Sáng kiến KN năm nay !

Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt A. Đặt vấn đề I. Lời mở đầu: Toán học là một môn học có vai trò khá quan trọng trong trờng THPT. Qua toán học giúp cho ngời học nâng cao đợc khả năng t duy , khả năng suy luận và việc vận dụng các kiến thức đó vào các môn học khác. Qua đó giúp ngời học phát triển và hoàn thiện nhân cách của mình. Chính vì lẽ đó việc lĩnh hội và tiếp thu môn toán là cả một vấn đề mà không ngời giáo viên dạy toán nào không quan tâm. Đặc biệt trong các hoạt động dạy và học môn toán đòi hỏi ngời dạy cũng nh ngời học phải không ngừng tìm tòi sáng tạo, tích luỹ kinh nghiệm để đa ra những phơng pháp giảng dạy, những cách lĩnh hội phù hợp nhất. Để giúp ngời học nắm vững kiến thức môn học có tính hệ thống đây là vấn đề đợc đặt ra. Nhất là trong thực hành việc giải các bài toán mang tính vận dụng đòi hỏi ngời học phải nắm vững những hệ thống kiến thức cơ bản và khả năng vận dụng linh hoạt các công cụ toán học có tính hệ thống, các kĩ năng, kĩ sảo trong khi thực hiện. Trong chơng trình toán học phổ thông tam thức bậc hai đóng vai trò khá quan trọng, nên việc hiểu và nắm vững đợc là một việc làm vô cùng cần thiết, nó làm tiền đề về sau cho các em khi các em tiếp tục học lên những bậc cao hơn. Trong ch- ơng trình toán học lớp 9 chúng ta đã làm quen với phơng trình bậc hai và hàm số bậc hai. Song việc ứng dụng và vận dụng phơng trình bậc hai, hàm số bậc hai trong việc giải các loại toán khác nh thế nào cha đợc quan tâm nhiều. Chính vì lẽ đó trong quá trình giảng dạy cho các em đặc biệt là học sinh khá giỏi ,tôi nhận thấy đây là điều cần quan tâm. Để giúp các em hiểu sâu về tam thức bậc hai và việc vận dụng nó vào việc giải các loại toán khác; tôi mạnh dạn nêu lên vấn đề:" vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc THPT" Với đề tài này, tôi hi vọng sẽ giúp các em nắm vững hơn kiến thức cơ bản của môn học và có đủ tự tin khi thực hành giải toán. Từ đó phát huy đợc khả năng vận dụng kiến thức linh hoạt, khả năng sáng tạo cũng nh t duy độc lập đặc biệt giúp các em có một hành trang tốt chuẩn bị cho một cấp học cao hơn. Tuy vậy do khuôn khổ của đề tài cũng nh kinh nghiệm còn hạn chế chắc rằng còn gặp những thiếu xót không mong muốn, rất mong sự đóng góp xây dựng của quí đồng nghiệp. GV . Đặng Ngọc Liên 1 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt một số dạng toán vận dụng tam thức bậc hai (I):giải phơng trình : A:Kiến thức cơ bản: Để vận dụng tam thức bậc hai vào giải phơng trình ta đa phơng trình đó về dạng phơng trình bậc hai dạng :ax 2 + bx + c = 0 bằng cách đặt hoặc biến đổi. Khi đa ph- ơng trình