Điều khiển cận tối ưu cho hệ phi tuyến không dừng có ràng buộc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - NGÔ TRƢỜNG MINH ĐIỀU KHIỂN CẬN TỐI ƢU CHO HỆ PHI TUYẾN KHÔNG DỪNG CÓ RÀNG BUỘC Chuyên ngành: ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA HÀ NỘI - 2015 Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN HỆ KHÔNG DỪNG 1.1 Giới thiệu hệ phi tuyến không dừng 1.2 Những tính chất động học điển hình CHƢƠNG 2: CÁC PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN CẬN TỐI ƢU CHO HỆ KHÔNG DỪNG 16 2.1 Đặc điểm toán tối ƣu 16 2.2 Xây dựng toán tối ƣu 21 2.3 Phƣơng pháp giải toán phi tuyến không dừng 22 2.4 Hàm Hamilton tính chất biến phân 24 2.5 Thừa số Lagrange hàm Hamilton 32 2.6 Phƣơng pháp giải toán ràng buộc Arthur E Bryson &Yu-Chi Ho 41 2.6.1 Bất đẳng thức ràng buộc biến điều khiển 41 2.6.2 Bất phương trình ràng buộc điều khiển biến trạng thái 44 2.6.3 Bất đẳng thức ràng buộc chức biến trạng thái 45 CHƢƠNG BÀI TOÁN HỆ PHI TUYẾN KHÔNG DỪNG 50 3.1 Lời giới thiệu 50 3.2 Giải vấn đề 51 3.3 Kết toán 56 3.4 Ví dụ 62 3.5 Kết luận 63 KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 Ngô Trƣờng Minh – 13BĐKTĐH Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa Danh mục hình vẽ Hình 1.1 Cấu trúc mô hình hệ phi tuyến Hamerstein Hình 1.2 Tìm nghiệm hệ phương trình (1.3) phương pháp đồ thị Hình 1.3 Điều kiện để kiểm tra tính ổn định Hình 2.1: Sơ đồ hệ thống điều khiển 16 Hình 2.2 Nghiệm tối ưu địa phương/ toàn cục 17 Hình 2.3 Mô hình động điện chiều kích từ độc lập 19 Hình 2.4 Minh họa công thức biến phân 25 Hình 2.5 Các đường đồng mức vector gradient 39 Hình 2.6 Cho toán tìm thời gian ngắn (barchistochorone) với bất đẳng thức có biến trạng thái bị ràng buộc 47 Hình 2.7 Tìm thời gian ngắn (barchistochorone) với tan   với vài giá trị h / l , biến trạng thái bị ràng buộc 49 Ngô Trƣờng Minh – 13BĐKTĐH Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa LỜI CAM ĐOAN Tên là: Ngô Trƣờng Minh Học viên lớp cao học điều khiển tự động hóa 2013B – trƣờng đại học Bách khoa Hà Nội Xin cam đoan: đề tài “Điều khiển cận tối ưu cho hệ phi tuyến không dừng có ràng buộc” thầy giáo TS Đào Phƣơng Nam hƣớng dẫn riêng “Tôi cam đoan rằng, ngoại trừ kết tham khảo từ công trình khác nhƣ ghi rõ luận văn, công việc trình bày luận văn thực chƣa có phần nội dung luận văn đƣợc nộp để lấy cấp trƣờng trƣờng khác” Ngô Trƣờng Minh – 13BĐKTĐH Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN HỆ KHÔNG DỪNG 1.1 Giới thiệu hệ phi tuyến không dừng Thƣờng xu hƣớng đơn giản hóa vấn đề nghiên cứu hệ dừng, nhiên có toán điều khiển tránh đƣợc hệ không dừng Ví dụ: điều khiển xe bám đƣờng đƣờng thay đổi (không phải đƣờng thẳng) Lịch sử nghiên cứu: Phân tích điều khiển hệ phi tuyến vấn đề thời sự, thu hút đƣợc quan tâm ngƣời làm lĩnh vực kỹ thuật hệ thong Những phƣơng pháp phân tích tổng hợp hệ thống sở lý thuyết hệ thống điều khiển phi tuyến đƣa ngƣời đến gần ứng dụng thực tế nhƣ khả nâng cao đƣợc chất lƣợng cho hệ thống điều khiển Nó cầu nối lý thuyết thực tiễn Chính thế, từ lý thuyết điều khiển đƣợc khai sinh, mảng lý thuyết hệ thống điều khiển phi tuyến khẳng định đƣợc vị trí Nhiều phƣơng pháp phân tích điều khiển hệ phi tuyến đời phát triển song song lý thuyết điều khiển tuyến tính Đó phƣơng pháp phân tích mặt phẳng pha, phƣơng pháp phân tích điều khiển