Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh khi dạy học giải bài tập chương tam giác ở lớp 7 (Khóa luận tốt nghiệp)Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh khi dạy học giải bài tập chương tam giác ở lớp 7 (Khóa luận tốt nghiệp)Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh khi dạy học giải bài tập chương tam giác ở lớp 7 (Khóa luận tốt nghiệp)Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh khi dạy học giải bài tập chương tam giác ở lớp 7 (Khóa luận tốt nghiệp)Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh khi dạy học giải bài tập chương tam giác ở lớp 7 (Khóa luận tốt nghiệp)Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh khi dạy học giải bài tập chương tam giác ở lớp 7 (Khóa luận tốt nghiệp)Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh khi dạy học giải bài tập chương tam giác ở lớp 7 (Khóa luận tốt nghiệp)Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh khi dạy học giải bài tập chương tam giác ở lớp 7 (Khóa luận tốt nghiệp)Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh khi dạy học giải bài tập chương tam giác ở lớp 7 (Khóa luận tốt nghiệp)Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh khi dạy học giải bài tập chương tam giác ở lớp 7 (Khóa luận tốt nghiệp)
Trang 1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỌI2 KHOA TOÁN
£n -
TRẢN PHƯƠNG GIANG
PHAT TRIEN NANG LUC
TU DUY TOAN HOC CHO HOC SINH
KHI DAY HOC GIAI BAI TAP
CHUONG TAM GIAC O LOP 7
KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
HÀ NỘI - 2016
Trang 2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN — £n -
TRẢN PHƯƠNG GIANG
PHAT TRIEN NANG LUC
TU DUY TOAN HOC CHO HOC SINH KHI DAY HOC GIAI BAI TAP
CHUONG TAM GIAC O LOP 7 KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Người hướng dẫn khoa học TS PHAM THI DIEU THUY
HA NOI-— 2016
Trang 3LỜI CẢM ƠN
Em xin cảm ơn tất cả các thầy cô giáo và các cán bộ nhân viên trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là cô giáo hướng dẫn TS
Phạm Thị Diệu Thùy - tổ Lý luận và phương pháp day học môn Tốn đã giúp
đỡ em hồn thành khóa luận tốt nghiệp này
Do còn hạn chế về thời gian và kinh nghiệm nên khóa luận khơng tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được những góp ý của thầy cơ và các bạn để khóa luận của em được hoàn thiện hơn
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2016
S¡nh viên
Trang 4LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp với đề tài “Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh khi dạy học giải bài tập chương Tam giác ở lớp 7” là công trình nghiên cứu của riêng tôi đưới sự hướng dẫn của TS Phạm Thị Diệu Thùy
Trong quá trình nghiên cứu, tơi có tham khảo những tài liệu đã liệt kê trong phần tài liệu tham khảo và một số thông tin cập nhật qua các kênh thông tin đại chúng
Tôi xin cam đoan khóa luận này là kết quả của quá trình nghiên cứu, tìm tịi
của bản thân; khơng trùng lặp với kết quả của các tác giả khác
Hà Nội, tháng 05 năm 2016 Sinh viên
Trang 5DANH MUC CAC CHU VIET TAT
Viết tắt Viết đầy đủ
Œ.C.C trường hợp cạnh - cạnh - cạnh
C.g.C trường hợp cạnh - góc - cạnh
Trang 6MỤC LỤC
MỚ ĐẦU 1
0c cồn ẽẽ 1
2 Mục đích nghiên cứu
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
4 Đối tượng, phạm vỉ nghiên cứu lSSGSIBSS5903959530413993303498950051185358380186580 3 5 Phương pháp nghiÊn CỨU << 5s 2 9 1 Sư oi sp 3 Ge CAw tebe Khe LW Ae nanggggangg ga ggtiangiGHGUSHtHSEA01 G021NG381818010015800808808800109008380.13008 4
Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 5
1¿1 Năng ÍỰC‹ e cecoessEenELrSRAEiAEAiAEReiAEAdEAdE00nklf0BA0481005850000500020080800550Eu98050880506003840803001,486 5
1¿],]; Khái niệm nẵng HC: sodesseeenadsibostiiAAlA0664530164014403811445381444391938393536314640414884863g918E 6
1.1.2 Các hình thức cơ bản của năng lựC ¿5< 5+ Se+x2kexvEkEkersrkrkekerrrersersre ữ
1:2: Nẵng lực tư dUY TOAM QC bus ái da da 26 sc0n61265968s40x665014610068x612x8X6004000034E5406 8 1.2.1 Đại cương về tư duy, năng lực tư đuy St gi rerey 8 122/2, Khái niệm:năng lực tư:dụy toán:hỌC sex soi 101216354653619401114036400644010.818135g 9 13.3 Cáo thao táo từ duy tan HƠC tua gà do tdthölthidGiddAllS0INGISSEA4(l0GViiqSS4000040398016488 10 1.2.4 Các loại hình tư duy tốn hỌC 6< + St S11 9 1191111 1011111111111 1111 1x52 12
Trang 7Chương 2 BIỆN PHÁP PHAT TRIÊN NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC
CHO HỌC SINH KHI DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP
CHƯƠNG TAM GIÁC Ở LỚP 7 18
2.1 Các biện pháp rèn luyện một số thao tác tư duy toán học 18 2:1al: Phân tÍCH sszsssisgssesstiexisgeGit0x60510081334083351ã003G03IGãSBSIG4SGSGIUANSISSMSSSSNIGUavaai 18
2.1.2 TỐng hợp ceecsssesscsssesscsssecssssecesssseecssssesssssessssseceessseessssssessssssesssussessseesessuesessseseessnecesssees 24
2.1.3 Đặc biệt hóa 28
21.4 Tổng quất HĨi., suisz6ssistá li 0i-E00 0880801234 18410iRiốnGia dit ggcdiSttSSGi8xintas8g 36
2.2 Các biện pháp phát triển một số loại hình tư duy toán học .- 40
Phá) 0n 40
"P2 ÖN ¡ch an 43 Lần 80 in ố.ẽ ÔỎ 50 Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 52
3.1 Mục đích thực nghiệm 52
3.2 Nội dung thực nghiệm 52 3.3 Tổ chức thực nghiệm 55
3.4 Đánh giá kết quá thực nghiệm "ốc 56
Là 19) 8n ố.ẽẽốẽẽẽ ÔỎ 60
KẾT LUẬN 61
TAI LIEU THAM KHAO 62
Trang 8MỞ ĐẦU
1 Lí do chọn đề tài
Trong giai đoạn đấy mạnh công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước và hội nhập quốc tế, nguồn lực con người Việt Nam càng trở nên có ý nghĩa, quyết định sự thành công của công cuộc phát triển đất nước Giáo dục ngày càng có vai trò và nhiệm vụ quan trọng trong việc xây dựng một thế hệ người Việt mới,
đáp ứng yêu cầu phát triển kinh tế - xã hội Điều này đòi hỏi giáo dục phải có sự
phát triển đúng hướng, hợp quy luật, xu thế và xứng tầm thời đại
Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đối mới căn bản, toàn diện
giáo dục và đào tạo nêu rõ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kĩ năng, phát triển năng lực Chuyên từ học chủ yếu trên lớp sang tơ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học Đây mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học” Để thực hiện tốt mục tiêu về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo theo Nghị quyết số 29-NQ/TW, cần
có nhận thức đúng về bản chất của đôi mới PPDH theo định hướng phát triển
năng lực người học và một số biện pháp đối mới PPDH theo hướng này
Mơn Tốn có khả năng to lớn góp phần hình thành và phát triển năng lực tư
duy cho HS Tuy nhiên, trong nhận thức của nhiều GV và HS thì dạy tốn chỉ là
Trang 9bám sát những kiến thức, kĩ năng và thái độ cần đạt đã quy định trong chương
trình hiện hành, nhưng hồn tồn có thể tơ chức lại, áp dụng các PPDH khác
nhau nhằm phát triển năng lực tư duy cho HS Trong quá trình nghiên cứu, tôi nhận thấy mọi quá trình tư duy đều diễn ra trên cơ sở các hoạt động trí tuệ cơ bản như: phân tích, tống hợp, so sánh, tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa Vì vậy, chúng ta cần chú trọng việc phát triển các thao tác trí tuệ này cho HS
Kiến thức của chương Tam giác đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong toàn bộ kiến thức Hình học 7 nói riêng và bộ mơn Hình học nói chung Chương này cung cấp cho HS những kiến thức cơ bản về tam giác: một số tính chất của tam giác, một số dạng tam giác đặc biệt, các trường hợp bằng nhau của hai tam giác Trong đó, qua việc chứng minh hai tam giác bằng nhau ta có thể suy ra các yếu tố cạnh, góc bằng nhau để từ đó giải những bài tập khác ở tất cả các lớp trên
Với vai trị nền móng như vậy, chương Tam giác cần được dạy bằng những
Trang 10kiến thức cụ thể Các nghiên cứu về phát triển năng lực người học khi dạy học chương Tam giác ở lớp 7 còn ít, mặc dù đây là một nội dung quan trọng
Vì những lí do nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu: “Phá: triển
năng lực tw duy toán học cho học sinh khi dạy học giải bài tập chương Tam giác ở lớp 7”
2 Mục đích nghiên cứu
Các biện pháp để phát triển năng lực tư duy toán học cho HS khi dạy học giải bài tập chương Tam giác ở lớp 7
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu định hướng đổi mới của giáo dục Việt Nam trong giai đoạn
hiện nay và một số cơ sở lí luận về vấn đề phát triển năng lực tư duy toán học cho HS
- Đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực tư duy toán học cho HS khi dạy học giải bài tập chương Tam giác ở lớp 7
- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá kết quả đã nghiên cứu 4 Đối tượng, phạm vỉ nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: quá trình dạy học giải bài tập của chương Tam giác ở lớp 7
- Phạm vi nghiên cứu: bài tập chương Tam giác giành cho HS lớp 7 THCS 5 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận làm cơ sở lí luận cho đề tài
- Phương pháp tông kết kinh nghiệm làm cơ sở thực tiễn cho đề tài
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả
Trang 116 Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mục lục, mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận gồm 3 chương:
Chương I: Cơ sở lí luận
Chương 2: Biện pháp phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh khi
dạy học giải bài tập chương Tam giác ở lớp 7
Trang 12Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN
Chương này trình bày kết quả nghiên cứu lí luận về khái niệm năng lực, các hình thức cơ bản của năng lực; đại cương về tư duy, năng lực tư duy; khái niệm năng lực tư duy toán học, các thao tác tư duy toán học và các loại hình tư duy toán học
Từ việc nắm bắt những vấn đề cơ bản đó, kết hợp tìm hiểu đặc điểm sự phát triển trí tuệ của H§ THCS và mục tiêu chương Tam giác ở lớp 7, chúng tôi
thấy được tiềm năng phát triển năng lực tư duy toán học cho HS khi dạy học giải
bài tập chương Tam giác 1.1 Năng lực
Sự phát triển kinh tế - xã hội trong bối cảnh tồn cầu hố đặt ra những yêu cầu mới đối với người lao động, do đó cũng đặt ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp giáo dục Chiến lược Phát triển giáo dục 2011 - 2020 (ban hành ngày
13/06/2012) đưa ra một giải pháp là “Tiếp tục đối mới PPDH và đánh giá kết
quả học tập, rèn luyện theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ dong, sang tạo và năng lực tự học của người học” Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đảo tạo cũng nêu rõ: “Tiếp tục đối mới mạnh mẽ PPDH theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kĩ năng, phát triển năng lực” Có thể thấy rằng, định hướng quan trọng trong đổi mới giáo dục Việt Nam giai đoạn hiện nay là phát triển năng lực người học
Chương trình giáo dục định hướng phát triển năng lực (dạy học định
Trang 13ngày nay đã trở thành xu hướng giáo dục quốc tế Giáo dục định hướng phát triển năng lực nhằm mục tiêu phát triển năng lực người học, nhấn mạnh vai trò của người học với tư cách là chủ thể của quá trình tư duy Chương trình này
khơng quy định những nội dung dạy học chỉ tiết mà quy định những kết quả đầu
ra mong muốn của quá trình giáo dục, trên cở sở đó đưa ra những hướng dẫn chung về việc lựa chọn nội dung, phương pháp, tô chức và đánh giá kết quả dạy học nhằm đảm bảo thực hiện được mục tiêu đạy học
1.1.1 Khái niệm năng lực
Năng lực là khả năng cá nhân đáp ứng các yêu cầu phức hợp và thực hiện thành công nhiệm vụ trong một bối cảnh cụ thể (OECD, 2002) [19]
Năng lực là các khả năng và kĩ năng nhận thức vốn có ở cá nhân hay có thể học được để giải quyết các vấn đề đặt ra trong cuộc sống Năng lực cũng hàm chứa trong nó tính sẵn sảng hành động, động cơ, ý chí và trách nhiệm xã hội để có thể sử dụng một cách thành cơng và có trách nhiệm các giải pháp trong những tình huống thay đổi (Weinert, 2001) [19]
Năng lực là một thuộc tính tích hợp nhân cách, to hop cac dac tinh tam li
của cá nhân, phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động xác định, đảm bảo cho hoạt động đó có kết quả tốt đẹp (Đinh Quang Bao, 2013) [20]
Như vậy, năng lực là một khái niệm trừu tượng đa nghĩa, có nhiều cách
phát biểu về khái niệm năng lực Tuy nhiên, các phát biêu đều thống nhất rằng:
Những thành tố cơ bản tạo nên năng lực là kiến thức, kĩ năng và thái độ Song, không thể hiểu đơn giản năng lực là sự gộp lại của các thành tố đó Điểm chung của các cách phát biểu về khái niệm năng lực chính là khả năng vận dụng kiến thức, kĩ năng và thái độ để giải quyết một tình huống có thực trong cuộc sống
Trang 14- Năng lực liên quan đến bình diện mục tiêu của dạy học: mục tiêu dạy học được mô tả thông qua các năng lực cần hình thành;
- Trong các mơn học, những nội dung và hoạt động cơ bản được liên kết
với nhau nhằm hình thành các năng lực;
- Năng lực là sự kết nối tri thức, hiểu biết, khả năng, mong muốn ;
- Mục tiêu hình thành năng lực định hướng cho việc lựa chọn, đánh giá mức độ quan trọng và cau tric hóa các nội dung - hoạt động - hành động day học về mặt phương pháp;
- Năng lực mô tả việc giải quyết những đòi hỏi về nội dung trong các tình huống;
- Các năng lực chung cùng với các năng lực chuyên môn tạo thành nền tảng chung cho công việc giáo dục và dạy học;
- Mức độ đối với sự phát triển năng lực có thể được xác định trong các
chuẩn: Đến một thời điểm nhất định nào đó, HS có thể/phải đạt được những gì?
1.1.2 Các hình thức cơ bản cúa năng lực Phân loại năng lực
Năng lực của người học có thể chia thành hai loại chính: năng lực chung và năng lực chuyên biệt
- Năng lực chung là những năng lực cơ bản, thiết yếu hoặc cốt lõi làm nền tảng cho mọi hoạt động của con người trong cuộc sống và lao động nghề nghiệp Các năng lực này được hình thành và phát triển dựa trên bản nang di truyén cua con người, quá trình giáo dục và trải nghiệm trong cuộc sống; đáp ứng yêu cầu của nhiều loại hình hoạt động khác nhau Đây là loại năng lực được hình thành
xuyên chương trình
- Năng lực chuyên biệt là những năng lực được hình thành và phát triển
trên cơ sở các năng lực chung theo định hướng chuyên sâu, riêng biệt trong các
loại hình hoạt động, cơng việc hoặc tình huống, môi trường đặc thù, cần thiết
Trang 15như toán học, âm nhạc, mĩ thuật, thé thao Mot cach tổng quát, năng lực chuyên biệt là sản phẩm của một môn học cụ thể, được hình thành và phát triển do một lĩnh vực hoặc một mơn học nào đó
Các hình thức cơ bản của năng lực chung (1) Năng lực tự học;
(2) Năng lực giải quyết van dé va sang tao; (3) Nang luc tham my;
(4) Năng lực thé chat;
(5) Năng lực giao tiếp; (6) Năng lực hợp tác; (7) Năng lực tính tốn;
(8) Năng lực công nghệ thông tin và truyền thông (ICT) Đây là các năng lực cốt lõi gắn liền với quá trình tư duy 1.2 Năng lực tư duy toán học
1.2.1 Đại cương về tư duy, năng lực tư duy Khái niệm tư duy
Tư duy là q trình tâm lí thuộc nhận thức lí tính, là một mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri giác Tư duy phản ánh những thuộc tính bên
trong, bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong
hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết [16] Quá trình tr duy
Tư duy là hoạt động trí tuệ, với một quá trình bao gồm bốn bước cơ bản: (1) Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy, hay nói cách khác là tìm được câu hỏi cần giải đáp
Trang 16(3) Xác minh giả thuyết trong thực tiễn Nếu giả thuyết đúng thì qua bước
(4), nếu giả thuyết sai thì phủ định nó và hình thành giả thuyết mới
(4) Quyết định đánh giá kết qua, dua ra su dung [12] Các hoạt động trí tuệ phổ biến
Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí
tuệ (thao tác là hoạt động theo trình tự và yêu cầu kĩ thuật nhất định) Các thao
tác trí tuệ cơ bản là: phân tích - tổng hợp; so sánh - tương tự; khái quát hóa - đặc
biệt hóa; trừu tượng hóa - cụ thế hóa [12]
Các loại hình tu duy
Trong quá trình học tập, HS có thể được rèn luyện và phát triển các loại hình tư duy như tư duy kinh nghiệm, tư duy sáng tạo, tư duy logic, tư duy lí luận, tư duy khoa học, tư duy trừu tượng, Về bản chất sinh học, tư duy chỉ có
một, đó là sự việc hình thành mới hoặc tải tạo lại các liên kết giữa các phần tử
ghi nhớ Sự phân chia ra các loại hình tư duy nhằm mục đích hiểu sâu và vận dụng tốt tư duy trong hoạt động của hệ thần kinh [12]
Năng lực tư duy
Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng
hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lí và linh cảm
trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vào thực tiễn [15]
1.2.2 Khai niém nang luc tw duy toan hoc
Trang 171.2.3 Các thao tác tw duy tốn học 1.2.3.1 Phân tích và tổng hợp
Phân tích là thao tác tư duy nhằm tách đối tượng toán học thành những bộ phận, những dấu hiệu và thuộc tính, những liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất định, nhờ đó mà nhận thức đầy đủ, sâu sắc và trọn vẹn về đối tượng toán học ay [10]
Tổng hợp là thao tác tư duy trong đó chủ thể tư duy dùng trí óc hợp nhất những bộ phận của đối tượng toán học đã được phân tích thành một chỉnh thể nhằm nhận thức đối tượng toán học bao quát và đầy đủ hơn [10]
Trong học tập môn Tốn, phân tích - tổng hợp có mặt ở mọi hoạt động trí tuệ, là thao tác tư duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề Sự phát triển của phân tích và tơng hợp là đảm bảo hình thành của toàn bộ tư duy và các hình thức tư duy của HS
1.2.3.2 So sánh và trơng tự
So sdnh là xem xét cái này với cái kia để thấy sự giống nhau, khác nhau hoặc sự hơn kém nhau So sánh có hai mục đích: phát hiện những đặc điểm chung và những đặc điểm riêng khác nhau ở một số đối tượng, sự kiện Mục đích thứ nhất thường dẫn đến tương tự và đi đơi với khái qt hóa [12]
Tương tự là một đạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số đấu hiệu, rút ra kết luận hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác Như vậy,
tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ của
những đối tượng toán học khác nhau [L2]
Đứng trước nhiều bài toán, dạng toán khác nhau nhưng có một số điểm
Trang 18toán và nhận biết nhanh đường lối giải các dạng bài toán đó 1.2.3.3 Khái quát hóa và đặc biệt hóa
Theo Nguyễn Bá Kim " Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng
sang một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát" [11, tr51] Như
vậy có thể hiểu khới quát hoá là quá trình đi từ cái riêng, cái đặc biệt đến cái
chung, cái tống quát, hoặc từ một tông quát đến một tống quát hơn Trong toán học, người ta thường khái quát một yếu tố hoặc nhiều yếu tố của khái niệm, định
lí, bài tốn thành những kết quả tổng quát
Đặc biệt hóa là quá trình ngược lại của quá trình khái qt hóa Đặc biệt hoá là yêu cầu đi từ cái chung đến cái riêng và làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa cái tống quát và cái cụ thể từ đó tìm được nhiều trường hợp riêng lẻ từ một
bài toán xuất phát [12]
Khái quát hóa và đặc biệt hóa thường được vận dụng trong tìm tịi và giải
tốn Từ một tính chất nào đó, muốn khái quát hóa thành một dự đốn nào đó, trước hết ta thử đặc biệt hóa; nếu kết quả của đặc biệt hóa là đúng ta mới tìm
cách chứng minh dự đoán từ khái quát hóa, nếu sai ta đừng lại
1.2.3.4 Trừu tượng hóa
Trừu tượng hóa là tách riêng trong tư duy một đặc tính, một quan hệ nào đó khỏi những đặc tính, quan hệ khác của sự vật để nhận thức một cách sâu sắc hơn Về mặt toán học, frừu tượng hóa là thao tác tách ra từ một đối tượng tốn học một tính chất (về quan hệ số lượng hoặc hình đạng hoặc logic của thế giới
khách quan) để nghiên cứu riêng tính chất đó Trừu tượng hóa gắn liền với cụ
thể hóa Nó cũng có liên hệ mật thiết với khái quát hóa Nhờ trừu tượng hóa, ta
Trang 191.2.4 Các loại hình tư duy tốn học
Theo Chu Cẩm Thơ [12], những loại hình tư duy thường gặp trong dạy học môn Toán là: tư duy logic, tư duy logic biện chứng, tư duy thuật toán, tư duy
hàm, tư duy phê phán, tư duy sáng tạo
1.2.4.1 Tw duy logic
Tư duy logic là tư duy về mối quan hệ nhân quả mang tính tất yếu, tính quy luật Vì vậy các yếu tố, đối tượng (gợi chung là các yếu tố) trong tư duy logic bắt buộc phải có quan hệ với nhau, trong đó có yếu tố là nguyên nhân, là tiền đề, yếu tơ cịn lại là kết quả, là kết luận
Tư duy logic bao gồm: logic hình thức, khái niệm, phán đoán, suy luận 1.2.4.2 Tư duy logic biện chứng
Tư duy logic biện chứng là loại hình tư duy gắn liền với logic biện chứng Toán học cũng là đối tượng của logic biện chứng Trong toán học cũng như trong dạy học mơn Tốn thường gặp các cặp phạm trù: phân tích và tơng hợp, nội dung và hình thức, bản chất và hiện tượng, khả năng và hiện thực, vận động và đứng yên,
1.2.4.3 Từ duy thuật toán
Thuật toán là một quy tắc chính xác và đơn trị quy định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự xác định trên những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn những thao tác đó ta thu được kết quả mong muốn
Trong các hoạt động nói chung và học tập nói riêng, đặc biệt là hoạt động day học toán, ta thường phải:
Trang 20- Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo một trình tự xác định
- Khái quát hóa một quá trình điễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thành
một quá trình diễn ra trên cùng một lớp đối tượng
- Mơ tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động
- Phát hiện thuật toán tối ưu để giải quyết một công việc
Đó chính là các hoạt động tư duy của thuật toán Hoạt động đầu tiên thể hiện khả năng thực hiện thuật toán, bốn hoạt động sau thể hiện năng lực xây dựng thuật toán
1.2.4.4 Tư duy hàm
Tư duy hàm là quá trình nhận thức liên quan đến sự tương ứng, những mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần tử của một hay nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng
Các hoạt động đặc trưng của tư duy hàm:
(1) Hoạt động phát hiện và thiết lập sự tương ứng (2) Hoạt động nghiên cứu sự tương ứng
(3) Hoạt động lợi dụng sự tương ứng 1.2.4.5 Tư duy phê phản
Tư duy phê phán là q trình vận dụng tích cực trí tuệ vào việc phân tích, tổng hợp, đánh giá sự việc, xu hướng, ý tưởng, giả thuyết từ sự quan sát, kinh nghiệm, chứng cứ, thơng tin và lí lš nhằm mục đích xác định đúng - sai, tốt - xấu, hay - đở, hợp lí - khơng hợp lí, nên - không nên, và rút ra quyết định, cách ứng xử của mỗi cá nhân
Trong đạy học mơn Tốn ở phổ thông, việc rèn luyện và phát triển tư duy phê phán cho HS có vai trị quan trọng Nó gắn liền với việc rèn luyện năng lực
Trang 211.2.4.6 Tư duy sáng tạo
Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao Ý tưởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề
mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới Tính độc đáo của ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất
J.Adama [10] đã chỉ ra quá trình sáng tạo trải qua bốn giai đoạn:
- Giai đoạn chuẩn bị: Là giai đoạn đặt nhiệm vụ nghiên cứu, thu thập tài liệu liên quan
- Giai đoạn ấp ủ: Quá trình tư duy ít bị sự kiểm soát hơn của ý thức, tiềm
thức lại chiếm ưu thế, các hoạt động bố sung cho vấn đề được quan tâm
- Giai đoạn bừng sáng: Đột nhiên tìm được lời giải đáp, đó là các bước nhảy vọt về chất trong tri thức, xuất hiện đột ngột và kéo theo là sự sáng tạo
- Giai đoạn kiểm chứng: Xem xét, khái quát kết quả Ý thức lại được tham
gia tích cực Kiểm tra trực giác, triển khai các luận chứng logic để có thể chứng tỏ tính chất đúng đắn của cách thức giải quyết vấn đề, khi đó sáng tạo mới được
khẳng định
Tư duy sáng tạo có các tính chất sau:
- Tính mềm dẻo: đặc trưng bởi khả năng dễ dàng chuyến từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác
- Tinh nhuan nhuyễn: thể hiện ở việc sử dụng nhiều loại hình tư duy đa dạng trong phát hiện và giải quyết vấn đề
- Tính độc đáo: đặc trưng bởi khả năng tìm kiếm được kiến thức mới chưa
ai biết, giải pháp tối ưu
- Tính thăng hoa: thể hiện ở sản phẩm tìm được mang tính phát triển, được úng dụng rộng rãi
Trang 221.3 Tiềm năng phát triển năng lực tư đuy toán học cho học sinh
Mục tiêu của chương trình giáo dục phố thông tổng thế là tiếp tục phát triển
con người tồn diện “đức, trí, thể, mỹ”, hài hòa về thể chất và tỉnh thần ; nhấn
mạnh yêu cầu phát triển năng lực, chú ý phát huy tiềm năng vốn có của mỗi HS, chú ý phát triển cả con người xã hội và con người cá nhân Như vậy, phát triển năng lực tư duy cho HS chính là một mục tiêu quan trọng trong chương trình giáo dục phổ thơng mới
Hoạt động học tập là hoạt động chủ đạo đối với HS THCS nhưng yêu cầu
về tính tích cực và độc lập trí tuệ cao hơn nhiều so với cấp tiểu học Thái độ có ý
thức đối với việc học tập của HS được tăng lên mạnh mẽ Mặt khác, ở lứa tudi này các hứng thú và khuynh hướng học tập của HS đã trở nên xác định và được thể hiện rõ ràng hơn Đó là những khả năng rất thuận lợi cho sự phát triển năng lực của HS
Lửa tuổi HS THCS là giai đoạn quan trọng trong việc phát triển trí tuệ Do cơ thế HS đã được hoàn thiện, đặc biệt là hệ thần kinh phát triển mạnh tạo điều kiện cho sự phát triển các năng lực trí tuệ Cảm giác và tri giác của HS đã đạt tới mức độ của người lớn, quá trình quan sát gắn liền với tư duy và ngôn ngữ Trí nhớ của HS THCS cũng phát triển rõ rệt, trí nhớ có chủ định giữ vai trò chủ đạo trong hoạt động trí tuệ, đồng thời vai trò của ghi nhớ logic trừu tượng và ghi
nhớ ý nghĩa ngày một tăng HS đã tạo được tâm thế phân hóa trong ghi nhớ 7
duy của HS THCS phát triển mạnh, hoạt động trí tuệ linh hoạt và nhạy bén hơn Năng lực phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa phát triển cao giúp HS lĩnh hội được các khái niệm phức tạp HS có khả năng tư duy lí luận, tư duy trừu tượng một cách độc lập, chặt chẽ, có căn cứ và mang tính nhất quán Năng lực tư duy phát triển đã góp phần nảy sinh hiện tượng tâm lí mới là tính hồi nghỉ
khoa học, từ đó nhận thức chân lí một cách sâu sắc hơn GV cần giúp đỡ để HS
Trang 23Môn Tốn có tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phố dụng nên nó có
khả năng to lớn góp phần phát triển năng lực tư duy cho HS Thơng qua học tập mơn Tốn, người học có thể trực tiếp hình thành các năng lực chung như năng
lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo, năng lực tính tốn, năng lực công nghệ thông tin và truyền thông Trong [11] tác giả đã viết một cách tổng hợp về phát triển năng lực tư duy toán học cho HS, trong đó có việc rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản Mơn Tốn địi hỏi HS phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tơng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, do đó có tác dụng rèn luyện cho HS những hoạt động này
Chương Tam giác ở lớp 7 cung cấp một cách hệ thống các kiến thức về tam giác, bao gồm: tính chất tơng ba góc của một tam giác bằng 180°, tính chất góc
ngồi của tam giác; một số dạng tam giác đặc biệt: tam giác cân, tam giác đều,
tam giác vuông, tam giác vuông cân; các trường hợp bằng nhau của hai tam giác, của hai tam giác vng Qua đó HS được rèn luyện các kĩ năng về đo đạc, gap hinh, vẽ hình, tính tốn, biết vẽ hai tam giác theo các số đo cho trước, nhận
dạng được các tam giác đặc biệt, nhận biết được hai tam giác bằng nhau HS vận
dụng được các kiến thức đã học vào tính toán và chứng minh đơn giản, bước đầu biết trình bày một chứng minh hình học Ở mức độ cao hon, HS được rèn luyện các khả năng quan sát, dự đốn, rèn luyện tính cần thận, chính xác, tập đượt suy luận có căn cứ, vận dụng các kiến thức đã học vào giải toán, thực hành và các tình huống thực tiễn Do đó cũng rèn luyện được một số hoạt động trí tuệ cơ bản
Trang 24Kết luận chương 1
Chương l trình bày một số vấn dé thuộc về cơ sở lí luận của đề tài Đó là: - Các khái niệm về năng lực theo lí luận dạy học hiện đại Năng lực được
hiểu là là khả năng vận dụng kiến thức, kĩ năng và thái độ để giải quyết một tình
huống có thực trong cuộc sống Từ đó đưa ra các cách sử đụng “năng lực” trong dạy học định hướng phát triển năng lực
- Đại cương về tư duy: khái niệm tư duy, quá trình tư duy, các hoạt động trí tuệ phơ biến, các loại hình tư duy; Khái niệm năng lực tư duy
- Khái niệm năng lực tư duy toán học: là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống, như khả năng vận dụng tư duy toán học; khả năng phân tích, suy luận, khái quát hóa vấn đề toán học
- Các thao tác tư duy toán học: phân tích và tơng hợp, so sánh và tương tự, khái quát hóa và đặc biệt hóa, trừu tượng hóa
- Các loại hình tư duy tốn học: tư duy logic, tư duy logic biện chứng, tư duy thuật toán, tư duy hàm, tư duy phê phán, tư duy sáng tạo
Phát triển năng lực tư duy toán học cho HS là một mục tiêu của chương trình giáo đục phố thông Hoạt động học tập của HS THCS có những khả năng
rất thuận lợi cho phát triển năng lực của HS Trí tuệ của HS THCS phát triển
mạnh thê hiện qua các mặt: cảm giác và tri giác, trí nhớ, tư duy Mơn Tốn nói chung và chương Tam giác nói riêng đều rèn luyện được một số hoạt động trí tuệ cơ bản Do đó, dạy học giải bài tập chương Tam giác ở lớp 7 có tiềm năng
phát triển năng lực tư duy toán học cho HS
Trong khuôn khổ khóa luận, tơi sẽ tập trung vào nghiên cứu các biện pháp
Trang 25Chương 2
BIEN PHAP PHAT TRIÊN NĂNG LỰC TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH KHI DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP
CHƯƠNG TAM GIÁC Ở LỚP 7
Việc phát riên năng lực tư đuy toán học cho HS gồm hai phương điện: 7hứ
nhất, rèn luyện một số thao tác tư duy toán học: phân tích, tong hop, dac biét
hóa, tơng qt hóa, Thứ hai, phát triển một số loại hình tư duy toán học: tư duy
phê phán, tư duy sang tao,
Chương này đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực tư duy toán học cho HS theo hai phương diện trên Trong đó nhiệm vụ trọng tâm là rèn luyện một số thao tác tư duy toán học, sau đó kết hợp các thao tác đó để phát triển một số loại hình tư duy toán học
2.1 Các biện pháp rèn luyện một số thao tác tư duy tốn học
2.1.1 Phân tích
Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành từng phần, là chia nhỏ, là tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ hoặc tách từng thuộc tính, từng yếu tố hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể dé tìm mối liên hệ giữa các phan,
các bộ phận, các yếu tơ đó và hiểu được chúng [12]
Trong hoạt động giải tốn, phân tích là nêu rõ GT và KL để tìm mối liên hệ giữa chúng; có thể phân chia bài toán thành từng trường hợp riêng lẻ, tách ra thành từng yếu tố của bài toán, giải quyết từng trường hợp riêng lẻ được dễ dàng
hơn và tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đó Rồi nghiên cứu tìm hiểu các trường
Trang 26ỚỞ mức độ cao hơn, phân tích (phép phân tích) là phương pháp suy luận đi
từ cái chưa biết đến cái đã biết
Phân tích đi lên (suy ngược lùi): muốn chứng minh A thì cần chứng minh
B¡,muốn chứng minh B;¡ thi cần chứng minh Bạ, , cuối cùng muốn chứng minh
Bạ¡ thì cần chứng minh B„ Khi B„ là điều đã biết (tiên đề, định li, định nghĩa, )
thì dừng lại Theo tam đoạn luận có điều kiện vì B„ đúng nên A đúng (thực tế là cả một dãy đoạn luận có điều kiện) Ta có sơ đồ sau: A Bị — Bô<â B;ô< By
âBs< B=B, B là một mệnh đề đúng
Phân tích đi xuống (suy ngược tiến): giả sử đã có A, từ A suy ra Bị, từ By
suy ra Bạ, , Bạ Nếu Bạ là phán đốn sai thì đừng lại vì khi đó chắc chắn A sai
theo bảng chân lí của phán đốn có điều kiện Cịn nếu Bạ đúng thì chưa thể KL
gì được vì A có thể sai hoặc đúng Chỉ khi nào bảo đảm rằng chuỗi suy luận B
— Bị > B;ạ—> By —> > Bạ= A đúng thì mới khẳng định A là mệnh đề đúng
Từ các cơ sở trên, ta thấy phân tích là thao tác đầu tiên để giải bài tập toán
học GV cần rèn luyện tư duy này cho HS ở mọi bài toán, nâng dần khả năng từ xác định GT - KL đến xây dựng được cách giải
Muốn làm được điều này, trước hết GV làm mẫu và HS được yêu cầu làm theo một cách tương tự GV nên sử dụng các phương pháp như đặt câu hỏi, sử dụng hình vẽ minh họa, sơ đồ phân tích, kết hợp ngơn ngữ tự nhiên và ngơn ngữ
tốn học, nhằm gợi ý và kích thích tư duy cho HS
Biện pháp 1 Yêu cầu HS phân tích GT - KL bài toán với các mức độ tăng dần s Theo độ phức tạp của bài tốn
Ví dụ I: Hãy xác định GT - KL cua cac bài toán sau đây:
Bài tốn 1: (có 1-2 GT, 1 KL) Hai đoạn thang AB va CD cat nhau tai trung
Trang 27AB NCD = {O}
O là trung điểm của AB, CD GT
KL | AC// BD
Bài tốn 2: (có trên 2 GT, nhiều KL) Cho tam giác ABC cân tại A (Â < 90) Vẽ BE LAC(E € AC), CD LAB (D € AB)
a) Chứng mình rằng AD = AE
b) Goi l Ia giao điểm của BE và CD Chứng mình rằng AI là tia phân giác của sóc A
AABC cân tại A (Â < 90°)
GT |BE1LAC(E€AC),CD | AB(D € AB) BENCD = {I}
a) AD = AE KL
b) AI là phân giác góc A
e Theo các cách diễn đạt khác nhau của bài toán
- Sử dụng nhiều hình thức biểu dat: kí hiệu, ngơn ngữ thơng thường
Ví dụ 2: Bài toán 2 cho GT dudi dang ki hiéu BE LAC (E € AC)
Ta có thể biểu diễn kí hiệu này bằng những cách khác: BE vuông góc với
AC tại E, BE là đường cao của tam giác ABC, E là hình chiếu của điểm B trên cạnh AC, E là chân đường vng góc hạ từ B xuống AC
- Mơ hình hóa bài tốn thực tế
Trang 28Bài toán 3: Người thợ cả muốn kiểm tra xem móng nhà đã xây có vng góc khơng Bác căng hai sợi dây từ góc móng nhà theo hai cạnh móng, một sợi dây dài 30cm và sợi kia dài 40cm Hỏi khoảng cách giữa hai đâu còn lại của hai sợi dây là bao nhiêu thì móng nhà vng ?
Mơ hình hóa bài toán 3 ta được bài toán sau đây:
Bài toán 4: Cho tam giác ABC có cạnh AB = 30cm, cạnh AC = 40cm Hoi d6 dài cạnh BC là bao nhiêu để tam giác ABC vuông tại A?
AABC vuông tại A GT
AB = 30cm, AC = 40cm
KL |BC=?
Biện pháp 2 Phân tích tìm lời giải cúa bài toán nâng cao dần mức độ
e Từ bài toán dễ đến đến bài tốn khó
Ví dụ 4: Hãy phân tích tim lời giải của các bài toán sau đây:
Bài toán 4: Cho tam giác ABC có cạnh AB = 30cm, cạnh AC = 40cm Hỏi độ dài cạnh BC là bao nhiêu để tam giác ABC vuông tại A?
Phân tích: Theo định lí Py-ta-go đảo, để AABC vuông tại A ta phải có:
BC’ = AB’ + AC”, tức là BC” = 30° + 40” = 2500 = 50° > BC = 50 (cm)
Bài toán 5: Cho các số: 5, 9, 12, 13, 15, 16, 20 Hãy chọn ra các bộ ba số là độ
đài ba cạnh của một tam giác vng
Phân tích: Đề bộ ba số là độ đài của một tam giác vng thì bình phương của số
lớn nhất bằng tông các bình phương của hai số còn lại
Trang 29e Bài tốn có một hoặc nhiều hướng giải
Ví dụ 5: Hãy phân tích tìm lời giải của bài toán 2 (trang 19)
Bài toán 2: Cho tam giác ABC cân tại A (Â < 90° Vé BE LAC (E € AC), CD
LAB (D € AB)
a) Chứng mình rằng AD = AE
b) Gọi ï là giao điểm của BE và CD Chứng mình rằng AI là tia phan giác của góc A
GV đưa ra câu hỏi, từng bước cùng HS xây dựng sơ đồ phân tích đi lên:
A a) AD =AE 6) AADC =AAEB ) D E S T |
ADC = AEB = 90° AC = AB A chung
* (4) ~ GB)
B C CD L AB(gÐ AABC can tai A
BE | AC (gt) (gt)
(1) Dé chứng minh AD = AE ta nên gắn vào hai tam giác bằng nhau nào?
(2) AADC và AAEB đã có những yếu tố bằng nhau nào rồi? Có thể chứng minh chúng bằng nhau theo trường hợp nào?
(3) Từ gt AABC cân tại A suy ra AC = AB theo định nghĩa hay tính chất? (4 Muốn chỉ ra ADC = 90°, AEB = 90° ta can ctr vao diéu da cho nao?
b) Nếu bài tốn có nhiều hướng phân tích, GV giúp HS nhận xét và đánh
Trang 30AI là tia phân giác BÂC
+
IAB = IAC
—>
II
AIAB=AIAC hoặc AIAD =AIAE
GV: Trong hai hướng phân tích, hướng nào là tối ưu? Tối ưu ở chỗ nào? + AIAB và AIAC có những yếu tố nào bằng nhau?
AI chung; AB = AC (cmt); ABI = ACI (do AAEB = AADC (cmt))
Tuy nhiên ABI khơng phải là góc xen giữa AB và AI, AI khơng phải là
góc xen giữa AC và AI nên không thể dùng để chứng minh AIAB = AIAC được
+ AIAD và AIAE có những yếu tố nào bằng nhau?
ADI = AEI = 90° (cmt); AI chung; AD = AE (cmt)
Như vậy ta chứng minh được hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông
HS: Chứng minh AIAD = AIAE là hướng tối ưu, vì đễ dàng chứng minh
được chúng bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vng
Dạy học tốn hình ở cấp THCS nói chung và chương Tam giác ở lớp 7 nói riêng thường sử dụng phân tích đi lên, hiếm khi đùng phân tích đi xuống
Bài tập tự luyện:
Bài toán 6: Cho tam giác ABC có Â = ơ Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở L Các tia phân giác của các góc ngồi đỉnh B và C cắt nhau ở K Tia phân giác của góc B cắt tia phân giác của góc ngồi đỉnh C ở E Tính số đo các góc BIC, BKC, BEC theo @
Trang 31Bài toán 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM, E e BC Vẽ BH LAE, CK LAE (H, K €AE) Ching minh rang tam gidc MHK cân
Hãy xác định GT - KL va phan tich tìm lời giải của bài toán trên
Bài toán 8: Cho tam giác ABC M và N lần lượt là trung điểm AC và BC Trên
tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME = MB Trên tia đối của tia CN lấy điễm F sao cho PN = FC Chứng mình rằng A là trung điễn của EF
Hãy xác định GT - KL và phân tích tìm lời giải của bài toán trên theo hai
hướng (HD: Chứng minh ba điểm E, A, F thắng hàng bằng hai cách)
2.1.2 Tong hop
Hiểu một cách đơn giản, tổng hợp trái với phân tích 7ổng hợp là dùng trí
óc hợp lại các phần của cái toàn thể, là kết hợp lại, liên kết những bộ phận riêng
lẻ hoặc kết hợp thống nhất các thuộc tính các yếu tơ hay các khía cạnh khác
nhau nằm trong cái toàn thể để nhận thức được cái tồn thé
Phân tích và tổng hợp có mối quan hệ hữu cơ, hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất Phân tích để tơng hợp có cơ sở và tống hợp để phân tích có chiều sâu Để tạo cơ hội rèn luyện và phát triển tư duy cho HS, từ những bài toán có trong sách giáo khoa, sách tham khảo, sách bài tập, giáo viên có thể sửa dé dé kích thích tư duy cho HS
Trong phạm vi toán học, tống hợp (phép tổng hợp) là phương pháp suy
luận đi từ cái đã biết đến cái chưa biết Nếu gọi B là phán đoán cần chứng minh
và các A; hoặc là tiên đề, định lí hoặc là GT đã biết thì sơ đồ của phép tổng hợp
như sau: A= Ao— A; > 7 A, =B
Trong đó: A là một định nghĩa, tiên đề hay một mệnh đề đúng nào đó;
B là mệnh đề cần chứng minh
Trang 32Tổng hợp các trường hợp riêng lẻ, liên kết các yếu tố, mối quan hệ giữa chúng để rút ra KL hoặc tống hợp các bước giải của các bài toán bộ phận vừa phân tích liên kết thành lời giải của bài toán Hoạt động tổng hợp định hướng cho việc phân tích bài toán theo hướng nào; hoạt động phân tích để tìm đường lối giải bài tốn; từ kết quả của hoạt động phân tích, thực hiện hoạt động tổng hợp để trình bày lời giải của bài tốn Trong q trình giải tốn, HS có thể thực
hiện liên tiếp các hoạt động phân tích, tổng hợp để tìm lời giải và khai thác phát
triển bài tốn Qua đó HS vừa được rèn luyện năng lực toán học
Biên pháp I Trên cơ sở phân tích, yêu cầu HS tổng hợp để trình bày lời giải của bài tốn
Ví dụ 6: Trên cơ sở phân tích, hãy trình bày lời giải của bài toán 2
Bài toán 2: Cho tam giác ABC cân tại A (A < 90% Vé BE LAC (E € AC), CD LAB (D € AB)
a) Chitng minh rang AD = AE
b) Gọi 1 là giao điểm của BE và CD Chứng mình rằng AI là tia phân giác của góc A
Phân tích: Xem ví dụ 5 (trang 21, 22)
Tổng hợp: Trình bày lời giải của bài toán như sau: a) Vì AABC cân tại A (gt) nên AB = AC (định nghĩa)
Taco: CD | AB (gt) > ADC = 90° BE 1 AC (gt) > AEB = 90°
Xét AADC va AAEB co:
ADC = AEB = 90° (cmt)
AC= AB (cmt)
Trang 33Do đó AADC = AAEB (cạnh huyền - góc nhọn) => AD = AE (hai cạnh tương ứng) (đpcm) b) Xét AIAD và AIAE có:
ADI = AEI = 90° (do ADC = AEB = 90° (cmt))
AI chung
AD = AE (cmt)
Do do AIAD = ATAE (canh huyén - cạnh góc vng)
= IẤD = IAE (hai góc tương ứng) hay IAB = [AC
Mà AI nằm giữa AB và AC nên AI là tia phân giác của BAC (dpem)
Biện pháp 2 Tống hợp các bài toán thành phần đế giái bài toán phức hợp
Điều này bắt nguồn từ cơ sở: Để giải một bài toán phức hợp ta thường chia nó ra thành các bài toán thành phần (các bài toán đơn giản hơn), rồi tiếp tục chia các bài toán thành phần này thành các bài toán thành phần khác nhỏ hơn Quá
trình dừng lại khi các bài toán thành phần ấy có thể giải được Biện pháp này có
khả năng phát triển được thao tác tổng hợp ở mức độ cao cho HS
Ví dụ 7: Cho đoạn thắng AB, điểm C cách đều hai điểm A va B, diém D cách đều hai điễn A và B Chứng minh rằng CD là đường phân giác của ACB
Nhận xét: Ta cần quan tâm đến vị trí tương đối của hai điểm C và D đối với
đoạn thắng AB (cùng phía hay khác phía đối với AB) Xét hai bài toán thành phần sau:
Bài toán 9: Cho đoạn thẳng AB, điểm C cách đêu hai điểm A và B, điểm D cách
Trang 34Xét AACD và ABCD có:
CD chung; AC = BC (gt); AD = BD (gt)
= AACD = ABCD (c.c.c)
ae A B
=> ACD = BCD (hai góc tương ứng)
Do đó CD là tia phân giác của ACB (đpem) 5
Bài toán 10: Cho đoạn thăng AB, điểm C cách đều hai diém A và B, điễn D
cách đều hai điễn A và B (C và D nằm cùng phía đối với AB) Chứng minh rang CD là đường phân giác của ACB
Trường hợp 1: AD < AC C
Dễ dàng chứng minh được:
AACD = ABCD (c.c.c)
= ACD = BCD (hai goc tuong tg) [x 2 = CD là tia phân giác của ACB
Hay CD là đường phân giác của ACB (đpcm)
Trường hợp 2: AD > AC D AACD = ABCD (c.c.c) > ACD = BCD
Goi {M} =CD NAB ec
AAMD = ABMD (c.g.c) => AM = BM /⁄ `
B
ACM = BCM M
AAMC = ABMC (c.c.c) => ACM = BCM
Trang 35Tổng hợp bài toán 9 và bài toán 10 ta chứng minh được bài tốn phức hợp Tóm lại, phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ thường gặp nhất
trong các bài tốn chứng minh hình học Vì vậy, dé rèn luyện và phát triển năng
lực tư duy cho HS, chúng ta cần coi trọng việc rèn luyện năng lực phân tích và tong hop
Bai tép tw luyén:
Trên cơ sở phân tích tìm lời giải đã làm ở bài tập tự luyện (trang 22, 23), hãy trình bài lời giải của bài toán 6, bài toán 7 và bài toán 8
2.1.3 Đặc biệt hóa
Đặc biệt hóa là chuyên từ trường hợp chung sang trường hợp riêng, sang trường hợp đặc biệt
Ta biết rằng một tính chất đúng trong trường hợp chung thì cũng đúng trong trường hợp đặc biệt, một tính chất sai trong trường hợp đặc biệt thì cũng sai trong trường hợp chung Do đó phương pháp đặc biệt hóa có tác dụng: bác bỏ một mệnh đề, phát hiện một tính chất, đặt ra một bài toán mới
Biện pháp 1 Thay biến số bởi hằng số
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có Ê= 90% Â= 309 Kẻ CD LAB (D € AB),
DE LAC (E &€AC) Tinh dé dai AE nếu AC = a (đơn vị độ đài)
Giải bài toán trên Sau đó đặc biệt hóa bài toán khi a =l0cm, nêu thành bài
toán mới và cho kết quả bài toán mới
Trang 36AC
2 “
Cụ thể ta sẽ chứng minh AADC vng tại D có góc CAD = 30° thì CD=
Lời giải: >
Trên tia đối tia DC lấy điểm F sao cho
DC = DF
Xét AADC va AADF co:
AD chung
ADC = ADF (= 90° do CD L AB (gt)) DC = DF (cach dung)
=> AADC = AADF (c.g.c)
=> AC = AF (hai canh tuong tg); CAD = FAD (hai géc tuong tng) ViCAD = 30° (gt) nén FAD = 30° => CAF = CAD + FAD = 60°
Xét ACAF có AC = AF (cmÐ) nên ACAE cân tai A (dinh nghia)
Lại có CÂF = 60° nên ACAF đều (hệ quả) = CE = AC (định nghĩa)
MàDC = DEF và DC + DE = CF (vì D nằm giữa C và F)
CF AC _:
nén CD =—-; hay CD===_
2 2 2
Xét ACED cé: CED = 90° (do DE 1 AC (gt))
CDE = 30° (do CDE = CAD (cùng phụ với ACD) va CAD = 30° (gt))
D 5
nên Ec=cD.4
Trang 373
Suy ra AE= AC - EC=a- 2“ (đơn vị độ dài)
Đặc biệt hóa bài toán trên khi a =10cm, ta có bài tốn mới sau đây:
Cho tam giác ABC có Ê= 909 Â= 309 Kẻ CD LAB (D cAB), DE LAC
(E € AC) Tính độ dài AE nếu AC = 10cm
AC 10
Tuong tu bai todn g6c: CD= 2 =F =5 (cm)
Ec=CD-
> = 2,5 (cm)
t2|t¬
AE = AC - EC = 10 - 2,5 = 7,5 (cm)
Biên pháp 2 Thay các điều kiện cúa bài toán bởi điều kiện hẹp hơn
hoặc bồ sung thêm các quan hệ mới vào bài tốn
Ví dụ 9: Xét bài toán: Cho xÖy < 909 A là điểm nằm trong góc đó Về các
điểm B và C sao cho Ox là đường trung trực của AB, Oy la dwong trung tric của AC Chứng mình rằng OB = OC, BOC = 2xO0y
Giải bài toán trên Sau đó đặc biệt hóa bài toán khi xỔy = 90°, nêu thành bài toán mới và giải bài toán mới
Lời giải:
Gọi {M} = Ox N AB
Vì Ox là đường trung trực của AB (gt)
= AM =BM và OM L AB
Xét AAOM và ABOM có:
Trang 38
OM chung
OMA = OMB (= 90° do OM L AB (cmt))
AM = BM (cmt)
=> AAOM = ABOM (c.g.c) => OA = OB (hai canh tuong ứng) (1) Chứng minh tương tự: OA = OC (2) Từ (1) và (2) suy ra OB = OC (Œ OA) (đpcm)
Đặc biệt hóa bài tốn trên khi xƯy = 90°, ta có bài tốn mới sau đây:
Cho A là điển nằm trong góc vuông xOy Vẽ các điểm B và C sao cho Ox là đường trung trực của AB, Óy là đường trung trực của AC Chứng mình rằng O là trung điểm của BC
Lời giải:
Tương tự bài toán gốc: AAOM = ABOM (c.g.c)
¥
=> OA = OB (hai cạnh tương ứng)
fe A
va xOA = xÖB (hai góc tương ứng)
Chứng minh tương tự: OA = OC va yOA = yOB
O M X
Tacé: BOC= xOB + xOA + yOA + yOC
=2(xOA + yOA) = 2xOy = 2.90 = 1807
B
BOC = 180° > B, O, C thang hang
Trang 39Ví dụ 10: Cho tam giác ABC cân tại A Kẻ AH LBC (H cBC) a) Chứng mình HB = HC; AH là tia phân giác của BAC
b) Ke HD LAB (D AB), HE LAC (E AC) Chứng minh AHDE cân
c) Nếu cho BAC = 120°thì AHDE trở thành tam giác gì? Vì sao? d) Néu cho BAC = 90 °thi AHDE trở thành tam giác gì? Vì sao?
Lời giải:
A a) Vi AABC can tai A (gt) nén
AB = AC va B, =C, (tinh chất) Xét AABH và AACH có: AH chung D E B,=Œ, (cmt) / ` ⁄ \ AB = AC (cmt) B ! " H => AABH=AACH(c.g.c) => HB = HC (hai cạnh tương ứng) (đpcm)
va BAH = CAH (hai góc tương ứng) nên AH là tia phan gidc cia BAC (dpem)
b) Xét ADBH và AECH có:
BDH = CEH (=90° do HD L AB, HE L AC (gt))
HB = HC (cmt)
B,=C, (cmt)
= ADBH = AECH (canh huyén - géc nhon)
Trang 40
BAC _ 120° 2 5
Vì AH là tia phân giác của BAC (cmt nên BAH = =60°
Xét AAHD có ADH = 90° (vi HD | AB (gt)) nén H, + DAH =90" (tinh chat)
=H, =90 -DAH =90° -BAH = 90° — 60° =30”
Chứng minh tương tự: H, =30°
Ta có: DHE=H, +H, =30° +30° =60°
Vi AHDE can tai H (cmt) cé6 DHE =60°nén AHDE déu (hé qua)
Vay néu cho BAC = 120° thi AHDE tré thanh tam giac déu
d) Tuong ty phan c) ta có: A 0 BAH = BAC = 90" =45° 2 2 D E H, =90° -BAH =90° — 45° =45° U) H, =45 Se DHE =H, + H, =45°+45°=90° B H c
Vì AHDE cân tại H (cmt) có DHE =90”nên AHDE vuông cân tại H (định nghĩa)