ĐỀ CƯƠNG TRẮC ĐỊA MẶT CẦU

ĐỀ CƯƠNG TRẮC ĐỊA MẶT CẦU Câu 1 .Phương pháp biểu thị độ vĩ quy hóa U trên mặt cầu phụ trợ ? Cho biết mối liên hệ giữa độ vĩ trắc địa B và độ vĩ quy hóa U? Tác dụng của độ vĩ quy hóa U? Độ vĩ quy hóa U (Reduced Latitude) là một cách biểu thị điểm từ mặt Ellipsoid lên mặt cầu phụ trợ. Trên mặt cầu phụ trợ có thể sử dụng các công thức lượng giác cầu, nhờ đó việc tính toán được đơn giản hơn. Độ vĩ quy hóa U được sử dụng trong giải các bài toán trắc địa trên mặt Ellipsoid Như đã biết, phương trình tham số của ellip là: x  a cosU (1) y  b.sin U (2) trong đó: U được gọi là độ vĩ quy hóa a là bán trục lớn của Ellipsoid b là bán trục nhỏ của Ellipsoid Độ vĩ quy hóa U được xác định thông qua điểm Q’ điểm Q1 và Q2 trên mặt cầu phụ trợ tâm O, có bán kính bằng bán trục lớn a và bán trục nhỏ b của elip. Từ điểm Q trên elip kẻ đường thẳng song song với bán trục nhỏ của elip, đường này cắt vòng tròn tâm O có bán kính bằng bán trục lớn a của elip tại điểm Q1. QQ1 hợp với OX một góc UU được gọi là độ vĩ quy hóa. Hoặc, từ điểm Q trên elip kẻ đường thẳng song song với bán trục lớn của elip, đường này cắt vòng tròn tâm O có bán kính bằng bán trục nhỏ b của elip tại điểm Q2. QQ2 hợp với OX một góc UU được gọi là độ vĩ quy hóa. => 3 điểm Q1,Q,Q2 phải thẳng hàng

ĐỀ CƯƠNG TRẮC ĐỊA MẶT CẦU

Câu 1 Phương pháp biểu thị độ vĩ quy hóa U trên mặt cầu phụ trợ ? Cho biết mối

liên hệ giữa độ vĩ trắc địa B và độ vĩ quy hóa U? Tác dụng của độ vĩ quy hóa U?

Độ vĩ quy hóa U (Reduced Latitude) là một cách biểu thị điểm từ mặt

Ellipsoid lên mặt cầu phụ trợ Trên mặt cầu phụ trợ có thể sử dụng các công thức lượng giác cầu, nhờ đó việc tính toán được đơn giản hơn Độ vĩ quy hóa U được sử dụng trong giải các bài toán trắc địa trên mặt Ellipsoid

Như đã biết, phương trình tham số của ellip là:

x = a cosU (1)

y = b.sin U (2) trong đó:

U được gọi là độ vĩ quy hóa

a là bán trục lớn của Ellipsoid

b là bán trục nhỏ của Ellipsoid

Độ vĩ quy hóa U được xác định thông qua điểm Q’ điểm Q1 và Q2 trên mặt cầu phụ trợ tâm O, có bán kính bằng bán trục lớn a và bán trục nhỏ b của elip

Từ điểm Q trên elip kẻ đường thẳng song song với bán trục nhỏ của elip, đường này cắt vòng tròn tâm O có bán kính bằng bán trục lớn a của elip tại điểm Q1 QQ1 hợp với OX một góc U-U được gọi là độ vĩ quy hóa

Hoặc, từ điểm Q trên elip kẻ đường thẳng song song với bán trục lớn của elip, đường này cắt vòng tròn tâm O có bán kính bằng bán trục nhỏ b của elip tại điểm Q2 QQ2 hợp với OX một góc U-U được gọi là độ vĩ quy hóa

=> 3 điểm Q1,Q,Q2 phải thẳng hàng

Mối quan hệ giữa độ vĩ quy hóa U với độ vĩ trắc địa B như sau:

tgU = (1− f )tgB

hoặc: tgU=tgB√1-e2

Tác dụng: Độ vĩ quy hóa U được sử dụng trong giải các bài toán trắc địa trên mặt Ellipsoid

Câu 2 Hãy trình bày các bước tính chuyển tọa độ vuông góc phẳng x, y theo phép

chiếu UTM từ múi chiếu có kinh tuyến trục

) 1 ( o

L sang múi chiếu có kinh tuyến trục )

2

(

o

L

?