đó về dạng phơng trình bậc hai một ẩn ta đã có công cụ giải ở lớp 9. Đó là công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phơng trình bậc hai . B :Một số dạng toán cơ bản : 1 : Phơng trình trùng phơng a :Kiến thức cơ bản : Phơng trình trùng phơng có dạng : a x 4 +bx 2 +c =0 (a 0 ) Để đa phơng trìng trên về dạng phơng trìng bậc hai ta đặt ẩn phụ :x 2 = t (t 0 ) Ta đợc phơng trìng bậc hai : at 2 +bt +c = 0 B.Ví dụ : Giải phơng trình : 2x 4 -3x 2 -2=0 Giải : Đặt x 2 =t Điều kiện t 0 ta đợc phơng trình bậc hai đối với ẩn t . 2t 2 - 3t - 2 = 0 =9 +16 = 25; =5 Phơng trình có hai nghiệm: t 1 = 2 1 4 53 = ; t 2 = 2 4 53 = + t 2 =2 thoả mãn điều kiện t 2 0 . với t=t 2 =2 ta có x 2 =2 x 1 = 2 ; x 2 =- 2 . Vậy phơng trình có ha inghiệm : x 1 = 2 ; x 2 =- 2 2: Phơng trìng đối xứng bậc chãn : a: kiến thức cơ bản : Ta xét phơng trình bậc bốn dạng : a x 4 + bx 3 +c x 2 +bx +a = 0 (a 0 ; các hệ số của ẩn cách đều số hạng chính giữa ) vì x= 0 không phải là nghiệm của phơng trình nên chia hai vế của phơng trình cho x 2 ta có : 2 4 x ax + 0 222 2 2 3 =+++ x a x bx x cx x bx a x 2 + bx +c - 0 2 =+ x a x b 0) 1 () 1 ( 2 2 =++++ c x xb x xa (1) Đặt x+ y x = 1 ta có : x 2 + .22) 1 ( 1 22 2 =+= y x x x Do đó phơng trình ( 1) có dạng phơng trình bậc hai : GV . Đặng Ngọc Liên 2 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt ay 2 + by +c -2a = 0 (2) Giải phơng trình bậc hai với ẩn số y ta tìm đợc y từ đó suy ra x . B: ví dụ : Giải phơng trình : 2x 4 + 3x 3 - x 2 +3x +2 = 0 Giải : Nhận thấy x= 0 không là nghiệm của phơng trình , với x 0 chia cả hai vế của ph- ơng trình cho x 2 ta đợc phơng trình tơng đơng : 2x 2 + 3x -1 + 0 23 2 =+ x x 05) 1 (3) 1 (2 05) 1 (3) 1 2(2 2 2 2 =+++ =++++ x x x x x x x x tới đây ta nhận thấy phơng trình trên có dạng bậc hai nếu đặt x + y x = 1 đa phơng trình về dạng : 2y 2 + 3y -5 = 0 giải phơng trình ta đợc : y 1 =1 ; y 2 = - 2 5 với x + 1 1 = x ta có : x 2 + 1 -x = 0 vô nghiệm với x + x x 2 2 51 = 2 + 5x + 2 = 0 giải phơng trình ta đợc hai nghiệm : x 1 = -2 ; x 2 = - 2 1 C : nhận xét : phơng trình đối xứng bậc chẵn nếu m là nghiệm thì m 1 cũng là nghiệm của phơng trình . Nếu phơng trình có dạng : a x 5 +bx 4 cx 3 +cx 2 +bx +a = 0 đợc gọi là phơng trình đối xứng bậc lẻ , phơng trình này bao giờ cũng nhận -1 làm nghiệm . Do đó có thể hạ bậc để đa phơng trình về phơng trình đối xứng bậc chẵn mà ta và trình bày cách giải ở trên . 