Dao ham va ung dung (LT)

CHUYÊN ĐỀ 1: ĐẠO HÀM VÀ CÁC ỨNG DỤNG. 1. Đạo hàm 1.1 Cách tính đạo hàm bằng đònh nghóa: B1: Cho x 0 số gia ∆x và tính ∆y = f(x 0 + ∆x) - f(x 0 ) B2: Lập tỉ số: x y ∆ ∆ B3: Tìm giới hạn: x y 0x ∆ ∆ →∆ lim 1.2 Phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C) của hàm số y = f(x) tại điểm M 0 (x 0 ;f(x 0 )) là: y - y 0 = f'(x 0 )(x - x 0 ) 1.3 Đạo hàm của một số hàm số thường gặp: 1.3.1. y = c ⇒ y' = 0. 1.3.2. y = x ⇒ y' = 1. 1.3.3. y = x n ⇒ y' = n.x n-1 (n ≥ 2, n ∈ N). 1.3.4. y = x ⇒ y' = R x x2 1 * + ∈∀ . 1.4 Các quy tắc tính đạo hàm: 1.4.1. (u + v -w)' = u' + v' - w' 1.4.2. (k.u)' = k.u'. 1.4.3. (u.v)' = u'.v + u.v', (u.v.w)' = u'.v.w + u.v'.w + u.v.w'. 1.4.4. v vuvu v u 2 '' ' . − =                 − =       v v v 1 2 ' ' 1.4.5. y' x = y' u .u' x . 1.5 Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản: Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của các hàm số hợp (u=u(x) ( ) x x 1 −α α = α . ' x x 1 2 1 −=       ' ( ) x2 1 x = ' ( ) u u u 1 −α α = α . . ' ' u u u 1 2 ' ' −=       ( ) u2 u u ' ' = (sinx)' = cosx (cosx)' = - sinx (sinu)' = u'.cosu (cosu)' = - u'.sinu (tgx)' = 1 + tg 2 x = x 2 1 cos (cotgx)' = - (1 + cotg 2 x) = x 2 1 sin − (tgu)' = u'(1 + tg 2 u) = u u 2 cos ' (cotgu)' = - u'.(1 + cotg 2 u) = u u 2 sin ' − ( ) e e x x = ' ( ) aa a x x ln . ' = ( ) eu e u u . ' ' = ( ) aau a u u ln ' ' = ( ) x 1 x = ln ' ( ) ax 1 x a ln log ' = ( ) u u u ' ' ln = ( ) au u u a ln ' ' log = 1.6 Đạo hàm cấp cao: f (n) (x) = (f (n - 1) (x))' (n ≥ 2) 1.7 Vi phân: dy = y'dx hay df(x) = f'(x) dx. 2. Ứng dụng của đạo hàm: 2.1. Chứng minh hàm số đồng biến, nghòch biến: 2.1.1. Đònh lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). + Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng (a;b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng đó. + Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng (a;b) thì hàm số y = f(x) nghòch biến trên khoảng đó. 2.1.2. Điểm tới hạn: Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a;b) và x 0 thuộc khoảng (a;b). Điểm x 0 được gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f'(x) không xác đònh hoặc bằng 0. 2.2. Tìm cực đại và cực tiểu: 2.2.1. Quy tắc I: B1: Tìm f'(x). B2: Tìm các điểm tới hạn (giải phương trình f'(x) = 0.) B3: Xét dấu của đạo hàm. B4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trò. 2.2.2. Quy tắc II: B1: Tìm f'(x). B2: Tìm các điểm tới hạn x i (i = 1, 2, 3…)(giải phương trình f'(x) = 0.) B3: Tính f''(x) B4: Từ dấu của f"(x i ) suy ra tính chất cực trò của điểm x i theo dấu hiệu II. (Nếu f''(x i ) > 0 thì x i là điểm cực tiểu. Nếu f''(x i ) < 0 thì x i là điểm cực đại.) 2.2.3. Bổ sung quy tắc xét dấu: + Quy tắc xét dấu nhò thức bậc nhất: "Trái trái, phải cùng" + Quy tắc xét dấu tam thức bậc hai: . Trường hợp tam thức có hai nghiệm phân biệt: "Trong trái, ngoài cùng" . Trường hợp tam thức vô nghiệm hay có nghiệm kép: "Luôn cùng dấu với hệ số a" 2.3. Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: Quy tắc tìm [ ] )( max ; xf ba và [ ] )( min ; xf ba : B1: Tìm các điểm tới hạn x 1 , x 2 , …, x n của f(x) trên đoạn [a;b] B2: Tính f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x n ), f(a), f(b). B3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. M = [ ] )( max ; xf ba , m = [ ] )( min ; xf ba 2.4. Tìm các khoảng lồi, lõm, điểm uốn của đồ thò: 2.4.1. Tìm các khoảng lồi, lõm: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp 2 trên khoảng (a;b). + Nếu f''(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng (a;b) thì đồ thò của hàm số lồi trên khoảng đó. + Nếu f''(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng (a;b) thì đồ thò của hàm số lõm trên khoảng đó. 2.4.2. Tìm điểm uốn của đồ thò: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm x 0 và có đạo hàm đến cấp 2 trong lân cận đó. Nếu đạo hàm cấp 2 đổi dấu khi x đi qua x 0 thì điểm M 0 (x 0 , f(x 0 )) là điểm uốn của đồ thò hàm số đã cho. 2.5. Tìm tiệmcận: 2.5.1. Tiệm cận đứng: Nếu ∞= → )( lim xf x 0 x thì đường thẳng d có phương trình x = x 0 là một tiệm cận của đồ thò (C). 2.5.2. Tiệm cận ngang: Nếu y 0 x xf = ∞→ )( lim thì đường thẳng d có phương trình y = y 0 là một tiệm cận của đồ thò (C). 2.5.3. Tiệm cận xiên: Đường thẳng (d): y = ax + b là một tiệm cận của đồ thò (C) khi và chi khi: [ ] 0baxxf x =+− + ∞→ )()( lim (d là tiệm cận xiên bên phải của (C)) hay [ ] 0baxxf x =+− − ∞→ )()( lim (d là tiệm cận xiên bên trái của (C)) hay [ ] 0baxxf x =+− ∞→ )()( lim (d là tiệm cận xiên của (C)) (Trong đó: a = x xf x )( lim ∞→ , b = [ ] axxf x − ∞→ )( lim ) * CÁCH KHÁC: Nếu hàm số đã cho là hàm hữu tỉ (bậc tử > bậc mẫu), chia đa thức ta được y = ax + b + P(x). Chứng minh [ ] 0baxxf x =+− ∞→ )()( lim , thì y = ax + b là một tiệm cận của đồ thò (C). . cực tiểu. Nếu f''(x i ) < 0 thì x i là điểm cực đại.) 2.2.3. Bổ sung quy tắc xét dấu: + Quy tắc xét dấu nhò thức bậc nhất: "Trái trái, phải