Cách tính :

Bước 1: chuyển đổi hệ toạ độ vuông góc phẳng , sang hệ tọa độ trắc địa trên cùng múi chiếu

) 1 ( o L

Bước 2: chuyển đổi tọa độ trắc địa trên múi chiếu

) 1 ( o L sang tọa độ trắc địa trên múi chiếu

) 2 (

o L

Bước 3: Chuyển đổi hệ tọa độ trắc địa trên múi chiếu

) 2 ( o L sang hệ tọa độ vuông góc phẳng , trên cùng múi chiếu

) 2 ( o L đó

Câu 3: Trình bày cách thiết lập độ vĩ địa tâm Chứng minh mối quan hệ giữa đỗ vị địa tâm và độ vĩ trắc địa?

Trên mặt phẳng kinh tuyến qua điểm xét Q, độ vĩ địa tâm ϕ (Geocentric Latitude) được định nghĩ là góc kẹp giữa bán kính =OQ với mặt phẳng Xích đạo (hình 1.6) Nói chung hướng bán kính OQ không trùng với phương pháp tuyến tại điểm Q, trừ trường hợp điểm xét Q naưm trên Xích đạo và Cực

Độ vĩ địa tâm ϕ được sử dụng để chứng minh một số công thức trong môn học trắc đia mặt cầu

Mối liên hệ giữa độ vĩ tắc địa B và độ vĩ địa tâm ϕ được chứng minh như sau:

Sử dụng tọa độ vuông góc phẳng trên mặt phẳng kinh tuyến qua điểm xét Q, theo hình 1.5 ta có:

Tg ϕ = (1.1.2.7)

Kết hợp quan hệ giữa tọa độ vuông góc phẳng x,y thiết lập trên mặt phẳng kinh tuyến qua điểm Q: TgB =

ta có:

TgB = tg ϕ (1.1.28)

Suy ra:

Tg ϕ = (1- ) tgB (1.2.29)

Từ mối quan hệ giữa độ dẹt f và tâm sai e (1.1.11) ta có đẳng thức:

Tg ϕ = ( 1- tgB (1.1.30)

Vì tâm là giá trị khá nhỏ cho nên người ta đã chuứng minh được công thức gần đúng sau:

(B - ϕ ) ̎ ≈ sin 2B (1.1.31) Trong đó: e2 là độ tâm sai thứ nhất

B là độ vĩ trắc địa

ᶲ độ vĩ địa tâm

Có thể thấy rằng khi B=455̊ thỳ hiệu số (B – ϕ ) có giá trị cực đại

Câu 4 Định nghĩa đường trắc địa trên mặt Ellipsoid? Hãy cho biết một số tính chất của đường trắc địa trên mặt Ellipsoid?

*Khái niệm: Đường trắc địa (Geodesic) là đường ngắn nhất trên mặt

Ellipsoid nối giữa hai điểm trên mặt đó

Về phương diện hình học vi phân, đường trắc địa được định nghĩa là một đường cong mà pháp tuyến chính tại mọi điểm của nó trùng với pháp tuyến của mặt cong tại điểm đó Đường trắc địa đóng vai trò quan trọng trong trắc địa mặt cầu

*Tính chất của đường trắc địa:

Đường trắc địa trên mặt Ellipsoid có ý nghĩa tương tự như đường thẳng trên mặt phẳng hay cung vòng tròn lớn trên mặt cầu

Đường trắc địa không trùng với cung pháp tuyến thuận và cung pháp tuyến nghịch, trừ một vài trường hợp hai cung này trùng nhau và cũng chính là đường trắc địa (Vòng kinh tuyến là một đường trắc địa nhưng vòng vĩ tuyến không phải là đường trắc địa Trong các vòng vĩ tuyến duy nhất chỉ có vòng Xích đạo (có

độ vĩ B=0) là đường trắc địa)