hệ Hammerstein, hệ Wiener, phƣơng pháp cân điều hòa, lý thuyết Lyapunov hay phƣơng pháp điều khiển trƣợt (Tài liệu [1] trang 3) Đặc biệt năm gần đây, với trợ giúp nhiều ngành khoa học khác nhau, chuyên ngành phân tích điều khiển hệ phi tuyến có bƣớc nhảy vọt mặt chất lƣợng, lý thuyết lẫn ứng dụng Nền móng cho phát triển mặt lý thuyết trƣớc tiên kể đến phép đổi trục tọa độ vi phôi xây dựng hình học vi phân, tạo khả nghiên cứu, phân tích hệ phi tuyến theo hƣớng tận dụng kết có điều khiển tuyến tính…Bên cạnh phát triển chất lƣợng trên, trƣờng phái phân tích điều khiển hệ phi tuyến kinh điển đƣợc bổ sung thêm nhiều kỹ thuật hữu ích khác gần với ứng dụng, nhƣ kỹ thuật gain –scheduling, kỹ thuật điều khiển Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa dự báo theo mô hình (Model Predictiv Control - MPC)… Không thế, lý thuyết hệ thống điều khiển phi tuyến đƣợc ứng dụng thành công cho lớp đối tƣợng phi tuyến có tính chất động học đặc biệt nhƣ hệ thụ động, hệ hồi tiếp chặt tham số, hệ tiêu tán…Sự tiến to lớn chuyên ngành phân tích điều khiển hệ phi tuyến cần phải nhanh chóng ứng dụng vào thực tiễn Đó điều mà tác giả trình bày luận văn với tên đề tài “ Điều khiển cận tối ƣu cho hệ phi tuyến không dừng có ràng buộc” Đây luật điều khiển có phản hồi xây dựng toán theo phƣơng pháp gần cho hệ điều khiển tối ƣu Đƣợc áp dụng cho đối tƣợng hệ phi tuyến không dừng có thời gian ràng buộc tới hệ điều khiển cho hệ bất phƣơng trình Đây luật điều khiển có hiệu hệ thống có nhiễu loạn dẫn đến sai lệch so với giá trị đặt ban đầu mô hình không bền vững 1.2 Những tính chất động học điển hình Tất nhiên khó tìm hiểu sâu đƣợc đối tƣợng tới mức trả lời hết đƣợc tất câu hỏi chất lƣợng động học nó, nhiên có số câu hỏi chất lƣợng điển hình đối tƣợng nói riêng hệ thống nói chung mà toán phân tích phải trả lời đƣợc, câu hỏi về: - Điểm trạng thái cân điểm trạng thái dừng - Tính ổn định hệ điểm cân - Khả tự dao động hệ nhƣ tần số, biên độ tính ổn định dao động - Có hay không tƣợng hỗn loạn hệ - Có hay không khả phân nhánh hệ - Và tính chất khác nhƣ bậc tƣơng đối, tính động học không … Điểm trạng thái cân điểm dừng Đƣơng nhiên, hoàn hảo ta có đƣợc kết luận tính chất động học hệ thống cho toàn không gian trạng thái (không gian vector trạng thái Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH x ) Song điều Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa không thực đƣợc Nếu nhƣ vậy, ngƣời ta đành phải chấp nhận khảo sát tính chất hệ số vùng trạng thái đặc biệt mang tính chất điển hình vùng lân cận điểm trạng thái cân điểm trạng thái dừng (Tài liệu [1] trang 35) d x   f ( x, u ) Định nghĩa 1.1: Xét hệ phi tuyến dừng  dt Khi  y  g ( x, u )  a) Điểm trạng thái cân x e (equilibrium point) điểm trạng thái mà không bị kích thích ( u  ) hệ không thay đổi trạng thái Nhƣ điểm trạng thái cân x e nghiệm : dx  f ( x, u ) 0 dt u 0 (1.1) b) Điểm trạng thái dừng x d điểm trạng thái mà với kích thích cố định u  u d cho trƣớc, hệ không thay đổi trạng thái Nhƣ điểm trạng thái dừng x d nghiệm : d x  f ( x, u ) dt 0 (1.2) u  ud Ví dụ: Xác định điểm trạng thái dừng cho hệ Hammerstein Hình 1.1 Cấu trúc mô hình hệ phi tuyến Hamerstein Xét hệ phi tuyến Hamerstein có cấu trúc nhƣ hình vẽ Giả sử khâu tuyến tính với hàm truyền G(s) có G(0) hữu hạn Do khâu phi tuyến khâu tĩnh nên trạng thái x