............................................................................................................................................................................................................................................................................
SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi có 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1(2 điểm ) a.Rút gọn biểu thức P 3x x x 1 x 2 với x 0; x x x 2 x 1 x 7 3 b.Tính giá trị biểu thức 15 35 15 35 2 2 Câu 2(2 điểm ) a.Giải phương trình x x x2 x(x y 1) 2y(y 1) b.Giải hệ phương trình x 1 y Câu 3(1,5 điểm ).Cho x, y, z ,tìm giá trị nhỏ biểu thức P 5x xy 5y 5y 6yz 5z 5z xz 5x x y 2z y z 2x x z 2y Câu 4(3,5 điểm ).Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R có đường kính BC cố định Lấy điểm A thuộc nửa đường tròn cho AB >AC Gọi H hình chiếu vuông góc A BC E,F hình chiếu vuông góc H AB,AC Đường thẳng EF cắt nửa đường tròn P,Q (E nằm P F ) a.Chứng minh AO vuông góc với EF AP AE.AB Từ suy tam giác AHP cân A b.Gọi D giao điểm BC PQ ,K giao điểm AD với đường tròn Chứng minh tứ giác AEFK nội tiếp c.Đặt BH = x Tính diện tích tam giác ABH theo R x Tìm vị trị điểm A để diện tích tam giác ABH lớn Câu 5(1 điểm ).Tìm x ,y nguyên dương để P x2 y2 số nguyên tố x2 y2 Bài làm Câu 1(2 điểm ) a.Rút gọn biểu thức P 3x x x 1 x 2 với x 0; x x x 2 x 1 x 7 3 b.Tính giá trị biểu thức 15 35 15 35 2 2 Bài làm a Ta có P 3x x x 1 x 3x x x x x 1 x x 2 x 1 x x 1 x 2 x 1 7 3 b 15 35 15 35 2 2 15 12 35 5 2 5 3 7 5 5 3 7 5 x x x2 x(x y 1) 2y(y 1) b.Giải hệ phương trình 15 12 35 Câu 2(2 điểm ) a.Giải phương trình x 1 y Bài làm 2 a.Điều kiện x Đặt a x 2; b x 2, a, b Ta có phương trình x2 x2 a b x 1 a b 1 ab a b a b 1 b 1 b a x x3 b x Đối chiếu với điều kiện Ta kết luận nghiệm phương trình x = x(x y 1) 2y(y 1) b Ta có Điều kiện x 1; y x 1 y x( x y 1) 2y( y 1) ( x y 1)( x 2y ) Ta có x 1 y x 1 y x y x 2y x 1 y Lúc ta có trường hợp x 2y (loại điều kiện x 1; y ) y 2 y x x y x 1 y x( x y 1) 2y( y 1) Nên ta có x 1 y x y 1 Vậy nghiệm hệ phương trình (2;1) Câu 3(1,5 điểm ).Cho x, y, z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 5x xy 5y 5y 6yz 5z 5z xz 5x x y 2z y z 2x x z 2y Bài làm Ta có 5x2 xy 5y2 4(x y)2 (x y)2 4(x y)2 Nên suy : P 2( x y ) 2( y z ) 2( z x) Đặt a x y; b y z; c x z; a; b; c x y 2z y z 2x z x 2y Ta có P 2a 2b 2c 1 (a b b c c a ) 6 6 bc ca ab bc ca ab Vậy giá trị nhỏ P x y z Câu 4(3,5 điểm ).Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R có đường kính BC cố định Lấy điểm A thuộc nửa đường tròn cho AB >AC Gọi H hình chiếu vuông góc A BC E,F hình chiếu vuông góc H AB,AC Đường thẳng EF cắt nửa đường tròn P,Q (E nằm P F ) a.Chứng minh AO vuông góc với EF AP AE.AB Từ suy tam giác AHP cân A b.Gọi D giao điểm BC PQ ,K giao điểm AD với đường tròn Chứng minh tứ giác AEFK nội tiếp c.