3 TÍNH TOÁN TRỌNG PHẦN TỐI ƯU CHO CÁC SẢN PHẨM BẢO
3.3 Tính toán tỷ lệ tử vong dự đoán
Dữ liệu tỷ lệ tử vong dân số được nạp sẵn vào biếnvn.mrdata1thuộc kiểudemogdata
khi gói thư viện chương trình được nạp vào chạy.
Dữ liệu tỷ lệ tử vong kinh nghiệm được nạp vào từ Cơ sở dữ liệu, và lưu vào biến
vn.mrdata.exp2 thuộc kiểu demogdata. Dữ liệu tỷ lệ tử vong kinh nghiệm này được công ty bảo hiểm thu thập và xử lý dựa trên thông tin trong các hợp đồng bảo hiểm mà công ty đang quản lý.
1mrdata: Mortality Rate Data - Dữ liệu về tỷ lệ tử vong
3.3.2 Dự đoán tỷ lệ tử vong
Để dự đoán tỷ lệ tử vong từ năm thứx, dự đoán trong vòngk (k >0) năm, ta thực hiện theo các bước sau:
1. Nạp dữ liệu vào môi trường thực thi của R: > load( " . d a t a/vn . mrdata . rda " )
2. Tạo bộ giả lập để sinh bảng tỷ lệ tử vong dự đoán: > vn . f i t <− fdm ( vn . mrdata , order=2)
> vn . f o r e c a s t <− f o r e c a s t ( vn . f i t , 1 0 , method=" e t s " ) > vn . sim <− s i m u l a t e ( vn . f o r e c a s t , nsim =1)
3. Dữ liệu trong biếnvn.simlà một mảng (array) chứa tỷ lệ tử vong dự đoán trong 10 năm, từ 2007 đến 2016. Ta có thể vẽ biểu đồ biểu diễn tỷ lệ tử vong của một năm nào đó, chẳng hạn 2008bằng lệnh:
> plot( vn . sim , t y p e=" l " ) Kết quả, ta thu được biểu đồ như sau:
Hình 3.1: Tỷ lệ tử vong dự đoán trong năm 2008
Tỷ lệ tử vong dự đoán được sử dụng trong việc định phí bảo hiểm khi công ty bảo hiểm tạo ra sản phẩm bảo hiểm. Sau k năm kinh doanh, công ty bảo hiểm sẽ sử dụng
lại tỷ lệ tử vong này trong việc xác định tỷ suất lợi nhuận thực tế (mục 2.1.4, trang 30).
3.4 Tính toán lợi nhuận và rủi ro của danh mục BHNT
Giả sử drtlà mảng chứa dữ liệu về tỷ lệ tử vong, bao gồm 2 chiều: Độ tuổi và năm. Khi đó, ta xây dựng các hàm bằng ngôn ngữ R để tính các tỷ lệ sinh tồn - tử vong, các hàm nhân thọ, phí thuần đơn, tỷ suất lợi nhuận biên và cuối cùng là lợi nhuận và rủi ro của danh mục bảo hiểm nhân thọ. Các tính toán đều dựa trên bảng tỷ lệ tử vong này và các giả định tính phí.