3 : Phơng trình hồi quy : a: phơng trình có dạng : a x 4 + bx 3 +cx 2 +dx +k = 0 (a )0 vì x= 0 không phải là nghiệm nên ta chia cả hai vế cho x 2 ta đợc phơng trình tơng đơng : a(x 2 + ) 2 ax k + b(x + 0) =+ c bx d trong đó : 2 )( b d a k = đặt x + b d t xb d xt bx d 2 2 2 2 2 =+= hay x 2 + b d t ax k 2 2 2 = vậy phơng trình đã cho đợc đa vể dạng phơng trình bậc hai đối với ẩn t : GV . Đặng Ngọc Liên 3 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt at 2 + bt + c +2 0 = b ad B: ví dụ : Giải phơng trình : 2x 4 - 21x 3 + 74x 2 - 105x + 50 = 0 Giải : x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình nên chia cả hai vế cho x 2 ta đợc phơng trình tơng đơng : 2(x 2 + 074) 5 (21) 25 2 =++ x x x Đặt x + 2 2 2 255 t x xt x =+= - 10 khi đó phơng trình trên có dạng phơng trình bậc hai đối với ẩn t 2t 2 - 21t +54 = 0 Giải phơng trình bậc hai trên ta đợc hai nghiệm : t 1 = 6 và t 2 = 4,5 với t 1 = 6 ta có 6 5 =+ x x hay x 2 - 6x + 5 = 0 giải phơng trình trên ta đợc : x 1 = 1 ; x 2 =5 với t 2 = 4,5 ta có : x + 5,4 5 = x hay x 2 - 4,5x + 5 = 0 Giải phơng trình ta đợc x 3 = 2 ; x 4 =2,5 vậy phơng trình đã cho có các nghiệm là : x 1 = 1 ; x 2 = 5 ; x 3 = 2 ; x 4 =2,5 C : nhận xét : Phơng trình hồi quy trong đó 2 )( b d a k = ; k 0 có ẩn phụ dạng t =x + bx d 4 : Phơng trình dạng : (x + a) (x + b )(x + c)( x+ d) = m hoặc : ( x + a )(x +b)(x + c)(x +d) = mx 2 A: ví dụ1: Giải phơng trình : ( x + 1 )( x+ 2)(x +3)(x+4) =3 Giải : ( x+1)(x+2)(x +3)( x+4) = 3 ( x+1)(x+4)(x+2)(x+3) = 3 (x 2 + 5x +4 )(x 2 +5x+6) = 3 GV . Đặng Ngọc Liên 4 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt Đặt : x 2 +5x + 4 = t ta đợc phơng trình bậc hai với ẩn t : t(t + 2) = 3 t 2 +2t-3 = 0 Giải phơng trình bậc hai đối với ẩn t ta đợc : t 1 =1 ;t 2 = -3 với t 1 = 1 ta có : x 2 +5x+4 = 1 x 2 +5x +3 =0 Giải phơng trình ta đợc : x 1;2 = 2 135 t 2 = -3 ta có : x 2 +5x+4= -3 x 2 + 5x + 7 = 0 ; phơng trình này vô nghiệm (vì = 25 - 28 < 0 ) vậy phơng trình đã cho có nghiệm : x 1;2 = 2 135 B.Ví dụ 2 : giải phơng trình : 4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12) = 3x 2 (1) Giải : (1) 4(x 2 +17x + 60)(x 2 + 16x + 60) = 3x 2 4(x +17 + 2 60 x )(x + 16 + x 60 ) = 3 (vì x 0 ) Đặt x+16 + x 60 = y Ta đợc phơng trình bậc hai ẩn y : 4y 2 + 4y - 3 = 0 Phơng trình có hai nghiệm vì / = 4 + 12 = 16 Giải phơng trình ta đợc : y 1 = 2 1 ; y 2 = 2 3 với y 1 = 2 1 ta có : 2x 2 + 31x +120 = 0 giải phơng trình ta đợc x 1 = - 8 ;x 2 = - 2 15 với y 2 = - 2 3 ta có : 2x 2 + 35x + 120 = 0 giải phơng trình ta đợc : x 3;4 = 4 26535 vậy phơng trình đã cho có nghiệm : x 1 = - 8 ; x 2 = 2 15 ; x 3;4 = 4 26535 GV . Đặng Ngọc Liên 5 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt c: nhận xét : Đối với tphơng trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0 trong đó a + d = b +c ta nhóm [ ][ ] mcxbxdxax =++++ ))(())(( từ đó ta