Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)

Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)Luật tương hỗ trong tô màu đồ thị (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐINH THỊ VÂN LUẬT TƯƠNG HỖ TRONG TÔ MÀU ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐINH THỊ VÂN LUẬT TƯƠNG HỖ TRONG TÔ MÀU ĐỒ THỊ Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS.HOÀNG LÊ TRƯỜNG THÁI NGUYÊN, 2017 iii Mục lục Lời cảm ơn Danh mục hình vẽ bảng biểu Mở đầu ĐA THỨC MÀU CỦA ĐỒ THỊ 1.1 Các khái niệm 6 1.1.1 Đơn đồ thị 1.1.2 Các thuật ngữ 1.1.3 Đường đi, chu trình 1.1.4 Tính liên thông 1.1.5 Đồ thị đầy đủ 10 1.1.6 Đồ thị vòng 10 1.1.7 Đồ thị 12 1.1.8 Đồ thị Petersen 12 1.1.9 Đồ thị hai phần đầy đủ 12 1.2 Tô màu đồ thị 14 1.2.1 Tô màu thực 14 1.2.2 Đồ thị phẳng 16 1.2.3 Định lí bốn màu 17 1.2.4 Đồ thị xóa, co rút 17 1.2.5 Mệnh đề 18 1.2.6 Các ví dụ 21 iv 1.2.7 Hệ 26 Luật tương hỗ đa thức màu 28 2.1 Định hướng đồ thị 28 2.2 Đường định hướng 29 2.3 Mệnh đề 30 2.4 Cặp tương thích 31 2.5 Mệnh đề 33 2.6 Định lí 34 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 40 Lời cảm ơn Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn Tiến sĩ Hoàng Lê Trường Tác giả xin trân trọng bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy, người tận tình bảo, hướng dẫn, động viên khích lệ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu luận văn Qua luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, giảng viên tham gia giảng dạy tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu suốt thời gian qua Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp tất người quan tâm, động viên giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày tháng năm 2017 Tác giả luận văn Đinh Thị Vân Danh mục hình vẽ bảng biểu Hình 1.1: Hình 1.2: Hình 1.3: Hình 1.4: Hình 1.5: 10 Hình 1.6: 10 Hình 1.7: 11 Hình 1.8: 12 Hình 1.9: 12 Hình 1.10: 14 Hình 1.11: 15 Hình 1.12: 17 Hình 1.13: 18 Hình 1.14: 19 Hình 1.15: 19 Hình 1.16: 20 Hình 1.17: 20 Hình 1.18: 21 Bảng đa thức màu 25 Hình 2.1: 28 Hình 2.2: 30 Hình 2.3: 31 Hình 2.4: 32 Hình 2.5: 32 Hình 2.6: 32 Hình 2.7: 34 Hình 2.8 35 Mở đầu Khái niệm lý thuyết đồ thị nhiều nhà khoa học độc lập nghiên cứu có nhiều đóng góp lĩnh vực toán học ứng dụng Bài toán tô màu cho đỉnh (hay cạnh) đồ thị để giải toán phương pháp hay hấp dẫn lý thuyết đồ thị Phương pháp không đòi hỏi nhiều khả tính toán mà chủ yếu đòi hỏi sáng tạo việc đưa mô hình cụ thể linh hoạt cách tư áp dụng cách máy móc Đó điểm mạnh khó toán tô màu Mong muốn tác giả luận văn cung cấp cho người đọc nhìn tổng quan chi tiết việc sử dụng tô màu nghệ thuật giải toán, hy vọng giúp ích phần cho việc bồi dưỡng học sinh chuyên trường THPT, phát triển