chuyen de so va day so lop 6

Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn Chuyên đề Dãy Số viết theo qui luật - Dãy phân số viết theo qui luật A- Kin thc cn nm vng: I Dóy s vit theo qui lut: 1) Dóy cng 1.1) Xột cỏc dóy s sau: a) Dóy s t nhiờn: 0; 1; 2; 3; 4; (1) b) Dóy s l: 1; 3; 5; 7; (2) c) Dóy cỏc s chn: 0; 2; 4; 6; (3) d) Dóy cỏc s t nhiờn ln hn chia cho d 1: 4; 7; 10; 13; (4) Trong dóy s trờn, mi s hng k t s hng th 2, u ln hn s hng ng lin trc nú cựng mt s n v: +) S n v l dóy (1) +) S n v l dóy (1) v (2) +) S n v l dóy (4) Khi ú ta gi dóy cỏc trờn l "dóy cng" 1.2) Cụng thc tớnh s hng th n ca mt dóy cng (khi bit n v d) - Xột dóy cng a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , , an ú a2 a1 d Ta cú: a3 a1 2d ; a4 a1 3d ; Tng quỏt: an a1 (n 1)d (I) Trong ú : n gi l s s hng ca dóy cng d hiu gia hai s hng liờn tip a a T (I) ta cú: n n (II) d Cụng thc (II) giỳp ta tớnh c s s hng ca mt dóy cng bit : S hng u a1 , s hng cui an v hiu d gia hai s hng liờn tip 1.3) tớnh tng S cỏc s hng ca dóy cng: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , , an Ta vit: S a1 a2 an an S an an a2 a1 Nờn 2S (a1 an ) (a2 an1 ) (an1 a2 ) (an a1 ) (a1 an )n (a a ) Do ú: S n (III) Chỳ ý: Trng hp c bit tng ca n s t nhiờn liờn tip bt u t l n(n 1) S n B- BI TP P DNG Bi 1: Tỡm ch s th 1000 viột liờn tip lin cỏc s hng ca dóy s l 1; 3; 5; 7; Bi 2: a) Tớnh tng cỏc s l cú hai ch s b) Tớnh tng cỏc s chn cú hai ch s c) Tớnh: S 2n vi (n N ) d) Tớnh: S 2n vi (n N * ) Bi 3: Cú s hng no ca dóy sau tn cựng bng hay khụng? 1;1 2;1 3;1 4; n(n 1) H-ớng dẫn: Số hạng thứ n dãy bằng: Nếu số hạng thứ n dãy có chữ số tận n(n + 1) tận Điều vô lí n(n + 1) tận 0, 2, Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn Bi 4: a) Vit liờn tip cỏc s hng ca dóy s t nhiờn t n 100 to thnh mt s A Tớnh tng cỏc ch s ca A b) Cng hi nh trờn nu vit t n 1000000 Hng dn: a) ta b sung thờm ch s vo v trớ u tiờn ca dóy s (khụng lm thay i kt qu) Tm cha xột s 100 T n 99 cú 100 s, ghộp thnh 50 cp: v 99; v 98; v 97; mi cp cú tng cỏc ch s bng 18 Tng cỏc ch s ca 50 cp bng: 18.50 = 900 Thờm s 100 cú tng cỏc ch s bng S: 901 b) Tng t: S: 27000001 S1 2, S2 5, Bi 5: Cho S3 9, S4 10 11 12 13 14, Tớnh S100 ? Hng dn: S s hng ca S1, , S99 theo th t bng 2; 3; 4; 5; 100 S: S100 = 515100 Bi 6: Khi phõn tớch tha s nguyờn t, s 100! cha tha s nguyờn t vi s m bng bao nhiờu? Bi 7: Tớnh s hng th 50 ca cỏc dóy sau: a) 1.6; 2.7; 3.8; b) 1.4; 4.7; 7.10; Bi 8: Cho A 32 33 320 ; B 321 : Tớnh B A Bi 9: Tớnh cỏc tng sau: a ) A 22 23 2007 b) B 22 23 n c) C 22 24 22008 d ) D 22 24 22 n e) E 23 25 22007 f ) F 23 25 22 n Bi 10: Tng quỏt ca bi Tớnh : a) S a a2 a3 an , vi ( a 2, n N ) b) S1 a2 a4 a6 a2n , vi ( a 2, n N ) c) S2 a a3 a5 a2n1 , vi ( a 2, n N * ) Bỡa 11: Cho A 42 43 499 , B 4100 Chng minh rng: A B Bi 12: Tớnh giỏ tr ca biu thc: a) A 99 999 999 50 chữ số b) B 99 999 999 200 chữ số (NCPTT6T1) SUY NGH TRấN MI BI TON Gii hng trm bi toỏn m ch ct tỡm ỏp s v dng li ú thỡ kin thc thu lm c chng l bao Cũn gii ớt bi m li luụn suy ngh trờn mi bi ú, tỡm thờm cỏch gii, khai thỏc thờm nhng ý ca bi toỏn, ú l ng tt i lờn hc toỏn Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn Di õy l mt thớ d Bi toỏn : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 v B = A.3 Tớnh giỏ tr ca B Li gii : Theo bi ta cú : B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 2.3.4 + 3.4.5 - + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990 Trc ht, ta ngh rng, nu bi toỏn yờu cu ch tớnh tng A, ta cú : A = B/3 = 330 Bõy gi, ta tm thi quờn i ỏp s 990 m ch chỳ ý ti tớch cui cựng 9.10.11, ú 9.10 l s hng cui cựng ca A v 11 l s t nhiờn k sau ca 10, to thnh tớch ba s t nhiờn liờn tip Ta d dng ngh ti kt qu sau : Nu A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + (n - 1).n thỡ giỏ tr ca B = A.3 = (n - 1).n.