hệ Hamerstein trạng thái khâu tuyến tính G(s) Giả sử hệ trạng thái dừng x d , tức ứng với tín hiệu vào  (t )  d Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa xác định cho trƣớc, có d x d  Khi tín hiệu có bên hệ e(t), dt u(t) y(t) xác lập giá trị dừng ed , ud , yd chúng có quan hệ: ud  f (ed ) , yd  G(0)ud ed  d  yd  ud  f (ed ) ed  d  G(0)ud (1.3) Giải hệ phƣơng trình (1.3) ta đƣợc nghiệm (ud, ed) toán Hình 1.2 minh họa cách tìm nghiệm phƣơng pháp đồ thị Nghiệm (ud, ed) toán xác định điểm dừng cho hệ Hammerstein giao điểm hai đồ thị u = f(e) e  d  G(0)u Số điểm dừng số giao điểm Nhƣ vậy, tùy thuộc vào hệ mà cụ thể khâu phi tuyến tĩnh vào khâu tuyến tính động nhƣ vào tín hiệu đầu cho trƣớc  (t )  d , toán vô nghiệm (hệ điểm trạng thái dừng ứng với  (t )  d ), song có hay nhiều điểm trạng thái dừng Hình 1.2 Tìm nghiệm hệ phương trình (1.3) phương pháp đồ thị Tiêu chuẩn xét tính ổn định cho hệ không dừng Xét tính ổn định hệ không dừng, cân gốc có mô hình không bị kích thích, không dừng có mô hình: d x  f ( x, t) với f (0, t )  , t  thỏa dt Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa mãn điều kiện đầu x(t0 )  x0   Để thực đƣợc điều này, ngƣời ta đƣa thêm vào số khái niệm sau: (Tài liệu [1] trang 80) Định nghĩa 1.2: a) Hàm thực  (r ), r  đƣợc gọi thuộc lớp K đơn điệu tăng  (0)  Nếu có lim  (r )   hàm  (r ) đƣợc gọi thuộc lớp r  b) Hàm nhiều biến V ( x, t ) K đƣợc gọi hợp thức tồn hai hàm  ,  thuộc lớp K cho  ( x )  V ( x, t )   ( x ) c) Hàm thực, đơn điệu giảm  ( z), z  thỏa lim  ( z )  đƣợc gọi thuộc lớp L z  d) Hàm thực, liên tục  ( z, t ) với z, t  đƣợc gọi thuộc lớp KL t cố định thuộc lớp K z cố định thuộc lớp L e) Hàm thực, liên tục  ( z, t ) với z, t  đƣợc gọi thuộc lớp KL∞ t cố định thuộc lớp K∞ z cố định thuộc lớp L Ngoài ra, định lý Lyapunov có phát biểu:cho hệ tự trị dx  f ( x) , dt x  n f (0)  Gọi V ( x) thỏa mãn - Xác định dƣơng, tức V ( x)  , V ( x)  V ( x)  - Đơn điệu tăng theo x có lim V ( x)   x  Ký hiệu: W(t )  a) Nếu W( x) (1.4) (1.5) (1.6) d.n dV V ( x)  f ( x)  L f V ( x) ký hiệu đạo hàm Lie Khi đó: dt x xác định dƣơng lân cận  gốc hệ ổn định tiệm n cận gốc tọa độ với miền ổn định  Nếu có thêm    hệ ổn định tiệm cận toàn cục (GAS – global asymptotically stable) b) Khi W( x)  ,  x   Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH ( xác định bán dương) hệ ổn định gốc tọa độ Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa Ta nhận thấy hệ ổn định tiệm cận ổn định, có x(t )  0 lại đƣờng đồng mức bao gốc (  90 ) , nhƣ không tiến gốc tọa, nên có lim dV  Suy ra: t  dt Định lý (LaSalle): Xét hệ phi tuyến không bị kích thích cân gốc mô tả (tài liệu [1] trang 80) dx  f ( x, t) với dt Ký hiệu V ( x, t ) f (0, t )  , t  (1.7) hàm trơn thỏa mãn (hàm hợp thức):  ( x )  V ( x, t )   ( x ) với  ,   K t  t0 (1.8) Và  miền hở chứa gốc tọa độ, nhƣ: dV V V V   f ( x, t )   L f V ( x, t )   W( x, t ) dt t  x t a) Nếu W( x, t )  với x  (1.9) với t  t0 hệ ổn định t0 b) Nếu W( x, t )   ( x ) với x   , t  t0   K hệ ổn định tiệm cận t0 với miền ổn định  hàm V( x, t ) đƣợc gọi Hàm Lyapunov c) Nếu hệ ổn định ổn định tiệm cận có lim W( x, t )  t  Chứng minh: (Tài liệu [1] trang 81) a) Từ (1.9) ta suy hàm V( x, t ) không tăng theo t Vậy phải có với t  t0 : V( x(t ), t)  V ( x(t0 ), t0 )  V ( x0 , t0 ) Bây ta chọn số dƣơng  tùy