3.4.1 Lập trình tính toán Phí thuần đơn Công thức tỷ lệ tử vong - sinh tồn
1. Các hàm xác định số lượng năm trong bảng tỷ lệ tử vong, năm đầu tiên và năm cuối cùng của bảng drt:
d p l x_get_y e a r_count <− function( d r t ) {
return length(l e v e l s(f a c t o r(u n l i s t( d r t [ 1 ] ) ) ) ) ; ; }
d p l x_get_y e a r_b e g i n <− function( d r t ) {
return 0 ; }
d p l x_get_y e a r_end <− function( d r t ) {
return ( d p l x_get_y e a r_b e g i n ( d r t ) +
d p l x_get_y e a r_count( d r t ) − 1 ) ; }
2. Các hàm xác định tổng số độ tuổi, độ tuổi đầu tiên và độ tuổi cuối cùng trong bảng drt:
return length(l e v e l s(f a c t o r(u n l i s t( d r t [ 2 ] ) ) ) ) ; ; } d p l x_get_age_b e g i n <− function( d r t ) { return 0 ; } d p l x_get_age_end <− function( d r t ) {
return ( d p l x_get_age_b e g i n ( d r t ) +
d p l x_get_age_count( d r t ) − 1 ) ; }
3. Các hàm tính toán tỷ lệ tử vong và tỷ lệ sinh tồn của độ tuổi n, xét tại năm thứ
t: d p l x_q_n_t <− function( d r t , n , t=0) { i f ( n < d p l x_get_age_b e g i n ( d r t ) | | n> d p l x_get_age_end( d r t ) ) { return( 0 ) ; } a r r <− d r t [ d r t$Year == ( d p l x_get_y e a r_b e g i n ( d r t ) + t) , ] ; return( a r r [ 1 + n , 4 ] ) ; } d p l x_p_n_t <− function( d r t , n , t=0) { return( 1 − d p l x_q_n_t( d r t , n ,t) ) ; } Hàm nhân thọ
1. Hàm nhân thọ kpn,t được tính bằng công thức sau:
d p l x_k_P_n_t <− function( d r t , k , n , t = 0 ) { t o t a l <− 1 ;
i f ( k >= 1 ) { f o r ( i i n 0 : ( k−1)) { t o t a l <− t o t a l ∗ d p l x_p_n_t( d r t , n + i , t + i ) ; } } return( t o t a l ) ; }
2. Hàm nhân thọ kqn,t được tính bằng công thức sau:
d p l x_k_Q_n_t <− function( d r t , k , n , t = 0 ) {
return( 1 − d p l x_k_P_n_t( d r t , k , n , t) ) ; }
Phí thuần dơn của các sản phẩm
1. Phí thuần đơn của bảo hiểm sinh kỳ cho lứa tuổix, kỳ hạn bảo hiểmk năm, phát hành vào thời điểmt:Atk:1
x:k,t được tính bằng các hàm ngôn ngữ R sau: d p l x_k_A_t k_n_t <− function( d r t , v , k , n , t = 0 ) { t o t a l <− 0 ; i f ( k >= 1 ) { f o r ( j i n 0 : ( k−1)) { t o t a l <− t o t a l + ( v ^ ( j +1)) ∗ d p l x_k_P_n_t( d r t , j , n ,t) ∗ d p l x_q_n_t( d r t , n+j ,t+j ) ; } } return( t o t a l ) ; }
2. Phí thuần đơn của bảo hiểm sinh kỳ cho lứa tuổix, kỳ hạn bảo hiểmk năm, phát hành vào thời điểmt:Ask:1
d p l x_k_A_s k_n_t <− function( d r t , v , k , n , t = 0 ) {
return( d p l x_k_A_s k_n_t( d r t , v , k , n , t) +
d p l x_k_P_n_t( d r t , k , n , t) ∗ v ^ ( k ) ) ; }
Các hàm tính phí thuần đơn cho các sản phẩm khác xây dựng tương tự 2 hàm trên. Chi tiết tham khảo trong mã nguồn và phụ lục B.
