T 13

NỘI DUNG CẤU TRÚC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN : Toán - LỚP CÂU NỘI DUNG KIẾN THỨC ĐIỂM Biến đổi đồng nhất: Câu Câu 2 điểm Các bài toán biến đổi thức và các câu hỏi khai thác biểu thức rút gọn Phương trình đại số: phương trình bậc cao, pt vô tỉ : điểm Hàm số đồ thị: điểm điểm Số học: Câu Số nguyên tố, hợp số, số chính phương, phương trình nghiệm nguyên điểm Hình học: Câu Hệ thức tam giác vuông, tam giác đồng dạng, định lý Ta lét : điểm điểm Đường tròn: Giới hạn đến bài dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến điểm Bài toán phát hiện học sinh xuất sắc Câu Cộng Cực trị đại số, hình học, biến đổi đồng điểm 10,0 điểm UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO o0o ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2015 – 2016 Môn thi: Toán học – Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (2 điểm) Cho biểu thức A = x +1 x +3 10 − x + − x −3 2− x x −5 x +6 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị x cho A < c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức B biết B = x − x + 20 A ( x −2 ) Câu (2 điểm) a) Giải phương trình: x + + − x − x + = + x − x b) Cho các đường thẳng y = ( 2m + 1) x − 4m + ; y + 2m − = ( m + m + 1) x − 2m và ( 3m − 1) x + ( − 2m ) y = Chứng minh các đường thẳng qua điểm cố định? Câu (2 điểm) a) Cho p và p + là các số nguyên tố Chứng số p + p + là số nguyên tố? b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x − xy − y + x − y = Câu (3 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC Gọi A là điểm nằm nửa đường tròn (O) ( A ≠ B, A ≠ C ) Gọi H là hình chiếu vuông góc A BC, D là điểm đối xứng với B qua A, I là trung điểm AH, J là trung điểm DH a) Chứng minh ∆AJH đồng dạng với ∆HIC b) Gọi E là giao điểm HD và CI Chứng minh : 2AE < AB? c) Khi A di động ( A ≠ B, A ≠ C ) , xác định vị trí điểm A nửa đường tròn cho tam giác ABC có chu vi lớn Câu (1 điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn : a + b + c = Chứng minh rằng: 1  1  4 + + ÷≤ + + +  a+b b+c c+a  a b c Hết - UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO o0o Câu Ý a Nội dung x +1 x +3 10 − x + − x −3 2− x x −5 x +6 Điều kiện xác định: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ Khi đó: = (2 ( = ( x +1 x +3 10 − x x +1 x +3 + − = − − x −3 2− x x −5 x +6 x −3 x −2 )( x +1 ) ( x −2 − ( )( x − 3) ( x +3 x −3 )= x − 2) x +1 x −3 )( )( x −2 ) x − − 10 + x ) = ( ( 10 − x x −3 )( x −2 x−2 x −3 x −3 )( x −2 0.5 ) ) 0.5 x +1 x −2 Tìm x để A < Để A < ⇒  TH1: Khi    TH2: Khi   c Điểm Rút gọn A = A= b ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2015 – 2016 Môn thi: Toán học – Lớp x +1 x +1 x −5 < ⇔ 2− >0⇔ >0 x −2 x −2 x −2  x > x −5 >  x > 25 ⇔ ⇔ ⇔ x > 25 x −2>0 x >  x >  x < x −5 < 0 ≤ x < 25 ⇔ ⇔ ⇔0≤ x ⇒ p = 3n + 1( n ∈ N ) ⇒ p + = 3n + M3 ⇒ p + là hợp số ⇒ Mâu thuẫn với giả thiết p + là số nguyên tố ⇒ p > không thỏa mãn b đề Vậy p và p + là các số nguyên tố p + p + là số nguyên tố Giải phương trình nghiệm nguyên: x − xy − y + x − y = Ta có x − 3xy − y + x − y = ⇔ ⇔ ( x − y + ) ( x + y + ) = Vì x; y ∈ ¢ ⇒ x − y + 2; x + y + ∈ ¢ nên x − y + 2; x + y + là ước 5: 2 x − y + =  x − y = −1  x = ⇔ ⇔ 2 x + y + = 2 x + y = y =1 TH1   x=  x − y + = x − y =  ⇔ ⇔ TH2  (Không thỏa mãn) 2 x + y + =  x + y = −1  y = −  17   x = −  x − y + = −1  x − y = −3 ⇔ ⇔ TH3  (Không thỏa mãn)  x + y + = −5  x + y = −7 y = −  0,5 0,5 0,5 13  x=−   x − y + = −5  x − y = −  ⇔ ⇔ TH4  (Không thỏa mãn)  x + y + = −1  x + y = −  y = 11  Kết luận: Phương trình cho có nghiệm: ( x; y ) = ( 1;1) a Ta thấy ∆ABC ngoại tiếp đường tròn đường kính BC nên AB ⊥ AC ⇒ AC ⊥ AD IA = IH  Từ giả thiết  ⇒ IJ / / AD JH = JD  ⇒ IJ ⊥ AC ⇒ ·AIJ = ·ACH (cùng phụ · với góc HAC ) (1) +) Trong tam giác vuông ACH ta có: tan ·ACH = AH HC (2) +) Trong tam giác vuông AIJ ta có tan ·AIJ = AJ AJ = ( AI = HI ) (3) AI HI Từ (1), (2), (3) AH AJ AH HC = ⇒ = (4) HC HI AJ HI AB = AD  Từ giả thiết  ⇒ AJ / / BC ⇒ A J ⊥ AH ⇒ ∆HAJ vuông A JH = JD  · · Do từ (4) ta có: tan ·AJH = tan HIC ⇒ ·AJH = HIC ⇒ ∆AJH : ∆HIC ⇒ b Chứng minh 2AE < AB · Theo câu a ta có ∆AJH : ∆HIC ⇒ ·AHJ = HCI · · · Ta lại có: HCI + HIC = 900 ⇒ ·AHJ + HIC = 900 ⇒ JH ⊥ CI Từ ∆JEI vuông E ⇒ I , J , E thuộc đường tròn đường kính IJ Tương tự ∆JAI vuông A ⇒ I , A, J thuộc đường tròn đường kính IJ ⇒ I , A, J , E thuộc đường tròn đường kính IJ Theo tính chất liên hệ đường kính và dây đường tròn đường kính IJ ta có: AE ≤ JI 2 0,5 Mà ta lại có IJ = AD ⇒ IJ = AB (D đối xứng với B qua A) 0,5 ⇒ AE ≤ AB ⇒ AE ≤ AB c Dấu “=” xảy tứ giác AIEJ là hình chữ nhật ⇒ JE / / AI ⇒ AH ≡ HD (mâu thuẫn) ⇒ 2AE < AB Xác định vị trí điểm A Khi A di động nửa đường tròn (O) Ta có chu vi tam giác ABC là: C∆ABC = AB + AC + BC Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có AB + AC ≥ AB AC ⇔ ( AB + AC ) ≥ AB + AB AC + AC ⇔ ( AB + AC ) ≥ ( AB + AC ) ⇔ BC ≥ ( AB + AC ) ⇔ AB + AC ≤ BC 2 0,5 Do đó, C∆ABC = AB + AC + BC ≤ BC + BC = ( + 1) BC (BC không đổi) Nên chu vi tam giác ABC lớn là ( + 1) BC AB = AC ⇒ A thuộc trung trực BC ⇒ A là giao điểm trung trực BC với đường tròn (sau này A là điểm chính cung BC) 0,5   + + Chứng minh  ÷≤ + + +  a+b b+c c+a  a b c Từ giả thiết a + b + c = nên ta có: 1 1 1 1  1  4 + + ÷≤ + + +  a+b b+c c+a  a b c  a+b+c a+b+c a+b+c  a+b+c a +b+c a +b+c ⇔ 4 + + + + +9 ÷≤ b+c c+a  a b c  a+b 4c 4a 4b b+c c+a a+b ⇔ 12 + + + ≤ 12 + + + a+b b+c c+a a b c 4c 4a 4b b+c c +a a +b ⇔ + + ≤ + + a+b b+c c+a a b c 1 1 1 ≤ + nên: Ta có với các số dương x, y ( x + y )  + ÷ ≥ ⇔ x+ y x y x y 4c  1  4a  1  4b 1 1 ≤ c  + ÷; ≤ a  + ÷; ≤ b  + ÷ a+b  a b b+c b c c+a c a 4c 4a 4b b+c c+a a +b + + ≤ + + Cộng các vế lại ta được: đpcm a+b b+c c+a a b c Dấu “=” xảy a = b = c = Chú ý: Các cách giải khác, cho điểm tối đa theo phần 0,5 0,5 ... ⇒ I , J , E thuộc đường tròn đường kính IJ T ơng t ∆JAI vuông A ⇒ I , A, J thuộc đường tròn đường kính IJ ⇒ I , A, J , E thuộc đường tròn đường kính IJ Theo tính ch t liên hệ đường... là số nguyên t Do p là số nguyên t nên: Khi p = ⇒ p + = là hợp số ⇒ Mâu thuẫn với giả thiê t p + là số nguyên t ⇒ p = không thỏa mãn đề Khi p = ⇒ p + = 11 là số nguyên t (tm) ⇒ p + p... Câu (2 điểm) Cho biểu thức A = x +1 x +3 10 − x + − x −3 2− x x −5 x +6 a) Ru t gọn biểu thức A b) T m các giá trị x cho A < c) T m giá trị nhỏ biểu thức B biê t B = x − x + 20 A (