de THi chọn HSG Toán 9

Gọi các diểm I, H, K lần lượt là hình chiếu của M trên BC; CA; AB và và P là giao điểm của MB với IK, Q là giao điểm của MC với IH.. a/ Chứng minh: Tứ giác CIMH và MPIQ nội tiếp.. b/ Chứ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

BÌNH THUẬN Năm học: 2016 – 2017

Môn thi: TOÁN – LỚP 9

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút

Đề này có 01 trang (không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (4 điểm)

Cho biểu thức Cho A ( x 1 x 1 4 x )( x 1 ), (x 0, x 1)

1/ Rút gọn A

2/ Tìm các giá trị của x để A  A

Bài 2: (4 điểm)

a/ Cho P x 2

(x 2017)



 với x > 0 Tìm các giá trị lớn nhất của P

b/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số 10n22 9n 4

20n 20n 9

 

  tối giản

Bài 3: (4 điểm)

a/ Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên: x ax a 2016 0 2    

b/

4 5( )

6 7( )

8 9( )

 







Bài 4: (6 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A(A < 90 0), một đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC tại

B và C Trên cung BC năm trong tam giác ABC lấy điểm M tùy ý( M khác B và C) Gọi các diểm I, H, K lần lượt là hình chiếu của M trên BC; CA; AB và và P là giao điểm của

MB với IK, Q là giao điểm của MC với IH

a/ Chứng minh: Tứ giác CIMH và MPIQ nội tiếp

b/ Chứng minh: PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp MPK và

MQH

c/ Gọi N là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp MPK và MQH

Chứng minh: Đường thẳng MN đi qua một điểm cố định

Bài 5: 2 điểm)

Cho tam giác ABC, có các đường phân giác BM và CN cắt nhau tại I Chứng minh rằng nếu IM = IN thì tam giác ABC cân tại A hoặc A = 60 0

- HẾT - (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh:

Bài 1: (4 điểm)

Cho biểu thức Cho A ( x 1 x 1 4 x )( x 1 ), (x 0, x 1)

1/ Rút gọn A 2/ Tìm các giá trị của x để A  A Đơn giản tự làm

Bài 2: (4 điểm)

2017 ( 2017) 2.2017 2017 2.2017

P

x

Áp dụng BĐT cô si

2

2017 2.2017 4.2017 4.2017

suy ra P x

x

8068

b/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số 10n22 9n 4

20n 20n 9

 

  tối giản

Gọi d là ước chung lớn nhất của (10n 2  9n 4  ) và (20n 2  20n 9  )

Suy ra: (10n 2  9n 4  ) và (20n 2  20n 9  ) chia hết cho d (1)

Suy ra: (20n 18n 8 2   ) và (20n 2  20n 9  ) chia hết cho d

Suy ra: (20n 2  20n 9) (20n 18n 8) d   2     2n 1 d  

suy ra d là số lẽ và (2n 1) d  2  5(4n 2  4n 1) d    20n 2  20n 5 d   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 4 d mà d là số lẽ nên d = 1

Vậy phân số 10n22 9n 4

20n 20n 9

 

  tối giản

Bài 3: (4 điểm)

a/ Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên: x ax a 2016 0(1) 2    

2

a 4a(a 2016)

    Phương trình (1) có nghiệm

Với a thỏa đk (*) áp dụng định lí vi ét ta có: x x a1 2 mà x ,x  1 2 nên a 

x ax a 2016 0 4x 4ax a 4a 4.2016 4 a 4

(a 2) (2x a) 4.2017 (a 2 2x a)(a 2 2x a) 4.2017

(a x 1)(x 1) 2017

Mà x là số nguyên nên x – 1 là số nguyên suy ra: a là số nguyên

Suy ra: x 1  Ư(2017) = 1;1; 2017;2017    x 0;2; 2016;2018  

2

x 2016

a

x 1







Vậy a = -2016; 2020 thỏa điêu kiên (*)

Cách 2:

2

a 4a(a 2016)

    Phương trình (1) có nghiệm     a 4a(a 2016) 0 (*) 2  

Với a thỏa đk (*) áp dụng định lí vi ét ta có: x x a1 2 mà x ,x  1 2 nên a 

2

x 2016 2017



Vì a  và x  nên Suy ra: x 1  Ư(2017) = 1;1; 2017;2017    x 0;2; 2016;2018  

2

x 2016

a

x 1







Vậy a = -2016; 2020 thỏa điêu kiên (*) b/

4 5( )

6 7( ) ( )

8 9( )

 







TH1: x = y =z = 0 là nghiệm của hệ phương trình

TH2: Với x 0,y 0,z 0   

Ta có:

1 1 1 401

4 5( )

6 7( )

149 315

9

   





           



x

x y

y

z x

z x

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:(x; y; z) = (0; 0; 0), (315 315 315; ; )

131 121 149

2

1

1

2

1

1

2 1

4 3 2 1

21

F

E

N M

Q

P

I

H

K

O

C

B

A

Bài 4: (4 điểm)

a/ Chứng minh: Tứ giác CIMH và MPIQ nội tiếp

Xét tứ giác CIMH cĩ: CIM MHC 90+= 0 + 90 0 = 180 0 suy ra : tứ giác CIMH nội tiếp

Chứng minh tương tự tứ giác IMKB nội tiếp    B1= I4, tứ giác CIMH nội tiếp    C2= I3

Suy ra: PIQ I3 I4 C2 B1 sđBM sđCM 

2

+

Xét đường trịn (O) cĩ: BMC là gĩc nội tiếp  BMC sđBmC

2

Từ (1) và (2) suy ra: PIQ BMC sđBM sđCM sđBmC   3600

+

suy ra: Tứ giác MPIQ nội tiếp

b/ Chứng minh: PQ là tiếp tuyến chung của hai đường trịn ngoại tiếp MPK và MQH

B C ( hệquả góctạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

P K B suy ra :PQ BC

I C , P I , K B (do cáctứ giácnội tiếp) 

ìï =

ïïỵ

Xét đường trịn ngoại tiếp MPK cĩ :  P2 =K (cmt)1

Suy ra: PQ là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp MPK

Chương tương tự ta cĩ: PQ là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp MQH

Vậy PQ là tiếp tuyến chung của hai đường trịn ngoại tiếp MPK và MQH

c/ Gọi N là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp MPK và MQH

Chứng minh: Đường thẳng MN đi qua một điểm cố định

Gọi E, F lân lượt là giao điểm của MN với QP và BC

2

,

QE EN EN suy ra EP QE EP QE

Xét  MFB và  MFC có: PE BF, EQ FC(cmt) PE ME EQ

BF MF FC

   mà EQ EP  nên BF = FC Suy ra: F là trung điểm của BC Vậy Đường thẳng MN đi qua một điểm cố định F

Bài 5: (2 điểm)

Cho tam giác ABC, có các đường phân giác BM và CN cắt nhau tại I Chứng minh rằng nếu IM = IN thì tam giác ABC cân tại A hoặc A = 60 0

Trường hợp 1: AN = AM

:

suy ra ABC cân tại A

Trường hợp 2: AN không bằng AM Giả sử: AM > AN Trên AM lấy K sao AK = AN

AIN AIK c c c ANI AKI IN IK m IN IM n n IK IN IM IKM c n

1

2

Vậy tam giác ABC cân tại A hoặc A = 60 0

I

C B

A

1

2 1

1

2 1

21

1 2 2

1

K

C

M

B A