hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢIDƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10THPT NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi : TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm: 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I (2,0 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: 1) 2x + 1= x = − 2y 2) y = −1+ 2x 3) x4 + 8x2 − = Câu II (2,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức A = ( )( a+ ) ( a− − ) a + + 9a vôù i a ≥ 2) Khoảng cách hai tỉnh A B 60km Hai người xe đạp khởi hành lúc từ A đến B với vận tốc Sau xe người thứ bị hỏng nên phải dừng lại sửa xe 20 phút, người thứ hai tiếp tục với vận tốc ban đầu Sau xe sửa xong, người thứ với vận tốc nhanh trước 4km/h nên đến B lúc với người thứ hai Tính vận tốc hai người lúc đầu Câu III (2,0 điểm) 2 1) Tìm giá trị m để phương trình x − 2( m + 1) x + m − = có nghiệm kép Tìm nghiệm kép 2) Cho hai hàm số y = ( 3m + 2) x + với m ≠ −1 y = − x − có đồ thị cắt điểm A ( x;y) Tìm giá trị m để biểu thức P = y2 + 2x − đạt giá trị nhỏ Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định đường kính CD thay đổi không trùng với AB Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt đường thẳng BC BD E F Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng AE AF 1) Chứng minh ACBD hình chữ nhật; 2) Gọi H trực tâm tam giác BPQ Chứng minh H trung điểm OA; 3) Xác định vị trí đường kính CD để tam giác BPQ có diện tích nhỏ Câu V (1,0 điểm) Cho 2015 số nguyên dương a1;a2;a3; ;a2015 thỏa mãn điều kiện : a1 + a2 + a3 + + a2015 ≥ 89 Chứng minh 2015 số nguyên dương đó, tồn số hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán -Hết Câu 1.( 2điểm) −1 x = 2) y =1 3) x = ± 1) x = 0,5(đ) 0,5(đ) Giải PT 0,5(đ) Câu ( 2điểm) 1) A = -7 2) Gọi vận tốc ban đầu người x Giải chọn x = 20 Câu 3.( 2điểm) 1) m = -2 ; x1 = x2 = -1 2) Tìm A ( 60 − x 60 − x = + x x+4 1,0(đ) 1,0(đ) 0,5(đ) 0,5(đ) 1,0(đ) −2 − m ; ) m +1 m +1 1− m P= −3 ÷ − m +1 m +1 => Min P = -6 m = 1,0(đ) P= − ÷ − ≥ ∀m ≠ m +1 Câu (3 điểm) Vẽ hình 0,25 (đ) · · · a) Có ACB = CBD = ADB = 90 ( Các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ Tứ giác ACBD hình chữ nhật ( Tứ giác có ba góc vuông) 0,75 (đ) b) Có PO đường trung bình tam giác AEB ⇒ PO // EB mà EB ⊥ BF ⇒ PO ⊥ BF Xét tam giác PBF có BA ⊥ PF; PO ⊥ BF nên BA PO đường cao tam giac PBF mà BA PO căt O nên O trực tâm tam giác PBF ⇒ FO đường cao thứ ba tam giác PBF hay FO ⊥ PB (1) 0,5 (đ) Lại có H trực tâm tam giác PBQ nên QH ⊥ PB (2)Từ (1) (2) ⇒ QH // FOXét tam giác AOF có Q trung điểm AF; QH // FO nên H trung điểm AO 0,5 (đ) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán c) S BPQ = AB( AP + AQ) = AB.( AE + AF ) (3) Áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm AE AF ta có: AE + AF ≥ AE AF (4) ⇔ ( Dấu “=” xảy AE =AF) 0,5 (đ) Từ (3) (4) ⇒ S∆BPQ ≥ AB AE AF (5) Lại có: Áp dụng hệ thức tam giác vuông EBF ta có: AE.AF = AB2 (6) Từ (5) (6) ta có SBPQ Xảy dấu AE = AF ≥ AB 2 ⇒ Tam giác EBF vuông cân B ⇔ ACBD hình vuông nên CD vuông góc AB Vậy : Khi đường kính CD vuông góc với đường kính AB tam giác PBQ có diện tích nhỏ 0,25 (đ) 0,25 (đ) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Câu ( 1điiểm) Giả sử không tồn hai số mà a1, a2, …, a2015 nguyên dương Không làm tính tổng quát giả sử a1 > a2 > … > a2015 Nên a1 ≥1; a2 ≥ 2; … ; a2015 ≥ 2015 Suy 1 1 1 + + + ≤ + + + a1 a2 a2015 2015 (1) 1 2 + + + ≤ 1+ + + (2) 2015 1+ 2014 + 2015 2 Mà + + + + 2014 + 2015 = 2015 − < 89 (3) 1 Từ (1), (2), (3) suy a + a + + a < 89 Trái với giả thiêt 2015 Có Vậy 2015 sốnguyên dương tồn số - ... a1 > a2 > … > a2015 Nên a1 ≥1; a2 ≥ 2; … ; a2015 ≥ 2015 Suy 1 1 1 + + + ≤ + + + a1 a2 a2015 2015 (1) 1 2 + + + ≤ 1+ + + (2) 2015 1+ 2014 + 2015 2 Mà + + + + 2014 + 2015 = 2015 − < 89 (3)... 0,25 (đ) 0,25 (đ) hoctoancapba. com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Câu ( 1điiểm) Giả sử không tồn hai số mà a1, a2, …, a2015 nguyên dương Không... 0,5 (đ) hoctoancapba. com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán c) S BPQ = AB( AP + AQ) = AB.( AE + AF ) (3) Áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số