ý Vì  (r ),  (r ) thuộc lớp K nên tồn cố dƣơng  ( , t0 ) khác thỏa mãn  ( )   ( ) Gọi x(t ) quỹ đạo trạng thái có điểm đầu x(t0 )  x0   thỏa mãn x0   ( , t0 ) Vậy thì:  ( )   ( )  V( x0 , t )  V( x(t), t) Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa có hiệu làm giảm nhỏ ảnh hƣởng nhiễu loạn đến trạng thái mô hình gây thay đổi điều kiện ban đầu mô hình không ổn định Nó có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác nhau, nhƣ hƣớng dẫn kiểm soát tàu vũ trụ (Büskens & Maurer, 2000; Kugelmann & Pesch, 1990; Liang,2005) điều khiển robot công nghiệp Để minh họa cho vấn đề cách tổng quát với hệ thống có trạng thái điều khiển bị ràng buộc (Betts,2009) đƣợc giải thu đƣợc kết trình bày dƣới Trong phần sau,   , B(n, r)  l   n l  r ma trận không n m n biểu thị n chiều không gian    [0, ) I n ma trận vuông nn 0nm ; () biểu thị không gian rỗng ma trận,  biểu thị tập rỗng  / y với hàm chức  ( y, v) ; n  m   đƣợc lấy nhƣ T   vector hàng  / (yv)  ( / v) / y ký hiệu v( ), v( ) tƣơng ứng với giới hạn v( ) bên trái bên phải  3.2 Giải vấn đề Xét hệ thống phi tuyến sau: (Tài liệu [5]) x (t )  f ( x(t )), u(t ), t ), t  (0, t f ] , x(0)  x0 (3.1) m m Trong đó: x(t )  R u(t )  R tƣơng ứng biến trạng thái biến điều khiển trạng thái f : nm  (0, t f ]  n ; t f ,0  t f   giá trị không thay đổi theo thời gian; x0  n vecto đơn vị dùng cho điều khiển trạng thái vecto, chúng biến thay đổi liên tục có điều kiện ràng buộc  ( x, u, t )  (3.2) Trong  : nm  [0, t f ]   p luận văn điều kiện ràng buộc (3.2) điều kiện ràng buộc túy Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 51 Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa Giả sử cho A( x, u, t )  P  1, , p khó khăn cho hoạt động ràng buộc (3.2) điểm ( x, u, t ) Đó là: A( x, u, t )  k  p  k ( x, u, t )  0 Trong đó: k thành phần thứ k  u giá trị đo đƣợc u :[0, t f ]  U  m thỏa mãn điều kiện (3.2) thực đƣợc nơi đƣợc gọi điều kiện tối ƣu, f: biểu thị điều kiện tối ƣu Bây xem xét vấn đề điều khiển tối ƣu sau: Vấn đề1: Tùy thuộc vào hệ thống (3.1), ta tìm đƣợc giá trị u  F yêu cầu đặt tf J (u )   ( x(t f ), t f )   f ( x(t ), u (t ), t )dt (3.3) n  Rút gọn cho F,  :      f0 : nm  [0, t f ]   Để giải cho vấn đề ta có giả thiết sau đây: Giả thiết 1: f ( x, u, t ), ( x, u, t ), f0 ( x, u, t )  ( x, t ) hàm khả vi liên tục cấp với đối số tƣơng ứng   n Giả thiết 2: tồn phƣơng pháp tối ƣu ( x , u )    F Cho H L tƣơng ứng hàm Hamilton đƣợc quy định H ( x, u, , t)  f0 ( x, u, t )   T f ( x, u, t ) L( x, u, , p, t )  H ( x, u, , t )  pT f ( x, u, t ) n p Trong  (t )  biến biến đồng trạng thái p(t )  hệ số Lagrangian gắn với ràng buộc (3.2) Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 52 Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa  n  p Từ giả thiết tồn hệ số  (t )  p (t )  cho điều kiện sau thỏa mãn (Bryson & Ho,1975): x  f ( x , u , t ), x (0)  x0 (3.4) ( )T   L     (x , u ,  , p , t) x (3.5)   (t f )T   ( x(t f ), t f ) x (3.6) 0 L     H       (x , u ,  , p , t)  ( x , u ,  , t )  ( p  )T ( x , u , t) u u u   ( x , u  , t ) p  (3.7) (3.8)  ( p )T ( x , u , t ) (3.9)   Trong phần tiếp theo, ( x , u ) đƣợc gọi giá trị mặc định, ký hiệu (*)   hàm tƣơng ứng đƣợc đánh giá theo giá trị mặc định cho trƣớc ( x , u ) Cùng với giả thiết trên, (tk,1 , tk,2 )  [0, t f ], k  P gọi khoảng thời gian