Trên bề mặt Ellipsoid, tích của bán kính vòng vĩ tuyến với sin góc phương

vị đường trắc địa tại mọi điểm của nó là một hằng số : r.sinA = C

Tích của cosin vĩ độ quy hóa U và sin góc phương vị A của đường trắc địa tại mọi điểm của nó đều bằng hằng số : a.cosU.sinA = C

Trong các vòng vĩ tuyến duy nhất chỉ có vòng Xích đạo (có độ vĩ B=0) là đường trắc địa

b.Trình bày các số cải chinhskhi chuyển trị đo hướng về mặt Elisoid

1 Số cải chính độ lệch dây dọi

Do việc tính toán là trên bề mặt Ellipsoid sử dụng phương pháp tuyến nhưng trong đo đạc thực lấy số liệu thì ta định tâm cân bằng máy theo phương đường dây dọi, mà 2 phương này không trùng nhau nên khi tính toán ta phải xác định số cải chính của độ lệch dây dọi

2 Số cải chính độ cao điểm ngắm

Do độ cao H và do tính không đồng phẳng của hai pháp tuyến tại trạm máy

và điểm ngắm cho nên cần phải tính số cải chính do độ cao điểm ngắm ( Do sự không trùng nhau giữa 2 điểm ngắm)

3 Số cải chính hướng từ cung pháp tuyến thuận về đường trắc địa : Là do cung thuận và cung nghịch không trùng nhau tạo ra 1 tam giác cầu cần đưa về đường trắc địa để khép

Câu 5 Hãy định nghĩa cung pháp tuyến trên mặt Ellipsoid? Những cung nào là

cung pháp tuyến chính trên mặt Ellipsoid? Và có những bán kính cong chính nào, viết ct xác định

Cung pháp tuyến

Cung pháp tuyến của mặt cong tại điểm xét là giao tuyến giữa mặt cong

đó với mặt phẳng pháp tuyến của mặt cong tại điểm xét

Cung pháp tuyến chính

Có hai cung pháp tuyến chính là cung kinh tuyến và cung vòng thẳng đứng thứ nhất.

Bán kính cong chính: bán kính cong của cung kinh tuyến và bán kính cong của cung vòng thẳng đứng thứ nhất.

Công thức xác định:

- Bán kính cong của cung kinh tuyến

- Bán kính cong của cung vòng thẳng đứng thứ nhất

Câu 6 Phân loại các phép chiếu dựa vào tính chất biến dạng và tính bảo toàn các

yếu tố hình học trên Ellipsoid?

Căn cứ vào tính chất biến dạng và tính bảo toàn yếu tố hình học của phép chiếu, người ta có thể phân loại phép chiếu như sau:

- Phép chiếu đồng góc (hay giữ góc) là phép chiếu trong đó giá trị góc trên

Ellipsoid được giữ nguyên sau khi thể hiện góc đó trên mặt phẳng, còn chiều dài và diện tích bị biến dạng

- Phép chiếu đồng diện tích (giữ diện tích) là phép chiếu trong đó diện tích được giữ nguyên khi chuyển từ mặt Ellipsoid lên mặt phẳng còn góc và chiều dài bị biến dạng

- Phép chiếu đồng khoảng cách (hay giữ khoảng cách) là phép chiếu trong đó khoảng cách theo một hướng nào đó được giữ nguyên khi chuyển từ mặt Ellipsoid lên mặt phẳng Trong phép chiếu này, giá trị góc và diện tích bị biến dạng

Trình bày khái niệm phép chiếu hình trụ đứng Mercatorr?

- Phép chiếu hình trụ đứng 1 vĩ tuyến chuẩn là lấy hình trụ bao quanh

Elipsoid và tiếp xúc với Elipsoid theo đường xích đạo

- Phéo chiếu hình trụ đứng 2 vĩ tuyến chuẩn là cho mặt trụ cắt mặt Elipsoid theo 2 vòng vĩ tuyến cách đều xích đao rồi trải mặt trụ ra thành mặt phẳng

Câu 7 Tác dụng của các hệ tọa độ trái đất? Đặc điểm chung của các hệ tọa độ trái

đất?

