đề thi học sinh giỏi 8

21 THI HS TON Thi gian lm bi: 120 phỳt Bi (1,0 im) Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t: a) x2 x 12; b) x2 + 2xy + 4y 4; Bi 2: (2,5 im) Cho biu thc: P = ( a Tỡm x P xỏc nh ; x + x x + x x + x( x + 1) (1 + x) + )ì x2 x +1 x x3 b, Rỳt gn P c, Tỡm giỏ tr nguyờn ca x P nhn giỏ tr nguyờn? Bi 3: (2,0 im) a, Chng minh rng tng ca ba s nguyờn chia ht cho thỡ tng ca lp phng ba s nguyờn cng chia ht cho b, Chng minh bt ng thc: 1 + Vi a; b l cỏc s dng a b a+b áp dụng : Tìm giá trị nhỏ M = xy + x + y với x; y dơng x + y =1 Bi 4: (3,0 im) Cho tam giỏc ABC cõn A, D l trung im ca cnh BC Trờn cnh AB ly im M, trờn cnh AC ly im N cho : MDN = ABC Chng minh : a, Hai tam giỏc BMD v CDN ng dng vi ; b, MD2 = MN MB Bi 5:(1,5 im) Cho tam giỏc ABC trung tuyn AD Gi G l trng tõm ca tam giỏc Mt ng thng qua G ct cỏc cnh AB, AC ln lt M v N Chng minh rng: AB AC + =3 AM AN ỏp ỏn 21 Bài 1: a, x2 - x - 12 = (x-4)(x+3) (1điểm) b, x2 + 2xy + 4y - = (x-2)(x+2) + 2y(x+2) = (x+2)(x+2y-2) (1điểm) Bài 2: a, Điều kiện: x (1điểm) b, P = x4 + x2 x + x2 + x + x2 + x + x2 x2 x (1điểm) x4 + x2 + x2 = x x3 (0,5điểm) = x4 + x2 + x3 (0,5điểm) c, P = x + x + x( x 1) + x + x + 1 = = x+ 3 x x x (1điểm) Với x nguyên P nhận giá trị nguyên x-1 ớc 1: (0,5điểm) TH1: x-1 = => x = (thõa mãn đk) TH2: x - = -1 => x = (thõa mãn đk) (0,5điểm) Bài 3: a, Giả sử a+b+c chia hết cho Ta có: a3 + b3 + c3 = (a+b+c)3- (a+b)(b+c)(c+a) (1điểm) Ta chứng minh đợc (a+b)(b+c)(c+a) chia hết cho Thực vậy: Nếu tích (a+b)(b+c)(c+a) có thừa số chia hết cho tích chia hết cho Nếu ba thừa số không chia hết cho ta có: a+b = 2k + 1; b+c = 2q+1 => 2b + a+c = 2k +2q= 2k+ +2 = 2(k+q+1) = 2l Chứng tỏ a+c chia hết cho Khi tích sẻ chia hết cho (1điểm) Vì (a+b)(b+c)(c+a) chia hết cho nên: 3(a+b)(b+c)(c+a) chia hết cho Mà (a+b+c)3 chia hết cho (vì a+b+c chia hết cho ) Do (a+b+c)3- (a+b)(b+c)(c+a) chia hết cho Hay: a3 + b3 + c3 chia hết cho (1điểm) 1 ( a b) = a > 0; b > b, Ta có : + a b a + b ab(a + b) (0,5điểm) => 1 + Dấu = xảy a b = a = b a b a+b (0,5điểm) 3 áp dụng: M = xy + x + y + xy (0,25điểm) 3 12 3 Vì: xy + x + y ( x + y ) = 12 ; xy + x + y = 12 x = y (0,25điểm) 1 Và: (x + y) xy xy (x + y)2 ( x>0; y>0) = 2; =2 x= y 2 xy ( x + y ) xy (0,25điểm) Nên: M 14 M có giá trị nhỏ 14 x = y (0,25điểm) Bài 4: A a, Ta có: ABC + BMD= MDC ( Tính chất góc ngoài) (0,5 điểm) Hay: ABC + BMD = MDN+ NDC M Mà ABC= MDN(gt) => BMD = NDC (1điểm) Xét hai tam giác BMD tam giác CDN có: B B = C ( tam giác ABC cân); BMD = NDC => BMD ~ CDN ( g g ) b, Ta có BMD ~ CDN N C D (0,5 điểm) BM MD BM BD = = (Vì BD = CD) CD DN MD DN (1điểm) A Xét hai tam giác: BMD DMN có: MBD = MDN (gt) BM BD = ( chứng minh trên) MD DN BMD ~ DMN (c-g-c) MD MB = MD = MN MB MN MD (1điểm) (1điểm) M G Bài 5: - Qua B kẻ đờng thẳng song song với MN Bcắt AD P N P D Q C Vì BP song song với MG nên ta có: AB AP = (1) (0,5điểm) AM AG - Qua C kẻ đờng thẳng song song với MN cắt AD Q Vì CQ song song với NG nên ta có: Từ (1) (2) ta có: AC AQ = (2) AN AG AB AC AP + AQ + = (3) AM AN AG (0,5 điểm) (0,5điểm) Mặt khác: Xét hai tam giác DPB DQC có: BDP = CDQ (đối đỉnh) DBP = DCQ ( Vì BP Và CQ song song với MN nên song song với nhau) DB = DC (AD trung tuyến) => DPB = DQC ( c-g-c) => DP = DQ (0,5điểm) => AP +AQ=AD-DP+AD+DQ=2AD (4) (0,5điểm) Từ (3) Và (4) ta có: => AB AC AD + = AM AN AG AB AC AD + = ( Vì G trọng tâm nên = ) AM AN AG (0,5điểm)