Tai lieu HD tu hoc hinh hoc 12

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG Kí hiệu Tên gọi - Tài liệu lưu hành nội - Diễn giải Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: I- MỘT SỐ CÔNG THỨC HÌNH HỌC PHẲNG THƯỜNG SỬ DỤNG: Trọng tâm G tam giác giao Trực tâm H Tâm O đường tròn điểm ba đường trung tam giác ABC ngoại tiếp tam giác giao điểm ba giao điểm ba tuyến, AG = AM đường cao đường trung trực Tâm I đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm ba đường phân giác Tam giác vuông ABC vuông A: • Hệ thức lượng: sinα = AC BC cosα = • Nghòch đảo đường cao bình phương: 1 AB = + 2 AH AB AC BC AC • Độ dài đường trung tuyến AM = BC tanα = cotα AB • Công thức khác: AB AB.AC = AH.BC BA = BH.BC CA = = AC CH.CB • Đònh lí Pitago: BC2 = AB2 + AC2 • Diện tích: S = AB.AC 2 Các công thức đặc biệt: • Diện tích tam giác đều: S = (cạnh)2 × • Chiều cao tam giác đều: h = cạnh × • Độ dài đường chéo hình vuông: l = cạnh × Hệ thức lượng tam giác: • Đònh lí Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bccosA b2 = a2 + c2 - 2accosB c2 = a2 + b - 2abcosC a b c = = = 2R • Đònh lí sin: sin A sin B sin C Các công thức tính diện tích tam giác ABC: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh tương ứng a, b, c; chiều cao tương ứng với góc A, B, C h a, hb, hc; r, R bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ∆ABC; Gọi S diện tích ∆ABC: - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 1 aha = bhb = chc 2 abc •S= • S = pr 4R •S= ) •S= 1 bc sin A = ac sin B = ab sin C 2 • S = p ( p − a)( p − b)( p − c) (với p = a+b+c Diện tích hình đặc biệt khác: • Hình vuông: S = cạnh × cạnh • Hình thoi: S = ngắn) • Hình chữ nhật: S = dài × rộng (chép dài × chéo • Hình thang: S = (đáy lớn + đáy bé) × chiều cao • Hình tròn: S = πR2 • Hình bình hành: S = đáy × chiều cao Hai tam giác đồng dạng đònh lí Talet: • ∆ABC ∽∆MNP chúng có hai góc tương ứng AB MN = • Nếu ∆ABC ∽∆MNP AC MP AM AN MN = = AB AC BC II- MỘT SỐ HÌNH HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THƯỜNG SỬ DỤNG: Hình chóp tứ giác Hình chóp có mp(SAB) ⊥ (ABC) Hình chóp tam giác Hình chóp S.ABC có cạnh bên vuông góc mặt đáy Hình chóp S.ABC có ba cạnh bên tạo với đáy góc α Lăng trụ thường - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 Lăng trụ đứng Hình hộp chữ nhật Hình hộp thường * Chú ý: Lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác * Chú ý: Hình lập phương hình hộp có mặt hình vuông III- MỘT SỐ KIẾN THỨC THƯỜNG SỬ DỤNG: Một số phương pháp chứng minh hình học không gian: • Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Phương pháp: Trình bày giải: Để chứng minh đường thẳng ∆ vuông góc mp(P) ta chứng minh ∆ vuông góc với hai đường ∆ ⊥ a ⊂ (P ) Ta có:  thẳng a, b cắt nằm mp(P) ∆ ⊥ b ⊂ (P ) ⇒ ∆ ⊥ (P) • Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: Phương pháp: Trình bày giải: Để chứng minh đường thẳng ∆ vuông góc với Ta có: ∆ ⊥ (P) ⊃ d đường thẳng d ta chứng minh ∆ vuông góc với ⇒∆ ⊥ d mp(P) chứa d - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 • Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: Phương pháp: Trình bày giải: Để chứng minh mp(Q) ⊥ mp(P) ta chứng minh mp(Q) chứa đường thẳng ∆ vuông góc  ∆ ⊥ ( P) Ta có:  mp(P) ∆ ⊂ (Q) ⇒ (Q) ⊥ (P) Hai đònh lí quan hệ vuông góc: • Đònh lí 1: Nếu mp(P) mp(Q) vuông góc với mp(α) giao tuyến (nếu có) chúng vuông góc mp(α) Góc: Góc đường thẳng mặt phẳng: Góc đường thẳng ∆ mp(α) góc ∆ hình chiếu ∆' mp(α) • Đònh lí 2: Cho mp(P) vuông góc mp(Q) Một đường thẳng d nằm mp(P) vuông góc với giao tuyến ∆ (P) (Q) d vuông góc mp(Q) Góc