Mặt cắt nguy hiểm của dầm là tại tiết diện B vì ở đó có mô men Mx và My đều lớn.. Tính ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất trên tiết diện nguy hiểm của cột.. Từ biểu đồ nội lực ta thấy
Trang 1Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4 1
Bài tập chương 7: Thanh chịu lực phức tạp
Bài 1 : Dầm có tiết diện tròn rỗng chịu tải trọng như trên hình vẽ
1 Vẽ biểu đồ mômen uốn Mx và My
2 Xác định đường kính D theo điều kiện bền của dầm
Biết [σ ] = 16kN/cm2; D/d = 1,2; a = 1m; ; F =10kN
d D x
y
F 2F
a
F 2F
F
Giải
-Biểu đồ mô men trong mặt phẳng yOz và xOz: Mx, My
y x
1(m) 1(m)
1(m) f
2f
z
f
Mx
<kNm>
z
4Fa/3
y
o
o
x
z
<kNm>
My
o
y
z
x
Mx My
<kNm>
+
a
4Fa/3
2 Xác định đường kính D theo điều kiện bền của dầm
Trang 2Mặt cắt nguy hiểm của dầm là tại tiết diện B vì ở đó có mô men Mx và My
đều lớn Tại B: 4 ( )
3
=
x
M Fa KNm ; M y =Fa KNm( )
Do mặt cắt ngang dầm là mặt cắt ngang tròn nên điều kiện bền cuả dầm là:
[ ]
σ
+
≤
x
Trong đó mô men chống uốn Wx = 0,1D3[1-(d/D)4]
Nh− vậy:
[ ]
[ ]
2
3 3
3
4.10.10 4
10.10 3
3
12, 6( ) 1
1, 2
+
Fa
Fa
=> Chọn D = 12,6cm Bài 2: Một cột có tiết diện nh− cho
trên hình vẽ
1 Xác định hệ trục quán tính
chính trung tâm của tiết
diện
2 Xác định lõi của tiết diện
Biết a = 15 cm ; b =2a
a b
b
Giải:
1 Chọn hệ trục ban đầu x0y0 nh− hình vẽ Chia tiết diện thành hai hình chữ nhật 1 và 2
x 1
x 2
C
1
C2
K
E
a b
b
x o
y o
1
2
x
y
C
α
α
B
P
D
H
M N
Ta có: x =C 0 (y0 là trục đối xứng)
1
0, 5 5 1, 5 2
C
y A y A a a a a
a a
a =
Trang 3Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4 3
Vậy hệ trục quán tính chính trung tâm của tiết diện là xCy cách trục xo một đoạn 2
3a
2 Xác định lõi của tiết diện
-Mô men quán tính chính trung tâm của tiết diện:
5
I =I +I = + a + + a = a
6
A= a
9
x
x
I
A
393, 75( ) 4
y y
I
A
- Xác định lõi tiết diện
+Khi đường trung hoà đi qua DK: 1 5 375
2
a = ư a= cm; b = ∞1
Do vậy
2 1 1
7 10,5( ) 10
y K
r
a
1
0
x K
r y
b
= ư = +Khi đường trung hoà đi qua DH:
2
3, 08 46,16( )
a
a = ư a+ cotgα= ưa + = ư a= ư cm
2
a a
b = +a + tgα=a + + = a= cm
Do vậy:
2 2 2
0,58 8,52( )
y K
r
a
2 2 2
0,14 2, 06( )
x K
r
b
+Khi đường trung hoà đi qua HE:
3
a = ∞; 3
4 20( ) 3
a
b = = cm =>
2 3 3
0
y K
r x
a
= ư = ;
2 3 3
1 2,5( ) 6
x K
r
b
+Khi đường trung hoà đi qua KP:
4
3
a
b = ư = ư cm =>
2 4 4
0
y K
r x
a
3
1 5( ) 3
x K
r
b
Do tính chất đối xứng của tiết diện nên ta nhận được lõi mặt cắt ngang như hình vẽ
a b
b
x o
y o
x
y
C K
K1 K2 K3 K4
Trang 4Bài 3: Cho một cột chịu lực nh− hình vẽ
