Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn T LUYN THPT QUC GIA NM HC 2014- 2015 Mụn: TON Thi gian lm bi: 180 phỳt Cõu (2,0 im) Cho hm s y x4 3x cú th (C) a*) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (C) b*) Da vo th (C) tỡm m phng trỡnh x 3x m cú nghim phõn bit Cõu ( 1,0 im) a*) Gii phng trỡnh: sin x cos2 x 2sin x b*) Tỡm s phc Z tha : z z 2i l s thc v z i Cõu 3* (0.5 im) Gii phng trỡnh log x2 x log2 x2 x Cõu (1,0 im) Gii h phng trỡnh xy y x (vi x; y 2 y x x x x x ) p Cõu 5* ( 1,0 im): Tớnh tớch phõn: I = ũ (1 + cos x )xdx Cõu ( 1,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh bng 2a, gúc BAD 1200 Mt bờn (SAB) cú SA a, SB a v vuụng gúc vi mt phng ỏy Gi G l trng tõm tam giỏc SCD Tớnh th tớch hỡnh chúp S.ABCD v khong cỏch t G n mt phng (SAB) Cõu (1,0 im) Trong mt phng vi h ta Oxy cho hai ng thng d : mx y m v ng thng : x y ; im B(-3; 2) Gi H l hỡnh chiu ca B trờn d Xỏc nh ta im H bit rng khong cỏch t H n ng thng nh nht Cõu 8* ( 1,0 im ): : Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng x y z v mt phng (P): x + 3y + 2z + = Lp phng trỡnh ng thng 2 song song vi mt phng (P), i qua M(2; 2; 4) v ct ng thng () Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn Cõu *(0.5 im) T cỏc ch s ca T 0;1;2;3;4;5 , ngi ta ghi ngu nhiờn hai s t nhiờn cú ba ch s khỏc lờn hai tm th Tớnh xỏc sut hai s ghi trờn hai tm th ú cú ớt nht mt s chia ht cho Cõu 10 ( 1,0 im) Cho x, y, z l ba s thc tựy ý tha x + y + z = Chng minh rng vi a ta luụn cú : 1 x y z y z x y z x a a a a a a Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn Cõu a + TX: D = R 0.5 x + y ' 4x 6x ; y ' 4x 6x=0 x x + Gii hn: lim y , lim y x x +Hm s ng bin trờn ; ( 6 ;0 v v 0; ; nghch bin trờn 2 ; ) + Hm s t cc i ti x 13 , yCD , Hm s t cc tiu ti x = 0, yCT = Bng bin thiờn 0.25 th: im c bit: (0; 1), (-1; 3), (1; 3) 0.25 Gia s Thnh c b x 3x m x x m 0.25 S nghim ca phng trỡnh l s giao im ca th (C) vi ng thng y=m+1 0.25 Da vo th, phng trỡnh cú nghim phõn bit 0.5 m Cõu2 www.daythem.edu.vn 13 0m 4 a Biến đổi ph-ơng trình dạng : 2sinx(cos x 1) 2sin x (1) 0,25 s inx s inx(sin x cos x 1) sin x cos x Vi sinx x k x k Vi cos2x = sin x cos x sin( x ) , k Z x k 2 Vy phng trỡnh cú h nghim x k , x k , k Z 0,25 Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn b Giả sử z = a + bi , (a, b R) 2a b Khi đó: 2 a (b 1) Gii h ta đ-ợc a = , b = a Vậy z1 1, z2 Cõu (0.5) 0,25 12 , b 5 0,25 12 i 5 K: x PT log x x log x x x2 x x2 x t: t x x 1, t t 1( L) Ta c phng trỡnh : t t t 2( N ) 0.25 x Vi t x x x Vy : x v x l nghim ca phng trỡnh 2 0.25 Gia s Thnh c Cõu www.daythem.edu.vn KX: x ; y 0.25 Ta cú xy y x y x2 x y x2 x y x x (1) Th vo phng trỡnh th hai h, ta cú : x x x x x x x 0.25 x x x x x x x 1 Xột x hm x x f (t ) t t s t2 f '(t ) t t2 0, t (*) vi t f (t ) ng bin trờn Ta cú 0.25 Mt khỏc, phng trỡnh (*) cú dng f ( x 1) f ( x) x x x x Thay x vo (1) ta tỡm c y 1.Vy h ó cho cú nghim l 2 y 0.25 Cõu p I = p 0.25 p ũ (1 + cos x )xdx = ũ xdx + ũ x cos xdx 0 p x2 Vi I = ũ xdx = 0 p = p 02 p2 = 2Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn 0.25 p Vi I = ũ x cos xdx ỡù u = x t ùớ ùỡ du = dx Thay vo cụng thc tớch phõn tng ị ùớ ùù dv = cos xdx ùù v = sin x ợ ợ phn ta c: p I = x sin x - p ũ0 p p sin xdx = - (- cos x ) = cos x = cos p - cos = - Vy, I = I + I = 0.25 p2 - 2 Cõu *) Tớnh VS.ABCD (1) D thy tam giỏc SAB vuụng ti S ( SAB) ( ABCD) Trong mp(SAB) h SH AB ta cú ( SAB) ( ABCD) AB SH ( SABCD ) SH AB Tớnh c SH 0.25 a , S ABCD 2S ABD AB AD.sin1200 2a VS ABCD a 0,25 0,25 *) Tớnh d(G,(SAB)) Gi SG CD I d ( I , ( SAB)) IS d (G , ( SAB )) d ( I , ( SAB )) d (G ( SAB )) GS 0,25 Ta cú CD / / AB CD / /(SAB) d ( I ,(SAB)) d (C,(SAB)) a (H CK AB CK (SAB) m ABC u cnh 2a CK a ) Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn Vy d (G, ( SAB)) 3a 0,25 Cõu Ta cú phng trỡnh d : mx y m ( x 1)m ( y 4) Suy d luụn i 0.25 qua im c nh A(1; 4), m BH vuụng gúc vi d nờn suy H luụn thuc ng trũn (C) ng kớnh AB Gi I l tõm ca (C) Ta cú pt (C): ( x 1)2 ( y 3) 0.25 Gi d l ng thng i qua I v vuụng gúc vi Khi ú d cú pt: x y Ta giao im ca d v (C) l nghim ca h phng trỡnh : x y y 2 ( x 1) ( y 3) x hoc y x Khi 0.25 ú d ct (C) ti M1 (0;5); M (2;1) Ta cú d ( M , ) 19 Vy H trựng vi M (2;1) ; d ( M , ) 5 0.25 Cõu x 3t ng thng () cú phng trỡnh tham s: y 2t t z 2t 0.25 Mt phng (P) cú VTPT n (1; 3; 2) Gi s N(1 + 3t ; 2t ; + 2t) MN (3t 3; 2t ;2t 2) 0.25 Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn MN // (P) thỡ MN n t N(20; 12; 16) Phng trỡnh ng thng cn tỡm : Cõu (0.5) 0.25 x2 y2 z4 0.25 + Cú A52 100 s t nhiờn cú ch s khỏc + Cú A52 A41 36 s t nhiờn cú ch s khỏc v chia ht cho + Cú 64 s t nhiờn cú ch s khỏc v khụng chia ht cho 0,25 1 + n C100 C99 9900 + Gi A l bin c : Trong hai s c ghi trờn tm th cú ớt nht s chia ht cho 1 1 Ta cú: n A C36 C64 C36 C35 3564 Vy : P A n A 3564 0,36 n 9900 25 0,25 Cõu 10 (1) * Với a = ta thấy BĐT 0,25 * Ta xét a > Hàm số y= y 1 at a t nghịch biến với t R , a > Khi ta có Ta cú : 0,25 ( x y )( 1 y ) 0, x a a x, y R Suy x y x y y y x x a a a a (1) Chứng minh t-ơng tự y z z y z y z y a a a a z x x z x z x z a a a a (2) (3) Cộng vế với vế (1) ,(2) (3) ta đ-ợc Gia s Thnh c 2( www.daythem.edu.vn x y z yz zx x y (4) y z) x y z x a a a a a a Cộng vế (4) với biểu thức 3( x y z y z ta đ-ợc x a a a 0,25 x y z x yz x yz x yz 1 y z) ( x y z )( x y z ) x x y z a a a a a a a a a Suy 1 x y z y z x y z ( x + y + z = ) x a a a a a a Dấu xảy khi x = y = z = (đpcm) 10 0,25 ... ; 2t ; + 2t) MN (3t 3; 2t ;2t 2) 0 .25 Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn MN // (P) thỡ MN n t N (20 ; 12; 16) Phng trỡnh ng thng cn tỡm : Cõu (0.5) 0 .25 x2 y2 z4 0 .25 + Cú A 52 100 s... 1.Vy h ó cho cú nghim l 2 y 0 .25 Cõu p I = p 0 .25 p ũ (1 + cos x )xdx = ũ xdx + ũ x cos xdx 0 p x2 Vi I = ũ xdx = 0 p = p 02 p2 = 2 Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn 0 .25 p Vi I = ũ x cos xdx... Vậy z1 1, z2 Cõu (0.5) 0 ,25 12 , b 5 0 ,25 12 i 5 K: x PT log x x log x x x2 x x2 x t: t x x 1, t t 1( L) Ta c phng trỡnh : t t t 2( N ) 0 .25 x Vi t