TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG TỔ TOÁN KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN: TOÁN 11 Thời gian: 90 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2.0 điểm): Tìm giới hạn sau: a) lim (−2 x + x − 1) x →−∞ b) lim− x →−1 2x −1 x +1 Câu (1.5 điểm): Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = x + cos x + b) y = (2 − x )sin x Câu (1.0 điểm): Cho hàm số y = x − x với < x < Chứng minh: y y "+ = Câu (2.0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có tất cạnh a a) Chứng minh: Mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với mặt phẳng ( SBD) b) Gọi O giao điểm AC BD Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SCD) 2x Câu (2.0 điểm): Cho hàm số y = có đồ thị (C) x−2 a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ b) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến cắt hai trục Ox, Oy hai điểm A, B tam giác OAB thỏa AB = 2OA c) Câu 6: (1.5 điểm): Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = a Hình chiếu A’ mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD, góc AA’ mặt phẳng (ABCD) 600 a) Tính tan góc hai phẳng (ABCD) (AA’D’D) b) Gọi M, N trung điểm BB’ CD Tính khoảng cách hai đường thẳng MN A’D =======================HẾT============================ SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐAK LAK TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG TỔ: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu a • • Đáp án lim (−2 x + x − 1) = lim x (−2 + − ) = +∞ x →−∞ x →−∞ x x 3 x = −∞ lim (−2 + − 13 ) = −2 < Vì: xlim →−∞ x →−∞ x x 2x −1 lim− = +∞ x →−1 x + lim− ( x + 1) = (2 x − 1) = − < Vì: xlim x→−1 →−1− x + < ⇔ x < −1 TXĐ: D = ¡ Ta có: y ' = ( x + cosx + 2) ' = x − s inx • • TXĐ: D = ¡ Ta có y ' = (2 − x ) '.sin x + (2 − x ).(sin x) ' = −2 x sin x + 2(2 − x )cos2 x • • b • • a b • Ta có: 1− x y'= , 2x − x2 , 1− x y" = ÷= 2 x − x a Điểm 0.5 0.25x2 0.5 0.25x2 0.25 0.25x2 0.25 0.25x2 0.5 − 2x − x2 − 1− x 2x − x2 x − x2 ⇒ y y "+ = (2 x − x ) x − x HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN:TOÁN – LỚP11 (1 − x) −(2 x − x ) − (1 − x) = −1 (2 x − x ) x − x (2 x − x ) x − x 2 = −1 (2 x − x ) x − x +1 = 0.25 0.25 Gọi O = AC ∩ BD , ta có: SO ⊥ ( ABCD) {do S.ABCD hình chóp đều} ⇒ SO ⊥ BD (1) ⇒ BD ⊥ ( SAC ) BD ⊥ AC mà BD ⊂ ( SBD) (2) Từ (1) (2) ⇒ ( SAC ) ⊥ ( SBD) 0.25 0.25x2 0.25 Hình vẽ 0.25 điểm b Gọi I trung điểm CD H hình chiếu O SI, ta có: CD ⊥ SI • ⇒ CD ⊥ ( SOI ) ⇒ CD ⊥ OH ⇒ OH ⊥ ( SCD ) CD ⊥ SO mà OH ⊥ SI d ( O , ( SCD )) = OH Do • Mà: 0.25 1 1 a = + + = = ⇒ OH = 2 2 OH SO OC OD a a 2 ÷ • a • • b a a Vậy : d (O, ( SCD)) = OH = −4 ⇒ y '(1) = −4 ( x − 2) Với x0 = ⇒ y0 = −2 Ta có: y ' = Nên phương trình tiếp tuyến (C) điểm M (1; −2) là: y + = y '(1) ( x − 1) ⇔ y = −4 x + • Giả sử tiếp tuyến (C) cắt hai trục Ox, Oy hai điểm A, B tam giác OAB thỏa mãn AB = 2OA OA • Xét tam giác OAB, ta có: sin B = = ⇒ ∆OAB vuông cân O AB Suy hệ số góc tiếp tuyến là: −4 ( x − 2) = (vn) x = −4 = ±1 ⇔ ⇔ ( x − 2) = ⇔ ( x − 2) −4 x = ( x − 2) = −1 • Với x = ⇒ y = , ta có phương trình tiếp tuyến là: y = −( x − 4) + = − x + • Với x = ⇒ y = (loại) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = − x + • Gọi O = AC ∩ BD K hình chiếu O AD, Ta có: AD ⊥ OK ⇒ AD ⊥ ( A ' OK ) ⇒ AD ⊥ SK AD ⊥ A ' O • Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (ABCD) mặt phẳng (AA’D’D) ⇒ ϕ = (·OK , A ' K ) = ·A ' KO • Xét tam giác A’OK vuông O ta có: A 'O tan K = OK • Mặt khác ta lại có: a + ∆AOD cân O ⇒ OK = + ∆A ' OA vuông O ⇒ A ' O = AO.t anA = AC.tan 60 = a a =2 Vậy: a • Gọi I = A ' B ∩ AB ' , ta có: + IM song song AB + DN song song AB tan ϕ = tan K = b 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 ⇒ MN / / DI ⇒ MN / /( A ' BD) mà DI ⊂ ( A ' BD) d ( MN , A ' D) = d ( MN , ( A ' BD)) = d ( N , ( A ' BD)) = nên • d (C , ( A ' BD)) 0.25 Gọi H hình chiếu C BD, ta có: CH ⊥ DB ⇒ CH ⊥ ( A ' BD) CH ⊥ A ' O ⇒ d (C , ( A ' BD)) = CH Mà : Vậy: 1 1 a = + = + = ⇒ CH = 2 CH BC CD 3a a 3a d ( MN , A ' D) = a 0.25 0.25 Chú ý: Nếu học sinh giải cách khác phù hơp với chương trình giáo viên vào làm học sinh mà cho điểm cho câu với biểu điểm Đáp án có trang ... Điểm 0.5 0 .25 x2 0.5 0 .25 x2 0 .25 0 .25 x2 0 .25 0 .25 x2 0.5 − 2x − x2 − 1− x 2x − x2 x − x2 ⇒ y y "+ = (2 x − x ) x − x HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN:TOÁN – LỚP11 (1 − x) − (2 x − x ) − (1 − x) = −1 (2 x − x... AC.tan 60 = a a =2 Vậy: a • Gọi I = A ' B ∩ AB ' , ta có: + IM song song AB + DN song song AB tan ϕ = tan K = b 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 ⇒ MN / / DI ... cosx + 2) ' = x − s inx • • TXĐ: D = ¡ Ta có y ' = (2 − x ) '.sin x + (2 − x ).(sin x) ' = 2 x sin x + 2( 2 − x )cos2 x • • b • • a b • Ta có: 1− x y'= , 2x − x2 , 1− x y" = ÷= 2 x − x