thực ràng buộc   thứ k, k ( x , u , t )  Nếu  k ( x , u , t )  x  (tk,1 , tk,2 ) Và  k ( x , u , tk,1 )   k ( x , u , tk,2 )  0;[tk,2,tk,3 ]  [0, t f ] gọi biên giới gián đoạn Nếu tiến đến    khoảng thời gian  k ( x , u , t )  t [tk,2,tk,3 ].tk,1 tk,2,tk,3 đối số    Cho J k biểu thị cho giá trị đặt điểm nối tk, j [0, t f ] với  k ( x , u , t )  Theo tài liệu Malanowski Maurer (1998), coi mô ( x , u ) Giả thiết 3: Để có J   U kp J k  t1 ., t N  điểm giới hạn J k  J j   với k  j Ngoài điểm bị cách ly với biên giới Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 53 Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa đƣợc định trƣớc Ngoài cấu trúc này, giả định chặt chẽ sau đây, điều kiện bổ xung điều kiện nối tiếp tuyến (Malanowski & Maurer,   1996,1998) thỏa mãn cho ( x , u )   Giả thiết 4: Cho k , k  P thứ tự k p , tk, j , tk, j 1   0, t f  trở nên tùy   ý đƣờng biên giới gián đoạn hệ ràng buộc  k ( x , u , t )  lúc k (t )  0,  t  (tk, j , tk, j 1 ) Giả thiết 5: tk, j , tk, j 1   0, t f  , k  P trở nên tùy ý đƣờng biên giới gián   đoạn hệ ràng buộc  k ( x , u , t )  lúc  k ( x(tk, j ), u(tk, j ), tk, j )   k ( x(tk, j 1 ), u(tk, j 1 ), tk, j 1 )    Cho ˆ (t ) ˆ (t ) ký hiệu tƣơng ứng lần lƣợt vectors ˆ  (t ) ˆ  (t ) , k  A (t ) tƣơng ứng q(t )  số bị ràng  buộc A (t ) để giải có giả thiết sau ˆ   Giả thiết 6: thứ hạng hang đầy đủ ˆ   u Giả thiết 7: Với   ( ˆ   L ) \ có  T  ( )  u u    Khi thay đổi u ,  ,  hàm chức trạng thái danh định x n Cho  x(t )  tín hiệu nhiễu trạng thái danh định x Nhƣ  x(t )   h(t ) với     h(t )  B(n,1) Chúng ta có giả thiết cuối       Giả thiết 8: u ( x ),  ( x )  ( x ) khả vi liên tục so với x giới hạn nhỏ x Nhận xét 1: Các điều đƣợc chứng minh tài liệu Malanowski & Maurer (1996,1998) Cho hệ điều khiển tối ƣu phụ thuộc vào tham số  Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 54 Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa đƣợc trình bày giả thiết -7, điều khiển giám sát đƣợc tình trạng hoạt động tiến tới giá trị thỏa mãn (Malanowski & Maurer 1996,1998) thỏa mãn  tồn giá trị lân cận G đủ nhỏ, tham số  cách giải tìm nghiệm địa phƣơng ( x, u) liên kết nhân tử Lagrange  ,  tồn cho   G Tất hàm chức x, u,    G thỏa mãn  ( Fecchet) khả vi x(  )  x , u(  )  u ,  (  )     (  )    Nghiên cứu mô toán mục chứng minh giả thiết hợp lý      Chúng ta xét điểm lân cận x  x   h, u  u ( x   h),    ( x   h)     ( x  h) Đối với điểm lân cận đạt giá trị tối ƣu, điều kiện sau cần thiết (Bryson & Ho, 1975) x  f ( x, u, t ), x(0)  x0   h L  ( x, u,  ,  , t ),  T (t f )  ( x(t f ), t f ) x x (3.11) L H  ( x, u,  ,  , t )  ( x, u,  , t )   T ( x, u, t ) u u u (3.12) T   0 (3.10)   ( x, u, t ),   0, (3.13)   T ( x, u, t ) (3.14) Bây mục tiêu báo đƣợc phát biểu nhƣ sau Với cặp tối   ƣu ( x , u ) vấn đề 1, xây dựng hệ điều khiển có phản hồi luật điều khiển xấp xỉ bậc tối ƣu Nó đƣợc thể dƣới dạng u ( x)  u   u  ( x  x ) x Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 55 Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa 3.3 Kết toán   Bổ đề 2: Cho x  x   h x  u ( x   h) Nếu giả thiết 1,3 – thỏa mãn tồn   cho, cho   0,   (Tài liệu [5]) ˆ  ˆ  u   x u x (3.15) Chứng minh: từ giả thiết -5 tồn giá trị nhỏ 1  nhƣ đối    với   0, 1  cấu trúc giải pháp nhiễu ( x   h, u ( x   h) tƣơng đƣơng   nhƣ ( x , u ) (Malanowski & Maurer, 1998) Đặc biệt giao ( x , u ) cho  t1  t2   tN  t f với ti dao động từ ti , i  1, , N  Cho t0  t0  t N 1  t N 1  t f  Khi đó, A (t )  Ai  P t  ti , ti1  , i  0, , N Từ ta suy A(t )  Ai , t  ti , ti 1  Giả sử ˆ ( x   h, u ( x   h), t )  0, t  ti , ti 1  Từ giả thiết tồn giá trị nhỏ   nhƣ   0,   dao động  x   h, u ( x ) khả vi liên tục liên tục ˆ x x Cho   1 ,   sau từ tính u  ( x ) , cho   0,   ta có d ˆ ( x   h, u  ( x   h), t  d  0 Từ h  B(n,1) tùy ý (3.15) đƣợc chứng minh   Bổ đề : Cho x  x   h u  u ( x   h) với   0,   Nếu giả thiết – thỏa mãn, Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 56 Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa H  u    (   )T u x x (3.16)  Chứng minh : Từ điều kiện (3.8) (3.9) ta suy k  với k  P \ A      T  u  (  ) Thì từ (3.15) ta có : (  ) x u x  T Do đó, kết luận sau suy từ (3.7)        Định lý : Cho x  x   h, u  u ( x   h),    ( x   h)    ( x   h) với   0,   Nếu giả thiết 1, thỏa mãn, :    2 H     k  u 0    k u  x kA  u  T  ˆ   ˆ     u  x T  2 k  f     2 H     k   xu kA xu  u  x (3.17) Chứng minh : Để ( x, u, ,  ) tiến tới giá trị tối ƣu, từ công thức (3.12) với   0,   Do : d  L    d   u  T 0 d  H    d   u  T   0  d   k d   k    k  k   u d   u   k 1  d   0 T T  0  H  H u  f       u x  u  x  xu           ˆ  T ˆ     k    k u         h  k k x xu u x   k 1  u     Từ giả thiết với  khả vi liên tục đôi với x ,   0,    k  cho x k  P \ A Nhƣ vậy, (3.17) giữ cho h  B(n,1) giá trị tùy ý Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 57 Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa   Cho V ( x (t ), t ) hàm số tối ƣu (Bryson &Ho,1975) tƣơng ứng với ( x , u ) đƣợc định nghĩa : tf V ( x (t ), t )   ( x (t f ), t f )   f (x ( ), u  ( ), )d    (3.18) t Bởi giả thiết đƣợc biết đến từ Bryson & Ho(1975) mà V  thỏa mãn phƣơng trình Hamilton – Jacobi – Bellman V   H ( x , u  ,   , t ) t  f ( x , u  , t )  (  )T f ( x , u  , t )   Với ( )  (3.19) V  x      Cho điểm lân cận x  x   h, u  u ( x   h)    ( x   h) để đạt đến giá trị tối ƣu phƣơng trình sau phải thỏa mãn,  V  H ( x, u,  , t )  f ( x, u, t )  ( )T f ( x, u, t ) t f Mà   V V ( x(t ), t )   ( x(t f ), t f )   f ( x( ), u ( ), )d x t t T    2V   Để Q  x x  (3.20)      Định lý : Cho x  x   h, u  u ( x   h)    ( x   h) với   0,    Nếu giả thiết – thỏa mãn Q thỏa mãn phƣơng trình ma trận vi phân T dQ  H   u    H  u      dt x  x  u x T  f      Q  x   T    f  u    f   f u Q Q   Q x u x  u x   Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 58 Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa  H  u   ux x  Với Q (t f )   2  x T  u    H     x  ux (3.21) (3.22) t t f Chứng minh : Khai triển  vào vị trí  , ta suy       Qh  o( ) Thì, đƣợc lấy cách khai triển V đến bậc hai  V   T  2V  V ( x)  V   h h h  o( ) x x   V    (  )T h  2 T  h Q h  o( ) Do : H V  f  V  f  V    (  )T h   (  )T h t  T   h Q h   hT Qh  o( )  V    từ công thức (3.5) ta có Nhƣ từ : f  V  H  t  V L  H  f0  f0    (  )T ( f  f  ) t x  T   h Q ( f  f )  h Q h  o( ) T    f  f      f  f 0     (  )T  (   )T h x x   x  T ( f  f  )   T  h Q h  o( ) Khai triển  vào vị trí Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 59  f f , ta suy Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa T  f 0 f 0 u    f 0 u   u    f 0 u   V  T   f 0 H    h h h    t u x  ux x  x  u