r (cosϕ +isinϕ ) ta gọi dạng lượng  b = r sin ϕ Từ ta có  giác số phức c Lũy thừa số số phức: i/ ∀x ∈ R ta ký hiệu: eix = cosx+isinx , từ ta có số tính chất sau: +∀x, y ∈ R : ei ( x + y ) = eix eiy +∀x ∈ R : e −ix = ix ⇒ ∀n ∈ Z , ∀x ∈ R : eix e ( ) n = eixn +∀x ∈ R : eix = e −ix Số phức dạng z = eix ta gọi dạng cực ii/ Từ công thức ∀n ∈ Z , ∀x ∈ R : ( eix ) = eixn , ta có: n (e ) ix n = eixn ⇔ ( cosx+isinx ) = cosnx+isinnx (Công thức Moivre) n iii/ Cho số phức z ∈ C , xét n z , đặt Z = n z suy Z n = z Nếu z = r (cosϕ +isinϕ ) Z=r / (cosθ +isinθ ) ⇒ Z n =(r / ) n (cosnθ +isinnθ )  r/ = n r  r = (r / ) n  r (cosϕ +isinϕ ) = (r ) (cosnθ +isinnθ ) ⇔  ⇔ ϕ + k 2π , k = 0, n − nθ = ϕ + k 2π θ = n  ϕ +k2π ϕ +k2π ) + isin( )), k = 0, n − Vậy n z = n r (cos( n n / n ϕ + k 2π Hơn nữa: z = eiϕ n z = r n ei ( n ) , k = 0, n − d Một số ví dụ: i/ Biểu diễn số phức thành dạng lượng giác dạng cực, sau khai với bậc ra: a / z = 1, z , z ; b / z = −i, z , z ; c / z = + i, z , z ; d / z = −i , z, z; 2 ii/ Giải phương trình sau C: a / z + z + = 0; b / z + zcosθ + = 0, θ ∈ R; c /(3 + i ) z − (8 + 6i) z + 25 + 5i = 0; d /( z − z ) + 40( z − z ) + 375 = e /( z + i ) + ( z + 1) + ( z − i ) = f / z + (1 − 2i ) z + (1 − i ) z − 2i = , biết phương trình có nghiệm ảo g / z + 4iz + 12(1 + i ) z − 45 = , biết phương trình có nghiệm thực nghiệm ảo iii/ Hãy tìm bậc số phức z = 8a − (1 + a )2 + 4a(1 − a )i; a ∈ R iv/ Hãy biểu diễn cos x,sin x, cos3x,sin3x,cos4x,sin5x, qua lũy thừa s inx,cosx Hàm số a.Khái niệm hàm số Cho D ⊂ R Ánh xạ f : D → R gọi hàm số xác định D + D gọi miền xác định f + T = { f ( x) x ∈ D} gọi miền giá trị f b.Tính chất: Hai hàm số y = f (x) , y = g (x) , y = F (x) i/ f = g f , g có miền xác định D ∀x ∈ D : f ( x) = g ( x) x2 − , g ( x) = x + x −1 ii/ f > g f , g có miền xác định D ∀x ∈ D : f ( x) > g ( x) iii/ F = f + g ⇔ ∀x ∈ D miền xác định F F ( x) = f ( x) + g ( x) Hiệu, tích, thương f , g định nghĩa tương tự iv/ Hàm số y = f (x) gọi tăng hay đồng biến ⇔ ∀x1 , x2 ∈ D : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) v/ Hàm số y = f (x) gọi giảm hay nghịch biến ⇔ ∀x1 , x2 ∈ D : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Ví dụ:+ Hàm số y = x3 tăng toàn miền xác định + Hàm số y = x tăng (0,+∞) , giảm (−∞ ,0) Ví dụ: f ( x) = vi/ Hàm số y = f (x) gọi bị chặn D ∃k > : f ( x) < k , ∀x ∈ D Ví dụ: Hàm số y = cos x, y = sin x bị chặn [ − 1;1] vii/ Hàm số y = f (x) gọi hàm số chẵn miền đối xứng (−a; a) ∀x ∈ (− a; a ) : f (− x ) = f ( x ) viii/ Hàm số y = f (x) gọi hàm số lẻ miền đối xứng (−a; a) ∀x ∈ (−a; a ) : f (− x ) = − f ( x) Ví dụ:+ y = x , y = cos x, y = x sin x, y = x hàm số chẵn + y = x3 , y = x cos x, y = sin x hàm số lẻ ix/ Hàm số y = f (x) gọi hàm số tuần hoàn tồn số l ≠ cho f ( x + l ) = f ( x ) , số dương bé số l gọi chu kỳ hàm số tuần hoàn y = f (x) Ví dụ:Hàm số y = sin x, y = cos x tuần hoàn với chu kỳ 2π , Hàm số y = tan x, y = cot anx tuần hoàn với chu kỳ π Hàm số hợp g :Y → Z f : X →Y h: X → Z , hàm số gọi y  z = g ( x) x  y = f ( x) x  z = h( x ) hàm số hợp f , g , ký hiệu: h = g.h z = g (h( x)) Ví dụ1: Cho f ( x) = x + 1, g ( x) = sin x Tìm f f , g.g , f g , g f + f f ( x) = f ( f ( x)) = ( f ( x))2 + = ( x + 1) + + g.g ( x) = g ( g ( x)) = sin 2( g ( x)) = sin 2(sin x) Khái niệm: Cho Hàm số ngược Cho hàm số f : X →Y , f song ánh f −1 hàm số ngược x  y = f ( x) f y+2 x+2 Ví dụ: + y = x − hàm số ngược x = ( y = ) 2 x y y = log x + hàm số ngược x = a ( y = a ) a Một số hàm số sơ cấp bản: a Hàm số: y = xα ,α ∈ R , miền xác định phụ thuộc vào α + Nếu α ∈ N D = R + Nếu α ∈ Z − D = R \ { o} + Nếu α ∈ Q + D = R + + Nếu α ∈ Q − D = R + \ { 0} b Hàm số: y = a x , a > 0, a ≠ , xác định ∀x ∈ R + \ { 0} , hàm số tăng a > , giảm < a 0, a ≠ , hàm số ngược y = a x xác định x > , hàm số tăng a > , giảm < a < Một số tính