Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 năm học 2015 2016 huyện văn giang

Phòng Giáo dục - đào tạo huyện Văn Giang Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toỏn Thời gian lm bi: 120 phút Ngy thi: 21/10/2015 Đề thức -Bài (3 điểm): Cho biu thc P = x + x + x x x + 2x + x 2x 2x a) Rỳt gn biu thc P b) Chng minh rng nu x thỡ P l s vụ t Bài (2 điểm): a)Tỡm cỏc s t nhiờn n cho n ( n + 1)( n + )( n + 3) + l s chớnh phng b) ỡm cỏc s t nhiờn x, y ln hn tha c hai ủiu kin x+1 chia ht cho y v y+1 chia ht cho x Bài (2 điểm): a) Cho 0O < < 90O Chng minh: 2020sin + 2016cos 4sin 2015 b) Gii phng trỡnh x + 4029 x = 8056 Bài (2 điểm): a) o Trng Sa ln cú dng hỡnh mt tam giỏc vuụng, cnh huyn nm theo hng ụng Bc- Tõy Nam ng cao ng vi cnh huyn chia tam giỏc ny thnh hai phn cú din tớch bng 54000 m2 v 96000 m2 Tớnh ủ di cnh huyn ca tam giỏc vuụng ny b) Cho tam giỏc ABC, A v B c ủnh, C l ủim chuyn ủng trờn na mt phng b AB Dng cỏc hỡnh vuụng AMNC v BPQC phớa ngoi tam giỏc ABC, gi O l trung ủim ca PM Chng minh tam giỏc OAB c ủnh C thay ủi Bài (1 điểm): Cho cỏc s thc dng a, b, c tha a + 2b + 3c = 3abc Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = 3a + 2b + c + + + a b c -Hết -Họ tên thí sinh: Chữ ký giám thị số : Số báo danh: Phòng thi số: Phòng Giáo dục - đào tạo huyện Văn Giang Hớng dẫn chấm Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toỏn Ngy thi: 21/10/2015 Đề thức -I Hớng dẫn chung 1) Hớng dẫn chấm thi trình bày bớc lời giải nêu kết Trong làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ 2) Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần nh hớng dẫn quy định 3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hớng dẫn phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm đợc thống thực Hội đồng chấm thi 4) Các điểm thành phần điểm cộng toàn phải giữ nguyên không đợc làm tròn II Đáp án thang điểm Bi Ni dung a, KX x 0,25 Vỡ P>0 ta cú 0,75 P2 = 3ủ im x + x2 x + x + x2 2x + ( x 1) = x+ x2 x + x ( x 1) - Vi x>2 thỡ P = x 0,5 - Vi x P = 0,5 b, Vi x thỡ P = 0,25 Do l s t nhiờn khụng chớnh phng Vy nu x thỡ P l s vụ t a, t A= n ( n + 1)( n + )( n + 3) + 2ủ - Bin ủi A ta ủc A = ( n + 3n + 1) + 2 Ta cú ( n + 3n + 1) < A < ( n + 3n + ) l s vụ t 0,75 0,25 2 - Do ủú A khụng phi l s chớnh phng Vy khụng tỡm ủc giỏ tr no ca n ủ n ( n + 1)( n + )( n + 3) + l s 0,25 0,25 0,25 chớnh phng b, Gi s < x y t x + = ky ( k N * ) 0,25 Ta cú ky = x + y + < y + y = y k < k = 0,25 Vi k=1, thay vo x+1=ky ta cú x+1=y M y + x x + + x x + x x x {1; 2} 0,25 Vi x=1 thỡ y=2; vi x=2 thỡ y=3 Vy ( x; y ) = (1; ) , ( 2;3) 0,25 a) 0,5 2 2020sin + 2016 cos 4sin = (4sin 4sin + 1) + 2016(sin + cos ) 2 = ( 2sin 1) + 2016 = ( 2sin 1) + 2015 2015 0,5 b) KX x 4029 0,25 2ủ p dng BT Bu-nhia-cp-xki ta cú: x + 4029 x (1 2 +1 0,25 ) ( x + 4029 x ) = 8056 Du = xy x = 4029 x x = 2015 ( tha món) 0,25 Vy nghim ca phng trỡnh l x=2015 0,25 a, Gi s ta cú tam giỏc ABC vuụng ti A, ủng cao AH v S AHB = 54000 m ; S AHC = 96000 m 0,25 A 2ủ B C H -Ta cú AH.BH=2 S AHB = 2.54000 ; AH.HC= 2.S AHC = 2.96000 4 - M AH = HB.HC AH = 12 10 AH = 120 10 m - T ủú tớnh ủc BC = ( S AHC + S AHB ) ( 54000 + 96000 ) = = 250 10 m AH 120 10 0,25 0,25 0,25 b, Q N J P C I O M A B - Gi I v J l tõm cỏc hỡnh vuụng AMNC v BCQP 0,25 Ta cú IO//CP v IO=CJ=JB, JO//CM v JO=CI=IA - Ta li cú AIO = AIC OIC = 900 CJO = BJO AIO = OJB ( c.g.c ) OA = OB v AOI = OBJ 0,25 - T ủú AOB = 3600 AOI IOJ JOB = 3600 OBJ IOJ JOB 0,25 0 = 180 IOJ + OJB = MOI + POJ + OJB = 180 OJP + OJB = OJC + OJB = 900 - Suy tam giỏc AOB vuụng cõn ti O M A, B c ủnh suy tam 0,25 giỏc OAB c ủnh C thay ủi p dng bt ủng thc AM-GM ta cú 0,25 b 4 b + a + + b + + c + a + + 2.4 + + a b c 2 2a + b = + 18 Mt khỏc 3abc = ( a + c ) + ( b + c ) 2ac + 4bc 3ab ( a + 2b ) 0,25 P =a+ 1ủ + a b Theo BT Cauchy- Schwarz, ta cú 0,25 2 ( + 1) + = + = 2a + b a b 2a b 2a + b a + b - Do ủú P + 18 = 21 Du = xy a=b=c=2 Vy GTNN ca P=21 v ch a=b=c=2 -Hết 0,25 ... tạo huyện Văn Giang Hớng dẫn chấm Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toỏn Ngy thi: 21/10 /2015 Đề thức -I Hớng dẫn chung 1) Hớng dẫn chấm thi. .. 2020sin + 2016 cos 4sin = (4sin 4sin + 1) + 2016( sin + cos ) 2 = ( 2sin 1) + 2016 = ( 2sin 1) + 2015 2015 0,5 b) KX x 40 29 0,25 2ủ p dng BT Bu-nhia-cp-xki ta cú: x + 40 29 x (1... x + 40 29 x ) = 8056 Du = xy x = 40 29 x x = 2015 ( tha món) 0,25 Vy nghim ca phng trỡnh l x =2015 0,25 a, Gi s ta cú tam giỏc ABC vuụng ti A, ủng cao AH v S AHB = 54000 m ; S AHC = 96 000 m