TÍNH TOÁN TRỌNG PHẦN tối ưu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ———–o0o———– PHẠM NGỌC HÙNG TÍNH TOÁN TRỌNG PHẦN TỐI ƯU CHO CÁC SẢN PHẨM BẢO HIỂM NHÂN THỌ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN TIN Hà Nội - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ———–o0o———– PHẠM NGỌC HÙNG TÍNH TOÁN TRỌNG PHẦN TỐI ƯU CHO CÁC SẢN PHẨM BẢO HIỂM NHÂN THỌ Chuyên ngành: Toán Tin LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGÀNH: TOÁN TIN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS HÀ BÌNH MINH Hà Nội - 2013 Mục lục Lời cảm ơn iv Lời mở đầu v Danh mục kí hiệu chữ viết tắt MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bảo hiểm nhân thọ vii 1.1.1 Khái quát Bảo hiểm nhân thọ 1.1.2 Luật số lớn Bảo hiểm nhân thọ 1.1.3 Các loại hình bảo hiểm nhân thọ 1.2 Tỉ lệ sinh tồn tử vong 1.2.1 Khái niệm Tỉ lệ tử vong 1.2.2 Các hàm nhân thọ 1.2.3 Hiệu suất tính tử 1.2.4 Bảng tỷ lệ tử vong 1.3 Tính toán lãi suất 1.3.1 Khái niệm tiền lãi lãi suất 1.3.2 Giá trị Giá trị đáo hạn 1.3.3 Niên kim 1.4 Phí bảo hiểm 1.4.1 Nguyên lý cân 1.4.2 Tính phí bảo hiểm 10 1.4.3 Tính phí 11 1.4.4 Phí bảo hiểm đơn 12 i 1.4.5 Phí bảo hiểm năm 15 1.5 Tối ưu danh mục đầu tư với mô hình MV 18 1.5.1 Lợi nhuận Rủi ro 19 1.5.2 Danh mục đầu tư 20 1.5.3 Lợi nhuận rủi ro danh mục đầu tư 21 1.5.4 Chọn danh mục đầu tư với rủi ro thấp 22 1.6 Value-at-Risk Conditional Value-at-Risk 23 1.6.1 Value-at-Risk (VaR) 23 1.6.2 Độ đo rủi ro chặc chẽ 23 1.6.3 Conditional Value-at-Risk (CVaR) 24 BÀI TOÁN TÍNH TRỌNG PHẦN TỐI ƯU CHO CÁC SẢN PHẨM BẢO HIỂM NHÂN THỌ 26 2.1 Danh mục sản phẩm bảo hiểm nhân thọ 27 2.1.1 Tính phí giả định cho sản phẩm bảo hiểm nhân thọ 28 2.1.2 Tính phí thực tế cho sản phẩm bảo hiểm nhân thọ 29 2.1.3 Tính tỷ suất lợi nhuận biên cho sản phẩm bảo hiểm nhân thọ 30 2.1.4 Lợi nhuận rủi ro danh mục bảo hiểm nhân thọ 30 2.2 Tính trọng phần tối ưu danh mục BHNT theo mô hình MV 32 2.3 Tính trọng phần tối ưu danh mục BHNT theo mô hình MV với ràng buộc CVaR 33 TÍNH TOÁN TRỌNG PHẦN TỐI ƯU CHO CÁC SẢN PHẨM BẢO HIỂM NHÂN THỌ BẰNG R 37 3.1 Lập trình phân tích thống kê với ngôn ngữ R 38 3.1.1 Giới thiệu khái quát ngôn ngữ R 38 3.1.2 Các gói thư viện hỗ trợ 39 3.2 Giới thiệu phần mềm xây dựng 40 3.2.1 Về tên gọi chức 40 3.3 Tính toán tỷ lệ tử vong dự đoán 40 3.3.1 Chuẩn bị liệu 40 3.3.2 Dự đoán tỷ lệ tử vong 41 ii 3.4 Tính toán lợi nhuận rủi ro danh mục BHNT 3.4.1 42 Lập trình tính toán Phí đơn 42 3.5 Tính toán trọng phần tối ưu danh mục BHNT 45 Tài liệu tham khảo 49 Thuật ngữ Anh - Việt 53 iii Lời cảm ơn Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Hà Bình Minh, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ để luận văn hoàn thành, giúp tăng trưởng niềm đam mê nghiên cứu khoa học Tôi xin chân thành cảm ơn Viện Toán ứng dụng Tin học, Viện Đào tạo Sau Đại học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu trường Tôi xin cảm ơn dạy dỗ, bảo quan tâm thầy cô Viện Toán ứng dụng Tin học suốt thời gian theo học nghiên cứu Cuối cùng, muốn gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè đồng nghiệp, người động viên khích lệ giúp hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Học viên: Phạm Ngọc Hùng Lớp: 11BTT-KH iv Lời mở đầu Nội dung luận văn trình bày ba chương Cụ thể: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương dành để giới thiệu số khái niệm toán học dùng tính phí quản lý rủi ro bảo hiểm nhân thọ: khái niệm loại sản phẩm bảo hiểm nhân thọ, tỷ lệ tử vong/bảng tỷ lệ tử vong, nguyên tắc tính phí bảo hiểm, cách thức tính phí cho loại sản phẩm khác Ngoài ra, chương trình trình bày quản lý danh mục đầu tư dựa toán tối ưu theo mô hình Mean-Variance hai thước đo rủi ro phổ dụng Value-at-Risk (VaR), Conditional Value-at-Risk (CVaR) Chương 2: Bài toán tính trọng phần tối ưu cho sản phẩm bảo hiểm nhân thọ Mục đích chương tính toán trọng phần tối ưu danh mục sản phẩm bảo hiểm nhân thọ cho lợi nhuận kỳ vọng đạt giá trị mong muốn rủi ro danh mục thấp Bằng cách tính tỷ suất lợi nhuận sản phẩm bảo hiểm nhân thọ danh mục, áp dụng mô hình Mean-Variance với ràng buộc CVaR, ta tìm trọng phần sản phẩm tối ưu đáp ứng mục đích Chương 3: Tính toán trọng phần tối ưu cho sản phẩm bảo hiểm nhân thọ ngôn ngữ R Chương trình bày việc xây dựng phần mềm để tính toán trọng phần tối ưu cho sản phẩm bảo hiểm nhân thọ trình bày chương Chương trình giải toán xây dựng ngôn ngữ lập trình R, ngôn ngữ lập trình mã nguồn mở mạnh mẽ phổ biến hàng đầu giới Phụ lục A trình bày lại chứng minh định lý hỗ trợ chuyển đổi ràng buộc CVaR toán tối ưu thành ràng buộc tuyến tính Rockafellar Uryasev phát biểu ([9 - Rockafellar and Uryasev]) để tiện theo dõi Phụ lục B giới thiệu tính tỷ lệ tử vong dự đoán gói phần mềm "Demography" R hỗ trợ công cụ toán học cho Ngành dân số học Luận văn hoàn thành Viện Toán ứng dụng Tin học, trường Đại học Bách khoa Hà Nội, hướng dẫn khoa học TS Hà Bình Minh Mặc dù v cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý thầy cô bạn Xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày 25 tháng 09 năm 2013 vi Danh mục kí hiệu chữ viết tắt R tập số thực ∅ tập rỗng x∈M x thuộc tập M x∈ /M x không thuộc tập M ∀x ∈ M với x thuộc tập M BHN T Bảo hiểm nhân thọ θx Hiệu suất tính tử ν Tỉ lệ chiết khấu lx số người sống độ tuổi x dx số người tử vong độ tuổi x px Tỷ lệ sinh tồn độ tuổi x qx Tỷ lệ tử vong độ tuổi x n px Xác suất người độ tuổi x sống tiếp n năm n qx Xác suất người độ tuổi x chết vòng n năm Atk:1 x:n phí đơn cho Bảo hiểm tử kỳ Asktt:1 x:n phí đơn cho Bảo hiểm sinh kỳ túy Ask:1 x:n phí đơn cho Bảo hiểm sinh kỳ A1x phí đơn cho Bảo hiểm trọn đời a ¨1x:n phí đơn cho niên kim nhân thọ có kỳ hạn a ¨1x phí đơn cho Niên kim nhân thọ trọn đời V aR Value-at-Risk CV aR Conditional Value-at-Risk β mức tin cậy µ ˆ Kỳ vọng mẫu σ ˆ2 Phương sai mẫu vii Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số khái niệm toán học dùng bảo hiểm nhân thọ cần sử dụng chương luận văn Nội dung chương tham khảo [7 - Nhóm Actuary OLICD] Mục 1.1 giới thiệu tổng quan Bảo hiểm nhân thọ, vai trò Luật số lớn thống kê kinh doanh bảo hiểm nhân thọ, sản phẩm bảo hiểm