Chinh phục toán 9 tập 1

PHẠM NGUYÊN (Giáo viên chuyên luyện thi Toán Vinastudy.vn) CHINH PHỤC TOÁN BẰNG SƠ ĐỒ TƯ DUY ĐẠI SỐ TẬP SOẠN THEO CẤU TRÚC CỦA BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  Luyện thi vào lớp 10, chuyên  Dành cho học sinh lớp  Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên Phạm Nguyên – ĐT: 0935555826 LỜI NÓI ĐẦU Nhằm giúp cho em học sinh chuẩn bị tốt cho kì thi vào 10 tuyển sinh vào trường THPT chất lượng Chúng biên soạn : “ CHINH PHỤC TOÁN BẰNG SƠ ĐỒ TƯ DUY” Nội dung sách trình bày theo dạng toán, Ví dụ minh họa minh họa BÀI TẬP TỰ LUYỆN áp dụng Mỗi gồm phần: A Tóm tắt kiến thức cần học B Phương pháp giải dạng toán: a Phần trình bày theo vấn đề: - Mỗi vấn đề khái quát sơ đồ tư duy, hướng giải nhanh minh họa - Mỗi dạng toán có phương pháp giải, Ví dụ BÀI TẬP TỰ LUYỆN tự luyện có hướng dẫn giải hay đáp số nhằm giúp người đọc tự triểm tra lại kết - Đề kiểm tra cuối chương b Các BÀI TẬP TỰ LUYỆN chọn lọc tổng hợp từ Sách giáo khoa, đề thi vào 10 tỉnh nước, đề thi học sinh giỏi,… Chúng hy vọng sách tài liệu tham khảo hữu ích giúp người đọc dễ dàng tiếp cận, nắm vững trau dồi kiến thức môn Toán Dù cố gắng trình biên soạn, song khó tránh khỏi thiếu sót đình Chúng xin đón nhận ý kiến phản hồi chân thành cảm ơn góp ý quý độc giả để lần tái sau sách hoàn thiện Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Phạm Nguyên – ĐT: 0935555826 SƠ ĐỒ – NỘI DUNG TRỌNG TÂM CHƯƠNG Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Phạm Nguyên – ĐT: 0935555826 Chương – CĂN THỨC I CĂN BẬC HAI – CĂN THỨC BẬC HAI Kiến thức trọng tâm a Căn bậc hai số học  Căn bậc hai số không âm a số x cho x  a  Số dương a có hai bậc hai hai số đối nhau: Số dương kí hiệu a , số âm kí hiệu  a  Số có bậc hai số 0, ta viết  Với số dương a, số  a gọi bậc hai số học a Số gọi bậc hai số học  Với hai số không âm a, b, ta có: a < b  a b b Căn thức bậc hai A thức bậc hai  Với A biểu thức đại số, ta gọi A  A xác định (hay có nghĩa) A  A A2  A    A neáu A  neáu A  Các dạng toán a Dạng Tìm điều kiện để biểu thức chứa có nghĩa Ví dụ minh họa Tìm điều kiện biểu thức sau: a) 7x 2x  b) c) 3 x  Hướng dẫn giải: a) Biểu thức 7x xác định khi: 7x   x  Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Phạm Nguyên – ĐT: 0935555826 Vậy x  biểu thức 7x xác định b) Biểu thức x  xác định khi: x    x  6  x  3 Vậy x  3 biểu thức c) Biểu thức 2x  xác định xác định khi: 3 x  2   3x    x   x  3x  Vậy x  biểu thức xác định 3 x  Ví dụ minh họa Tìm điều kiện biểu thức sau: A  x  x  Hướng dẫn giải: Biểu thức A  x  x    x  1 x  5 xác định khi:  x   x    x5  x   x      x  1 x  5     x   x     x 1   x   x  (Dạng A B ) Vậy x  x  biểu thức A xác định Ví dụ minh họa Tìm điều kiện xác định biểu thức: P= a4 a 4 a 2  4a 2 a Hướng dẫn giải: a  a  a    a  2  a   a  Biểu thức P xác định   Vậy a  a  biểu thức P xác định Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Phạm Nguyên – ĐT: 0935555826 Chú ý: Trong vừa có thức, vừa có mẫu thức nên cần tìm điều kiện để biểu thức không âm, đồng thời tìm điều kiện để mẫu biểu thức khác Riêng biểu thức a  dương nên không cần tìm điều kiện Để đơn giản hoá việc nhận dạng tìm điều kiện, em tham khảo sơ đồ bên SƠ ĐỒ 2: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA BIỂU THỨC CHỨA