1 Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực
Nz, Mx, My
2 Tính ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ
nhất trên tiết diện nguy hiểm của
cột
Biết h =15cm; b = 25cm; F = 15 kN;
H=3m; Bỏ qua trọng l−ợng bản thân cột
b
y
h
x
Bài giải:
α
2F
2Fcosα
2Fsinα
x
z
y
2Fcosα
F
z N F F
2FHcosα
x M
z F
2Fsinα x
2FHsinα+Fh/2
Fh/2
Fh/2 y M
2.Tính ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất trên tiết diện nguy hiểm của cột
Từ biểu đồ nội lực ta thấy tiết diện nguy hiểm nhất tiết diện chân cột
Tại tiết diện chân cột ta có:
25
25 15 α
+
x
15
25 15 α
+
y
15( )
= − = −
z
Trang 5Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4 5
Ta có:Wy= b.h2 25.152 3
937, 5( )
1562, 5( )
max
min
σ = N z ± M x ± M y
A Wx Wy
max min
15 77,18.100 47.47.100 15.25 1562, 5 937, 5 σ
max 9, 96( / )
min 10, 04( / )
σ = ư kN cm
Bài 4: Cột có tiết diện tròn đường kính d chịu nén bởi một lực F song song trục z
của cột và lệch tâm một đoạn e như trên hình vẽ
1 Xác định ứng suất pháp lớn
nhất và nhỏ nhất trên tiết diện
chân cột khi e=2,5cm
2 Tìm emax để trên tiết diện chân
cột không phát sinh ứng suất
kéo
Biết H = 2,5 m; d =20 cm; F = 25 kN;
trọng lượng riêng vật liệu cột
γ=18kN/m3
o
z
e F
Giải:
1 Chọn hệ trục Ouv như hình vẽ, tại tiết diện chân cột có:
2
0, 2
4 25.2,5 62,5( )
z
u
Ta có:
Trong đó:
2
3,14.20
314( )
0,1 0,1.20 800( )
u
d
π
o
z
e F
u v
m ax
m in
26, 41 62, 5
5, 875.10 ( / )
26, 41 62, 5
162,13.10 ( / )
kN cm
kN cm
σ
σ
ư
ư
ư
ư
2 Để trên tiết diện cột không phát sinh ứng suất kéo thì: σmax ≤ 0
Như vậy:
u
u z
u
u z
W
M A
N
W
M A
N
ư
=
+
=
min
max
σ
σ
Trang 6) ( 69 2
0 800 314
41 , 26
max
cm e
Fe W
M A
N
u
u z
≤
⇒
≤ +
ư
= +
=
σ
Vậy emax=2,69(cm)
Bài 5: Cho một cột chịu lực như hình vẽ
Tính ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất trên tiết
diện nguy hiểm của cột trong trường hợp:
1 Có kể đến trọng lượng bản thân cột
2 Không kể đên trọng lượng bản thân cột
Biết b=20 cm; h = 30 cm; F2 = 15kN; H = 2,5m;
Vật liệu cột có trọng lượng riêng γ = 18 kN/m3
y
x
3F F
b h
Bài giải
1 Trường hợp không kể đến trọng lượng bản thân cột
Biểu đồ nội lực trong cột:
3FHsinα
My
<kNm>
x y
z
3FHcosα
<kNm>
Mx
z
x y
F
N
<kN>
x z
y
3Fsinα
3F
α
3Fcosα F
Mặt cắt nguy hiểm tại chân cột có:
15( )
z
N = ư = ưF kN
15
10 15
x
+
10
10 15
y
+
Ta có: max z x y
M M N
Trang 7Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4 7
min z x y
M M N
Trong đó:
2
3
3
20.30 600( )
2000( )
3000( )
x
y
h b
b h
Vậy:
2 Trường hợp có kể đến trọng lượng bản thân cột
Biểu đồ nội lực trong cột:
F 3Fcosα α