Đặt BH = x Tính diện tích tam giác ABH theo R x Tìm vị trị điểm A để diện tích tam giác ABH lớn Bài làm P A E I J K F B O H Q C D a.Gọi I giao điểm AO EF Ta có AEHF hình chữ nhật nên AEI HAB; EAI ABH Mà HAB ABH 900 AO EF Hai tam giác ABP tam giác APE đồng dạng : PAB (chung ) ABP APE (góc nội tiếp chắn cung AP AQ ).Lúc suy AP AB AP AB AE AH AP AH Từ suy tam giác AHP cân A AE AP b.Gọi J giao điểm AH EF.J trực tâm tam giác AOD nên OJ vuông góc với AK Suy OJ qua trung điểm AK ,nên OJ trung trực AK Lúc ta có JA JK JE JF Vậy tứ giác AEFK nội tiếp Đặt BH x R x R Ta có AH HB.HC x(2R x) Mà 1 x S ABH BH AH x x(2 R x) 3x (2 R x) 3x 2 2R x x 3x ( R x ) x 3 x x 3 x x 3R Mà ta thấy 3x ( R ) Nên ta có (R ) ( R ) 3 3 S ABH 3R 3R Dấu xảy x Khi A giao điểm đường trung trực OC nửa đường tròn (O) x2 y2 Câu 5(1 điểm ).Tìm x ,y nguyên dương để P 2 số nguyên tố x y Bài làm x2 y2 Ta có P 2 x2 (y P ) Py Py x2 y x (1) x y x2 y2 Mà P 2 y (x2 P ) Px2 Px2 y x y (2) x y Từ (1) (2) suy x y x2 2P P P x y CHUYÊN GIA VỀ TOÁN HÀNG ĐẦU TẠI QUẢNG NGÃI ,NHƯNG MÀ GIÁO DỤC XÃ HỘI KHÔNG CẦN TOÁN CAO CẤP ,TOÁN NÂNG CAO ,BỒI DƯỠNG HSG TỈNH HUYỆN ,CASIO SỐ MỘT TẢI QUẢNG NGÃI – VÙNG ĐẤT NGHÈO NHẤT VIỆT NAM Kính chào tạp chí toán tuổi thơ ! Ngày 15-11-2016 tạp chí toán tuổi thơ mời Hà Nội ,Lại lần không dược tiền mua vé tàu Tại đời lại bất công với Mình sống núi cao ,mọi thứ khó khăn Trên chuyến tàu toán học thiếu Một lời giải mà giải không Đó Tiền ,tại sau toi lại bần đến trời Buồn cho xã hội không tận dụng nhân tài Tuyển dụng công chức để tìm người nhà tiền Kẻ : THÂN THẾ TIỀN bị vứt đường chuyến tàu tốc hành giáo dục Việt Nam Tại người ta mua kg nho Nhật Bản với giá 1,3 triệu -1,5 triệu để ăn mà lại mua vé tàu Quảng Ngãi –Hà Nội giá 700 trăm nghìn không ,bài toán giải mà chẳng xong Người bần ,kẻ mua kg nho Nhật Bản triệu cho đứa tuổi để ăn ,mua hàng mà phải đặt tiền cọc trước Nho mà có kg nhập dân Việt Nam giới thượng lưu mua hết giời đồng hồ Thật sốc ,trái Việt Nam rẻ bèo mà “cho không lấy ,thấy không xin nói tới việc mua bán “ Kính chào tạp chí toán tuổi thơ ! Tôi tên :Trương Quang An Vừa ngày 4-1-2016 có nhận giấy mời Hà Nội nhân diệp tạp chí toán tuổi thơ 15 năm tuổi Bản thân gia đình vui thấy vinh dự hoàn cảnh gia đình khó khăn Tôi làm lương thấp ,dạy hợp đồng ,vợ làm công nhân xa sáng 5h sáng ,chiều 8h nhà Vợ làm tháng có sản phẩm có lương ,không có sản phẩm làm tháng lương ,một tháng triệu /tháng Hai vợ chồng làm không đủ trang trải cho sống ngày Tôi học toán-tin dạy tin học Thời gian làm thêm phụ gia đình nhiều để có tiền trang trải sống Cha làm phụ hồ ,làm thuê làm mướn cho người ta ,mẹ rửa chén thuê cho nhà quán ăn Tôi đam mê toán học học sinh cấp Tôi nghèo niềm đam mê toán học lớn dù có hoạt đông bên lĩnh vực khác Tôi xin chân thành cảm ơn tạp chí có thư mời Hà Nội Tiền tàu