tư cho học sinh, mở hướng nghiên cứu cho quan tâm Lý thuyết đồ thị đời phát triển gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng: Euler (Thụy sĩ), với toán cầu thành phố K¨onigsberg, K¨onig Egevasry (Hungari), với phương pháp Hungari giải toán phân việc.Về vấn đề tô màu đồ thị có nhiều kết lý thuyết đáng ý: Định lý Brooks, Minty tô màu đỉnh; Định lý K¨onig, Vizing, Shannon tô màu cạnh, định lý màu Heawood (1890) Định lý màu Appel Haken (1976), giải giả thuyết màu tiếng Guthrie nêu lần đầu năm 1852 Ứng dụng lí thuyết đồ thị nói chung toán tô màu đồ thị nói riêng để giải toán không muẫu mực, toán thường gặp thực tế vài toán kì thi Toán quốc tế Với mục tiêu trên, tác giả tiến hành trình bày lại số kết tài liệu tham khảo [1] luận văn chia thành hai chương: Chương Đa thức màu đồ thị Chương Luật tương hỗ đa thức màu Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót định Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý độc giả để luận văn hoàn thiện Tác giả Đinh Thị Vân Chương ĐA THỨC MÀU CỦA ĐỒ THỊ To many, mathematics is a collection of theorems For me, mathematics is a collection of examples; a theorem is a statement about a collection of axamples and the purpose of proving theorems is to classify and explain the examples John B Conway 1.1 Các khái niệm Đồ thị màu sắc chúng thứ yêu thích môn toán rời rạc Và không chống lại cám dỗ để xuất phát với ví dụ đẹp 1.1.1 Đơn đồ thị Định nghĩa 1.1 Đồ thị vô hướng đồ thị G cặp thứ tự G = (V, E) • V tập hữu hạn khác rỗng mà phần tử gọi đỉnh (vertex) G 27 ta có XG (n) = XG\e (n) − XG/e (n) Vì đồ thị G\e có k cạnh số đỉnh d đồ thị G/e có k cạnh số đỉnh d − nên cd (G) = cd (G\e) = Mặt khác ta có c0 (G) = c0 (G\e) − c0 (G/e) = Hơn ta có (−1)d XG (−n) = (−1)d XG\e (−n) + (−1)d−1 XG/e (−n) Vì đồ thị G\e có k cạnh số đỉnh d, theo giả thiết quy nạp ta có (−1)d XG\e (−n) > Vì đồ thị G/e có k cạnh số đỉnh d − theo giả thiết quy nạp ta có (−1)d−1 XG/e (−n) > Vậy (−1)d XG (−n) > với n ≥ 28 Chương Luật tương hỗ đa thức màu Đặc biệt tính chất cuối Hệ 1.1 chương dẫn tới câu hỏi Việc đánh giá (−1)d XG (−n) có ý nghĩa tổ hợp gì? Câu hỏi hỏi câu trả lời Richard Stanley vào năm 1973 Để tái lập lại câu trả lời đó, cần khái niệm định hướng đồ thị Chúng ta kí hiệu đỉnh G v1 , v2 , , vd Chúng ta định nghĩa định hướng G thông qua tập ρ ⊆ E 2.1 Định hướng đồ thị Định nghĩa 2.1 Cho tập ρ ⊆ E Một định hướng G thông qua tập ρ định hướng thỏa mãn điều kiện sau: với cạnh e = vi vj ∈ E với i < j có e vi ← vj e vi → vj e∈ρ e∈ /ρ Khi kí hiệu đồ thị G với định hướng ρ G viết ρ G = (V, E, ρ) 29 Nói cách khác, coi G quy tắc định hướng cạnh từ số nhỏ đến số lớn ρ cạnh định hướng ngược lại xem Ví dụ sau Ví dụ 2.1 Cho G đồ thị với • tập đỉnh V = {v1 , v2 , v3 , v4 } • tập cạnh E = {v1 v2 , v2 v3 , v3 v4 , v4 v1 , v4 v2 } Cho tập cạnh ρ = {v1 v4 , v2 v3 , v2 v4 } Khi tập ρ xác định định hướng đồ thị G Cụ thể e v1 → v2 e v3 → v4 vì v1 v2 ∈ /ρ v3 v4 ∈ /ρ e v2 ← v3 e v2 ← v4 e v1 ← v4 v2 v3 ∈ ρ v2 v4 ∈ ρ v1 v4 ∈ ρ Với định hướng ta nhận đồ thị định hướng ρ G Hình 2.1 v1 v2 v3 v4 Hình 2.1: Đồ thị định hướng sinh ρ = {v1 v4 , v2 v3 , v2 v4 } v e 2.2 u1 Đường định hướng Định nghĩa 2.2 Đường định hướng đường vi0 → vi1 → → vis u 30 đồ thị ρ G cho vik = vil với ≤ k < l ≤ s, gọi chu trình tuần hoàn vi0 = vis Một định hướng ρ G không tuần hoàn chu trình tuần hoàn ρ G Ví dụ 2.2 Cho G đồ thị với • tập đỉnh V = {v1 , v2 , v3 , v4 } • tập cạnh E = {v1 v2 , v2 v3 , v3 v4 , v1 v4 , v2 v4 } Cho tập cạnh ρ = {v1 v4 , v2 v3 , v2 v4 }, theo Ví dụ 2.1 ta có đồ thị định hướng Hình 2.1 Đồ thị có đường định hướng v3 → v4 → v1 → v2 v3 → v4 → v2 v3 → v2 Vì không tồn chu trình định hướng pG nên p gọi định hướng không tuần hoàn G Mối quan hệ tô màu thực định hướng không tuần hoàn mô tả sau: cho màu thực c, định nghĩa định hướng G thông qua tô màu c định hướng G thông qua tập ρ = vi vj ∈ E | i < j c (vi ) > c (vj ) Cụ thể, cạnh từ số thấp i đến số cao j có hướng dọc theo gradient màu c (vj ) − c (vi ) Chúng ta gọi định hướng ρ cảm sinh c Ví dụ 2.3 Cho 4-màu thực c hình vẽ 2.3 Mệnh đề Mệnh đề 2.1 Giả sử c : V −→ [n] màu thực ρ định hướng cảm sinh c G = (V, E) Khi ρ G không tuần hoàn 31 c(v1 ) = c(v2 ) = c(v4 ) = c(v3 ) = v1 v4 v2 v3 Hình 2.2: Đồ thị định hướng sinh ρ = {v1 v4 , v2 v3 , v2 v4 } Chứng minh Bằng phương pháp phản chứng ta giả sử ρ G tuần hoàn, tức ρ G tồn định hướng tuần hoàn vi0 → vi1 → → vis → vi0 Khi định nghĩa định hướng cảm sinh ta có c (vi0 ) > c (vi1 ) > > c (vis ) > c (vi0 ) , vô lí Vậy ρ G không tuần hoàn Vì có hữu hạn định hướng không tuần hoàn G nên đếm cách tô màu thông qua định hướng không tuần hoàn họ cảm sinh 2.4 Cặp tương thích Định nghĩa 2.3 Một định hướng ρ n-màu c G gọi tương thích cạnh định hướng u → v ρ G có c(u) ≥ c(v) Cặp (ρ, c) gọi tương thích thực c(u) > c(v) với cạnh định hướng u → v Ví dụ 2.4 Cho G đồ thị với 32 • tập đỉnh V = {v1 , v2 , v3 , v4 } • tập cạnh E = {v1 v2 , v2 v3 , v3 v4 , v1 v4 , v2 v4 } Cho định hướng p = v1 v4 , v2 v3 , v2 v4 3-màu c tô sau c(v1 ) = 1, c(v2 ) = 1, c(v3 ) = 3, c(v4 ) = Ta thấy: v1 → v2 có c(v1 ) = c(v2 ) v4 → v1 có c(v4 ) > c(v1 ) v4 → v2 có c(v4 ) > c(v2 ) v3 → v4 có c(v3 ) > c(v4 ) v3 → v1 có c(v3 ) > c(v1 ) Vậy định hướng p 3-màu thực c tương thích không tương thích thực c(v1 ) = c()v2 =1 c(v4 ) = c(v3 ) = Hình 2.3: 3-màu c định hướng p tương thích với Chú ý 2.2 Nếu ρ định hướng không tuần hoàn G ρ \ {e} định hướng không tuần