(n + 1) Cỏc bn cú th t kim nghim kt qu ny bng cỏch gii tng t nh trờn Bõy gi ta tỡm li gii khỏc cho bi toỏn Li gii : B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = (0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3 = (1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2).3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).2.3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 Ta cha bit cỏch tớnh tng bỡnh phng cỏc s l liờn tip bt u t 1, nhng liờn h vi li gii 1, ta cú : (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 9.10.11, hay (12 + 32 + 52 + 72 + 92) = 9.10.11/6 Hon ton hp lớ ta ngh n bi toỏn tng quỏt : Bi toỏn : Tớnh tng : P = 12 + 32 + 52 + 72 + + (2n + 1)2 Kt qu : P = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6 Kt qu ny cú th chng minh theo mt cỏch khỏc, ta s xem xột sau Lot bi toỏn sau l nhng kt qu liờn quan n bi toỏn v bi toỏn Bi toỏn : Tớnh tng : Q = 112 + 132 + 152 + + (2n + 1)2 Bi toỏn : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 v C = A + 10.11 Tớnh giỏ tr ca C Theo cỏch tớnh A ca bi toỏn 1, ta c kt qu l : C = 10.11.12/3 Theo li gii ca bi toỏn 1, ta i n kt qu : C = 2.(22 + 42 + 62 + 82 + 102) Tỡnh c, ta li cú kt qu ca bi toỏn tng quỏt : tớnh tng bỡnh phng ca cỏc s t nhiờn chn liờn tip, bt u t Bi toỏn : Chng minh rng : 22 + 42 + 62 + + (2n)2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6 T õy, ta tip tc xut v gii quyt c cỏc bi toỏn khỏc Bi toỏn : Tớnh tng : 202 + 222 + + 482 + 502 Bi toỏn : Cho n thuc N* Tớnh tng : n2 + (n + 2)2 + (n + 4)2 + + (n + 100)2 Hng dn gii : Xột hai trng hp n chn v n l ; ỏp dng kt qu bi toỏn 2, bi toỏn v cỏch gii bi toỏn Bi toỏn ch cú mt kt qu nht, khụng ph thuc vo tớnh chn l ca n Bi toỏn : Chng minh rng : 12 + 22 + 32 + + n2 = n.(n + 1)(2n + 1)/6 Li gii : Xột trng hp n chn : 12 + 22 + 32 + + n2 = (12 + 32 + 52 + + (n 1)2) + (22 + 42 + 62 + + n2) = [(n 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6 = n.(n + 1).(n -1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6 Tng t vi trng hp n l, ta cú pcm Gia s Thnh c www.daythem.edu.vn Li gii : Ta cú : 13 = 13 23 = (1 + 1)3 = 13 + 3.12.1 + 3.1.12 + 13 33 = (2 + )3 = 23 + 3.22.1 + 3.2.12 + 13 (n + 1)3 = n3 + 3.n2.1 + 3.n.12 + 13 Cng tng v ca cỏc ng thc trờn : 13 + 23 + 33 + + n3 + (n + 1)3 = = (13 + 23 + 33 + + n3) + 3(12 + 22 + 32 + + n2) + 3(1 + + + + n) + (n + 1) => (n + 1)3 = 3(12 + 22 + 32 + + n2) + 3(1 + + + + n) + (n + 1) => 3(12 + 22 + 32 + + n2) = (n + 1)3 3(1 + + + + n) (n + 1) = (n + 1)2.(n + 1) 3.n.(n + 1)/2 (n + 1) = (n + 1)[2(n + 1)2 3n + 2]/2 = (n + 1).n.(2n + 1)/2 => 12 + 22 + 32 + + n2 = (n + 1).n.(2n + 1)/6 Bi toỏn : Tớnh giỏ tr biu thc : A = - 12 + 22 32 + 42 - - 192 + 202 Li gii : ng nhiờn, ta cú th tỏch A = (22 + 42 + + 202) (12 + 32 + + 192) ; tớnh tng cỏc s mi ngoc n ri tỡm kt qu ca bi toỏn Song ta cũn cú cỏch gii khỏc nh sau : A = (22 -12) + (42 32) + + (202 -192) = (2 + 1)(2 1) + (4 + 3)(4 3) + + (20 + 19)(20 19) = + + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + 31 + 35 + 39 = (3 + 39).10/2 = 210 Tr li bi toỏn Phi chng bi toỏn cho B = A.3 vỡ l s t nhiờn lin sau ca nhúm u tiờn : 1.2 Nu ỳng nh th thỡ ta cú th gii c bi toỏn sau : Bi toỏn 10 : Tớnh A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 Li gii : A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4/4 = [1.2.3.(4 0) + 2.3.4.(5 1) + + 8.9.10.(11 7)] : = (1.2.3.4 1.2.3.4 + 2.3.4.5 2.3.4.5 + + 7.8.9.10 7.8.9.10 + 8.9.10.11) : = 8.9.10.11/4 = 1980 Tip tc hng suy ngh trờn, ta cú kt qu tng quỏt ca bi toỏn 10 : Bi toỏn 11 : Tớnh A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + (n 1).n.(n + 1) ỏp s : A = (n -1).n.(n + 1)(n + 2)/4