xe ,ăn thân lo không nên dự với tạp chí Năm ngoái không Đà Nẵng dự hội thảo ,năm lại thất hứa Xin lỗi tạp chí TOÁN TUỔI THƠ ,tuy nhiên xin chúc tạp chí phát triển mạnh mẽ có nhiều người đam mê toán học Tôi xin hứa thường xuyên viết gởi cho tạp chí toán tuổi thơ tạp chí toán học& tuổi trẻ Tôi buồn Xin chân thành ghi nhận lòng tạp chí Tên : Trương Quang An Ngày sinh :20-5-1987 Tốt nghiệp cao đẳng sư phạm toán quảng Ngãi năm 2009 Ra trường xin việc khắp nơi vào cuối năm 2011 xin hợp đồng làm việc giảng dạy toán cho trường cấp Nhà Thành Phố Quảng Ngãi Thành tích lúc học : Lớp : Học sinh đạt giải nhì học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi Lớp : Học sinh đạt giải ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi Lên cấp học Trường Cấp Chuyên Lê Khiết Năm 2005 thi đại học sư phạm Quy Nhơn đạt 28 điểm , phải xa giảng đường đại học mẹ đau nặng ,gánh nặng cơm áo gạo tiền mà phai chia tay đại học Sau quê nhà học cao đẳng sư phạm Quảng Ngãi năm học sinh viên giỏi khoa Toán học Các Thành tích : - Giải toán lý sơ cấp năm học 2006,2007,2008 -Ba năm giải môn giải tích kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN cấp trường Cao Đẳng Sư Phạm Quảng Ngãi năm học 2006 ,2007,2008 -Trong lần đại diện cho trường thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN Toàn quốc lần đạt giải ba ,1 lần giải khuyến khích -Ba năm liền đạt giải kỳ thi sinh viên giải toán máy tính casio cấp trường -Sinh viên trường cao đẳng sư phạm đăng đề mục đề kỳ tạp chí toán học tuổi trẻ -Sinh viên trường cao đẳng sư phạm đăng mục chuyên đề đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ -Giáo viên tỉnh Quảng Ngãi đăng đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ -Hiện sáng dạy trường đồng lương thấp nên dạy khắp nơi đề kiếm thêm tiền để trang trải sống ngày phụ giúp cha mẹ nghèo quê Quảng Ngãi -Bản thân người đam mê môn toán từ học sinh lớp , thường giải tập khó dạy kèm cho học sinh có nhu cầu vào chuyên toán -Hiện thân muốn học lên đại học có lẻ ước mơ không thành thức chuyện tiền bạc va gia đình hoàn cảnh -Những giáo viên yêu toán có nhu cầu giải toán khó giao lưu học hỏi -Xóm bình thường ,bọn nhỏ ngây thơ ,ngộ nghĩnh đáng yêu Hằng ngày bọn trẻ xóm thường nhờ giúp toán khó Tôi đến với tạp chí toán học tuổi trẻ học sinh lớp Mười sáu năm qua coi tạp chí người bạn quen thuộc mà mong đợi vào ngày 15 tháng Ban đầu thích thú tò mò tìm thêm tài liệu ,sau cố gắng giải tập chuyên mục đề kỳ Trong 16 năm qua tạp chí cho tiếp xúc với toán hay ,chuyên đề hay Ba năm học cao đẳng thời gian đẹp đời Tôi bước vào sư phạm toán với tảng kiến thức vô tốt Ngay tạp chí đăng chuyên mục đề kỳ vui sướng ,không tả nỗi Đó thời điểm năm 2008 ,khi sinh viên nghèo trường ,điều kiện học tập ,sinh viên cao đẳng viết cho tạp chí toán học điều viễn vông ,đó sư thật Nhưng