Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán năm 2016 2017 THPT chuyên quảng nam

Cho hình bình hành ABCD có góc A tù và AC=AB ,gọi H là hình chiếu của điểm C lên AB .Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho H là trung điểm của BE ,gọi F là điểm đối xứng với D qua E ,gọi G là

Câu 1 : (2 điểm )

x xy xy y x y

       

    với x0,y0,x y

Rút gọn biểu thức A sau đó tính giá trị biểu thức A biết 2

( 2 ) 8

x x y  y

b/ Hãy tìm ba bộ số nguyên dương a,b và c sao cho a b c thỏa mãn đẳng thức sau : abc 2(a b c  )

Câu 2 : (2 điểm )

2x  2x  1 2x 2x   1 2x  1

b/Giải hệ phương trình

2

2

7

2

y

x y

x





  



Câu 3 : (1 điểm )

x  m x m   m (m là tham số ).Hãy xác định m để phương trình có nghiệm Gọi hai nghiệm là x x1, 2 (kể cả trùng nhau ),tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2

1 2 1 2

Cx x x x

Câu 4 : (2 điểm )

Cho hình bình hành ABCD có góc A tù và AC=AB ,gọi H là hình chiếu của điểm

C lên AB Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho H là trung điểm của BE ,gọi F là điểm đối xứng với D qua E ,gọi G là điểm đối xứng với A qua B

a/Chứng minh rằng EC là tia phân giác của góc DEB

b/ Chứng minh tam giác CFG cân

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

NĂM HỌC 2016 - 2017

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 5 : (2 điểm )

Cho đường tròn ( O) đường kính AB ,dây CD vuông góc với AB tại H (H nằm giữa O và A ).Điểm E bất kỳ trên cung nhỏ BD ,gọi M là hình chiếu của điểm B lên CE

a/HM song song với AE

b/Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DEN đi qua trung điểm N của đoạn AE

Câu 6 : (1 điểm ) Cho ba số thực a,b,c sao cho 0  a 1;0  b 1;0  c 1

Chứng minh rằnga b c   3abc 2(ab bc ca  )

Bài giải Câu 1 : (2 điểm )

x xy xy y x y

      

    với x0,y0,x y

Rút gọn biểu thức A sau đó tính giá trị biểu thức A biết 2

( 2 ) 8

x x y  y

b/ Hãy tìm ba bộ số nguyên dương a,b và c sao cho a b c thỏa mãn đẳng thức sau : abc 2(a b c  )

Bài làm

a.Ta có A 16 y 17 x : 1 1

x xy xy y x y

       

16 17 :

x y

y x

     



16y 17x

x y







x x y  y  x y x y  (1)

Theo điều kiện đề bài ta suy ra x+4y>0 nên từ (1) ta có x=2y

16 17 16 34

18 2

A

b Ta có abc 2(a b c  ) 2(2) Từ (2) ta suy ra một trong ba số a,b,c phải có một số bằng 2 Gỉa sử a=2 ,lúc đó ta có b+c+1=bc nên (c-1)(b-1)=2 (3) Mà ta có

b    c b c nên từ (3) ta có 1 1 2



    

Vậy ba bộ số nguyên dương a,b và c sao cho a b c thỏa mãn đẳng thức

abc a b c  là (2;2;3)

Câu 2 : (2 điểm )

2x  2x  1 2x 2x   1 2x  1 (1) b/Giải hệ phương trình

2

2

( ) 2 9 (1)

2

y

x y

x





  



Bài làm

a Đặt 2

a x  b x a Phương trình (1) tương đương :

(a-b)(a+1)=0 (2) Mà a      1 1 a 1 0 Từ (2) suy ra a=b Lúc đó ta có

2

x

x



Vậy nghiệm của phương trình là 1

2

x

b Với y =0 thay vào hệ phương trình không thỏa mãn

Với y 0 Từ phương trình (1) ta có

2 2

x y

y



Từ phương trình (2) ta có 7 2 (4)

2

y

x y

x

  



Từ (3) và (4) suy ra

2

2

2



Đặt t x2 2 0

y



t

       

Ta có

3 11

4

x y

y

   



 





 



Vậy nghiệm của hệ phương trình là : (-3;11) ;(2;4)

Câu 3 : (1 điểm )

x  m x m   m (m là tham số ).Hãy xác định m để phương trình có nghiệm Gọi hai nghiệm là x x1, 2 (kể cả trùng nhau ),tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2

1 2 1 2

Cx x x x

Bài giải

Ta có để phương trình có nghiệm thì   ' 3m     3 0 m 1.Theo định lí vi-ét ta

1 2 2( 2); 1 2 1

x x  m x x m  m Khi đó

2

1 2 1 2 1 2 1 2

Giá trị nhỏ nhất của 2 2

1 2 1 2

Cx x x x là 117

4



khi 13

2

m 

Câu 4 : (2 điểm )

Cho hình bình hành ABCD có góc A tù và AC=AB ,gọi H là hình chiếu của điểm

C lên AB Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho H là trung điểm của BE ,gọi F là điểm đối xứng với D qua E ,gọi G là điểm đối xứng với A qua B

a/Chứng minh rằng EC là tia phân giác của góc DEB

b/ Chứng minh tam giác CFG cân

B

A

G

F

Câu 5 : (2 điểm )

Cho đường tròn ( O) đường kính AB ,dây CD vuông góc với AB tại H (H nằm giữa O và A ).Điểm E bất kỳ trên cung nhỏ BD ,gọi M là hình chiếu của điểm B lên CE

a/HM song song với AE

b/Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DEN đi qua trung điểm N của đoạn AE

Bài giải

a ACBE nội tiếp =>AEC ABC(1)

Mặt khác CHMB nội tiếp =>HBC HMC (2)

Từ (1), (2) => AEC HMC nên HM song song với AE

b Gọi K là giao điểm AE, CD Ta có AC=AD => AE là phân giác góc CED => tam giác NDM cân tại N.Gọi I là giao điểm của NE, DM

Theo câu a => HK IM ME

HD  DM  ME ED

 mà

HK ME

HC  MC

=> ME+ED=MC (3)

Trên tia đối tia DE lấy điểm Q sao cho QD=DE, trên đoạn CM lấy điểm P sao cho ME=MP => DM là đường trung bình của tam giác EPQ

Xét hai tam giác QAD và PAC ta có :

AC=AD,

QDA ACP,

Theo (3) => QD=DE=CM−ME=CM−PM=CP

=> △QAD=△PAC (c-g-c)

Nên tam giác APQ cân và APC AQD=> AQEP nội tiếp

=> ∠QAP=∠DNM => tam giác cân QAP đồng dạng với tam giác cân DNM

Mà DM//QP => NM//AP

Lúc đó MN là đường trung bình của tam giác AEP => đường tròn ngoại tiếp tam giác DEN đi qua trung điểm N của đoạn AE

Câu 6 : (1 điểm ) Cho ba số thực a,b,c sao cho 0  a 1;0  b 1;0  c 1

Chứng minh rằnga b c   3abc 2(ab bc ca  )

Bài làm

Vì 0  a 1;0  b 1;0  c 1 nên ta có :

(1 a)(1    b) 0 1 ab   a b c abcac bc

Tượng tự ta được các bất đẳng thức:

(1 b)(1    c) 0 1 bc   b c a abcab ac

(1 c)(1    a) 0 1 ac   a c b abcab bc

Cộng các bất đẳng thức này ta được: a b c   3abc 2(ab bc ca  ) Vậy bài toán được chứng minh