hoàn G \ e Hơn tô màu c tương thích với ρ tô màu c tương thích với ρ \ {e} G \ e Nếu tồn đường độ dài lớn từ v tới u (u tới v) đồ thị ρ G, không tồn cạnh định hướng u → v (v → u) đồ thị ρ không tuần hoàn Do v → u (u → v) cạnh đồ thị ρ G Hơn tồn đường độ dài lớn từ v tới u (u tới v) ρ G, đồ thị ρ G \ e, ρ cảm sinh từ ρ p định hướng không tuần hoàn G \ e tuần hoàn G (xem hình 2.4) 33 e Hình 2.4: đồ thị p định hướng không tuần hoàn G tuần hoàn G/e (xem hình 2.5) u e v Hình 2.5: đồ thị Nếu p định hướng không tuần hoàn G/e p định hướng không tuần hoàn G (xem hình 2.6) e Hình 2.6: đồ thị 2.5 Mệnh đề Mệnh đề 2.3 Cho định hướng ρ n-màu c G Nếu cặp (ρ, c) tương thích thực G c màu thực ρ định hướng không tuần hoàn ρ G Đặc biệt, XG (n) số cặp tương thích thực (ρ, c)trong c n-màu thực 34 Chứng minh Vì (ρ, c) tương thích thực nên với cạnh định hướng ta có c(u) > c(v) c(u) < c(v) uv ∈ E Do c(u) = c(v) với uv ∈ E Vậy c màu thực ρ định hướng cảm sinh c Bây ta cần chứng minh ρ định hướng không tuần hoàn Thật giả sử ρ định hướng tuần hoàn tức tồn chu trình định hướng G vi0 → vi1 → → vis → vi0 Khi c (vi0 ) > c (vi1 ) > > c (vis ) > c (vi0 ) , điều vô lí Vậy ρ định hướng không tuần hoàn Cuối phát biểu định lí tương hỗ đa thức màu 2.6 Định lí Định lý 2.4 Giả sử G đồ thị hữu hạn d đỉnh có đa thức màu XG (n) Khi (−1)d XG (−n) số lượng cặp tương thích (ρ, c) c n-màu ρ định hướng không tuần hoàn Đặc biệt (−1)d XG (−1) số định hướng không tuần hoàn G Trước chứng minh Định lý 2.4 cần chứng minh bổ đề sau Bổ đề 2.1 Đặt χG (n) số cặp tương thích định hướng không tuần hoàn ρ n-màu c Khi ta có χG (n) = χG\e (n) + χG/e (n) Chứng minh Trường hợp 1: Nếu e = uu cạnh khuyên G với cặp tương thích định hướng không tuần hoàn (ρ, c) ta có 35 c(u) ≥ c(u) với cạnh định hướng u → u Do cạnh khuyên e = uu có định hướng (xem hình vẽ 2.7 ) Ta thấy số cặp tương thích đồ thị G hai lần số cặp tương thích đồ thị G sau xóa cạnh khuyên e = uu tức χG (n) = 2χG\e (n) (2.1) Mặt khác ta lại có đồ thị G sau xóa e = uu đồ thị G sau co rút cạnh e = uu nên số cặp tương thích định hướng không tuần hoàn chúng giống Tức χG\e (n) = χG/e (n) (2.2) Từ 2.1 2.2, ta có χG (n) = χG\e (n) + χG/e (n) e u Hình 2.7 Trường hợp 2: Nếu e = uv (u = v) v e u Hình 2.8 Đặt A tập cặp tương thích định hướng không tuần hoàn ρ n-màu c G A chia thành bốn tập rời sau: 36 A1 = {(ρ, c) ∈ A | ρ G có đường độ dài ≥ nối u v} A2 = {(ρ, c) ∈ A | c(u) = c(v) ρ G đường độ dài ≥ nối u v} A3 = {(ρ, c) ∈ A | c(u) = c(v), ρ G đường độ dài ≥ nối u v cạnh uv có định hướng u → v} A4 = {(ρ, c) ∈ A | c(u) = c(v), ρ G đường độ dài ≥ nối u v cạnh uv có định hướng v → u} Đặt B tập cặp tương thích định hướng không tuần hoàn ρ n-màu c G \ e B chia thành