nhân thọ thông dụng đề cập luận văn Mục 1.2 trình bày tỉ lệ sinh tồn, tỉ lệ tử vong, hàm nhân thọ Mục giới thiệu Bảng tỉ lệ tử vong xây dựng từ liệu thống kê dân số dùng làm liệu sở cho tính toán phí rủi ro Bảo hiểm nhân thọ Mục 1.3 trình bày khái niệm tiền lãi, lãi suất công thức tính loại lãi suất khác Ngoài ra, khái niệm giá trị tại, giá trị đáo hạn loại niên kim giải thích mục Mục 1.4 trình bày Nguyên lý cân áp dụng việc tính phí cho sản phẩm bảo hiểm nhân thọ công thức tính phí bảo hiểm sản phẩm Mục 1.5 giới thiệu mô hình toán học danh mục đầu tư, định nghĩa lợi nhuận rủi ro danh mục đầu tư cách thức tính số Cuối cùng, mục 1.6 trình bày khái niệm VaR CVaR ứng dụng hai khái niệm quản lý rủi ro đầu tư hàng loạt hàm tối ưu để xử lý toán tối ưu danh mục đầu tư theo mô hình Mean-Variance Markowitz biến thể Mean-Variance 3.2 Giới thiệu phần mềm xây dựng 3.2.1 Về tên gọi chức Phần mềm xây dựng luận văn đặt tên dplxLIPO (LIPO = Life Insurance Portfolio Optimization) Phần mềm xây dựng hình thức gói thư viện R, với chức sau: • Phần mềm có sẵn bảng tỷ lệ tử vong dân số Nhật, Hoa Kỳ, Đức • Phần mềm có sẵn bảng tỷ lệ tử vong kinh nghiệm công ty bảo hiểm nhân thọ Nhật, Hoa Kỳ, Đức • Phần mềm cung cấp hàm tính tỷ lệ tử vong dự đoán • Phần mềm cung cấp hàm để tính kỳ vọng mẫu, phương sai mẫu để tiện cho việc xem so sánh đối chiều lời giải • Phần mềm cung cấp hàm giải toán tối ưu theo mô hình MV MV+CVaR • Phần mềm hỗ trợ gọi thông qua dịch vụ web 3.3 3.3.1 Tính toán tỷ lệ tử vong dự đoán Chuẩn bị liệu Dữ liệu tỷ lệ tử vong dân số nạp sẵn vào biến vn.mrdata1 thuộc kiểu demogdata gói thư viện chương trình nạp vào chạy Dữ liệu tỷ lệ tử vong kinh nghiệm nạp vào từ Cơ sở liệu, lưu vào biến vn.mrdata.exp2 thuộc kiểu demogdata Dữ liệu tỷ lệ tử vong kinh nghiệm công ty bảo hiểm thu thập xử lý dựa thông tin hợp đồng bảo hiểm mà công ty quản lý mrdata: Mortality Rate Data - Dữ liệu tỷ lệ tử vong mrdata.exp: Mortality Rate Data Experience 40 3.3.2 Dự đoán tỷ lệ tử vong Để dự đoán tỷ lệ tử vong từ năm thứ x, dự đoán vòng k (k > 0) năm, ta thực theo bước sau: Nạp liệu vào môi trường thực thi R: > load ( " data /vn mrdata rda " ) Tạo giả lập để sinh bảng tỷ lệ tử vong dự đoán: > f i t f o r e c a s t sim plot ( sim , type=" l " ) Kết quả, ta thu biểu đồ sau: Hình 3.1: Tỷ lệ tử vong dự đoán năm 2008 Tỷ lệ tử vong dự đoán sử dụng việc định phí bảo hiểm công ty bảo hiểm tạo sản phẩm bảo hiểm Sau k năm kinh doanh, công ty bảo hiểm sử dụng 41 lại tỷ lệ tử vong việc xác định tỷ suất lợi nhuận thực tế (mục 2.1.4, trang 30) 3.4 Tính toán lợi nhuận rủi ro danh mục BHNT Giả sử drt mảng chứa liệu tỷ lệ tử vong, bao gồm chiều: Độ tuổi năm Khi đó, ta xây dựng hàm ngôn ngữ R để tính tỷ lệ sinh tồn - tử vong, hàm nhân thọ, phí đơn, tỷ suất lợi nhuận biên cuối lợi nhuận rủi ro danh mục bảo hiểm nhân thọ Các tính toán dựa bảng tỷ lệ tử vong giả định tính phí 3.4.1 Lập trình tính toán Phí đơn Công thức tỷ lệ tử vong - sinh tồn Các hàm xác định số lượng năm bảng tỷ lệ tử vong, năm năm cuối bảng drt: dplx_get_y e a r_count