đặt ẩn phụ để đa phơng trình đã cho về dạng phơng trình bậc hai một ẩn . Đối với phơng trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx 2 trong đó :ad = bc ta nhóm [ ][ ] 2 ))(())(( mxcxbxdxax =++++ ẩn phụ có thể đặt là : y= x + x ad hoặc y = (x + a)(x + d). Đối với phơng trình dạng d(x + a)(x + b)(x + c) = mx trong đó d = 2 cba ++ m = (d - a)(d - b)(d - c) ta đặt ẩn phụ y = x + d một nghiệm của phơng trình là y y = 0 5: Phơng trình vô tỉ : a) cơ sở lí thuyết : Trong quá trình giải phơng trình vô tỉ đôi khi ta gặp những phơng trình nếu ta dùng phơng pháp bình phơng hai vế để phá căn thức bậc hai thì dẫn đến phơng trình bậc cao mà việc giải phơng trình đó không đơn giản . Song nếu khéo léo đặt ẩn phụ ta có thể qui phơng trình đó về phơng trình bậc hai sau đây ta sẽ xét một vài ví dụ: b) ví dụ : Ví dụ 1: Giải phơng trình : 2x 2 - 8x - 3 54 2 xx = 12 (2) Giải : (2) 543)54(2 22 xxxx - 2 = 0 Đặt 54 2 xx = t (t )0 ta quy phơng trình bậc hai với ẩn t : 2t 2 - 3t - 2 = 0 Giải phơng trình này ta đợc hai nghiệm t 1 = 2 ; t 2 = - 2 1 với t 2 = - 2 1 loại ( vì t )0 với t 1 = 2 ta giải phơng trình : 54 2 xx = 2 hai vế không âm phơng trình tơng đơng với x 2 - 4x - 5 = 4 x 2 - 4x - 9 = 0 giải phơng trình trên ta đợc hai nghiệm : x 1;2 = 2 13 ví dụ 2 : Giải phơng trình : (4x - 1) 1 2 + x = 2x 2 + 2x + 1 Giải : Nếu bình phơng hai vế để phá căn thức ta quy về phơng trình bậc bốn đầy đủ việc giải gặp khó khăn hơn , nếu đặt t = 1 2 + x ( t )1 x 2 = t 2 - 1 phơng trình trên trở thành (4x - 1)t = 2(t 2 - 1) + 2x + 1 GV . Đặng Ngọc Liên 6 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt ta quy về phơng trình bậc hai đối với ẩn t : 2t 2 -(4x - 1)t + 2x - 1 = 0 = (4x - 1) 2 - 8(2x - 1) = (4x - 3) 2 t 1;2 = 4 )34(14 xx t 1 = 2x - 1 ; t 2 = 2 1 < 0 (loại) với t = 2x - 1 thay t = 1 2 + x ta đợc phơng triình: 4x 2 - 4x + 1 = x 2 + 1 (t )1 3x 2 - 4x = 0 Giải phơng trình ta đợc x 1 = 3 4 ; x 2 = 0 (loại) vậy x = 3 4 là nghiệm của phơng trình đã cho. 6: Giải và biện luận phơng trình : a)Kiến thức cơ bản : Đối với phơng trình bậc cao với những tham số đây không phải là những phơng trình đặc biệt nên việc giải đôi khi rất khó khăn, nếu phơng trình đã cho có tham số là bậc hai ta có thể đa phơng trình về dạng phơng trình bậc hai đối với ẩn là tham số: b) Ví dụ : Giải và biện luận phơng trình : x 4 - 10x 3 - 2(a - 11)x 2 +(5a + 6)x + 2a + a 2 = 0 Giải : Phơng trình trên có thể viết dới dạng: a 2 - 2(x 2 - 5x - 1)a + (x 4 - 10x 3 + 22x 2 - 12x ) = 0 a / = (x 2 - 5x - 1) 2 - (x 4 - 10x 3 + 22x 2 - 12x ) = (x - 1) 2 a 1 = x 2 - 4x - 2 ; a 2 = x 2 - 6x - Với a = x 2 - 4x - 2 x 2 - 4x - 2 - a = 0 ta có : = 4+ 2+ a = 6 + a *Nếu / 0 a 6 phơng trình có hai nghiệm x 1;2 = 2 a + 6 * Nếu / < 0 a <-6 phơng trình vô nghiệm -với a= x 2 + 6x x 2 - 6x - a = 0, ta có / = 9 + a *Nếu / 0 a 9 phơng trình có hai nghiệm x 3;4 = 3 a + 9 *Nếu / < 0 a < -9 phơng trình vô nghiệm Tóm lại: * Nếu a < -9 phơng trình vô nghiệm. * Nếu-9 a < -6 phơng trình có hai nghiệm x 3;4 = 3 a + 9 * Nếu a 6 phơng trình có bốn nghiệm x 12 = 2 a + 6 ; x 3;4 = 3 a + 9 C: Nhận xét : Với những phơng trình có dạng nh trên ta cần lu ý tham số của chúng nếu GV . Đặng Ngọc Liên 7 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt tham số là bậc hai ta đa phơng trình đã cho về phơng trình bậc hai với ẩn là tham số: II: bất đẳng thức: A:Kiến thức cơ bản : Do tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c (a 0) x R. - Điều kiện để f(x) 0 > 0 0 a x - Xét hàm số bậc hai :y = ax 2 + bx + c (a 0) x [ ] , *Nếu x = - a b 2 [ ] , thì : max y = max ) 2 ();();( a b yyy min y = min ) 2 ();();( a b yyy *Nếu x = - a b 2 [ ] , thì: max y= max { } )();( yy min y = min { } )();( yy B: Một số ví dụ: 1: Dùng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai: Ví dụ 1: Cho các số a, b, c thoả mãn điều kiện : a + b + c = -2 (1) ; a 2 + b 2 + c 2 = 2 (2) Chứng minh rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn 0; 3 4 khi biểu diễn trên trục số. Giải Bình phơng hai vế của (1) ta đợc: a 2 + b 2 + c 2 + (ab +bc + ca) = 4 do (2) nên ab +bc + ca = 2 24 = 1 bc = 1 - a(b + c ) = 1 - a(a - 2) = a 2 + 2a + 1 Ta lại có : b + c = -(a + 2) do đó b,c là nghiệm của phơng trình . X 2 + (a + 2)X + (a 2 + 2a + 1) = 0 Để tồn tại X thì: 0 (a + 2) 2 - 4(a 2 + 2a + 1) 0 a(3a + 4) 0 0 3 4 a Tơng tự : 0 3 4 b ; 0 3 4 c Ví dụ 2: Cho ba số thoả mãn : a(a - 1) + b(b - 1) + c(c - 1) 3 4 Chứng minh rằng : -1 a + b + c 4 Giải: Ta có: a(a - 1) + b(b - 1) + c(c - 1) 3 4 GV . Đặng Ngọc Liên 8 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt ( a 2 + b 2 + c 2 ) - 3(a + b + c) 4 (1) Ta lại có: (a + b + c) 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) (theo bất đẳng thức Bunhiacỗpki) (2) Kết hợp (1) và (2) ta có: (a + b + c) 2 - 3(a + b + c) - 4 0 (3) Ta thấy bất đẳng thức trên vế trái có dạng tam thức bậc hai với biến a + b + c Tam thức trên nhận -1 và 4 làm nghiệm kết hợp với (3) ta đợc : -1 a + b + c 4 (đ.p.c.m) Ví dụ 3: Cho (x, y, z) là nghiệm của hệ: =++ =++ 4 8 222 zxyzxy zyx )5( )4( chứng minh rằng 3 8 ,, 3 8 zyx Giải : Nhân (5) với 2 rồii cộng với (1) ta đợc : (x+y+z) 2 = 16 x+y+z = 4 Nếu x + y + z = 4 z = 4 - x - y thay vào (5) ta đợc : xy + y(4 - x - y) + (4 - x - y) = 4 x 2 - (4 - y)x - y(4- y) + 4 = 0 (*) Do