ba tập rời sau: B1 = {(ρ, c) ∈ B | ρ G có đường độ dài ≥ nối u v} B2 = {(ρ, c) ∈ B | c(u) = c(v)và ρ G đường độ dài ≥ nối u v} B3 = {(ρ, c) ∈ B | c(u) = c(v) ρ G đường độ dài ≥ nối u v} Đặt C tập cặp tương thích định hướng không tuần hoàn ρ n-màu c G/e Bây ta cần chứng minh |A| = |B|+|C| hay |A1 |+|A2 |+|A3 |+|A4 | = |B1 | + |B2 | + |B3 | + |C| i) Chứng minh |A1 | = |B1 | Từ Chú ý 2.2 ta suy cặp tương thích định hướng không tuần hoàn (ρ, c) ∈ A1 tồn cặp tương thích định hướng không tuần hoàn (ρ , c ) ∈ B1 cho ρ = ρ \ {e} c = c Ngược lại, cặp tương thích định hướng không tuần hoàn (ρ, c) ∈ B1 tồn cặp tương thích định hướng không tuần hoàn (ρ , c ) ∈ A1 cho ρ = ρ ∪ {e} c = c, định hướng cạnh e chọn sau ρ có định hướng đường độ dài > từ u tới v (hoặc từ v tới u) e chọn định hướng từ u → v 37 (hoặc từ v → u) Thật vậy, với cách chọn (ρ , c ) dễ thấy ρ c’ tương thích Ta cần chứng minh ρ = ρ ∪ {e} không tuần hoàn Giả sử tồn chu trình tuần hoàn ρ G chu trình phải chứa cạnh e = uv p không tuần hoàn Mặt khác ρ có định hướng > từ u tới v (hoặc từ v tới u) nên để có chu trình định hướng chứa cạnh e = uv cạnh e phải có định hướng từ v → u (hoặc từ u → v) Điều mâu thuẫn với cách chọn định hướng e Vậy ρ = ρ ∪ {e} không tuần hoàn Do |A1 | = |B1 | (2.3) ii) Chứng minh |A2 | = |B2 | Từ Chú ý 2.2 ta suy cặp tương thích định hướng không tuần hoàn (ρ, c) ∈ A2 tồn cặp tương thích định hướng không tuần hoàn (ρ , c ) ∈ B2 cho ρ = ρ \ {e} c = c Ngược lại, cặp tương thích định hướng không tuần hoàn (ρ, c) ∈ B2 tồn cặp tương thích định hướng không tuần hoàn (ρ , c ) ∈ A2 cho ρ = ρ ∪ {e} c = c, định hướng cạnh e chọn sau c(u)>c(v) (hoặc c(v)>c(u)) e chọn định hướng từ u → v (hoặc từ v → u) Thật vậy, với cách chọn (ρ , c ) dễ thấy ρ c’ tương thích Ta cần chứng minh ρ = ρ ∪ {e} không tuần hoàn Giả sử tồn chu trình tuần hoàn ρ G chu trình phải chứa cạnh e = uv p không tuần hoàn Từ suy ρ G \ e phải tồn đường định hướng ≥ từ u tới v (hoặc từ v tới u) Điều mâu thuẫn với giả thiết ρ G \ e đường định hướng ≥ Vậy ρ = ρ ∪ {e} không tuần hoàn Do |A2 | = |B2 | (2.4) iii) Chứng minh tương tự ý ii) ta có |A3 | = |B3 | (2.5) 38 iv) Chứng minh |A4 | = |C| Giả sử (ρ, c) cặp tương thích định hướng A4 , đồ thị ρ G không tồn đường độ dài ≥ từ u tới v (hoặc từ v tới u) nên không tồn chu trình đồ thị ρ G sau xóa e Vậy cặp tương thích định hướng không tuần hoàn (ρ, c) ∈ A4 tồn cặp tương thích định hướng không tuần hoàn (ρ , c ) ∈ C cho ρ = ρ/e c = c Ngược lại, cặp tương thích định hướng không tuần hoàn (ρ, c) ∈ C tồn cặp tương thích định hướng không tuần hoàn (ρ , c ) ∈ A4 cho ρ = ρ ∪ {e} c = c, e có định hướng từ v → u Thật vậy, với cách chọn (ρ , c ) dễ thấy ρ c’ tương thích ρ = ρ ∪ {e} không