Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn ĐỀ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1( điểm) : Cho hàm số y x3 3x a*) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b*) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 3x m Câu ( điểm ) : a*) Giải phương trình: 2sin2x + 3cosx – = b*) Tìm số phức liên hợp z (1 i )(3 2i ) 3i Câu 3* ( 0,5 điểm): Giải phương trình x 23 x Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: x x x x(1 x ) Câu 5* ( điểm): Tính Tích phân I x cos xdx Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA a, SA (ABCD) Gọi M trung điểm SA Mặt phẳng (BCM) cắt SD N Tính thể tích khối chóp S.BCMN khoảng cách SB AC Câu 7( 1,0 điểm): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d1 : x y ; d : x y d3 : 3x y Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d3, cắt d1 A B, cắt d2 C D cho tứ giác ABCD hình vuông Câu *( điểm ) : Cho mặt cầu (S): x y z x y z a) Xác định tọa độ tâm I bán kính r mặt cầu (S) b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu M(1;1;1) Câu 9* (0.5 điểm) Cho khai triển: 3x 1 2n a0 a1x a2 x ak x k a2n x 2n , k , n N ;0 k 2n Biết rằng: a0 a1 a2 1 ak a2n 4096 Tìm hệ số x khai triển k Câu 10 (1,0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: x y z 1 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Tìm giá trị nhỏ của: P x y yz zx xy z yz x zx y c) d) ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung Câu a (1,0) ) Điểm TXĐ: D = R y ' 3x 6x x y ' 3x 6x=0 x 0.25 Giới hạn: lim y , lim y Bảng biến thiên: x x 0.25 Hàm số đồng biến (0 ; 2); hàm số nghịch biến (;0) (2; ) Hàm số đạt cực đại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT = -1 Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 0.25 0.25 Gia sư Thành Được b www.daythem.edu.vn x x m x 3x m 0,5 Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y x 3x với (1,0) đường thẳng y = m – Vậy m m : Phương trình có nghiệm m m : Phương trình có nghiệm m 1 1 m : Phương trình có nghiệm 0,5 m 1 1 m :Phương trình có nghiệm m 1 1 m : Phương trình có nghiệm Câu a, 2sin2x + 3cosx – = (1) (1,0) Pt (1) 2(1 – cos2x) + 3cosx – = 2cos2x – 3cosx = (*) đặt t = cosx (t ≤ 1) Pt (*) trở thành : 2t – 3t = t = t = 0,25 So sánh điều kiện t = thỏa mãn Với t = cosx = x = k2 (k Z) Vậy nghiệm phương trình : x = k2 (k Z) 0,25 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn b, Ta có z i 3i 3i 5i (3 i )(3 i ) 10 Suy số phức liên hợp z là: z Câu 0.25 0.25 53 i 10 10 ( 0,5 điểm) x 23 x x 0.25 22 x 2.2 x x Đặt t x , t Phương trình trở thành: t (nhan) t 2.t t 2 (loai ) t 2x x 0.25 Vậy phương trình có nghiệm x = Câu (1đ) ĐK: x 1hoac x 0,25 TH1: Với x = nghiệm phương trình TH2: Với x * Với x Khi pt x Đặt t 1 x2 x x x x x 1 x t x2 x x Khi x2 x t t2 1 t t 1(loai ) t t 2t ta x x phương 0,25 trình Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn * Với x 1 Ta có 1 x2 x x x 1 x t x Khi ta x x Đặt t Khi ta x x x So sánh đk ta nghiệm x t4 t 1 t 0,25 1 1 1 Vậy pt cho có nghiệm x 2 0,25 Câu (1)đ I x cos xdx 0,5 u x du dx dv cos xdx v sin x I x sin x sin xdx 0 cos x 02 1 0,5 Câu (1)đ Do (BCM) // AD nên mp cắt mp (SAD) theo giao tuyến MN // AD ‘0.5 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn BC AB BC BM BC SA Ta có a a MN ; BM 2 Tứ giác BCMN hình thang vuông có BM đường cao, Diện tích hình thang BCMN S BCMN a a a 3a 2 Dụng SK BM , BC (SAB) BC SK SK ( BCMN ) SK d ( A, BM ) Có a 3a a a3 VS BCMN Vậy 8 Trong mặt phẳng (ABCD) dựng qua B song song với AC Đặt (P) = ( , SB) 0.5 Khi đó, AC // (P) d(AC; SB) = d(AC; (P)) = d(A; (P)) Từ A hạ AI I; Từ A hạ AH SI H suy AH = d(A; (P)) a a AH Ta có AI = Câu Phương pháp toạ độ mặt phẳng (1)đ Gọi I(a; 3a – 2) B A Vì ABCD hình vuông d(I, AB) = d(I, CD) = d 0,25 d I D C Gia sư Thành Được 7a - 10 www.daythem.edu.vn = a = I(1;1) d = Câu (1)đ 0.25 7a - Bán kính: R = d = 0.25 pt(C): x - 12 + y - 12 = 18 0.25 2a 2 a 2b b 3 a.Từ phương trình mặt cầu ta có: 2c 8 c d d 0,25 Tọa độ tâm I(1; -3; 4) 0,25 Bán kính: r 16 Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu M nên IM vuông với mp 0,25 IM (0;4; 3) Mp(P) qua M(1;1;1), có VTPT IM (0;4; 3) có phương trình: 0,25 A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0( x 1) 4( y 1) 3( z 1) y 3z Câu Ta có: 0.5 đ 3x + 1 2n = a + a1x + a x + + a k x k + + a 2n x 2n Thay x = -1, ta có: (-2)2n = a0 – a1 + a2 - … + (-1)kak +…+ a2n Từ giả thiết suy ra: (-2)2n = 4096 n = 0.25 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Với n = 6, ta có khai triển: 1+3x 12 0.25 12 =C12 + C12 (3x) + C12 (3x) + + C12 (3x)12 8 Hệ số x8 khai triển là: C12 Câu 10 1đ Ta có x y z x y z 0.5 x y xy z 1 z 1 z xy x y (1 x )(1 y ) yz yz x 1 x 1 x yz y z (1 y )(1 z ) zx zx y 1 y zx x z 1 y (1 x )(1 z ) Khi P 0.5 x y yz zx xy z yz x zx y 33 = 1 z (1 x)(1 y ) + 1 x (1 y )(1 z ) 1 z 1 x 1 y 3 (1 x)(1 y) (1 y)(1 z ) (1 x)(1 z ) Vậy MinP đạt x yz + 1 y (1 x)(1 z ) ... z (1 y ) (1 z ) zx zx y 1 y zx x z 1 y (1 x ) (1 z ) Khi P 0.5 x y yz zx xy z yz x zx y 33 = 1 z (1 x) (1 y ) + 1 x (1 y ) (1 z ) 1 z 1 x 1 y... + C12 (3x) + C12 (3x) + + C12 (3x )12 8 Hệ số x8 khai triển là: C12 Câu 10 1 Ta có x y z x y z 0.5 x y xy z 1 z 1 z xy x y (1 x ) (1 y ) yz yz x 1 x 1 ... thị: Điểm đặc biệt: (0; -1) , ( -1; 3), (3; -1) , (1; 1) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán 0.25 0.25 Gia sư Thành Được b www.daythem.edu.vn