x   x  x      f f      (  )T  (   )T h x x   x n       k   k x k 1    f  u     f h    k  k h x x    x  T  2 f   f k u   u    f k u      T  hT  2k   h    h Q h  o( )  2  x  u  x  x  x  u  x          H u   h   (   )T h u x x T    H   H  u   u    H   hT      2 ux x  x  xx  x  2 T T   u    H  u   f     f   Q     Q x  x   x  u x T  u   f  u        f Q   Q  Q   o( ) x x  u x   (3.23) Từ (3.16), hai điều kiện vế phải (3.23) bị triệt tiêu Khi (3.21) chứa H  V  h  B(n,1) tùy ý Bây giờ, thay   lần lƣợt vào t x  sử dụng công thức (3.5), (3.11) (3.20) ta thu đƣợc kết Tiếp tục có :  2 H     A     k u , u kA  B   T  2ˆ   u T   f    2 H    E    k   Q, xu kA xu  u    Và F   ˆ  giải đƣợc phần toán x     Định lý : Giả sử biến ( x , u ,  ,  ) tỏa mãn giả thiết – Khi Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 60 Luận văn tốt nghiệp u    Im x   A 0mq    T  B  Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa B   E      0qq   F  (3.24) Chứng minh : Từ (3.15), (3.17) (3.20) ta có  A  T  B  B   u  / x   E         0qq  ˆ / x   F  (3.25) Từ giả thiết ma trận (3.25) ma trận vuông bị chặn, (3.24) đƣợc chứng minh Nhận xét : B (3.24) ma trận rỗng A   Khi (3.24) đƣợc rút gọn theo giả thiết 1  2 H   u    A  E      x  u  1   H   f  T      Q   xu  u   (3.26) Bây ta thay (3.24) (3.26) vào (3.21) Thì ta có trái với điều kiện   đầu (3.22) phƣơng trình Riccati cho Q Khi Q thu đƣợc, u / x u ( x)  u   u  ( x  x ) x (3.27) Có thể tính toán đƣợc dễ dàng Nhận xét 8: Vì độ lớn tín hiệu nhiễu  chấp nhận đƣợc bổ đề khó xác định  xác định đƣợc nhỏ, mà cấu trúc hệ thống bị thay đổi có tín hiệu nhiễu (hoặc đƣờng không ổn định, đƣờng thẳng) Đặc biệt có khoảng cách nhỏ với đƣờng viên giới khoảng cách nhỏ bên dọc theo đƣờng quỹ đạo tối ƣu nhiễu loạn kết thúc Khi trƣờng hợp phƣơng pháp toán cố gắng để giữ cho tín hiệu nhiễu loạn biên giới quỹ đạo, trƣờng hợp thứ tín hiệu nhiễu loạn làm cho quỹ đạo toán lệch khoảng thời gian nhỏ Một phƣơng pháp khắc phục, Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 61 Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa thay đổi luật điều khiển dự báo cho đƣờng biên giới ổn định, tín hiệu điều khiển bị chặn Giả sử có số giới hạn bị chặn thời điểm t, thỏa mãn  k ( x, u, t )  cho k  K  P Thì luật điều khiển (3.27) đƣợc sửa lại nhƣ sau: u( x)  u ( x)  v U  k ( x, v, t )  0, k  K  A (3.28) Theo cách này, cách toán có nhiễu giải cách dễ dàng, số tính tối ƣu Các giải thuật dƣới cho biết quy trình để tinh toán toán điều khiển phản hồi (3.27) thay đổi (3.28) Thuật toán : (Tài liệu [5])   (1) Giải vấn đề để có u (t ) x (t ) với t  0, t f  biểu thức   (t )   ( x , u ,   , t ) đƣợc giải công thức (3.7) đến (3.9) Thay   vào (3.5) ta tìm đƣợc kết quả,   đƣợc tính cách kết hợp từ công thức (3.5) trở trƣớc từ t  t f đến t  với điều kiện (3.6) Khi    (t ) đƣợc tính A (t ) tính đƣợc (2) Tính Q (t ), t  0, t f  cách kết hợp công thức (3.21) trở trƣớc với điều kiện (3.22) Mà u / x đƣợc cho (3.24) (3.26) Thì u  / x đƣợc lấy từ (3.24) (3.26) cho t  0, t f  (3) Đối với quỹ đạo lân cận x(t ) , điều khiển u ( x) đƣợc thực (3.27) Nếu có ràng buộc u ( x) đƣợc thay nhƣ (3.28) 3.4 Ví dụ: Chúng xin trình bày ví dụ sau bàn điều khiển tối ƣu Cho hệ thống sau: Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 62 Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa x  u Xét hệ:   x1  u  T Tìm u để  udt  T T 0 Đạo hàm nhỏ khi:  udt   x1dt  x1 (T )  x1 (0)  x1 (T )  x1 (0) Từ điều kiện ràng buộc ta có: x1  x1   Tìm u   x1 để x1 (T ) max  x1 (0)  x1   x1 x1 (T )  x1 (T ) x1 (T ) nghiệm phƣơng trình x1  x1  T T 0 T  udt   x dt   (5  x )dt 1  x (t )  (et  5)  x1 (t )  et    t  x1 (t )  e  Xuất phát từ điều kiện ràng buộc để x1 (T ) max ta tính đƣợc x1 (t ) x1 (t )   Khi ta có x1 (T ) ta tính đƣợc u (t ) tƣơng ứng 3.5 Kết luận Một luật điều khiển phản hồi lân cận đƣợc xây dựng cho hệ thống phi tuyến không dừng có ràng buộc tính điều khiển trạng thái.Các ví dụ minh họa cho thấy luật điều khiển đƣợc xây dựng thích nghi với nhiễu tham số trạng thái mô hình ban đầu Luật điều khiển quan trọng giả thiết đƣợc đƣợc mở rộng Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 63 Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN Qua thời gian nghiên cứu lý thuyết để hoàn thành luận văn , tác giả thu đƣợc thành định, nhiên bên cạnh khó khăn, vƣớng mắc Cụ thể nhƣ sau: - Những thành tựu đạt đƣợc: + Các phƣơng pháp phân tích điều khiển hệ phi tuyến + Phân tích đƣợc hệ phi tuyến không dừng dừng khác nhƣ + Các tiêu chuẩn ổn định hệ phi tuyến, tìm nghiệm tối ƣu cận tối ƣu hệ phi tuyến + Tìm nghiệm tối ƣu miền ràng buộc miền hở - Những hạn chế: Mặc dù nỗ lực, song thiếu sót Do tác giả mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến sửa đổi, bổ sung thêm Thầy, Cô bạn Qua xin chân thành cảm ơn TS Đào Phƣơng Nam, ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn tận tình suốt trình nghiên cứu làm luận văn Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 64 Luận văn tốt nghiệp Chuyên ngành: Điều khiển&Tự Động Hóa TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tiếng Việt [1] Nguyễn Doãn Phƣớc Phân tích điều khiển hệ phi tuyến: Nhà xuất Bách Khoa Hà Nội 2012 - 436 tr [2] Nguyễn Doãn Phƣớc Tối ưu hóa điều khiển điều khiển tối ưu Nhà xuất Bách Khoa Hà Nội 2012 - 344 tr [3] Nguyễn Doãn Phƣớc Lý thuyết điều khiển nâng cao Nhà xuất Khoa Học Kỹ Thuật 2009 - 500 tr Tiếng Anh [4] Arthur E Bryson, Jr & Yu- Chi Ho Applied Optimal Control Taylor & Francis Group 270 Madison Avenue NewYork, NY 10016 Published in 1975 481p [5] Canghua Jiang, Kok Lay Teo, Guang-Ren Duan A suboptimal feedback control for nonlinear time-varying systems with continuous inequality constraints Automatica 48 (2012) 660 – 665 [6] Igor Aleksander Robot Technology / Igor Aleksander, Henri Farreny, Malik Ghallab.- NewJersey : Prentice-Hall Vol 6: Decision and Intelligence.- 1987.214 p B Websites http://www.elsevier.com/ http://e.guigon.free.fr/rsc/book/BrysonHo75a.pdf http://www.me.berkeley.edu/ME237/ControlOfNonlinearDynamicSystems.pdf Ngô Trường Minh – 13BĐKTĐH 65 ... khin phi tuyn ó cũn c ng dng thnh cụng cho lp i tng phi tuyn cú tớnh cht ng hc c bit nh cỏc h th ng, cỏc h hi tip cht tham s, h tiờu tỏnS tin b to ln ca chuyờn ngnh phõn tớch v iu khin h phi tuyn... khin cú phn hi xõy dng bi toỏn theo phng phỏp gn ỳng cho h iu khin ti u c ỏp dng cho i tng h phi tuyn khụng dng cú thi gian rng buc ti h iu khin cho h bt phng trỡnh õy l mt lut iu khin cú hiu qu... cui xT nh sau : - Nu x l c nh v cho trc thỡ phi cú (0) - Nu x khụng c nh, chng hn b rng buc x0 S0 , thỡ cú th s cú (0) - Nu xT - Nu xT l c nh v cho trc thỡ phi cú (T ) khụng c nh, chng