x là nghiệm của hệ nên x là nghiệm của (*) . vậy (*) có nghiệm khi 0 (4 - y) 2 + 4 - 3y 2 + 8y 0 0 3 8 y Nếu x + y + z = -4 tơng tự ta đợc :- 0 3 8 y Vậy ta có : 3 8 3 8 y Vì x, y,z có vai trò nh nhau nên ta đợc : 3 8 ,, 3 8 zyx 2: Dùng tính chất của hàm số bậc hai : y=ax 2 +bx + c (a )0 với [ ] , x ví dụ 1 : Cho a,b,c [ ] 2;0 thoả mãn điều kiện a+b+c = 3 chứng minh rằng a 2 +b 2 +c 2 5 (1) Giải : Nhận thấy bất phơng trình trên có ba biến a,b,c nhng a + b + c = 3 nên ta đa bất đẳng thức trên về còn hai biến bằng cách thay c=3 - a - b vào (1) ta đợc : a 2 + b 2 + c 2 5 a 2 + b 2 + (3 - a - b) 2 5 (2) vậy ta đi chứng minh bất đẳng thức (2) với biến a,b đều có bậc là hai nên ta có thể quy (2) về tam thức bậc 2 với ẩn nào đó, chẳng hạn đối với ẩn a : GV . Đặng Ngọc Liên 9 Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc thpt (2) f(a) =2a 2 - 2 (3 - b) + b 2 +(3 - b) 2 - 5 0 (3) muốn chứng minh (3) ta chỉ cần chứng minh f(a) 0 với a [ ] 2;0 Do hệ số của a bằng 2 > 0 nên a [ ] 2;0 thì : max f(a) = max { } )2(),0( ff với a [ ] 2;0 ta có : f(0) = b 2 +(3 - b) 2 - 5 =2(b - 1)(b - 2) khi a = 0 thì b + c = 3 c = 3 - b do 0 21312302 bbbc (b - 1)(b - 2) 0 f(0) 0 f(2) = 8 - 4(3 - b) +b 2 +(3 - b ) 2 - 5 = 2b(b - 1 ) khi a = 2 thì b +c = 1 0 1, cb b(b - 1) 0 f(2) 0 Nh vậy f(0) 0 ; f(2) 0 max { } )2(),0( ff 0 maxf(a) 0 f(a) 0 với a [ ] 2;0 . Ví dụ 2: Tìm m sao cho mọi 2 < x < 3 đều là nghiệm của hệ bất phơng trình : >++ >+ 04 0544 2 2 mxx mxx Giải: Do mọi 2 < x < 3 cũng đều là nghiệm của hệ bất phơng trình trên nên : >++ >+ 04 0544 2 2 mxx mxx mọi 2 < x < 3 hay : << > << > 32 0)(min 32 0)(min 2 1 x xf x xf (*) trong đó : f 1 (x) = 4x 2 - 4x+5 - m f 2 (x) = x 2 + 4x+ m Nhng các hoành độ đỉnh của các parabol x 1 = ( ) 3;2 2 1 ; x 2 = -2 )3;2( hay (*) 0)3( 0)2( 0)3( 0)2( 2 2 1 1 f f f f + + + 021 012 029 013 m m m m vậy :-12 m 13 GV . Đặng Ngọc Liên 10 [...]... trừ x = - b 2a *Nếu > 0 thì : f(x) trái dấu với a với mọi giá trị của x nằm trong khoảng hai nghiệm f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị của x nằm ngoài khoảng hai nghiệm III: Các bài toán cực trị A :Kiến thức cơ bản Để tìm cực trị của một biểu thức ta có thể vận dụng các tính chất và điều kiện có nghiệm của tam thức bậc hai Nh vậy ta có thể biến đổi biểu thức để đa về dạng tam thức bậc hai B: Một . vững hơn kiến thức cơ bản của môn học và có đủ tự tin khi thực hành giải toán. Từ đó phát huy đợc khả năng vận dụng kiến thức linh hoạt, khả năng sáng tạo. ngừng tìm tòi sáng tạo, tích luỹ kinh nghiệm để đa ra những phơng pháp giảng dạy, những cách lĩnh hội phù hợp nhất. Để giúp ngời học nắm vững kiến thức môn