chất cần lưu ý + log a x y = log a x + log a y x + log a y = log a x − log a y β + log aα b = α log a b β N + N = log a a + log a b = log a c log c b d Các hàm số lượng giác y = sin x, y = cos x miền xác định R π y = tan x, xác định x ≠ (2k + 1) , k ∈ Z y = cot anx, xác định x ≠ kπ , k ∈ Z * Lưu ý công thức lượng giác e Các hàm số lượng giác ngược y = arcsin x hàm số ngược y = sin x y = arccos x hàm số ngược y = cos x y = arctan x hàm số ngược y = tan x y = arc cot anx hàm số ngược y = cot anx Nếu y = sin x hàm ngược x = arcsin y Ta có hai đẳng thức sau: arcsin x + arccos x = π π , arctan x + arc cot anx = 2 Chứng minh: π Đặt A = arcsin x, B = arccos x ⇒ x = sin A = cos B = sin( − B) Vậy A = π π − B ⇔ A+ B = 2 f Các hàm Hyperpol Các hàm hyperbol hàm số xác định đẳng thức sau: e x − e− x shx = đọc hàm sin hyperbol e− x + e x chx = đọc hàm cosin hyperbol shx e x − e − x thx = = đọc hàm tang hyperbol chx e − x + e x chx e − x + e x cthx = = đọc hàm cotang hyperbol shx e x − e − x Hàm cosin hyperpol hàm chẵn, hàm sin hyperbol, tang hyperbol, cotang hyperbol hàm lẻ; Và sh0 = 0, ch0 = 1, ch2 x − sh x = 1, thx.cthx = II Giới hạn dãy số Khái niệm: Định nghĩa 1: Hàm số u : N * → R Những giá trị hàm số ứng với n = 1,2,3, , n, gọi dãy số Đặt u1 = u (1), u2 = u (2), , un = u (n), Dãy số viết dạng { un } u1 , u2 , u3 , , un , , số ui gọi số hạng dãy, un gọi số hạng tổng quát dãy  Ví dụ: +Dãy { un } =  n  n ,  dãy số : , , , n +1  n + 1 + Dãy { un } = n dãy số : 1, 4,9, , n , { } Định nghĩa 2: Số a gọi giới hạn dãy số { un } n → ∞ , ký hiệu lim un = a hay un → a n → ∞ , ∀ε > 0, ∃N > : ∀n ≥ N un − a < ε n →∞ Dãy số có giới hạn gọi hội tụ, ngược lại gọi phân kỳ n = Thật vậy, ∀ε > bé tùy ý, ta n +1 chọn số bé cụ thể đó, chẳng hạn ε = 10 n 1 −1 < ⇒ < ⇒ n > 104 − Thì ta phải Muốn cho un − a < ε ⇒ n +1 10 n + 10 chọn N = 104 − , lúc ta có un −1 < ε Ví dụ: Chứng minh nlim →∞ Định nghĩa 3: Dãy { un } dần dến vô n tiến đến vô với M > lớn tùy ý , có số nguyên dương N cho với n > N , ta có un > M un = ∞ Ký hiệu: nlim →∞ n = ∞ Thật vậy: chọn M = 105 , muốn cho Ví dụ: Chứng minh nlim →∞ n > 105 ⇒ n > 1010 ta chọn N = 1010 Lúc ∀n > 1010 ⇒ n >M un = ∞ , Dãy { un } gọi vô Định nghĩa 4: Dãy { un } gọi vô lớn nlim →∞   un = Lưu ý { un } vô lớn   vô bé bé nlim →∞  un  ngược lại Các định lý giới hạn dãy a Các tính chất: + Nếu dãy { un } có giới hạn a a > p(a > p) tồn N cho với n > N un > p(un < p ) + Nếu dãy { un } có giới hạn a un ≤ p(un ≥ p), ∀n a ≤ p(a ≥ p) + Nếu dãy { un } có giới hạn a a + Nếu dãy { un } có giới hạn bị chặn, tức ∃k > : un ≤ k , ∀n b Các định lý: un = a, lim = b , Định lý 1: Cho nlim →∞ n→∞ + Nếu un = , ∀n a = b + Nếu un ≥ , ∀n a ≥ b un = lim wn = a lim = a Định lý 2: Nếu un ≤ ≤ wn nlim →∞ n→∞ n →∞ ( Ví dụ: Tính I = nlim →∞ n2 + + 1 + + n2 + n2 + 1 1 + + + Đặt = + 2 n +1 n +2 n +3 n +n n n Và ≤ ≤ n +1 n +n n n = lim =1 Mặt khác nlim 2 →∞ n →∞ n +1 n +n Theo định lý lim = 1 n2 + n ) n →∞ c.Các phép tính giới hạn dãy số : Nếu dãy { un } , { } hội tụ { un ± } = nlim un ± lim + dãy { un ± } hội tụ nlim →∞ →∞ n→∞ { un } = nlim un lim Hơn nữa: + dãy { un } hội tụ nlim →∞ →∞ n→∞ lim{ k } = k lim n→∞ n→∞ un  un  nlim  un  →∞ lim = , lim ≠   + dãy   hội tụ n →∞ v n → ∞  n  nlim   →∞ Một số công thức giới hạn dãy số thường gặp: 0 < a < n a = 1, a > , c lim n n = , d lim (1 + ) n = e , b nlim → ∞ n →∞ n→∞ n  + ∞ a >1 an =  a nlim →∞ Bài tập: I Hàm số 1.Tìm miền xác định hàm số sau: 1+ x x , c y = log( x − 4) , d y = 1− x sin πx  f ( x) = ax + bx + c Xác định f (x) biết   f (−2) = 0, f (0) = 1, f (1) = a y = 3x − x3 , b y = ( x − 2)  f ( x) = a + b.c x f (x ) Xác định biết   f (2) = 30, f (0) = 15, f (4) = 90 Tìm f ( f ( x)), g ( g ( x)), f ( g ( x)), g ( f ( x)) f ( x) = x + x + 1, g ( x) = x Tìm f ( f ( x)), f ( f ( f ( x))) f ( x) = 1− x 1 