............................................................................................................................................................................................................................
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LAI VUNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 – 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 13/06/2016 Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: NỘI DUNG ĐỀ THI (Đề thi có 02 trang, gồm câu) Câu (3,0 điểm) a) Cho biểu thức A = n(n 5) (n 3)(n 2) (với n số tự nhiên) Chứng minh A chia hết cho với giá trị n b) Cho x, y, z số tự nhiên Chứng minh biểu thức B x x y x y z x z y z số phương Câu (3,0 điểm) a) Cho biểu thức P x x Chứng minh P > với giá trị x b) Giải bất phương trình: x 3 2 x2 Câu (3,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức N x 3 x x x 12 với x b) Cho x, y hai số thỏa mãn điều kiện x y xy xy x Tính giá trị biểu thức N x 25 y2 : x 10 x 25 x y y Câu (4,0 điểm) a) Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC, đoạn nằm ngang CD, đoạn xuống dốc DB, tổng cộng dài 30 km Một người từ A đến B từ B trở A hết tất 25 phút Tính quãng đường nằm ngang? Biết lúc lẫn lúc thì: vận tốc lên dốc 10 km/h; vận tốc xuống dốc 20 km/h; vận tốc đường nằm ngang 15 km/h b) Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức M 1 a b Câu (4,0 điểm) a) Cho tam giác ABC, đường cao AH Gọi D, E, M theo thứ tự trung điểm AB, AC, BC Chứng minh tứ giác DEMH hình thang cân? b) Cho tam giác ABC vuông A Biết AB , đường cao AC AH=30cm Tính HB, HC Câu (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD cho CE = AF Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự M, N a) Chứng minh CM DN a b) Gọi K giao điểm NA MB Chứng minh MKN = 900 c) Các điểm E F có vị trí MN có độ dài nhỏ ? - HẾT Lưu ý: Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LAI VUNG Hướng dẫn chấm gồm 04 trang HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN: TOÁN I HƯỚNG DẪN CHUNG: Học sinh làm không theo cách nêu hướng dẫn chấm đúng, xác, chặt chẽ cho đủ số điểm câu Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm phải thống thực tổ chấm thi Điểm toàn tính theo thang điểm 20, làm tròn số đến 0,25 điểm II ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM: Câu Nội dung Điểm a) Cho biểu thức A = n(n 5) (n 3)(n 2) (với n số tự nhiên) Chứng 1,0 minh A chia hết cho với giá trị n A n2 5n n2 n 0,5 6n 6 ( với n N ) 0,5 b) Cho x, y, z số tự nhiên Chứng minh B x x y x y z x z y z số phương 2,0 B x xy xz x xy xz yz y z Đặt a x xy xz 0,5 B 4a a yz y z 4a 4ayz y z 0,5 B 2a yz 0,5 Vậy B x xy xz yz số phương 0,5 a) Cho biểu thức P x x Chứng minh P > với giá trị x P 4x2 4x x2 4x P x 1 với giá trị x b) Giải bất phương trình: x3 2 x2 1,0 0,5 0,5 2,0 x3 x3 2 2 x2 x2 x 2x x 0 0 x2 x2 x x 7 TH1: (loại) x x 2 0,5 0,5 0,5 x x 7 7 x 2 x x 2 TH2: 0,5 Vậy tập nghiệm bpt: S x R7 x 2 Câu Nội dung a) Rút gọn biểu thức N x 3 x với x x x 12 Vì x nên x x ; x x N x 3 x Điểm 1,5 0,5 0,5 x x 12 x 3 x 1 x 3 x 0,5 b) Cho x, y hai số thỏa