3F 3Fsinα
y
z
x
-<kN>
N
F+γah y
x z
Mx
<kNm>
3FHcosα
z
y
x
<kNm>
My 3FHsinα
F
γA
Mặt cắt nguy hiểm tại chân cột có:
( ) (15 18.0, 2.0,3.2,5) 17, 7( )
15
10 15 10
10 15
z
x
y
γ
α
α
+
+
Vậy:
Bài 6: Cột có tiết diện chữ nhật kích thước bxh chịu lực như trên hình vẽ
1 Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực Nz, Mx, My
2 Vẽ biểu đồ ứng suất pháp tại tiết diện chân cột
Biết F = 5 kN; q = 1,5 kN/m; b = 15cm;h = 20 cm; H = 2,5 m;
Bỏ qua trọng lượng bản thân của cột
2 max
2 min
15 9360,57 6240,38
6, 74( / )
15 9360,57 6240,38
6, 78( / )
kN cm
kN cm
σ σ
ư
ư
) / ( 79 , 6 3000
38 , 6240 2000
57 , 9360 600
7 , 17
) / ( 73 , 6 3000
38 , 6240 2000
57 , 9360 600
7 , 17
2 min
2 max
cm kN
cm kN
ư
=
ư
ư
ư
=
= +
+
ư
=
σ σ
Trang 8b
2F
F
q
Bài giải
1 Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực Nz, Mx, My
2F F
y
z
x
-<kN>
N
F
y
x z
Mx
<kNm>
Fh
z
y
x
<kNm>
My
q Fh
FH-qH /2
f=qH /82
2
2 Vẽ biểu đồ ứng suất pháp tại tiết diện chân cột
Tại tiết diện chân cột có:
2
1,5.2, 5
z
x
y
h
qH
= ư = ư
2
15.20 300( )
15.20
10 ( )
x
bh
4
20.15
5625( )
y
hb
Phương trình đường trung hoà:
0 y
M
Trang 9Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4 9
0
300 10000y 5625 x
13,89 3,33
y y x
x z
y y x
x z
W
M W
M A
N
W
M W
M A
N
−
−
=
+ +
=
min
max
σ
σ
3
3
15.20
1000( )
750( )
x
y
b h
h b
x
y b
-+
-+
-ĐTH
σ min
σ max
-Suy ra:
2
m ax
2
m in
kN cm
kN cm
σ
σ
−
−
Bài 7: Cho một cột chịu lực nh− hình vẽ
1 Tính ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất
trên mặt cắt ngang nguy hiểm của cột
2 Vẽ biểu đồ ứng suất pháp tại mặt cắt
ngang nguy hiểm của cột
Biết b= 15 cm; h = 20 cm; F = 10kN; H = 3 m;
Vật liệu cột có trọng l−ợng riêng γ = 20 kN/m3 H
h
b
F
1,5F
Bài giải
1 Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực:
Từ các biểu đồ ứng lực suy ra mặt cắt nguy hiểm tại chân cột có:
( ) (10 20.0,15.0, 20.3) 11, 8( ) 10.20
1,5 1, 5.10.300 4500( )
z
x
y
Fh
γ
Các ứng suất pháp cực trị:
max
y x z
M M N
M M N
Trang 10o o
o
1,5FH Fh/2
My
<kNm>
x y
z
Fh/2
<kNm>
Mx
z
x
y N
<kN>
x z
y
F
AH
F+ γ
γA
Trong đó:
2
3
3
15.20 300( )
15.20
1000( )
20.15
750( )
x
y
b h
h b
Suy ra:
) / ( 05 6 750
4500 1000
100 300
8 11
) / ( 97 5 750
4500 1000
100 300
8 11
2 min
2 max
cm kN
cm kN
ư
=
ư
ư
ư
=
= +
+
ư
=
σ
σ
2 Vẽ biểu đồ ứng suất pháp tại mặt cắt ngang nguy hiểm:
2
15.20 300( )
15.20
10 ( )
x
bh
4
20.15
5625( )
y
hb
Phương trình đường trung hoà:
0 y
M
0
300 10000y 5625x
ư
80 3.93
y= ư x+
x
σmax
σmin
y
Trang 11Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4 11
