de THi chọn HSG Toán 9

Làm gấp nên lời giải khơngchi tiết (ngày 28 tháng năm 2017) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN ĐỀ CHÍNH THỨC Đề có 01 trang KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2016 – 2017 Mơn thi: TỐN – LỚP Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức Cho A  ( x 1 x 1  x 1 x 1  x )( x  x ), (x  0, x  1) 1/ Rút gọn A 2/ Tìm giá trị x để A  A Bài 2: (4 điểm) a/ Cho P  x với x > Tìm giá trị lớn P (x  2017)2 b/ Chứng minh với số tự nhiên n phân số 10n  9n  tối giản 20n2  20n  Bài 3: (4 điểm) a/ Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm ngun: x  ax  a  2016   xy  5( x  y ) b/ 6 yz  7( y  z ) 8 zx  9( z  x)  Bài 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC cân A(  A < 900 ), đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC B C Trên cung BC năm tam giác ABC lấy điểm M tùy ý( M khác B C) Gọi diểm I, H, K hình chiếu M BC; CA; AB và P giao điểm MB với IK, Q giao điểm MC với IH a/ Chứng minh: Tứ giác CIMH MPIQ nội tiếp b/ Chứng minh: PQ tiếp tuyến chung hai đường tròn ngoại tiếp  MPK  MQH c/ Gọi N giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp  MPK  MQH Chứng minh: Đường thẳng MN qua điểm cố định Bài 5: điểm) Cho tam giác ABC, có đường phân giác BM CN cắt I Chứng minh IM = IN tam giác ABC cân A  A = 600 - HẾT (Giám thị coi thi khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Trường THCS Phú Long Đáp Án HSG 19-4 GV: Nguyễn Huy Đăng Làm gấp nên lời giải khơngchi tiết (ngày 28 tháng năm 2017) Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức Cho A  ( 1/ Rút gọn A Bài 2: (4 điểm) a/ P  x 1 x 1  x 1 x 1  x )( x  x ), (x  0, x  1) 2/ Tìm giá trị x để A  A Đơn giản tự làm x x   ( x  2017) x  2.2017 x  2017 2 Áp dụng BĐT si 2017  2.2017 x x 2017 2017 2017  x  2.2017  x   2.2017  4.2017 x x x 1 suy : P    2017 4.2017 4.2017 x  2.2017 x Vậy Pmax  Khi x  2017 8068 10n  9n  Ta có : x  b/ Chứng minh với số tự nhiên n phân số 20n2  20n  tối giản Gọi d ước chung lớn (10n2  9n  ) ( 20n2  20n  ) Suy ra: ( 10n2  9n  ) ( 20n2  20n  ) chia hết cho d (1) Suy ra: ( 20n2  18n  ) ( 20n  20n  ) chia hết cho d Suy ra: (20n  20n  9)  (20n  18n  8) d  2n  1 d suy d số lẽ (2n  1)2  d  5(4n2  4n  1) d  20n  20n  5 d (2) Từ (1) (2) suy ra: 4 d mà d số lẽ nên d = Vậy phân số 10n2  9n  20n2  20n  tối giản Bài 3: (4 điểm) a/ Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm ngun: x  ax  a  2016  (1)   a2  4a(a  2016) Phương trình (1) có nghiệm Với a thỏa đk (*) áp dụng định lí vi ét ta có: x1  x  a mà x1 ,x   nên a  x  ax  a  2016   4x  4ax  a2  4a  4.2016   a   (a  2)2  (2x  a)2  4.2017  (a   2x  a)(a   2x  a)  4.2017  (a  x  1)(x  1)  2017 Mà x số ngun nên x – số ngun suy ra: a số ngun Suy ra: x  1 Ư(2017) = 1;1;  2017;2017  x 0;2;  2016;2018 x a x  2016 x 1 -2016 -2016 -2016 2020 2018 2020 Vậy a = -2016; 2020 thỏa điêu kiên (*) Trường THCS Phú Long Đáp Án HSG 19-4 GV: Nguyễn Huy Đăng Làm gấp nên lời giải khơngchi tiết (ngày 28 tháng năm 2017) Cách 2:   a2  4a(a  2016) Phương trình (1) có nghiệm    a2  4a(a  2016)  (*) Với a thỏa đk (*) áp dụng định lí vi ét ta có: x1  x  a mà x1 , x   nên a  a x  2016 2017  x  1 x 1 x 1 Vì a  x   nên Suy ra: x  1 Ư(2017) = 1;1;  2017; 2017  x 0; 2;  2016; 2018 x a x  2016 x 1 -2016 -2016 -2016 2020 2018 2020 Vậy a = -2016; 2020 thỏa điêu kiên (*)  xy  