Tìm f (x) a f ( x + 1) = x + 3x + , b f ( x + ) = x + x x sh ( x + a ) = shx cha + chx sha Chứng minh đẳng thức Hãy biểu diễn sh2 x, ch2 x qua shx, chx Hãy biểu diễn sh x, ch x qua ch2 x II Giới hạn dãy số Tìm giới hạn: a nlim →∞ 2n + n + 2n6 + 3n − 2n − 2n + n + lim − n3 lim lim , b , c , d 4 n →∞ n →∞ n − 5n + n →∞ n − 5n + n − 4n + Tìm giới hạn: n + n + 2n + lim ( n + n + − n) , a lim 22n + n − , b nlim , c n →∞ →∞ n→∞ n − 5n + − 2n + ( 3n + n + − n ) , e lim ( n + n − n + 1) , f nlim d nlim →∞ →∞ n →∞ ( n + − n2 + ) Sn Cho q < , đặt Sn = + q + q + q + + q n Tìm nlim →∞ 2n + 4.3n 3.2n − 5.7 n lim , b n →∞ n n → ∞ − 7.3n + 3.5n 1 n −1 n n n −1 (1 − ) n , b lim (1 − )3n , c lim ( ) , d lim ( ) Tìm giới hạn: a nlim →∞ n →∞ n →∞ n + n→∞ n − n 2n Áp dụng: Tìm giới hạn: a lim III Giới hạn hàm số Khái niệm: Định nghĩa 1: Số a gọi giới hạn hàm số y = f (x) x dần f ( x) = a x0 ∀ε > 0, ∃δ > : x − x0 < δ ⇒ f ( x ) − a < ε Ký hiệu xlim →x x −4 = Ta chọn ε bé tùy ý cụ thể, chẳng x−2 x2 − 1 1 − < ⇒ x − < ta chọn δ = ε = Lúc hạn ε = Muốn cho x−2 10 10 10 10 Ví dụ: Chứng minh lim x →2 x2 − x2 − − < lim =4 ta có x → x−2 106 x−2 Định nghĩa 2: Ta gọi a giới hạn y = f (x) x → ∞ f ( x) = a ∀ε > 0, ∃A > : x > A ⇒ f ( x ) − a < ε Ký hiệu: lim x→∞ Đặc biệt: f ( x) = a ⇔ ∀ε > 0, ∃A > : x > A ⇒ f ( x) − a < ε + xlim → +∞ f ( x) = a ⇔ ∀ε > 0, ∃A > : x < − A ⇒ f ( x) − a < ε + xlim → −∞ x = ∀x > 0, f ( x) − = < ε Ta chọn A x +1 x 1 x =1 số dương lớn ∀x > A > ⇒ f ( x) − < ε Vậy xlim → +∞ ε ε x +1 Định nghĩa 3: Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn vô x → x0 nếu: ∀M > 0, ∃δ >: x > δ ⇒ f ( x) > M Ký hiệu lim f ( x) = ∞ Ví dụ: Chứng minh : xlim → +∞ x → x0 Đặc biệt; f ( x) = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃δ > : x − x0 < δ ⇒ f ( x ) > M + xlim →x f ( x) = −∞ ⇔ ∀M > 0, ∃δ > : x − x0 < δ ⇒ f ( x ) < − M + xlim →x Ví dụ: lim x →1 =∞ 1− x Định nghĩa 4: Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn vô x → ∞ f ( x) = ∞ nếu: ∀M > 0, ∃A >: x > A ⇒ f ( x) > M Ký hiệu lim x →∞ Đặc biệt: f ( x) = +∞ ⇔∀M > 0, ∃A > :> A ⇒ f ( x) > M + xlim →+∞ f ( x) = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃A > : x < − A ⇒ f ( x ) > M + xlim → −∞ f ( x) = −∞ ⇔ ∀M > 0, ∃A > : x < − A ⇒ f ( x ) < − M + xlim → −∞ f ( x) = −∞ ⇔ ∀M > 0, ∃A > : x > A ⇒ f ( x) < − M + xlim → +∞ ln x = +∞ Ví dụ: xlim → +∞ Một số công thức giới hạn: + lim x→0 sin x =1 x + lim x →0 tan x =1 x arcsin x =1 x ax −1 = ln a, a > + lim x →0 x (1 + x)α − =α + lim x →0 x arctan x =1 x ex − =1 + lim x →0 x ln(1 + x) =1 + lim x→0 x (1 + ) x = e + lim x→∞ x + lim x →0 + lim x →0 x + lim(1 + x) = e x→0 Giới hạn phía Định nghĩa: Số a gọi giới hạn phải (trái) f (x) x0 x tiến f ( x) = a ( lim f ( x) = a ) bên phải (trái) x0 Ký hiệu: xlim →x x→ x + − 1 x x sin x +Xét hàm số f ( x) = x x = , ta có: = +∞ lim = −∞ Ví dụ:+ Dễ thấy xlim →o + x→o − lim+ x→0 sin x sin x sin x sin x = lim+ = lim− = lim+ = −1 x→0 x→0 x→0 − x x x x lim f ( x) ∃ lim f ( x ), ∃ lim f ( x) Định lý: Điều kiện cần đủ để ∃ x→ x x→ x x→ x + 0 − lim f ( x) = lim− f ( x ) x → x 0+ x → x0 Các định lý tính chất giới hạn: a.Tính chất: f ( x) = C +Nếu f ( x) = C xlim →x + Giới hạn a có hàm số b.Các định lý phép tính giới hạn: f ( x ) = C , lim g ( x) = B thì: Giả sử xlim →x x→ x 0 ( f ( x ) ± g ( x )) = C + B + xlim →x + lim ( f ( x).g ( x)) = C.B x → x0 f ( x) C ( ) = ,B ≠ + xlim → x g ( x) B Hệ quả: k f ( x) = k C + xlim →x 0 n n i =1 i =1 + lim (∑ f i ( x)) = ∑ lim fi ( x) x → x0 x → x0 ( f1 ( x ) f ( x) f ( x ) f n ( x)) = lim f1 ( x) lim f ( x ) lim f ( x) lim f n ( x) + xlim →x x→ x x→ x x→x x→ x 0 ( f ( x )) = ( lim f ( x)) Đặc biệt: xlim →x x→ x c Các tiêu chuẩn tồn giới hạn n 0 0 n 10 a Định lý: Cho ma trận A = ( aij ) n×n , At chuyển vị A, lúc det A = det At b Định lý: Nếu đổi chổ hai dòng ma