CĂN Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Phạm Nguyên – ĐT: 0935555826 SƠ ĐỒ 3: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA BIỂU THỨC CHỨA CĂN Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Phạm Nguyên – ĐT: 0935555826 Bài 17: Cho đường thẳng (d1) : y  4mx –  m  5 với (m  0) (d2) : y   3m  1 x   m – 9 4m  3m  m    m 1 a) Đường thẳng (d1) // (d2)   m   m  m  b) Đường thẳng (d1) cắt (d2)  4m  3m 1  m  Khi m = 2, ta có: (d1) : y  x – (d2) : y  x  Phương trình hoành độ giao điểm (d1) (d2) : 8x –  x –  x  , suy y  7 Vậy toạ độ giao điểm là:  0; 7  c) (d1) : y  4mx –  m  5 Gọi A(x0; y0) điểm cố định họ đường thẳng (d1) Ta có: y0  4mx0 –  m  5  4mx0  m   y0   m  4x0 1   y0  Vì đa thức với m nên hệ số phải đồng thời không:  4 x0    x0    5  y0    y0  5 1  KL: Vậy họ đường thẳng (d1) có phương trình qua điểm A  ; 5  4  cố định (d2) : y   3m  1 x   m – 9 Gọi B(x0; y0) điểm cố định họ đường thẳng (d1) Ta có: y0   3m  1 x0   m – 9  3mx0  x0  m   y0   m  3x0  1  x0  y0   Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen 189 Phạm Nguyên – ĐT: 0935555826 Vì đa thức với m nên hệ số phải đồng thời không:  x0    3x0      x  y   0   y   28   KL: Vậy họ đường thẳng (d2) có phương trình qua điểm B  28    ;   cố định   190 Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Phạm Nguyên – ĐT: 0935555826 IV ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG ĐỀ KIỂM TRA TIẾT Đề I Môn: Đại số – Chương Thời gian: 45’ (Không kể phát đề) Câu (3đ): Cho hàm số y  x  có đồ thị đường thẳng (d) a) Tìm tọa độ điểm A thuộc (d) biết A có hoành độ b) Tìm tọa độ điểm B thuộc (d) biết B có tung độ – c) Điểm C (4 ; 9) có thuộc (d) không? Câu (3đ): Cho hàm số y   2m  5 x  a) Tìm điều kiện m để hàm số hàm số bậc b) Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến? Nghịch biến? c) Tìm điều kiện m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y  3x  Câu (3đ): Cho hàm số bậc y  ax  a) Xác định hệ số góc a, biết đồ thị hàm số qua điểm M (1 ; 3) b) Vẽ đồ thị hàm số c) Tính góc tạo đồ thị hàm số trục Ox   Câu 4: (1đ) Cho hàm số bậc y  f  x    x  Không tính so sánh f 1 f Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen  5 191 Phạm Nguyên – ĐT: 0935555826 HƯỚNG DẪN CHẤM– Đề Câu Điểm Nội dung a) Thay xA  vào phương trình y  x  , tìm y A  Câu b) Thay yB  7 vào phương trình y  x  , tìm xB  4 (3đ) 0,5 c) Ta có: xC   2.4    yC 0,5 Kết luận: Điểm C thuộc (d) a) Hàm số y   2m  5 x  hàm số bậc 2m   suy m  Câu (3đ) 0,5 Hàm số y   2m  5 x  nghịch biến 2m  suy m  b) Hàm số y   2m  5 x  đồng biến 2m  suy m  0,5 c) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y  3x  0,5 2m  Suy m  0,5 a) Thay tọa độ M tìm a  B Câu Vẽ đồ thị hàm số c) Tính tan   Suy   45 OB 1 OA 0,5 b) Lập bảng giá trị (3đ) y 0,5 0,5 A -4 -3 -2 α -1 x -1 0,5 -2 -3 -4 Câu Chỉ a    nên hàm số cho nghịch biến (1đ) Ta có   f 1  f  5 0,5 0,5 Mọi cách giải khác cho điểm tối đa phần tương ứng 192 Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Phạm Nguyên – ĐT: 0935555826 ĐỀ KIỂM TRA TIẾT Đề II Môn: Đại số – Chương Thời gian: 45’ (Không kể phát đề) Câu (3đ): Cho hàm số y  2 x  có đồ thị đường thẳng (d) a) Tìm tọa độ điểm A thuộc (d) biết A có hoành độ – b) Tìm tọa độ điểm B thuộc (d) biết B có tung độ c) Điểm C (– ; 5) có thuộc (d) không? Câu (3đ): Cho