3.5 Tính toán trọng phần tối ưu danh mục BHNT
Sau khi đã tính toán được Tỷ suất lợi nhuận biên từ các công thức tính phí thuần đơn của các sản phẩm trong danh mục bảo hiểm nhân thọ, dữ liệu được lưu trong đối tượng lipoData thuộc kiểu timeSeries. Sử dụng gói thư viện f P ortf olio để giải bài toán MV theo ràng buộcCV AR theo các bước như sau:
1. Nạp thư viện fPortfolio vào môi trường tính toán: > l i b r a r y( f P o r t f o l i o ) ;
Lưu ý là nếu R chưa có sẵn thư viện này, cần thực hiện cài đặt theo lệnh: > i n s t a l l.packages( f P o r t f o l i o ) ;
Chương trình cài đặt sẽ tìm tất cả các gói thư viện phụ thuộc để cài đặt. 2. Nạp dữ liệu từ biếnlipoT S và biến lipoData:
> l i p o D a t a <− l i p o T S ;
3. Tạo đối tượng mô tả tham số của bài toán: > l i p o S p e c <− p o r t f o l i o S p e c ( ) ; 4. Thiết lập ràng buộc CV AR cho bài toán:
> se tT ype ( l i p o S p e c ) <− "CVAR" ;
5. Thiết lập các tham số khác cho bài toán, trong đó có mức tin cậy và số điểm biên của bài toán quy hoạch lồi:
> s e t S o l v e r ( l i p o S p e c ) <− " s o l v e R g l p k " > s e t A l p h a ( l i p o S p e c ) <− 0 . 0 5
> e t N F r o n t i e r P o i n t s ( l i p o S p e c ) <− 25
6. Thực hiện giải bài toán theo các ràng buộc khai báo ở trên: > l i p o <− p o r t f o l i o F r o n t i e r (data = l i p o D a t a ,
s p e c = l i p o S p e c , c o n s t r a i n t s=" LongOnly " ) ; 7. Vẽ đồ thị minh họa kết quả tính toán:
> t a i l o r e d F r o n t i e r P l o t ( o b j e c t=l i p o ,
mText=" L i f e ␣ I n s u r a n c e ␣ P o r t f o l i o ␣ O p t i m i z a t i o n ␣ S o l u t i o n " , r i s k="CVaR" ) ;
Kết luận chung
Luận văn này nghiên cứu phương pháp sử dụng mô hình Mean-Variance với ràng buộc CVaR để tính trọng phần tối ưu của các sản phẩm bảo hiểm nhân thọ, lập trình bằng ngôn ngữ R để xây dựng thư viện phần mềm giải bài toán trên. Đây là bài toán có nhiều ứng dụng thực tiễn trong việc phòng tránh rủi ro của bảo hiểm nhân thọ.
Cụ thể, luận văn đã thực hiện những công việc sau:
1. Tìm hiểu về mô hình Mean-Variance trong việc tính lợi nhuận và rủi ro của tổng thể danh mục đầu tư, thiết lập và giải bài toán tối ưu để chọn ra danh mục làm cho rủi ro thấp nhất trong khi lợi nhuận kỳ vọng đạt được giá trị cho trước. 2. Nghiên cứu cách sử dụng các công cụ và nguyên lý thống kê để tính phí bảo hiểm,
từ đó định lượng được lợi nhuận cũng như rủi ro cho các sản phẩm bảo hiểm nhân thọ.
3. Tìm hiểu về hai thước đo rủi ro phổ dụng nhất hiện nay là V aR và CV aR. Bổ sung ràng buộc CV aR vào mô hình MV để đảm bảo với mức tin cậy xác định trước, số lượng tổn thất kỳ vọng có thể gặp phải sẽ không tụt quá một ngưỡng cho trước.
4. Áp dụng mô hình MV+CVaR vào việc chọn danh mục sản phẩm bảo hiểm nhân thọ sao cho lợi nhuận kỳ vọng đạt được như mong muốn trong khi rủi ro là thấp nhất.
5. Xây dựng thư viện phần mềm bằng ngôn ngữ R để giải bài toán trên.
Mặc dù đã hết sức cố gắng song do hạn chế về thời gian, kiến thức và kinh nghiệm nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự quan
tâm và đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Trân trọng cảm ơn.
Tài liệu tham khảo
[1] Philippe Artzner, Freddy Delbaen, Jean-Marc Eber, and David Heath. Coherent measures of risk. Mathematical Finance, 9:203–228, 1999.
[2] J.C. Hull. Fundamentals of Futures and Options Markets. Prentice Hall, fourth
edition, 2002.
[3] K. Inui and M. Kijima. On the significance of expected shortfall as a coherent risk measure. Journal of Banking and Finance, 29:853–864, 2005.
[4] H. Markowitz. Portfolio selection. Journal of Finance, 7(1):77–91, 1952.
[5] H. Markowitz. Portfolio selection: Efficient diversification of investments. John
Wiley and Sons, 1959.
[6] Nguyễn Minh Kiều. Bài giảng Phân tích tài chính, Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright. Fulbright, 1997.
[7] Nhóm Actuary OLICD. Nhập môn Toán học bảo hiểm nhân thọ. Trung tâm phát
triển bảo hiểm nhân thọ Đông Phương, Tokyo, Nhật Bản, 1997.
[8] A. Renshaw, S. Haberman, and P. Hatzoupoulos. The modeling of recent mortality trends in united kingdom male assured lives. British Actuarial Journal, 2(2):
449–477, 1996.
[9] Rockafellar and Uryasev. Finding an initial efficient extreme point for a linear multiple objective program. Journal Operational Research Society, 32(6):495–498,
2000.
[10] Wikipedia. R (ngôn ngữ lập trình), 2013. URLhttp://vi.wikipedia.org/wiki/ R_(ng%C3%B4n_ng%E1%BB%AF_l%E1%BA%ADp_tr%C3%ACnh).
[11] Wikipedia. Life insurance, 2013. URL http://en.wikipedia.org/wiki/Life_ insurance.
Chỉ mục
Bảng tỷ lệ tử vong, 6
Bảo hiểm sinh kỳ thuần túy, 4, 12, 16 Bảo hiểm sinh kỳ, 4, 13, 17, 28, 44 Bảo hiểm trọn đời, 4, 13, 17
Bảo hiểm tử kỳ, 4, 12, 15, 28 Độ đo rủi ro chặc chẽ, 23
Danh mục bảo hiểm nhân thọ, 27 Danh mục đầu tư, 20
Giả định tính phí, 28 Giá trị đáo hạn, 8 Giá trị hiện tại, 8, 28 Hàm nhân thọ, 12–15 Hàm thay thế, 11 Hiệu suất tính tử, 6 Lãi đơn, 7
Lãi gộp, 7
Lợi nhuận biên thuần, 30 Luật số lớn, 2, 9
Nguyên lý cân bằng, 9–11
Niên kim nhân thọ có kỳ hạn, 14 Niên kim nhân thọ trọn đời, 15 Niên kim nhân thọ, 4, 8
Niên kim xác định, 8 Niên kim, 8 Phí rủi ro, 30 Phí thuần đơn, 28, 44 Phí thuần, 11, 28 Phí tự nhiên, 10 Tỷ lệ sinh tồn, 5 Tỷ lệ tử vong, 2, 5, 11–15, 28 Lãi suất, 6
Lãi suất danh nghĩa, 7 Lãi suất giả định, 11 Lãi suất thực, 7
Người được bảo hiểm, 11
Người tham gia bảo hiểm, 10, 11 Phí quân bình, 11 Tần suất gộp lãi, 7 Tỉ lệ chết,Xem Tỷ lệ tử vong Tỉ lệ sống, Xem Tỷ lệ sinh tồn Tỉ lệ tử vong giả định, 11 Tiền gốc, 6 Tiền lãi, 6
Thuật ngữ Anh - Việt bảng giá trị hàm thay thế commutation function table.
bảng tỷ lệ tử vong mortality table.
bảo hiểm sinh kỳ endownment insurance.
bảo hiểm sinh kỳ thuần túy pure endownment insurance.
bảo hiểm trọn đời whole life insurance.
bảo hiểm tử kỳ term insurance.
danh mục bảo hiểm nhân thọ life insurance portfolio.
danh mục đầu tư portfolio.
giá trị hiện tại present value.
giá trị đáo hạn present value.
giả định tính phí actuarial assumption.
hiệu suất tính tử force of mortality.
hàm nhân thọ life function.
hàm thay thế commutation function.
luật số lớn law of large numbers.
lãi gộp compound interest.
lợi nhuận biên thuần pure margin.
nguyên lý cân bằng principle of equivalence.
niên kim annuity.
niên kim nhân thọ life annuity.
niên kim nhân thọ có kỳ hạn term life annuity.
niên kim nhân thọ trọn đời whole life annuity.
niên kim xác định annuity certain.
phí rủi ro risk premium.
phí thuần net premium.
phí thuần (hàng) năm net annual premium.
phí thuần (hàng) tháng net month premium.
phí thuần đơn net single premium.
phí tự nhiên natural premium.
tỷ lệ sinh tồn survival rate.
tỷ lệ tử vong mortality rate.