trận vuông định thức đổi dấu c Định lý: Cho A = ( aij ) n×n ma trận vuông cấp n R i/ Nếu nhân dòng A với số thực λ ≠ định thức nhân với λ , tức a11 a12 λ a21 λ a22 an1 an a1n λ a2 n =λ ann a11 a21 an1 a12 a22 an a1n a2 n ann ii/ Nếu A có dòng không định thức không iii/ Nếu A có hai dòng tỉ lệ định thức không iv/ Nếu thêm vào dòng A bội dòng khác định thức không đổi Tức là: a11 + λ a21 a12 + λ a22 a1n + λ a2 n a11 a12 a1n a21 an1 a22 an a2 n ann = a21 a22 a2 n an1 an ann Định lý cung cấp cho ta phép biến đổi sơ cấp định thức ma trận vuông Định lý Laplace a Định thức phần bù đại số Cho A = ( aij ) n×n ma trận vuông cấp n ≥ R, D = det A k nguyên dương nhỏ n , xét k dòng i1 , , ik ; k cột j1 , , jk A Các phần tử A nằm giao k dòng k cột tạo nên ma trận vuông cấp k , ký hiệu S k sau:  a i1 j1 a i1 j2 a i1 jk   ÷  a i2 j1 a i2 j2 a i2 jk ÷ Si1 , ,ik , j1 , , jk =  ÷ gọi ma trận vuông cấp k ma trận A  ÷  a i j a i j a i j ÷ k k k   k1 Định thức det S1 , ,ik , j1 , , jk gọi định thức cấp k D = det A det S Si , ,i , j , , j = k k a i1 j1 a i1 j2 a i1 jk a i j1 a i2 j2 a i2 jk a ik j1 a ik j2 a ik jk Ma trận cấp n − k A có cách xóa k dòng k cột chứa Si , ,i , j , , j gọi ma trận bù Si , ,i , j , , j định thức cấp n − k gọi định thức bù định thức det Si , ,i , j , , j ký hiệu M i , ,i , j , , j k k k 1 k k k k k 63 Phần bù đại số định thức det Si , ,i , j , , j , ký hiệu Ai , ,i , j , , j , định s nghĩa bởi: Ai , ,i , j , , j = (−1) M i , ,i , j , , j Trong s = i1 + + ik + j1 + + jk tổng số dòng số cột tạo nên 1 k k k k k k k k det Si1 , ,ik , j1 , , jk Đặc biệt ta chọn phần tử aij , định thức bù aij định thức M ij cấp n − nhận từ định thức D cách xóa i dòng, j cột phần bù i+ j đại số aij Aij = (−1) M ij Ví dụ: Cho định thức D = 2 3 Tính định thức phần bù đại số b.Định lý Cho A = ( aij ) n×n ma trận vuông cấp n ≥ R , Aij phần bù đại số aij ; i, j = 1, n Khi ta có n det A = ∑ aij Aij = ai1 Ai1 + Ai + + ain Ain (1) j=1 n det A = ∑ aij Aij = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + anj Anj (2) i=1 Công thức (1) gọi phép khai triển định thức ma trận A theo dòng i , tương tự công thức (2) gọi phép khai triển định thức ma trận A theo cột j , 1 −1 Ví dụ: Tính định thức cấp ba sau: D = −1 1 −1 c Định lý Laplace Cho A ma trận vuông cấp n R, giả sử chọn k dòng(tương ứng k cột) Khi đó: det A = ∑ D( k ) A( k ) , D(k) định thức chọn, A(k) phần bù đại số D(k) 1 Ví dụ: Tính D = 2 1 0 1 Các phương pháp tính định thức a Tính định thức cách khai triển theo dòng cột Trong cách này, tính định thức ta chọn dòng cột có nhiều số để khai triển định thức theo dòng 64 −1 Ví dụ: Tính D = 0 Hoặc thấy k dòng hay k dòng hay k cột 0 0 Ví dụ: Tính J = 0 −2 −1 2 −1 cột chứa nhiều số không ta khai triển định thức theo k −5 0 −4 −9 b Tính định thức phép biến đổi sơ cấp Phương pháp chung ta dùng phép biến đổi sơ cấp định thức i/ Đổi chổ hai dòng hai cột định thức định thức đổi dấu ii/ Nhân dòng(hay cột) với số khác không đồng thời nhân định thức với số iii/ Thêm vào dòng (hay cột) định thức bội dòng (hay cột) khác định thức không đổi iv/Đưa thừa số chung dòng hay cột dấu định thức để đưa định thức dạng có dòng(hay cột) có nhiều số không ta tiến hành khai triển định thức theo dòng(hay cột) Ví dụ: Tính định thức I = −5 x J= 1 −7 −2 1 x 1 x 1 1 −2 −3 −1 1 x c Ứng dụng định thức phép tìm nghịch đảo ma trận vuông + Định lý: Ma trận vuông R khả nghịch định thức khác không + Định nghĩa ma trận phụ hợp: Ma trận PA sau gọi ma trận phụ hợp ma trận A ( PA )ij = Aji ; i, j = 1, n , với Aij phần bù đại số aij A Như vậy, ma trận phụ hợp A lập nên từ phần bù đại số mooic phần tử A, trình lập PA biểu thị sau: A = (aij ) → ( Aij ) → PA , lưu ý bước thứ ba PA ma trận chuyển vị ma trận phần bù + Thuật toán: Bước 1: Tính D = det A Nếu D = A không khả nghịch, thuật toán kết