*Tác dụng:

Hệ tọa độ trái đất là hệ tọa độ được gắn cố định với Trái Đất (nhờ định vị Ellipsoid), sử dụng để xác định vị trí không gian (3D) của các điểm trên bề mặt Trái Đất và trong không gian xung quanh gần Trái Đất

Hệ tọa độ trái đất là cơ sở (toán học) để xây dựng hệ quy chiếu cố định với Trái Đất EFRS (Earth Fixed Reference System)

*Đặc điểm:

Do được gắn liền với Trái đất cho nên các hệ tọa độ trái đất cũng tham gia chuyển động tự quay quanh trục và chuyển động xung quanh Mặt Trời

b, Định nghĩa độ vĩ, độ kinh, độ cao của hệ tọa độ trắc địa.

Độ vĩ trắc địa B là: góc hợp bởi pháp tuyến qua điểm xét và mặt phẳng xích

đạo Các điểm nằm phía bắc bán cầu có độ vĩ trắc địa trong khoảng từ đến vĩ Bắc (N), các điểm nằm phía Nam bán cầu có độ vĩ trắc địa trong khoảng từ đến vĩ Nam (S)

Độ kinh trắc địa L là: góc nhị diện giữa mặt phẳng kinh tuyến trắc địa gốc

(qua Greenwich) và mặt phẳng kinh tuyến trắc địa qua điểm xét Q Trên toàn bộ mặt Ellipsoid trái đất, độ kinh trắc địa được tính từ kinh tuyến gốc (L=) về hai phía Đông và Tây Các điểm nằm ở Đông bán cầu có giá trị trong khoảng từ đến kinh Đông (E), còn các điểm nằm ở Tây bán cầu có giá trị từ đến kinh Tây (W)

Độ cao trăc địa H là: khoảng cách tính theo phương pháp tuyến từ điểm xét

Q đến mặt Ellipsoid (H=QQ’) Điểm nằm phía trên mặt Ellipsoid, độ cao trăc đia

có giá trị dương (H>0)còn điểm nằm dưới mặt Ellipsoid, độ cao trắc địa có giá trị

âm (H<0) Điểm nằm trên mặt Ellipsoid có độ cao bằng 0 (H=0)

Câu 8 Phân biệt các công thức vi phân loại một và các công thức vi phân loại hai

của tọa độ trắc địa? Tác dụng của các công thức vi phân đó?

b Trình bày nguyen lý xây dựng công thức vi phân loại 1 để giải bài toán trắc địa thuận trong trắc địa mặt cầu.(trang55)

1 Công thức vi phân loại 1

 Công thức vi phân loại 1 dùng cho bài toán trắc địa thuận

Cho B1, L1, A12 của điểm P1

Tìm B2, L2, A21 của điểm P2

 Công thức vi phân loại 1 dùng cho bài toán trắc địa nghịch

Cho B1, L1 tại P1 và B2, L2 tại P2

Tìm S , A1,2 và A2,1

Công thức vi phân loại 2

Chỉnh lý lại tọa độ trắc đia khi bán trục lớn a thay đổi 1 lượng nhỏ da và độ dẹt f cũng thay đổi 1 lượng nhỏ df

da là vi phân bán trục lớn a

df là vi phân độ dài f

Vai trò:

- CT vi phân loại 1 đưa ra để xét sự thay đôi của tọa độ trắc địa như hàm của tọa độ điểm khởi đầu , phương vị và chiều dài đường trắc địa

- CT vi phan loại 2 biểu thị sood cải chính cho tọa độ trắc địa và hướng ảnh hưởng bở sự thay đổi của bán trục a và độ dẹt f của E

b Trình bày nguyen lý xây dựng công thức vi phân loại 1 để giải bài toán trắc địa thuận trong trắc địa mặt cầu.(trang55)

CT của bài toán trắc địaa thuận

B2 = f1 (B1, L1, A12, S)

L2 = f2 (B1, L1, A12, S)

A21 = f3 (B1, L1, A12, S)

Ta có thể viết: dB2 = f1 (B1, L1, A12, S)

dL2 = f2 (B1, L1, A12, S)

dA21 = f3 (B1, L1, A12, S) Lấy vi phân:

Công thức (1) và (2) k có dL1 vì hình thể (E) trái đất có dạng tròn xoay

Các công thức (1), (2), (3) có thể viết dưới dạng rút gọn như sau

(6)

Câu 9 Trình bày cách thiết lập hệ tọa độ vuông góc phẳng trên mặt phẳng kinh tuyến Mối quan hệ giữa độ vĩ trắc địa và tọa độ vuông góc phẳng.