5( x  y ) b/ 6 yz  7( y  z ) ( I ) 8 zx  9( z  x)  TH1: x = y =z = nghiệm hệ phương trình TH2: Với x  0,y  0,z  1 x  y    xy  5( x  y ) 1  Ta có: 6 yz  7( y  z )      y z 8 zx  9( z  x) 1    z x  1 401  x  y  z  315  149 315    x   1 131  z 315   x  y  131 315       y x 315 1     121 y z  121  315   y  315  z  149   1    z x Vậy hệ phương trình có nghiệm là:(x; y; z) = (0; 0; 0), ( Trường THCS Phú Long Đáp Án HSG 19-4 315 315 315 ; ; ) 131 121 149 GV: Nguyễn Huy Đăng Làm gấp nên lời giải khơngchi tiết (ngày 28 tháng năm 2017) B K m F O I P 12 E A M 12 Q N H C Bài 4: (4 điểm) a/ Chứng minh: Tứ giác CIMH MPIQ nội tiếp  + MHC  = 900 + 900 = 1800 suy : tứ giác CIMH nội tiếp Xét tứ giác CIMH có: CIM Chứng minh tương tự tứ giác IMKB nội tiếp   B1 =  I , tứ giác CIMH nội tiếp   C2 =  I3   sđBM + sđCM Suy ra:  PIQ =  I3+ I4= C2+ B1 = (1)  sđBmC Xét đường tròn (O) có:  (2) BMC góc nội tiếp   BMC =    sđBM + sđCM sđBmC Từ (1) (2) suy ra:  PIQ +  BMC = + = 3600 2 suy ra: Tứ giác MPIQ nội tiếp b/ Chứng minh: PQ tiếp tuyến chung hai đường tròn ngoại tiếp  MPK  MQH ì  ïï B = C ( hệ góc tạo tiếp tuyến dây cung) Þ P2 =  K1 =  B suy :PQ BC íï      ïï  I = C , P = I , K = B ( cá c tứ giá c nộ i tiế p ) 2 ïỵ Xét đường tròn ngoại tiếp  MPK có :  P2 = K1 (cmt) Suy ra: PQ tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp  MPK Chương tương tự ta có: PQ tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp  MQH Vậy PQ tiếp tuyến chung hai đường tròn ngoại tiếp  MPK  MQH Trường THCS Phú Long Đáp Án HSG 19-4 GV: Nguyễn Huy Đăng Làm gấp nên lời giải khơngchi tiết (ngày 28 tháng năm 2017) c/ Gọi N giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp  MPK  MQH Chứng minh: Đường thẳng MN qua điểm cố định Gọi E, F lân lượt giao điểm MN với QP BC EPM ∽ EMP  EP  EN EN , QEM ∽ NEQ  QE  EN EN suy : EP  QE  EP  QE Xét MFB MFC có: PE BF, EQ FC(cmt)  PE ME EQ mà EQ  EP nên BF = FC   BF MF FC Suy ra: F trung điểm BC Vậy Đường thẳng MN qua điểm cố định F Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC, có đường phân giác BM CN cắt I Chứng minh IM = IN tam giác ABC cân A  A = 600 A A N1 K 21 M I 1 M N B 2 I C B Trường hợp 1: AN = AM DAIM = DAIN (c.c.c) Þ  AMI =  ANI suy : DABM = DACN ( g c.g ) Þ AB = AC suy :ABC cân A Trường hợp 2: AN khơng AM Giả sử: AM > AN Trên AM lấy K AK = AN +DAIN = DAIK (c.c.c) Þ  ANI =  AKI ; IN = IK mà IN = IM nên IK = IN = IM ÞDIKM cân suy :  K = KMI  K = N suy :  K = KMI =  N 1 2 + BAC =1800 -  B1 - AMB = 1800 -  C - N1 suy :2  BAC = 3600 - (  B + C + AMB +  N1 ) suy :2  BAC = 3600 - (  B + C + 1800 ) = 3600 - ( 1800 -  I + 1800 ) =  I = 900 +  BAC suy :4  BAC = 1800 +  BAC Þ  BAC =1800 Þ  BAC = 600 Vậy tam giác ABC cân A  A = 600 Trường THCS Phú Long Đáp Án HSG 19-4 GV: Nguyễn Huy Đăng C ... Khi x  2017 8068 10n  9n  Ta có : x  b/ Chứng minh với số tự nhiên n phân số 20n2  20n  tối giản Gọi d ước chung lớn (10n2  9n  ) ( 20n2  20n  ) Suy ra: ( 10n2  9n  ) ( 20n2  20n ... phương trình có nghiệm là:(x; y; z) = (0; 0; 0), ( Trường THCS Phú Long Đáp Án HSG 19- 4 315 315 315 ; ; ) 131 121 1 49 GV: Nguyễn Huy Đăng Làm gấp nên lời giải khơngchi tiết (ngày 28 tháng năm 2017)... 1800 -  I + 1800 ) =  I = 90 0 +  BAC suy :4  BAC = 1800 +  BAC Þ  BAC =1800 Þ  BAC = 600 Vậy tam giác ABC cân A  A = 600 Trường THCS Phú Long Đáp Án HSG 19- 4 GV: Nguyễn Huy Đăng C