hàm số y   3m  2 x  a) Tìm điều kiện m để hàm số hàm số bậc b) Tìm điều kiện m để hàm số đồng biến? Nghịch biến? c) Tìm điều kiện m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y  x  Câu (3đ): Cho hàm số bậc y  ax  a) Xác định hệ số góc a, biết đồ thị hàm số qua điểm N (–1 ; 2) b) Vẽ đồ thị hàm số c) Tính góc tạo đồ thị hàm số trục Ox   Câu 4: (1đ) Cho hàm số bậc y  f  x    x  Không tính so sánh f  3 f Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen  7 193 Phạm Nguyên – ĐT: 0935555826 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐẠI SỐ – Đề Câu Điểm Nội dung a) Thay xA  3 vào phương trình y  2 x  , tìm yA  Câu b) Thay yB  vào phương trình y  2 x  , tìm (3đ) xB  1 0,5 c) Ta có: 2 xC   2  1    yC Kết luận: Điểm C không thuộc (d) 0,5 a) Hàm số y   3m  2 x  hàm số bậc 3m  suy m  b) Hàm số y   3m  2 x  đồng biến 3m  suy Câu (3đ) m 0,5 Hàm số y   3m  2 x  nghịch biến 3m  suy m 0,5 c) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y  x  0,5 3m   0,5 Suy m  a) Thay tọa độ M tìm a 1 B (3đ) hàm số 0,5 0,5 trị Vẽ đồ thị b) Lập bảng giá Câu -4 A α -3 -2 -1 -1 194 x 0,5 -2 -3 c) Tính y 0,5 -4 Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Phạm Nguyên – ĐT: 0935555826 tan   OB 1 OA Suy   450 Chỉ a    nên hàm số cho đồng biến Câu Ta có   f  f   (1đ)  7 0,5 0,5 Mọi cách giải khác cho điểm tối đa phần tương ứng Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen 195 Phạm Nguyên – ĐT: 0935555826 VIII MỘT SỐ BÀI TOÁN HÀM SỐ BẬC NHẤT TRÍCH TỪ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI, THI CHUYÊN TOÁN Trong đề thi học sinh giỏi, thi vào 10 chuyên Dạng tập đồ thị hàm số bậc ra, khả đánh đố phân loại mức độ học sinh giỏi, chuyên không cao Do đề thi, đồng thời hạn chế số câu hỏi, chủ đề nhỏ mà học sinh phổ thông học lớp như: toạ độ điểm cố định họ đồ thị hàm số với tham số m… Câu 1: Cho đường thẳng (d) có phương trình: x(m  2)  (m  3) y  m  a) Xác định m để đường thẳng (d) qua điểm P(-1;1) b) Chứng minh m thay đổi đường thẳng (d) luôn qua điểm cố định Hướng dẫn giải: a) Vì đường thẳng (d) qua P(-1;1) nên (m  2).(1)  (m  3).1  m   5  m   m  b) Gọi  x0 ; y0  tọa độ điểm cố định mà (d) qua Ta có: (m  2) x0  (m  3) y0  m  m  ( x0  y0  1)m   x0  y0    m  x0  y0    x0  1   2 x0  y0    y0  Vậy điểm cố định mà (d) qua (-1;2) Câu 2: Chứng minh m thay đổi, đường thẳng  m  1 x  y  m   qua điểm cố định Tìm điểm cố định Hướng dẫn giải: Giả sử điểm cố định mà đường thẳng qua có toạ độ (x0; y0) Khi phương trình ẩn m: mx0+x0 - y0 - m - = có vô số nghiệm 196 Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Phạm Nguyên – ĐT: 0935555826 Hay  x0    x0     x0  y0    y0  2 Điểm cố định có toạ độ (1; -2) Câu Cho phương trình đường thẳng 3x + 7y = 167 Tìm toạ độ điểm thuộc đường thẳng cho toạ độ điểm số nguyên dương Hướng dẫn giải: Kết hợp với điều kiện ta có  x  giá trị cần tìm Ta có phương trình : 3x + 7y = 167 3x + 7y = 167  x = đặt Nên 167  y y 1 = 56  y  3 y 1 = t  y = 3t – x = 58 – 7t (t  Z) Vì x; y nguyên dương nên 3t – >  t > Vì 58 58 – 7t >  t < t  Z n ên t  1;2;3;4;5;6;7;8 Các nghiệm nguyên dương phương trình : (51; 2), (44; 5), (37; 8), (30; 11), (23; 14), (16; 17), (9; 20), (2; 23) Câu 4: Cho đường thẳng (d) y  2 x  a) Xác định toạ độ giao điểm A, B đường thẳng d với trục Ox, Oy Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng d b) Tính khoảng cách từ điểm C  0; 2  đến đường thẳng d Hướng dẫn giải Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen 197 Phạm Nguyên – ĐT: 0935555826 a) A giao điểm đường thẳng d với trục Ox nên ta có : y A   x A  3  Vậy toạ độ điểm A  ;  2  B giao điểm đường thẳng d với trục Oy nên ta có : xB   yB  Vậy toạ độ điểm B  0;3 Tam giác AOB vuông O, có OA = 3; OB = Gọi H hình chiếu O đường thẳng AB Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông AOB, ta có: 1 1      , suy OH  2 OH OA OB 9 b) Ta có : AC = AO + OC =    AOH ACK  g  g  , ta có : OH OA  , CK AC OH AC suy : CK    OA Câu Cho đường thẳng (d) y  ax  3a  (1) a) Xác định a để đường thẳng (d) tạo với tia Ox goác 450 Vẽ đường thẳng trường hợp b) Xác định a để đường thẳng (d) qua điểm A  1; 3 198 Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Phạm Nguyên – ĐT: 0935555826 c) Chứng minh với a, họ đường thẳng (d) qua điểm cố định mặt phẳng toạ độ Hướng dẫn giải a) Đường thẳng d tạo với Ox góc 450 nên hệ số góc a = tg450 = 1, ta có:  d  y  x  b) Đường thẳng d qua điểm A  1; 3 , ta có: a  1  3a   3  2a  5  a  c) Cách 1: Gọi M  x0 ; y0  điểm mà họ đường thẳng (1) qua với a, toạ độ  x0 ; y0  điểm M phải thỏa mãn (1) với a, nghĩa với số thực a, ta có: y0  ax0  3a    x0  3 a   y0  (2) Phương trình (2) nghiệm với giá trị ẩn a, phải có hệ số  x0    x0  3  2  y0   y0  Ta có :  Vậy họ đường thẳng (1) luôn qua điểm cố định M  3;2 với a Cách 2: Gọi M  x0 ; y0  điểm mà họ đường thẳng (1) qua với a, toạ độ  x0 ; y0  điểm M phải thỏa mãn (1) với a, ta có : Khi a = 1, y0  x0  Khi a = – 1, y0   x0  mà toạ độ điểm M không đổi, nên : x0    x0   x0  6  x0  3  y0  Vậy họ đường thẳng (1) luôn qua điểm cố định M  3;2 với a Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen 199 Phạm Nguyên – ĐT: 0935555826 Câu 6: Vẽ đồ thị hàm số sau: a) y  x   x b) y  x 1  x 1 Hướng dẫn giải a) y  x   x (1) 2 x  x   y  1  x  (2) 2 x x  (3)  Đồ thị hàm số vẽ hình a b) y  x 1  x 1 Hình a 2 x  y  2 2 x  x  1 (1)   x  (2) x  (3) Đồ thị hàm số vẽ hình b Câu 7: Cho hai đường thẳng : y   m  1 x  y  3m  m  1 x  (d1 ) (d ) a) Chứng minh m  Hình b hai đường thẳng  d1   d2  song song với b) Tìm tất giá trị m để hai đường thẳng  d1   d2  song song với 200 Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Phạm Nguyên – ĐT: 0935555826 Hướng dẫn giải: a) Khi m  ta có: 1  y    1 x   x  3 3  (d1 ) 11  y    1 x   x  33  (d ) Hai đường thẳng  d1   d2  có hệ số góc a  nên chúng song song với b) Hai đường thẳng  d1   d2  song song với :  m  1 m   3m  m  1   m  1 3m  1    m   KL: Vậy với m  1 m   d1   d2  song song với Câu Tìm giá trị k để ba đường thẳng sau đồng quy điểm mặt phẳng toạ độ : y  x  (d1 ) ; y  x  (d2 ) y  kx  (d3 ) Hướng dẫn giải Gọi M  x0 ; y0  giao điểm hai đường thẳng y  x  (d1 ) y  x  (d2 ) M thuộc (d1 ) , suy ra: y0  x0  M thuộc (d ) , suy ra: y0  x0  Do đó, ta có: x0   x0   x0  12  y0  17 Vậy toạ độ giao điểm M (d1 ) (d ) 12;17  Để ba đường thẳng đồng quy điểm M, đường thẳng y  kx  (d3 ) phải qua điểm M  y0  kx0   17  k.12   k  Vậy với k = ba đường thẳng đồng quy Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen 201 Phạm Nguyên – ĐT: 0935555826 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương – CĂN THỨC I CĂN