Trên mặt phẳng kinh tuyến ta thiết lập một hệ tọa độ vuông góc phẳng xOy Gốc tọa độ trùng với tâm Ellip, trục Ox trùng với bán trục lớn a, còn trục Oy trùng với bán kính trục nhỏ b của Ellip (hình 1.5) Vị trí điểm Q trong hệ tọa độ này được xác định bởi hai thành phần tọa độ vuông góc phẳng là x và y, trong đó, x=OQ1; y=QQ1.

Như vậy ta có quan hệ giữa độ vĩ trắc địa và tọa độ vuông góc phẳng

tgB = (1.1.22)

Câu 10 Mục tiêu của bài toán trắc địa thuận trên Ellipsoid ? Hãy cho biết các

phương pháp giải bài toán trắc địa thuận trên Ellipsoid ? Trình bày phương pháp giải bài toán trắc địa thuận sử dụng định lý Klerô?

*Mục tiêu của bài toán trắc địa thuận:

Cho tọa độ trắc địa điểm đầu (điểm P1) là: B1, L1

Chiều dài đường trắc địa là S

Phương vị thuận của đường trắc địa là A1,2

Phải tính tọa độ trắc địa của điểm cuối (điểm P2) B2, L2

*Các pp giải bài toán trắc địa thuận trên (E):

- PP vincenty

- PP sử dụng định lý klero

- PP sử dụng đối số trung bình

- PP sử dụng điểm phụ

- PP Bessel

*Phương pháp giải bài toán trắc địa thuận sử dụng định lý Klero:

Theo định lý Klero, mọi điểm (i) trên đường trắc địa từ điểm 1 đến điểm 2 luôn thỏa mãn phương trình:

Ni cosBi sin A1,2 = const = C (2.2.20) Phương trình (2.2.20) gọi là định lý Klero, hay phương trình Klero

Các phương trình vi phân của đường trắc địa là:

dS.sin Ai = Ni cosBi dL (2.2.22)

Có thể dựa vào các biểu thức trên để giải bài toán trắc địa thuận trên máy tính theo phương pháp tính lặp nhích dần để xác định tọa độ điểm cuối đường trắc địa là B2,L2

Quy trình tính của phương pháp gồm các bước sau:

Bước 1: Chia đường trắc địa (S) thành các đoạn nhỏ (chia càng nhỏ càng chính xác), số lượng đoạn chia là n, khi đó chiều dài đoạn nhỏ (vi phân) của đường trắc địa là dS sẽ được tính:

Bước 2 Tính hằng số C của phương trình Klero:

C = N1 cosB1.sin A1,2 (2.2.24) trong đó N1 là bán kính vòng thẳng đứng thứ nhất tại điểm đầu (P1)

Bước 3 Theo các công thức vi phân của đường trắc địa (2.2.21) và (2.2.22), tính gia số độ vĩ dB và gia số độ kinh dL:

trong đó:

Với i = 1,2 n

Trong đó Mi là bán kính cung kinh tuyến, được tính theo công thức:

trong đó W được tính theo (2.2.26)

Bước 4 Giá trị góc phương vị Ai và tọa độ Bi,Li của các điểm trên đường trắc địa được tính liên tiếp (điểm tính sau, dựa trên điểm tính trước) theo công thức:

Tính lặp lại bước 3 cho đến hết n bước tính, ta sẽ nhận được tọa độ điểm cuối (P2)

là B2, L2 đồng thời nhận được phương vị thuận tại điểm cuối là A 2,( n+1 ) , từ đó ta sẽ tính được phương vị ngược tại điểm cuối là A2,1 theo công thức:

A 2,1 = A 2,( n+1 ) − π nếu A 2,( n+1 ) > π (2.2.33)

A 2,1 = A 2,( n+1 ) + π nếu A 2,( n+1 ) < π (2.2.34)

Câu 11: Số dư mặt cầu là gì, nêu công thức tính số dư mặt cầu?