không nản lòng cuối đạt ước mơ Những ngày thật khó khăn ,tôi ghi giải giấy A4 đem thư bưu điện gởi Cách năm có chị họ làm quán PHÔ T Ô COPPY bán lại máy tính đề bàn cũ ,tôi mua với giá 500 ngàn ,vui bạn ,thế từ đánh vi tinh toán mà minh suy nghĩ sưu tầm ,sau hoàn thiện chạy quán PHÔ T Ô COPPY để gởi nhà mạng INTERNET Có lẽ gục ngã trước sống nghèo khổ thiếu tiền bạc niềm đam mê toán học Tôi nhớ năm 2008khi cầm tay tờ báo có đăng minh vui run ,tôi bưu điện mua báo toán ,trên kệ báo tờ ,đọc thấy tên lên xe đạp cà tàng sinh viên đạp nhanh nhanh nhà ,thật nhanh ,tôi qua ngã tư ,chỉ biết đạp thật nhanh Mấy tháng sau có thư nhận tiên nhuận bút 120.000 ,đối với đứa sinh viên nghèo số tiền tháng đề ăn sáng học ,vui bạn ak Sinh viên qua nhanh ,ra trương hoàn cảnh cha mẹ đau tiền,không nơi nhận vào dạy học ,mình chạy bàn cà phê,chạy bàn đám cưới cho nhà hàng ,mình dạy kèm khắp nơi ,có phải chạy xe ôm rảnh thường lấy tạp chí toán học xem Tạp chí phần thể ,rồi sau năm chạy việc khắp nơi xin hợp đồng cho trường cấp để dạy toán Nhà sách toán nhiều ,16 năm qua có tay khoảng 451 số báo toán học ,mua có ,tôi mượn báo để phô tô có Hồi xưa tới ngày 15 tháng thường bưu điện đề mua ,từ nhà đạp xe đạp ,tới nơi mệt mua báo vui Vào năm 2014 làm sống đỡ khó khăn mạnh dạn dành tiên lên bưu điện đặt báo để nhân viên giao tận nhà Qua thời gian cung mua xe máy cũ đề làm Qua nhũng tâm muốn bạn yêu toán mà có điều kiện cố gắng lên ,hãy đặt mua tạp chí toán học ,hãy viết cho tạp chí Tiền sống không ,nếu cố gắng có ý chí thành công Tôi có ước mơ ,thứ thăm toán chí toán học tuổi trẻ lần cho biết ,năm ngoái tạp chí toán học tuổi thơ mời dự buổi hội thảo toán học Đà Nẵng công việc cha mẹ đau nặng không Thứ mong học lên đại học hệ quy Mặc dù quê có dạy hệ chức ,nhưng thích học quy ,ước mơ với người đơn giản nhung với khó gia đình ,cha mẹ ,tiền bạc phải mưu sinh sống ngày Trên toàn quốc ,nếu trường cần giáo viên liên hệ số điện thoại 01208127776 Không biết tạp chí toán học có tuyển cộng tác viên trình độ cao đẳng không Lương hợp đồng 15.000đ/tiết thấp ,tôi không sống nghề sư phạm , Một người đam mê Toán tạp chí toán học tuổi trẻ , tạp chí toán tuổi thơ Nghĩa Thắng ,Tư Nghĩa ,Quảng Ngãi Trương Quang An ... ,trên kệ báo tờ ,đọc thấy tên lên xe đạp cà tàng sinh viên đạp nhanh nhanh nhà ,thật nhanh ,tôi qua ngã tư ,chỉ biết đạp thật nhanh Mấy tháng sau có thư nhận tiên nhuận bút 120.000 ,đối với đứa... tháng triệu /tháng Hai vợ chồng làm không đủ trang trải cho sống ngày Tôi học toán-tin dạy tin học Thời gian làm thêm phụ gia đình nhiều để có tiền trang trải sống Cha làm phụ hồ ,làm thuê làm mướn... tuổi thơ tạp chí toán học& tuổi trẻ Tôi buồn Xin chân thành ghi nhận lòng tạp chí Tên : Trương Quang An Ngày sinh :20-5-1987 Tốt nghiệp cao đẳng sư phạm toán quảng Ngãi năm 2009 Ra trường xin việc