Bài 8: Cho một cột chịu nén lệch tâm như hình vẽ
1 Xác định vị trí đường trung hoà ở mặt cắt ngang nguy hiểm
2 Kiểm tra điều kiện bền cho cột
Biết b= 22 cm; h = 10 cm; Độ lệch tâm e = 15 cm;
F = 5kN; Vật liệu cột có [ σ ]k = 2 kN/cm2; [ σ ]n = 8
kN/cm2 Bỏ qua trọng lượng riêng cột
F
e
K
b
K
Bài giải
1.Mặt cắt nguy hiểm tại chân cột có:
5( ) 0
z
x
y
M
= ư = ư
=
Phương trình đường trung hoà:
0 y
z
y
M N
x
Trong đó:
2
4
10.22
y
hb
0
220 8873, 3
2, 69( )
x
x
y -2.69
ĐTH
22cm
+
-+
Trang 12
-2.Kiểm tra điều kiện bền cho cột
Ta có:
y
y z
y
y z
W
M A N
W
M A N
−
=
+
=
min
max
σ σ
3 10.22
806, 67( )
y
hb
2
m ax
2
m in
0, 67( / )
220 806, 67
0,12( / )
220 806, 67
kN cm
kN cm
σ
σ
−
−
Ta có:
[ ] [ ]
2
m ax
2
m in
k
n
kN cm
kN cm
= < =
Vậy cột đảm bảo điều kiện bền
Bài 9: Cột tiết diện chữ nhật rỗng có bề dày δ là hằng số, chịu lực nh− trên hình vẽ
1 Vẽ các biểu đồ lực dọc và mômen uốn nội lực của cột
2 Xác định ứng suất pháp cực trị trên tiết diện chân cột
Biết F1 = 15kN; F2 = 10kN; q =5 kN/m; h = 20 cm; b =10 cm; H = 2,5m; δ = 1,5 cm (Bỏ qua trọng l−ợng bản thân của cột)
q
y
x F1
h
F2
b
Bài giải:
1 Vẽ các biểu đồ lực dọc và mômen uốn nội lực của cột:
Trang 13Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4 13
o o
2 f=qH /8
F 1 h/ 2 +qH / 2
F 1 h/ 2
q
My <kNm>
x
y
z
F 2 H
<kNm>
Mx
z
x
y
F 1
N
<kN>
x z
y
F 1
F 2
F 1 h/ 2
2 Tại tiết diện chân cột:
1 2
1
15( )
15.0.2 5.2, 5
17,125( ) 1712, 5( )
z
x
y
F h qH
= ư = ư
Ta có:
m ax
m in
y x
z
y x
z
M M
N
M M
N
σ
σ
Trong đó:
1 2
4
1 2
3
2 2 ( ).2 4 (10 20).2.1,5 4.1,5 99( ) ( 2 )( 2 )
20.10 (20 2.1,5)(10 2.1,5)
1180, 75( )
( 2 )( 2 )
10.20 (10 2.1,5)(20 2.1,5
12
x
y
I I I
I I I
I
3
4 )
3800, 75( )
Phương trình đường trung hoà:
0
y
M
0
99 1180, 75y 3800, 75x
ư
0, 213 0, 072
Trang 14h
-
+-
+
+
+
y
x
ĐTH
σ min
-Suy ra:
2
m ax
2
m in
15 2500 1712.5
90 1180, 75 3800, 75
15 2500 1712.5
90 1180, 75 3800, 75
kN cm
kN cm
σ
σ
ư
ư
Bài 10: Cho cột có kích thước và chiu tải trọng như hình vẽ Tại mặt cắt ngang chân cột hsy xác định:
1 Các thành phần ứng lực
2 Các ứng suất pháp cực trị
Biết trọng lượng riêng của cột là: γ = 20 kN/m3;
F = 50 kN; a= 0,15m; H = 1m
F
x
y
Bài giải:
1 Tại mặt cắt chân cột:
15
z
y
a
γ
x
y
F+γa H
6γa H
2
2
Trang 15Bùi Thanh Bình - 48TH2; Đỗ Đức Minh 45CD4 15
2 ứng suất pháp cực trị
y
y z
y
y z
W
M A N
W
M A N
−
=
+
=
min
max
σ
σ
Trong đó:
3
2 2.15 450( )
.(2 ) 4 4.15
2250( )
y
Suy ra:
) / ( 286 , 0 2250
375 , 378 450
15 , 53
) / ( 050 , 0 2250
375 , 378 450
15 , 53
2 min
2 max
cm kN
cm kN
−
=
−
−
=
= +
−
=
σ
σ