Tổng 3 góc trong 1 tam giác phẳng luôn bằng 1805̊ (không có sai số) nhưng trong tam giác cầu tổng ba góc luôn lớn hơn 1805̊, lượng lớn hơn đó được gọi là số

dư mặt cầu

 ε =

Với R là bán kính mặt cầu

B, Định nghĩa gốc tạo độ và các trục tọa độ của hệ tọa độ vuông góc không gian địa tâm?

Gốc (O) của hệ trùng vói tâm của Ellipsoid trái đất, trục OZ trùng với bán trục nhỏ b (trục quay) của Ellipsoid trái đất, trục OX trùng với giao tuyến của mặt phẳng kinh tuyến trắc địa gốc (kinh tuyến qua Greenwich) với mặt phẳng Xích đạo, trục còn lại là trục OY vuông góc với trục OX và trục OZ tạo thành một tam giác diện thuận

Hệ tọa độ vuông góc không gian địa tâm

Câu 12: Mục tiêu của bài toán trắc địa nghịch trên Ellipsoid? Hãy cho biết các

phương pháp giải bài toán trắc địa nghịch trên Ellipsoid? Trình bày các bước tính

để giải bài toán trắc địa nghịch sử dụng hệ tọa độ địa diện chân trời?

*Mục tiêu của bài toán trắc địa nghịch trên (E):

Cho tọa độ trắc địa của 2 điểm trên Ellipsoid:

Tọa độ của điểm P1 là: B1, L1

Tọa độ của điểm P2 là: B2, L2

Cần tính chiều dài đường trắc địa S và phương vị trắc địa thuận A1,2 và phương vị

trắc địa ngược A2,1

*Các PP giải bài toán trắc địa nghịch trên (E):

- PP sử dụng hệ tọa độ địa diện chân trời

*Trong hệ tọa độ địa diện chân trời:

Vì điểm P1 và P2 nằm ngay trên mặt Ellipsoid cho nên độ cao trắc địa của

2 điểm P1 và P2 luôn bằng 0, tức là H1 = H 2 = 0m Theo phương pháp này,

chúngta tính toán theo trình tự và các công thức như sau:

Bước 1 Tính chuyển tọa độ trắc địa của điểm P1 và điểm P2 về hệ tọa độ vuông góc không gian địa tâm theo công thức:

Bước 2 Tính các ma trận xoay R1 và R2 tại điểm P1 và P2

Bước 3: Tính phương vị cung pháp tuyến thuận và nghịch, tính góc cao thuận và góc cao nghịch:

Bước 4:Tính chiều dài đường trắc địa từ dây cung theo công thức:

Bài tập:

Câu 1.

a) Một đường trắc địa trên Ellipsoid WGS-84 có giá trị góc phương vị A=90 o tại điểm có

độ vĩ là….Tính giá trị góc phương vị A E của đường trắc địa đó tại điểm cắt đường xích đạo (kết quả tính ra độ, phút, giây).

b) Tính giá trị bán kính cong của cung vòng kinh tuyến khi điểm xét nằm trên xích đạo (kết quả lấy sau dấu phẩy 3 chữ số).

Cho biết bán trục lớn a, tâm sai thứ nhất của Ellipsoid WGS-84 như sau:

a = 6378137 m; e 2 =0.00669437999014 Ellipsoid WGS-84, biết a = 6378137 m và tâm sai thứ nhất e 2 =0.00669437999014

Bài làm

a) Theo định lý Klerô, tại điểm có độ vĩ B, tính hằng số C=N.cosB.sin90o =N.cosB Với B= tính được

1 sin

a

−

Khi đi qua Xích đạo: a.sinA E =C

Từ đó

sinA E C

a

=

Giá trị tính đúng: A E =

b) Bán kính cong của vòng kinh tuyến:

2

(1 ) (1 sin )

M

−

=

−

Khi điểm xét nằm trên xích đạo, vĩ độ trắc địa B= 0, khi đó bán kính M= a(1-e 2 )=