thúc 65 Nếu D ≠ , A khả nghịch, thực tiếp bước Bước 2: Lập ma trận phụ hợp PA Tính A−1 = PA D Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo( có) 1 1  1  ÷  ÷ A =  1 ÷; B =  1 ÷ 3 4÷  3÷     a b Ví dụ: Với điều kiện ma trận A =  ÷ khả nghịch, điều kiện dó c d  tìm ma trận nghịch đảo A III Hạng ma trận 1.Khái niệm: a Định nghĩa: Cho ma trận A cấp m.n R, hạng ma trận A, ký hiệu rang ( A) , số nguyên dương r thỏa điều kiện sau đây: + Nếu ma trận A ma trận rang(A) + Nếu A khác ma trận r > Trong A tồn định thức cấp r Mọi định thức A cấp lớn r (nếu có) không Hay nói cách khác, hạng ma trận A khác ma trận cấp cao định thức khác không b Tính chất: a/ ≤ rangA ≤ min(m,n);rang(A)=0 ⇔ A=0;rangA>0 ⇔ A ≠ b/ Nếu A có định thức cấp r rang ( A) ≥ r , đặc biệt r = min(m, n) rang(A)=min(m,n) lúc ta nói A có hạng cực đại c Ma trận suy biến, không suy biến Cho A ma trận cấp n, rang ( A) = n ta nói ma trận A không suy biến Ngược lại, rang ( A) < n ta nói ma trận A suy biến Ví dụ: Tính hạng ma trận sau: 1  1  ÷  A =  ÷; B =   10 ÷ 3 0    1  1 0 1  0  ÷  ÷ D =  ÷; E =  ÷; F =   3 5÷  11÷     0 0  5 0 1 ÷  ÷ ÷; C =  0 ÷ 0 0 0÷ 7÷    0 0 ÷ 0 0÷ 0÷ ÷ 0 0÷ 0 0÷  d Định lý: Cho A ma trận vuông R, khẳng định sau tương đương: i/ A khả nghịch ii/ det A ≠ iii/ A không suy biến 66 Các định lý hạng ma trận a Định lý: Hạng ma trận không thay đổi qua phép chuyển vị b Định lý: Hạng ma trận không thay đổi qua phép biến đổi sơ cấp c Định lý: Cho A ma trận khác không cấp m.n R, rang ( A) = r , r = min{n, m} dạng bậc thang tắc B A 1  0 M  B = 0 0  M 0  M 0 M 0 M M 0 M 0 M 0 ÷ 0÷ M÷ ÷ 0÷ 0÷ ÷ M÷ 0÷  Trong đó, I r ma trận cấp r B, I r ma trận đơn vị, bên cạnh ma trận B thu nhờ ta thực hữu hạn phép biến đổi sơ cấp ma trận A Thuật toán tìm hạng ma trận Để tìm hạng ma trận A cấp m.n R, trước hết ta dùng phép biến đổi sơ cấp dòng(hoặc cột) để đưa A dạng ma trận bậc thang dòng(cột)B, lúc hạng A số dòng(cột) khác không B Ví dụ: Tìm hạng ma trận: 1 2    ÷ 2 1 3 ÷ 0 A =  11 12 ÷; B =   ÷ 1  14 10 15 ÷ 2  11 17 12 18 ÷    3 7 ÷ 12 17 ÷ 4÷ ÷ 11 ÷ 11 15 ÷ ÷ 11 18 25 ÷  IV Hệ phương trình tuyến tính Khái niệm phương trình tuyến tính a Một hệ m phương trình n ẩn số x1 , x2 , , xn dạng  a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1  a x + a x + + a x = b  21 22 2n n (1)    am1 x1 + am x2 + + amn xn = bm Trong aij , bi (i = 1m, j = 1n) số thực cho trước, gọi hệ phương trình tuyến tính R, aij gọi hệ số xi , bi gọi hệ số tự b Ma trận A = ( aij ) m.n  a11 a12  a a22 =  21    am1 am a1n  ÷ a2 n ÷ gọi ma trận hệ số hệ (1), hạng A gọi ÷ ÷ amn  hạng hệ (1) 67  b1   ÷ b2 Ma trận B =  ÷ gọi ma trận hệ số tự hệ (1) M÷  ÷  bm   a11 a12 a1n b1   ÷ a21 a22 a2 n b2 ÷  Ma trận A = ( A B ) =  gọi ma trận bổ sung hay ma trận mở M÷  ÷ ÷ a a a b m m mn m   rộng hệ (1)  x1   ÷ x2 Ma trận X =  ÷ gọi ma trận ẩn số hệ (1) M÷  ÷  xm   a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn =  a x + a x + + a x =  21 22 2n n (2) gọi c Khi b1 = b2 = = bm = , hệ (1) trở thành    am1 x1 + am x2 + + amn xn = hệ phương trình tuyến tính Và ta gọi hệ (1) hệ phương trình tuyến tính tổng quát d Nghiệm hệ (1) hệ (2) n số thứ tự (c1 , c2 , , cn ) cho thay tương ứng vào hệ hệ trở thành đồng thức Một hệ phương trình tuyến tính có nhiều nghiệm vô nghiệm Quá trình tìm nghiệm hệ phương trình tuyến tính gọi giải hệ phương trình tuyến tính Hệ Cramer a Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trình n ẩn gọi hệ Cramer ma trận hệ số không suy biến b Định lý Cramer Mọi hệ Cramer n phương trình, n ẩn có nghiệm cho công thức xj = Dj D , j = 1, n , D định thức ma trận hệ số, D j định thức nhận từ D cách thay cột thứ j cột tự do, j = 1, n  x1 − x2 + x3 =  Ví dụ: Giải hệ phương trình:  x1 + x2 − x3 = x + x + x =  68  ax + by = c  Ví dụ: Cho hệ  cy + az = b ; a, b, c ∈ R Chứng minh hệ có nghiệm nhất, tìm  