Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì hoàn thành được ¼ công việc.. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?. Bài 4: 4 đ Cho đường t
Trang 1SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016-2017 BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
Đề chính thức Môn thi: Toán ( ĐỀ CHUNG )
Ngày thi: 06/6/2016 Thời gian làm bài: 120’
Bài 1: (1,5 đ) Cho biểu thức:
x 1 x 1 x ( Với x > 0 ; x ≠ 1)
1 Rút gọn T
2 Tìm các giá trị của x để 1T 2 x 13
2
Bài 2: (1,5 đ) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn : 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy
Bài 3: (2 đ) Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm trong
3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì hoàn thành được ¼ công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?
Bài 4: (4 đ) Cho đường tròn tâm O và dây AB không phải là đường kính Vẽ đường kính CD vuông góc
với AB tại K ( D thuộc cung nhỏ AB).M là một điểm thuộc cung nhỏ BC ( M không trùng với B và C)
DM cắt AB tại F
a) CM tứ giác CKFM nội tiếp
b) Chứng minh: DF.DM=AD2
c) Tia CM cắt đường thẳng AB tại E Chứng tỏ rằng tiếp tuyến tại M của (O) đi qua trung điểm của EF d) Chứng minh: FB KF
EB KA
Bài 5: (1 đ) : Tìm GTLN của biểu thức:
x 2016 x 2017 A
-* -
HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: ( 2 đ) Cho biểu thức:
x 1 x 1 x ( Với x > 0 ; x ≠ 1) a)Rút gọn T:Với x > 0 ; x ≠ 1
b)Với x > 0 ; x ≠ 1, ta có 1T 2 x 13 2x 2 x 13 2x 2 x 13 0
2 Đặt x t 0, ta được
pt: 2t2-2t-13=0
1
2
1 3 3
1 3 3 28 6 3 14 3 3 2
1 3 3
2
Bài 2: (1,5 đ) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn : 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy (1)
*Cách 1: Dựa vào điều kiện nghiệm của pt bậc hai:
2y x x y 1 x 2y xy x xy 2y x x 2y y 1 0 x x( 2y y 1) 2y y 1 0
§ Æt 2y y a x x(a 1) (a 1) 0(*)
Xem (*) là pt bậc 2 ẩn x, đk cần pt(1) có nghiệm x nguyên : là số chính phương
k ( k N) (a 1) 4(a 1) k a 2a 5 k (a 1) k 4 (a 1 k)(a 1 k) 4
Trang 2Vì a Z và k N nên a-1-k a-1+k và a-1-k ; a-1+k có cùng tính chẵn -lẻ nên chỉ có 1 trường hợp:
a 1 k 2 a k 1 a 1
TM § K
a 1 k 2 a k 3 k 2
-Với a=1 thì 2y2-y=1 2y2-y-1=0 (**) , pt (**) có dạng a+b+c=0 nên có 2 nghiệm:y1=1 (TMĐK)
; y2= c 1
a 2 (loại)
Với a=1; k=2 thì pt (*) có hai nghiệm:
1
1
(TMĐK)
Vậy pt(1) có hai nghiệm nguyên (x;y) là (0;1) và (2;1)
*Cách 2: Đưa về pt tích:
2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy (1) x2-2y2x+xy+2y2 -x-y=1 x(-2y2+y+x)-(-2y2+y+x)=1
(-2y2
+y+x)(x-1)=1
x 2
y 1
y (Lo¹i)
x 0
y 1
1
y (Lo¹i) 2
1
x 0
y 1
Vậy pt(1) có hai nghiệm nguyên (x;y) là (0;1) và (2;1)
Bài 3: Gọi thời gian làm riêng xong công việc của người thợ thứ nhất là x ( giờ), của người thợ thứ hai là
y (giờ) ĐK: x ,y > 16
Trong 1 giờ: + Người thợ thứ nhất làm được: 1
x (CV) + Người thợ thứ hai làm được: 1
y (CV) + Cả hai người thợ làm được: 1
16 (CV)
Ta được pt: 1
x+1
y= 1
16 (1) Người thợ thứ nhất làm trong 3 giờ được: 3
x (CV) Người thợ thứ hai làm trong 6 giờ được: 6
y (CV)
Cả hai người thợ làm được: 1
4 (CV)
Ta được pt: 3 6 1
x y 4(2)
Trang 33
2 2
1
1
1
2
K
D
C
O
A
B M
Từ (1) và (2) ta được hệ pt:
1 1 1
x y 16
3 6 1
x y 4
giải hpt ta được: x 24
y 48
(TMĐK)
Vậy thời gian làm riêng xong công việc của người thợ thứ nhất là 24 giờ, của người thứ hai là 48 giờ
Bài 4: (4 đ)
a) CM tứ giác CKFM nội tiếp
CD AB => CKF = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
Lại có CMF =900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
Suy ra CKF + CMF =1800 => Tứ giác ABEF nội tiếp được
b) CMR: DF.DM=AD 2
DKF DMC 90 Lại có : D 1 chung
=> DKF DMC g.g DF CD DF.DM DK.CD(1)
Lại có: DAC 90 ( góc nội tiếp cùng chắn nửa đường tròn (O)); 0 AKC 90 => 0 ACD vuông tại A có đường cao AK nên: AD2=DK.CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra DF.DM=AD2
c Chứng minh: Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) đi qua trung điểm của EF:
Gọi giao điểm của tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M với AE là I
-Ta có: M 2 M 3 900 ( vì OMI 90 0 ), E 2 M 3 900 ( vì CKE 90 0 ), lại có C 3 M 3( Vì OC=OM =>
OMC cân tại C) suy ra E 2 M 2=> IME cân tại I => IM=IE (3)
-Ta có: M 2 IMF DME 900 , E 2 F 2 900 ( vì DME 90 0 ) , mà E 2 M 2(c.mt) => IMF cân tại I => IM=IF (4)
Từ (3) và (4) suy ra IE=IF =>Tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) đi qua trung điểm của EF
d) CMR: FB KF
EB KA
Ta có: A 1 M 1 ( góc nội tiếp cùng chắn cung DB) và F 1 F 2( đối đỉnh)
FM FA
DKF MMF 90 và F 1 F 2( đối đỉnh)
FE FD
Từ (5) và (6) suy ra: FB.FA=FE.FK =>FB FK FB FK FB FK
Bài 5: (1 đ) : ĐK: x2017
x 2016 2017 x 2017 2016
x 2016 x 2017 A
Theo BĐT Cô –Si cho hai số không âm, ta có:
Trang 4
A
2
2 x 1 2017 2 x 1 20176 2 x 1 2017 2 x 1 20176 2016 2017
1 2016 2017 2017 2016 2016 2017 2017 2016 2016 2017
A
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 2017 x 2016 x 4033
2016 x 2017
Vậy Amax=2017 2016 2016 2017
8132544 khi x=4033