tuần hoàn.Do |A4 | = |C| (2.6) Từ 2.3, 2.4, 2.5 2.6, ta có |A1 | + |A2 | + |A3 | + |A4 | = |B1 | + |B2 | + |B3 | + |C| hay |A| = |B| + |C| Vậy χG (n) = χG\e (n) + χG/e (n) Chứng minh Định lý 2.4 Thật phương pháp quy nạp |E| ta có -Nếu |E|=0 số cặp tương thích χG (n) = nd XG (n) = nd Khi (−1)d XG (−n) = (−1)d (−n)d = nd = χG (n) -Nếu |E|=1 e=uv XG (n) = nd−1 (n − 1) Khi (−1)d XG (−n) = (−1)d (−n)d−1 (−n − 1) = nd−1 (n + 1) Ta tính số cặp tương thích G? TH1: Nếu u v màu cạnh e có hai định hướng G có nd−1 cách tô màu số cặp tương thích χG (n) = 2nd−1 39 TH2: Nếu u v khác màu cạnh e có định hướng G có nd−1 (n − 1) cách tô màu số cặp tương thích χG (n) = nd−1 (n − 1) Vậy χG (n) = 2nd−1 + nd−1 (n − 1) = nd−1 (n + 1) = (−1)d XG (−n) -Giả thiết quy nạp G có k cạnh χG (n) = (−1)d XG (−n), ta cần chứng minh G có k+1 cạnh χG (n) = (−1)d XG (−n) Thật vậy: Theo Bổ đề 1.1 ta có XG (n) = XG \ e(n) − XG /e(n), suy (−1)d XG (−n) = (−1)d XG\e (−n) + (−1)d−1 XG/e (−n) = χG\e (n) + χG/e (n) = χG (n) Đặc biệt với n = có cách tô màu đồ thị G số cặp tương thích tương thích định hướng không tuần hoàn số định hướng không tuần hoàn G Vậy theo chứng minh (−1)d XG (−1) số định hướng không tuần hoàn G 40 KẾT LUẬN Luận văn "Luật tương hỗ tô màu đồ thị" trình bày vấn đề sau: • Trình bày số kiến thức sở ví dụ, • Phần trọng tâm luận văn trình bày chứng minh Mệnh đề 1.2 chứng minh Định lí 2.4 luật tương hỗ đa thức màu 41 Tài liệu tham khảo [1] Matthias Beck and Raman Sanyal, Combinatorial Reciprocity Theorems, http://math.sfsu.edu/beck/papers/crt.pdf, The book will be published by the American Mathematical Society in 2017 [2] Kenneth Appel and Wolfgang Haken, Every planar map is four colorable I Discharging, Illinois J Math 21 (1977), no 3, 429–490 [3] Christos A Athanasiadis, Characteristic polynomials of subspace arrangements and finite fields, Adv Math 122 (1996), no 2, 193–233 [4] Kenneth Appel, Wolfgang Haken, and John Koch, Every planar map is four colorable II Reducibility, Illinois J Math 21 (1977), no 3, 491–567 [5] Richard P Stanley, Acyclic orientations of graphs, Discrete Math (1973), 171–178 ... hai màu xanh đỏ Khi ta thấy cách tô màu đồ thị G hình 1.13 cho ta cách tô màu tương ứng đồ thị Ge Ta thấy đồ thị G đồ thị xóa cạnh Ge có hai cách tô màu Trong đồ thị co rút G/e cách tô màu. .. Đồ thị G, đồ thị xóa cạnh Ge đồ thị co rút G/e 20 Với n = 3, hình 1.14 cho ta thấy cách tô màu thực đồ thị G cho ta cách tô màu đồ thị xóa cạnh Ge cách tô màu thực đồ thị G/e cho ta cách tô. .. đồ thị hai phần đầy đủ K3,3 a d b e c f Hình 1.9: Đồ thị hai phần đầy đủ K3,3 14 1.2 Tô màu đồ thị Chúng ta bắt đầu mục với khái niệm tô màu đồ thị 1.2.1 Tô màu thực Định nghĩa 1.9 n -màu đồ thị