cx + bz = a  nghiệm Hệ phương trình tuyến tính tổng quát a Định lý: Một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm ma trận mở rộng ma trận hệ số hệ có hạng Tức là: rangA=rangA Hệ quả: Nếu hạng hệ phương trình tuyến tính số phương trình hệ có nghiệm b Định thức sở, phương trình chính, ẩn chính, ẩn tự do, biện luận số nghiệm hệ phương trình tuyến tính  a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1  a x + a x + + a x = b  21 22 2n n (1) , Xét hệ phương trình    am1 x1 + am x2 + + amn xn = bm với dạng ma trận sau: AX=B Giả sử rang ( A) = r (0 < r ≤ min(m, n)) Như ma trận A có định thức cấp r khác không, định thức gọi định thức sở A hệ cho, lưu ý có nhiều định thức A Cho D(r ) = Di i i j j j định thức sở hệ (1) Lúc (1) có nghiệm tương đương với hệ: 12 r r  ai11 x1 + ai1 x2 + + ai1n xn = bi1   ai2 x1 + ai2 x2 + + ai2 n xn = bi2 (2) gồm r phương trình nhận từ hệ (1) cách    a x + a x + + a x = b ir n n ir  ir 1 ir 2 xóa n-r phương trình mà hệ số nằm dòng không chứa phần tử D(r ) Các phương trình hệ (2) gọi phương trình hệ (1), ẩn x j , x j , x j , , x j ( ẩn có hệ số nằm cột A có chứa phần tử D(r ) ) gọi ẩn chính, ẩn lại gọi ẩn tự ứng với định thức sở D(r ) Khi D(r ) thay đổi phương trình hệ, ẩn chính, ẩn tự thay đổi theo Ta có hai trường hợp sau: Nếu r = n (2) hệ Cramer có nghiệm nhất, suy (1) có nghiệm Nếu r < n , ta chuyển tất số hạng chứa ẩn tự sang vế phải, lúc hệ (2) tương đương với r 69   ai1 j1 x j1 + ai1 jr x jr = bi1 − ∑ ai1 j x j j∈J    ai2 j1 x j1 + + ai2 jr x jr = bi2 − ∑ ai2 j x j j∈J (3)      air j1 x1 + + air jr x jr = bir − ∑ air j x j j∈J  Trong hệ (3), vế phải chứa ẩn tự do, vế trái chứa ẩn hay ẩn sở lúc ta xem ẩn tự tham số nhận giá trị tùy ý R hệ (3) hệ Cramer có nghiệm với r ẩn chính(ẩn sở) phụ thuộc vào n-r ẩn tự nhận giá trị tùy ý R, suy trường hợp hệ (1) có vô số nghiệm Từ ta có kết luận sau Cho hệ phương trình tuyến tính (1) (có m phương trình, n ẩn số) có A ma trận hệ số, A = ( A B ) ma trận bổ sung(ma trận mở rộng) Khi đó, i/ Nếu rang ( A) ≠ rang ( A) hệ vô nghiệm ii/ Nếu rang ( A) = rang ( A) = n hệ hệ Cramer nên hệ có nghiệm iii/ Nếu rang ( A) = rang ( A) = r < n hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n-r tham số c Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát i/ Phương pháp đưa hệ Cramer Nội dung phương pháp: + Tính rang ( A), rang ( A) + Nếu rang ( A) ≠ rang ( A) hệ vô nghiệm + Nếu rang ( A) = rang ( A) = n hệ hệ Cramer, suy hệ có nghiệm tìm nghiệm ta biết + Nếu rang ( A) = rang ( A) = r < n hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n-r tham số Trong trường hợp ta thực sau - Chọn định thức sở Dr ≠ 0, rang ( A) = r (0 < r < min(m, n)) - Chọn phương trình dựa định thức sở Dr , phương trình có chứa ẩn chính(ẩn sở) cách bỏ phương trình lại, chuyển số hạng chứa ẩn tự qua vế phải xem ẩn tự tham số, hệ thu lúc hệ Cramer, giải hệ Cramer ta thu nghiệm hệ Ví dụ: Giải hệ phương trình sau  x + y − z + 3t =  2x + y + z =  (I)  ;(II)  x + y − z + 6t = 14 5 x + y − z + 9t = 19  x− y + z −t =  x + y − z + 2t =    5x − y + z = 7 x + y − z + 3t = 10 + Giải (I) lập ma trận hệ số ma trận mở rộng hệ 70 1  A= 4  5 −1 1 −1 −2 1 3  ÷ 0÷ ,A= 4 6÷  ÷ 9 5 −1 1 −1 −2 5 ÷ 4÷ 14 ÷ ÷ 19 ÷  Dùng thuật toán tìm hạng ma trận để tìm hạng hai ma trận thu rang ( A) = rang ( A) = < Chọn D(2) = D1212 = định thức sở hệ, suy x, y hai ẩn sở z, t hai ẩn tự do, ta có  x + y − z + 3t =  x + y = + z − 3t (I ) ⇔  ⇔  2x + y + z =  2x + y = − z  + z − 3t  + z − 3t − + z 3z − 3t −  x = 4− z = = = 1+ t − z  D(2) −3 −3  + z − 3t   4− z − z − 10 + 6t − z −3 z + 6t − ⇔ y = = = = − 2t + z D(2) −3 −3   t, z ∈ R       x = + α − 3β  Vậy hệ có nghiệm  y = − 2α + β , α , β ∈ R , (5 + α − 3β , − 2α + β , α , β ); α , β ∈ R  z = α,t = β  α , β Khi nhận giá trị cụ thể ta có nghiệm cụ thể +Giải (II): Ta có rang ( A) = < = rang ( A) , hệ vô nghiệm  ax + y + z =  Ví dụ: Giải biện luận theo tham số a hệ phương trình sau:  x + ay + z =  x + y + az =  ii/Phương pháp Gauss-Jordan Nội dung phương pháp: + Tính rang ( A), rang ( A) + Nếu rang ( A) ≠ rang ( A) hệ vô nghiệm ` + Nếu rang ( A) = rang ( A) = n hệ hệ Cramer, suy hệ có nghiệm tìm nghiệm ta biết + Nếu rang ( A) = rang ( A) = r < n hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n-r tham số Trong trường hợp ta thực sau 71 Chọn định thức sở Dr ≠ 0, rang ( A) = r (0 < r < min(m, n)) , xác định phương trình chính, ẩn sở, ẩn tự Trong A , loại bỏ dòng không chứa phần tử Dr ta ma trận S Gọi S(r) ma trận vuông cấp r S thỏa det S (r ) = Dr / Biến đổi sơ cấp dòng S để đưa S(r) dạng I r Khi S thành S / Xét hệ phương trình với S ma trận mở rộng Chuyển ẩn tự sang vế phải giải hệ ta thu nghiệm tổng quát hệ cho Ví dụ: Giải hệ phương trình  x + 2y + z −t − s =  x − y − z − 2t + s = −5    x + y + z − 2t − 3s = 13  x + y + z − 5t + 3s = 16 iii/ Phương pháp khử Gauss Nội dung phương pháp: + Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa ma trận mở rộng A dạng ma trận bậc thang dòng A/ , lúc ta dễ dàng nhận biết hạng A A , so sánh chúng kết luận chúng có nghiệm hay vô nghiệm + Nếu hệ có nghiệm, dựa vào ma trận thu ta dễ dàng xác định ẩn sở ẩn tự + Chuyển ẩn tự sang vế phải giải hệ biết Như chất phương pháp khử Gauss khử dần ẩn số, số ẩn sở hệ giảm dần từ xuống Tuy nhiên ta cần lưu ý vấn đề sau: * Nếu thấy xuất dòng bỏ dòng * Nếu thấy xuất hai dòng tỉ lệ ta bỏ dòng * Nếu thấy xuất dòng dạng: ( 0 a ) ; a ∈ R \ { 0} kết luận hệ vô nghiệm không cần giải tiếp  x − y − z + 5t = −13  x − y + z − t = 14  Ví dụ: Giải hệ  Lập ma trận mở rộng hệ  x − y + z + 2t = 13  x − y − z − 4t =  −3 −4 −13   ÷ −6 −1 14 ÷  A = ( A B) =  −9 13 ÷thực phép biến đổi sơ cấp  ÷ ÷ − − −   dòng A Ta có: 72  −3 −4 −13   −3 −4 −13   ÷  ÷ d → d − d1 0 −11 40 ÷ d3 →131 d3  0 −11 40 ÷ d3 → d3 −3 d1  A →  → d4 →d4 − d4  0 13 −13 52 ÷  0 −1 ÷  ÷  ÷ ÷ ÷  0 −9 22   0 −9 22   −3 −4 −13   −3 −4 −13   ÷  ÷ 0 −1 ÷ d2 →d3 −9 d2  0 −1 ÷ d → d3  →  →  0 −11 40 ÷ d4 →d4 − d2  0 −2 ÷  ÷  ÷ ÷ ÷  0 −9 22   0 −7 14   −3 −4 −13   −3 −4 −13   ÷ −1 d → d3 0 −  ÷ x óad  ÷  → → 0 −1 ÷ d →− d  0 −2 ÷ d4 =7 d3   0 −2 ÷  ÷   ÷ 0 − 14    x= + α   x − y − z + 5t = −13 2 x − z + 5t = −13 + y 2    z −t = ⇔ z −t = ⇔ z=2 Ta có hệ     t = −2 t = −2 t = −2     y = α , α ∈ R Ví dụ: Giải biện luận theo tham số m x + y + 3t =   x + y + z + 5t = 16   x + y + z + 8t = 23  x + 12 y + z + 13t = m  6 x + 14 y + z + 16t = 46 Hệ phương trình tuyến tính  a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn =  a x + a x + + a x =  21 22 2n n (2) gọi hệ a Định nghĩa: Hệ phương trình có dạng sau:    am1 x1 + am x2 + + amn xn = phương trình tuyến tính Hệ có nghiệm tầm thường (0, 0, , 0) , ngược lại ta gọi nghiệm tầm thường b Định lý: Hệ (2) có nghiệm không tầm thường hạng hệ nhỏ ẩn số, tức rang ( A) < n c Hệ quả: Cho hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số ẩn, với ma trận hệ số A ma trận vuông Khi đó: Hệ có nghiệm tầm thường ⇔ det A ≠ Hệ có nghiệm không tầm thường ⇔ det A = 73 Ký hiệu P0 tập hợp nghiệm (2), tức P0 = { (c1 , c2 , , cn ), ci ∈ R;(c1 , c2 , , cn ) ≠ (0, 0, , 0)} d Định lý: Các nghiệm (2) có tính chất sau: Tổng hai nghiệm (2)là nghiệm (2), tức C1 , C2 ∈ P0 ⇒ C1 + C2 ∈ P0 Tích nghiệm (2) với số thực thuộc R nghiệm (2), tức C1 ∈ P0 ⇒ kC1 ∈ P0 k ∈ R   e Phương pháp giải: Hệ phương trình trường hợp riêng hệ không nhất, nên phương pháp giải hệ không áp dụng cho hệ  x + 2y + z −t =  Ví dụ: Cho hệ 2 x + y + z + t = 11  x + y + z = 14  a/ Giải hệ tương ứng b/ Từ suy nghiệm hệ không BÀI TẬP  −2   ÷ Cho ma trận A =  −8 ÷ Tìm ma trận X sau cho: a/ A + X = I ,b/ A − X = I  −2 ÷   Thực phép tính sau đây:  −1   ÷  −2 −5   a/  ÷  ÷ ;b/   −3 ÷      1 1 2   −3   ÷ 2 c/  ÷  1 ÷  3  1 1÷   4   −1  −2 −5   ÷ ÷  ÷ 0 ÷  −3  4 ÷ n n 1÷  1  2  1 λ  ;d/  ÷ ;e/  ÷ ;f/  ÷ ;g/  ÷ 2÷ 3 −4 −2  1    0 λ ÷ 3 Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) ma trận sau phép biến đổi sơ cấp 74 1  a/2 3  1  e/ 0  2 3 0 ÷  1 ÷; b /  1 2 2÷   1 2 ÷  0÷ ; f / 0 1 2÷ ÷  1 1 2  2 1 ÷  ÷  ÷; c /  ÷; d /   ÷ 3 1÷  3 1  2 1 ÷  0÷ 1 ;g / 0 2 1÷ ÷  2 1 0 5 ÷ ÷; 0÷  0 ÷ 0÷ 1÷ ÷ 1 Tính định thức cấp ba sau: sin α cos 2α sin α cos2α cos 2α x x / ax + bx / a+b c 2 2 / / a / sin β cos β ; b / sin β cos2β cos β ; c / y y ay + by ; d / b + c a sin γ cos 2γ sin γ cos2γ cos 2γ z z / az + bz / c+a b Không tính, dùng tính chất để chứng minh: a1 a / a2 a3 b1 b2 b3 a1 x + b1 y + c1 a1 a2 x + b2 y + c2 = a2 a2 x + b2 y + c2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c2 a1 + b1 x a1 − b1 x c1 a1 b / a2 + b2 x a2 − b2 x c2 = −2 x a2 a3 + b3 x a3 − b3 x c3 a3 b1 b2 b3 a1 + b1 x a1 x + b1 d / a2 + b2 x a2 x + b2 a3 + b3 x a3 x + b3 c1 a1 c2 = (1 − x ) a2 c3 a3 c1 a1 + b1i a1i + b1 c2 ; c / a2 + b2i a2i + b2 c2 a3 + b3i a3i + b3 b1 b2 b3 c1 a1 c2 = a c3 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c2 c1 a bc c2 ; e / b ca = (b − a )(c − a)(c − b) c2 c ab Tính định thức sau −1 −1 −1 − 1 a/ ;b / a b c d −1 −1 1 1 1 1 x 1 1 y −1 1 ;c / ;d / z 1 −1 t 1 −1 1 1 1 1 1 ;e / 0 1 a 1 b 1 c a b c Tính định thức sau: 1 a/ 1 1 a1 a2 1 a1 + b1 a2 a1 a2 + b2 (cấp n ≥ ) b / a1 a2 an an an (cấp n + ≥ ) an + bn 75 1 c/ 1 2 3 3 n − n n − n n − n (cấp n + ≥ 2n − n n − 2n − Tính định thức sau đây: 1− λ 1− λ 2−λ a / 1− λ ;b / 3−λ ;c / 4−λ ; 1− λ 5−λ 6−λ 2−λ d/ 3−λ 3−λ ;e / −2 − λ 1 2−λ 1− λ Giải phương trình sau theo ẩn x: x2 a/ 0 x3 x4 x2 −1 = 0; b / x3 + x3 − 1 x x x3 = 0; c / 27 16 64 x 0 x 0 x −1 x + x2 −1 =0 x x−2 x + x100 10 Tính hạng ma trận sau:  10  2  ÷  18 ÷  a/ ;b /  10 18 40 17 ÷ 11  ÷   17   −1 2  2 2 1 1  ÷ 1 1 2 2÷ e/ ; f /  4 4÷ 1  ÷ 1 5 5  1 11   ÷  −1 ÷  −2 ;c / 56 ÷  −2 ÷  −6   −2 1 ÷ 1÷ 1÷ ÷ 5÷ 4÷ ÷ 1÷  −1  1 1  ÷  ÷ −3 ÷ 1 −1 1 ÷ ;d / −4 ÷ 1 −1 ÷ ÷  ÷ −5  1 1 −1 11 Các hệ sau có phải hệ Cramer? Hãy giải chúng  x1 + x2 + x3 − x4 =  x1 − x2 − x3 =  x1 + x2 + x3 = −1     x1 − x2 − x3 − x4 = a / 3 x1 + x2 − x3 = 11; b / 2 x1 − x2 + x3 = −4; c /  ; 3 x − x + x = 11 4 x + x + x = −2  x1 + x2 − x3 + x4 = 3   2 x1 − x2 + x3 + x4 = −8  x1 − x2 + x3 + x4 = 3 x + 3x + x + x =  d /  x1 − x2 − x3 + x4 =  x1 − x2 + x3 − x4 = 76 12 Giải biện luận theo m hệ phương trình:  mx + y + z =  (m + 3) x + y + z = m  (3m − 1) x + 2my + (3m + 1) z =    a /  x + my + z = m ; b /  mx + (m − 1) y + z = 2m ; c /  2mx + 2my (3m + 1) z = m  x + y + mz = m 3(m + 1) x + my + (m + 3) z = (m + 1) x + (m + 1) y + 2(m + 1) z = m     x − y + z − 2t =  x + my + m z =  x − y + z + 2t = m x + 2y − z + t = m       2x + y − z + t = d /  x + y + z = ; e /  x + y − z + t = 2m + 1; f / 2 x + y − z + 2t = 2m + 1; g /   x + 3y + 9z =  x + y − 5z − t = −m  x + y − z − 3t = −m  3x + z − t =     x + y = m 13 Giải hệ phương trính không tương ứng sau  x+ y+ z +t +u =  2x + y − z − t + u =  3x + y + z + t − 3u = −2  x − y + z + t − 2u =   a/ ,b /   y + z + 2t + 6u = 23 3 x + y − z − 3t + 4u = 5 x + y + z + 3t − u = 12 4 x + y − z − 3t + 7u = 77 ... ln xdx + Tính ∫ x sin xdx * Chú ý: Tích phân phần thường áp dụng cho dạng 27 + ∫ p( x) ln xdx + ∫ p ( x )sin axdx + ∫ p ( x)e ax dx + ∫ p ( x)cosaxdx + ∫ p( x)arcsin axdx + ∫ p ( x)arccosaxdx... x)arccosaxdx + ∫ p ( x)arctanaxdx + ∫ p( x)arccotanaxdx + ∫ p( x) ln n xdx + ∫ eax sin bxdx + ∫ eax cosbxdx Trong p( x) đa thức, a, b ∈ R không đặt U hàm mũ x Ví dụ: I = ∫ e cosxdx 1.6 Tích phân số hàm... anx+C,C ∈ R cos x +∫ + ∫ shxdx = chx + C + ∫ a x dx = ax +C , C ∈ R ln a + ∫ s inxdx = cosx+C,C ∈ R + ∫ cosxdx = − sin x+C,C ∈ R + ∫ tanxdx = − ln cosx +C,C ∈ R + ∫ cotanxdx = ln sin x +C,C ∈ R