mãn điều kiện x y xy xy x x - 25 y-2 : x -10 x 25 x y - y - x 5 x y 1 y x 5 y 1 N y2 x x 5 x x 5 Tính giá trị biểu thức N 1,5 0,5 x y xy xy x x y x 0,5 x 3y x x y 1 8 N 0,5 a) Quãng đường từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC, đoạn nằm ngang CD, đoạn xuống dốc DB, tổng cộng dài 30 km Một người từ A đến B từ B trở A hết tất 25 phút Tính quãng đường nằm ngang? Biết lúc lẫn lúc thì: vận tốc lên dốc 10 km/h; vận tốc xuống dốc 20 km/h; vận tốc đường nằm ngang 15 km/h - Gọi quãng đường nằm ngang CD x (0 < x < 30; km) Thì tổng quãng đường lên dốc xuống dốc AC + DB là: 30 – x - Kể lúc lúc thì: + Quãng đường nằm ngang dài: 2x + Quãng đường lên dốc dài: 30 – x + Quãng đường xuống dốc dài: 30 – x x 30 x 30 x 4 - Lập phương trình: 15 10 20 12 - Giải phương trình tìm được: x - Trả lời: Quãng đường nằm ngang dài km b) Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ 1 1 biểu thức M 1 a b ab ab M 1 1 a b 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 2,0 0,5 a b2 b a a b M 4 b a a b b a Vì 2,0 a b2 a b ; nên M 4.2 M 18 b a b a Vậy GTNN M = 18 a b 0,5 0,5 0,5 Câu Nội dung Điểm a) Cho tam giác ABC, đường cao AH Gọi D, E, M theo thứ tự trung điểm AB, AC, BC Chứng minh tứ giác DEMH hình thang 2,0 cân? A D E B C H M Ta có DE đường trung bình tam giác ABC nên DE // BC DE / / HM Do tứ giác DEMH hình thang 0,5 Mặt khác tam giác AHC vuông H HE đường trung tuyến nên: HE 0,5 AC 1 DM đường trung bình tam giác ABC nên: DM 0,5 AC 2 Từ (1) (2) suy ra: DM = HE Hình thang DEMH có hai đường chéo nên hình thang cân (đpcm) b) Cho tam giác ABC vuông A Biết AB , đường cao AH = AC 0,5 2,0 30cm Tính HB, HC A B C H Chứng minh: ABH CAH AB AH AC CH 30 CH 36cm CH Từ ABH BH CAH AH BH BH HC AH HC AH AH 302 25cm CH 36 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu Nội dung Điểm Cho hình vuông ABCD có cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD cho CE = AF Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng 3,0 CD theo thứ tự M, N K A B F E a N D C M a) Chứng minh CM DN a - Ta có : AB // MN CM CE AF BA BA BE FD DN 1,0 0,5 CM.DN = AB2 = a2 b) Gọi K giao điểm NA MB Chứng minh MKN = 900 CM DA CM AB nên AB DN CB DN - Do CMB đồng dạng DAN (c.g.c) nên CMB = DAN - Ở câu a ta có Suy CMB + DNA = 900.Vậy MKN = 90 c) Các điểm E F có vị trí MN có độ dài nhỏ nhất? - Độ dài MN nhỏ CM + DN nhỏ mà CM.DN = a2 không đổi nên tổng chúng nhỏ CM = DN - Khi CM2 = a2 , CM = DN = a ; nên độ dài MN nhỏ 3a E, F theo thứ tự trung điểm BC, AD -Hết - 0,5 1,0 0,25 0,5 0,25 1,0 0,25 0,25 0,5 ... Chứng minh tứ giác DEMH hình thang 2,0 cân? A D E B C H M Ta có DE đường trung bình tam giác ABC nên DE // BC DE / / HM Do tứ giác DEMH hình thang 0,5 Mặt khác tam giác AHC vuông H HE đường trung... 4.2 M 18 b a b a Vậy GTNN M = 18 a b 0,5 0,5 0,5 Câu Nội dung Điểm a) Cho tam giác ABC, đường cao AH Gọi D, E, M theo thứ tự trung điểm AB, AC, BC Chứng minh tứ giác DEMH hình thang... Lưu ý: Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LAI VUNG Hướng dẫn chấm gồm 04 trang HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI