Tai lieu HD tu hoc dai so giai tich 11

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG Kí hiệu Pn P(A) Tên gọi Diễn giải Số hoán vò n phần tử Permutation Số chỉnh hợp chập k n phần tử Số tổ hợp chập k n phần tử Combinatory Xác suất biến cố A Giới hạn dãy số (un) Probability Limit Giới hạn hàm số f(x) x dần tới x0 Giới hạn hàm số f(x) x dần tới âm vô cực Giới hạn hàm số f(x) x dần tới dương vô cực Giới hạn bên phải hàm số f(x) x dần tới x0 Giới hạn bên trái hàm số f(x) x dần tới x0 Đạo hàm hàm số y = f(x) Đạo hàm cấp hai hàm số y = f(x) Đạo hàm cấp n hàm số y = f(x) y' f'(x) y'' f''(x) y(n) f(n) (x) dy df(x) Vi phân hàm số y = f(x) n(A) Số phần tử hữu hạn tập A A - Tài liệu lưu hành nội - Differenttial Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Các giá trò lượng giác cung (góc) α: • sinα xác đònh ∀α ∈R sin(α + k2π) = sinα; cosα xác đònh ∀α ∈R cos(α + k2π) = cosα • - ≤ sinα ≤ (sinα≤ 1) - ≤ cosα ≤ (cosα ≤ 1) • tanα xác đònh α ≠ tan(α + kπ) = tanα; cotα xác đònh α ≠ kπ cot(α + kπ) = cotα • Dấu giá trò lượng giác góc α: Phần tư Giá trò lượng giác sinα cosα tanα cotα Bảng giá trò lượng I II III IV + + + + + + + + giác đặc biệt: α (00) sinα cosα tanα kxđ cotα kxđ (300) (450) (600) (900) Công thức lượng giác bản: Z) • sin2α + cos2α = • (α ≠ , k ∈ • (α ≠ kπ, k ∈ Z) • tanα.cotα = ( , k ∈ Z) Giá trò lượng giác cung có liên quan đặc biệt: Cung đối:(-α) Cung bù:(π - α) Cung π: (π + α α Cung phụ:( - α) α) α sin(-α) = -sinα sin(π - α) = sinα cos(-α) = cosα cos(π - α) = α sin(π + α) = -sinα sin( - α) = cosα cos( - α) = sinα tan(-α) = -tanα -cosα cot(-α) = -cotα tan(π - α) = - Tài liệu lưu hành nội - cos(π + α) = -cosα tan(π + α) = tanα cot(π + α) = cotα Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 -tanα cot(π - α) = -cotα tan( - α) = cotα cot( - α) = tanα Các công thức lượn giác thường sử dụng: Công thức cộng: Công thức nhân đôi: Công thức hạ bậc: cos(a - b) = cosacosb + sin2a = 2sinacosa sinasinb cos2a = cos2a - sin2a cos(a + b) = cosacosb = cos2a - sinasinb = - 2sin2a sin(a - b) = sinacosb cosasinb sin(a + b) = sinacosb + cosasinb Công thức biến tích thành tổng: cosacosb = Công thức biến đổi tổng thành tích: [cos(a + b) + cos(a - b)] cosu + cosv = 2cos sinasinb =sinacosb = cos [cos(a + b) - cos(a - b)] cosu - cosv = -2sin sin sinu + sinv = 2sin cos sinu - sinu = 2cos sin [sin(a + b) + sin(a - b)] • Công thức nhân ba: sin3a = 3sina - 4sin3a • Công thức sina + cosa: cos3a = 4cos3a - 3cosa sina + cosa = sin(a + ) sina - cosa = sina + cosa =  Ghi chú: cos(a - ) sina - cosa = - sin(a cos(a + ) ) - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 §1 HÀM SỐ LƯNG GIÁC I- ĐỊNH NGHĨA: Hàm số sin hàm số côsin: a) Hàm số sin: • Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực sinx sin: R → R x y = sinx gọi hàm số sin, kí hiệu y = sinx • Tập xác đònh hàm số sin là: D = R b) Hàm số côsin: • Quy tắc đặt tương ứng số thực x với số thực cosx cos: R → R x y = cosx gọi hàm số côsin, kí hiệu y = cosx • Tập xác đònh hàm số côsin là: D = R Hàm số tang hàm số côtang: a) Hàm số tang: • Hàm số tang hàm số xác đònh công thức y = (cosx ≠ 0), kí hiệu y = tanx • Tập xác đònh hàm số y = tanx là: D = R\{ b) Hàm số côtang: - Tài liệu lưu hành nội - + kπ, k ∈ Z} Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 • Hàm số côtang hàm số xác đònh công thức y = (sinx ≠ 0), kí hiệu y = cotx • Tập xác đònh hàm số y = cotx là: D = R\{kπ, k ∈ Z}  Nhắc lại đònh nghóa hàm số chẵn, hàm số lẻ Xét tính chẵn, lẻ hàm số y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x) y = cot(x) * Nhận xét: Hàm số y = sinx hàm số lẻ, hàm số y = cosx hàm số chẵn, từ suy hàm số y = tanx y = cotx hàm số lẻ II- TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC:  Giải nghóa từ tuần hoàn, lấy ví dụ thực tế đời sống Tìm số T cho f(x + T) = f(x) với x thuộc tập xác đònh hàm số: a) y = sinx; b) y = tanx • Hàm số y = sinx hàm số tuần hoàn với chu kì 2π • Hàm số y = cosx hàm số tuần hoàn với chu kì 2π • Hàm số y = tanx y = cotx hàm số tuần hoàn, với chu kì π III- SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC: Hàm số y = sinx: • Hàm số y = sinx xác đònh với x ∈ R -1 ≤ sinx ≤ 1; • Là hàm số lẻ; • Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π a) Sự biến thiên đồ thò hàm số y = sinx đoạn [0; π]: Hàm số y = sinx đồng biến [0; Bảng biến thiên: x ] nghòch biến [ π y= sinx 0 - Tài liệu lưu hành nội - ; π] Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 * Chú ý: Vì hàm số y = sinx hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thò hàm số đoạn [0; π] qua gốc tọa độ O, ta đồ thò hàm số đoạn [-π; 0] b) Đồ thò hàm số y = sinx R: c) Tập giá trò hàm số y = sinx: Tập giá trò hàm số y = sinx T = [-1; 1] Hàm số y = cosx: • Hàm số y = cosx xác đònh với x ∈ R -1 ≤ cosx ≤ 1; • Là hàm số chẵn; • Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π; • Hàm số y = cosx đồng biến [-π; 0] nghòch biến [0; π] • Bảng biến thiên: x -π π y = cosx -1 -1 • Đồ thò hàm số y = cosx: • Tập giá trò hàm số y = cosx T = [-1; 1] Đồ thò hàm số y = sinx, y = cosx gọi chung đường hình sin Hàm số y = tanx: • Tập xác đònh: D = R\{ , k ∈ Z}; • Là hàm số lẻ; • Là hàm số tuần hoàn với chu kì π; - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 a) Sự biến thiên hàm số y = tanx nửa khoảng [0; Hàm số y = tanx đồng biến nửa khoảng [0; Bảng biến thiên: x ): ) -π y = tanx +∞ * Nhận xét: Khi x gần đồ thò hàm số y = tanx gần đường thẳng x = b) Đồ thò hàm số y = tanx D: • Đồ thò hàm số y = tanx : - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 • Đồ thò hàm số y = tanx D: • Tập giá trò hàm số y = tanx T = (-∞; +∞) Hàm số y = cotx: • Tập xác đònh: D = R\{kπ, k ∈ Z}; • Là hàm số chẵn; • Là hàm số tuần hoàn với chu kì π; a) Sự biến thiên đồ thò hàm số y = cotx khoảng (0; π): Hàm số y = cotx nghòch biến khoảng (0; π) x y = tanx π +∞ -∞ - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 b) Đồ thò hàm số y = cotx D: • Tập giá trò hàm số y = cotx T = (-∞; +∞)  Ghi chú: 10 10 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: 120 120 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 Bài 1: Tìm đạo hàm hàm số sau: 1 y = − x + x − 0,5 x y = x − x + x − a) ; b) ; x 2x 4x y= − + −1 2 c) ; d) y = x (8 − 3x ) Bài 2: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y = (x7 - 5x2)3; b) y = (x2 + 1)(5 - 3x2); c) y = ; d) y = ; e) y = (m, n số) Bài 3: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y = ; b) y = ; c) y = (a số); d) y = Bài 4: Cho y = x − 3x + Tìm x để: a) y’ > 0; b) y’ < Bài tập nâng cao: Bài 1: Bằng đònh nghóa, tính đạo hàm hàm số sau: a) y = + x − x x0 = 1; b) y = x − x + x0 = Bài 2: Cho f(x) = x5 + x3 - 2x - Chứng minh rằng: f'(1) + f'(-1) = -4f(0) Bài 3: Cho f(x) = , g(x) = Giải bất phương trình f(x) ≤ g(x) CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI 121 121 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 122 122 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 §3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC Giới hạn hàm số y =  Tính : máy tính bỏ túi Đònh lí 1: Ví dụ 1: Tính Giải: Ví dụ 2: Tính Giải: Đạo hàm hàm số y = sinx: Đònh lí: Hàm số y = sinx có đạo hàm x R (sinx)’ = cosx * Chú ý: Nếu y = sinu u = u(x) thì: (sinu)’ = u’.cosu Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số y = Giải: 123 123 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 Đạo hàm hàm số y = cosx:  Tính đạo hàm hàm số y = Đònh lí: Hàm số y = cosx có đạo hàm x R (cosx)’ = -sinx * Chú ý: Nếu y = cosu u = u(x) thì: (cosu)’ = -u’.sinu Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số y = cos(x3 - 1) Giải: Đạo hàm hàm số y = tanx:  Tính đạo hàm hàm * Đònh lí: Hàm số y = tanx có đạo hàm x ≠ + kπ, k ∈ Z và: * Chú ý: Nếu y = tanu u = u(x) ta có: Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số y = tan(3x2 + 5) Giải: 124 124 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 Đạo hàm hàm số y = cotx: với x ≠ kπ , k ∈ Z  Tính đạo hàm hàm số y = Đònh lí: Hàm số y = cotx có đạo hàm x ≠ kπ, k ∈ Z và: * Chú ý: Nếu y = cotu u = u(x), ta có: Ví dụ: Tìm đạo hàm hàm số y = cot3(3x - 1) Giải:  Ghi chú: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y = 5sinx - 3cosx; xcotx; b) y = ; c) y = d) y = ; e) y = ; f) y = Bài 2: Chứng nminh hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x: a) y = sin6x + cos6x + 3sin2x.cos2x; 125 125 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 b) y = Bài 3: Giải phương trình f'(x) = 0, biết rằng: a) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x; Bài 4: Tìm đạo hàm hàm số sau: x −1 2x + y= y= 5x − ; − 3x ; a) b) x2 + x + y= x − 3x Bài 5: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y = (9 - 2x)(2x3 - 9x2 + 1); b) f(x) = - sin(π + x) + 2cos y= c) x2 + 2x + 3 − 4x ; b) y = ; d) c) y = ; d) y = tan2x - cot2x; e) y = Bài 6: Tính , biết f(x) = x2 ϕ(x) = 4x + sin Bài tập nâng cao: Bài 1: Giải bất phương trình sau: a) y’ < với y = ; b) y’ ≥ với y = ; c) y’ > với y = Bài 2: Giải bất phương trình f'(x) > g'(x), biết rằng: a) f(x) = x3 +x + - , g(x) = 3x2 + x + ; b) f(x) = 2x3 - x2 + , g(x) = x3 CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI 126 126 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 §4 VI PHÂN Đònh nghóa:  Cho hàm số f(x) = , x0 = ∆ x = 0.01 Tính f'(x0)∆ x Ta gọi tích f'(x)∆x vi phân hàm số y = f(x) x ứng với số gia ∆x Kí hiệu df(x) dy, tức là: dy = df(x) = f'(x)∆x * Chú ý: Áp dụng đònh nghóa vào hàm số y = x, ta có: dx = d(x) = (x)'∆x = 1.∆x = ∆x Do đó, với hàm số y = f(x) ta có: dy = df(x) = f'(x)dx Ví dụ: Tìm vi phân hàm số sau: a) y = x3 - 5x + 1; b) y = sin3x Giải: Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng: f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + f'(x0)∆x Ví dụ: Tính giá trò gần Giải:  Ghi chú: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Tìm vi phân hàm số sau: x y= a + b (a, b số); a) 127 127 - Tài liệu lưu hành nội - b) y = Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 Bài 2: Tìm dy, biết: a) y = tan x ; b) y= cos x − x2 CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI 128 128 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 §5 ĐẠO HÀM CẤP HAI I– ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x ∈ (a; b) Khi đó, hệ thức y' = f'(x) xác đònh hàm số khoảng (a; b) Nếu hàm số y' = f'(x) lại có đạo hàm x ta gọi đạo hàm y' đạo hàm cấp hai hàm số y = f(x) kí hiệu y'' f''(x) * Chú ý: • Đạo hàm cấp ba hàm số y = f(x) đònh nghóa tương tự kí hiệu y''' f'''(x)hoặc f3(x) • Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1, kí hiệu f n - 1(x) (n N, n Nếu fn - 1(x) có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp n f(x), kí hiệu y(n) fn(x) fn(x) = (f(n - 1)(x))' II– Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI: Đạo hàm cấp hai f''(t) gia tốc tức thời chuyển động s = f(t) thời điểm t Ví dụ: Xét chuyển động có phương trình s(t) = Asin(ωt + ϕ) (A, ω, ϕ số) Tìm gia tốc tức thời thời điểm t chuyển động Giải:  Ghi chú: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: a) Cho f(x) = (x + 10)6 Tính f''(2) b) Cho f(x) = sin3x Tính , , Bài 2: Tìm đạo hàm cấp hai hàm số sau: 129 129 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 a) y = ; b) y = ; c) y = tanx; d) y = cos2x CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI 130 130 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 * ÔN TẬP CHƯƠNG V * 131 131 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Tìm đạo hàm hàm số sau: 132 132 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 a) y = ; b) y = d) y = ; ; e) y = c) y = ; ; f) y = Bài 2: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y = d) y = ; ; b) y = ; e) y = Bài 3: Cho hàm số f(x) = c) y = ; ; f) y = Tính f(3) + (x - 3)f'(3) Bài 4: Giải phương trình f'(x) = 0, biết rằng: f(x) = Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến: a) Của hypebol y = điểm A(2; 3); b) Của đường cong y = x3 + 4x2 - điểm có hoành độ x0 = -1; c) Của parabol y = x2 - 4x + điểm có tung độ y0 = Bài 6: Cho f(x) = , g(x) = xsinx Tính Bài 7: Cho hàm số f(x) = tanx g(x) = Tính Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho chuyển động thẳng xác đònh phương trình s = t - 3t2 - 9t, t tính giây s tính mét a) Tính vận tốc chuyển động t = 2s b) Tính gia tốc chuyển động t = 3s c) Tính gia tốc thời điểm vận tốc triệt tiêu d) Tính vận tốc thời điểm gia tốc triệt tiêu Bài 2: Cho hai hàm số y = y = Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò hàm số cho giao điểm chúng Tính góc hai tiếp tuyến kể CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI 133 133 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 134 134 - Tài liệu lưu hành nội - ... sinx; b) y = tanx • Hàm số y = sinx hàm số tu n hoàn với chu kì 2π • Hàm số y = cosx hàm số tu n hoàn với chu kì 2π • Hàm số y = tanx y = cotx hàm số tu n hoàn, với chu kì π III- SỰ BIẾN THIÊN... Dựa vào đồ thò hàm số y = cosx, tìm giá trò x để cosx = 11 11 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 Bài 4: Dựa vào đồ thò hàm số y = sinx, tìm khoảng giá... D = R{ , k ∈ Z}; • Là hàm số lẻ; • Là hàm số tu n hoàn với chu kì π; - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số giải tích 11 a) Sự biến thiên hàm số y = tanx nửa khoảng