BẬC HAI – CĂN THỨC BẬC HAI Kiến thức trọng tâm Các dạng toán a Dạng Tìm điều kiện để biểu thức chứa có nghĩa b Dạng Tính giá trị biểu thức 10 c Dạng Rút gọn biểu thức 19 d Dạng Giải phương trình 25 II LIÊN HỆ GIỮA PHÉP KHAI PHƯƠNG VÀ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA 35 Kiến thức trọng tâm 35 Các dạng toán 35 a Dạng Thực phép tính 35 b Dạng Rút gọn biểu thức tính giá trị biểu thức 42 c Dạng Giải phương trình 49 III BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI 51 Kiến thức trọng tâm 51 Các dạng toán 53 IV RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI 70 Kiến thức trọng tâm 70 a Dạng Rút gọn biểu thức 73 b Dạng Rút gọn biểu thức – Tính giá trị biểu thức cho giá trị ẩn 77 c Dạng Rút gọn biểu thức – Tìm x để biểu thức rút gọn đạt giá trị nguyên 82 d Dạng Rút gọn biểu thức – Tìm x để biểu thức thỏa lớn (nhỏ hơn) số cho trước 87 e Dạng Rút gọn biểu thức – Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) 91 V CĂN BẬC BA 97 Kiến thức trọng tâm 97 Các dạng toán 97 VI ÔN TẬP CHƯƠNG 101 VII ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 112 Chương 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT 136 I KHÁI NIỆM HÀM SỐ 136 Kiến thức trọng tâm 136 Các dạng toán 138 a Dạng Tìm điều kiện xác định hàm số 138 202 Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Phạm Nguyên – ĐT: 0935555826 b Dạng Tính giá trị hàm số cho giá trị ẩn 140 c Dạng Xác định điểm thuộc (không thuộc) đồ thị hàm số 144 d Dạng Sự đồng biến, nghịch biến hàm số 146 II HÀM SỐ BẬC NHẤT 149 Kiến thức trọng tâm 149 Các dạng toán 152 a Dạng Hàm số bậc – Sự đồng biến nghịch biến hàm số bậc 152 b Dạng Đồ thị hàm số y  ax hệ số góc đường thẳng y  ax 156 c Dạng Đồ thị hàm số y  ax  b  a  0 162 d Dạng Hệ số góc đường thẳng – Đường thẳng song song đường thẳng cắt 168 e Dạng Một số dạng toán liên quan đến phương trình đường thẳng 175 Xác định giá trị hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến Hai đường thẳng song song; cắt nhau; vuông góc, trùng 175 Viết phương trình đường thẳng (d) biết hệ số góc a, (d) qua điểm cho trước  x0 ; y0  178 Viết phương trình đường thẳng biết đường thẳng y = ax + b qua điểm  x1; y1   x2 ; y2  178 Viết phương trình đường thẳng biết đường thẳng y = ax + b qua điểm (x0; y0) song song với đường thẳng cho trước (d’): y = a’x + b’ 179 Viết phương trình đường thẳng biết đường thẳng y = ax + b qua điểm (x0; y0) vuông góc với đường thẳng cho trước (d’): y = a’x + b’ 180 Viết phương trình đường thẳng cho biết b (d) qua điểm (x0; y0) 180 Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định (các đường thẳng đồng quy): 181 III BÀI TẬP TỰ LUYỆN ÔN CHƯƠNG II 182 IV ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 191 Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen 203 ... x  11  b) x  13 x  13  Hướng dẫn giải:    a) x  11   x  11 x  11   x  11 x   11   Vậy tập nghiệm phương trình là: S   11 ; 11   2 b) x  13 x  13   x  13   x  13 ... a) A  49  25  0, 25 b) B    1 69  12 1  81 : 49 Hướng dẫn giải: a) A  49  25  0, 25    4.0,5  7 52  10 b) B    1 69  12 1  81 : 49  13  11   :   7  :  1 10 Facebook:... 32 1 42 42 1 3 1      1 1  1 1  Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen     1 ;  1 17 Phạm Ngun – ĐT: 093 5555826  42   42     Suy ra:   1   1