hai mặt phẳng: Góc hai mặt phẳng (α) (β) góc hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng (α), (β) vuông góc với giao tuyến  Trình bày giải: ( P ) ∩ (Q) = ∆  • Ta có  ( P ) ⊃ d ⊥ ∆  (Q) ⊃ d ' ⊥ ∆   Trình bày giải: • Ta có ∆' hình chiếu ∆ • Suy ra: ((P),(Q)) = (d,d') = ϕ mp(α) • Suy ra: (∆,(α)) = (∆,∆') = ϕ Khoảng cách: Khoảng cách đường Khoảng cách hai đường thẳng chéo thẳng mặt phẳng song nhau: - Tài liệu lưu hành nội Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 song: Khoảng cách đường thẳng ∆ mp(α) song song với khoảng cách từ điểm M ∆ đến mp(α) Khoảng cách hai đường thẳng ∆ ∆' chéo độ dài đoạn vuông góc chung ∆ ∆' với khoảng cách ∆ mp(α) chứa ∆' song song với ∆  Trình bày giải: d(∆,(α)) = d(M,(α)) = MH  Trình bày giải: d(∆,∆') = d(∆,(α)) = d(A,(α)) = AH Đònh lí ba đường vuông góc, công thức diện tích hình chiếu: Gọi d' hình chiếu d (α) Ta có: ∆ ⊥ d' ⇔ ∆ ⊥ d  Ghi chú: S' = Scosα - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 §1 KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN I - KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP: • Khối lăng trụ (chóp) phần không gian giới hạn hình lăng trụ (chóp) kể hình lăng trụ (chóp) Khối chóp cụt phần không gian giới hạn hình chóp cụt kể hình chóp cụt • Điểm không thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) gọi điểm khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) Điểm thuộc khối lăng trụ không thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) gọi điểm khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt)ï hình phần vỏ bọc bên Khối gồm phần vỏ bên phần ruột đặc bên hai điểm M, N điểm khối chóp II- KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN: Khái niệm hình đa diện: • Hình đa diện (gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất: a) Hai đa giác phân biệt điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung b) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác • Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện Đỉnh Cạnh Mặt - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 Khái niệm khối đa diện: • Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện • Những điểm không thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện không thuộc hình đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền trong, tập hợp điểm gọi miền khối đa diện • Mỗi hình đa diện chia điểm lại không gian thành hai miền không giao miền miền hình đa diện, có miền chứa hoàn toàn đường thẳng III- HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU: Phép dời hình không gian: Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M' xác đònh gọi phép biến hình không gian Phép biến hình không gian gọi phép dời hình bảo toàn khoảng cách hai điểm tùy ý * Một số phép dời hình không gian:  a) Phép tònh tiến theo vectơ v : - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 Là phép biến hình biến điểm M thành M' cho MM ' = v b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P): Là phép biến hình biến điểm thuộc (P) thành nó, biến điểm M không thuộc (P) thành điểm M' cho (P) mặt phẳng trung trực MM' Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành (P) gọi mặt phẳng đối xứng (H) c) Phép đối xứng qua tâm O: Là phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M' cho O trung điểm MM' Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành O gọi tâm đối xứng (H) d) Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ (phép đối xứng trục ∆): Là phép biến hình biến điểm thuộc đường thẳng ∆ thành nó, biến điểm M không thuộc ∆ thành điểm M' cho ∆ đường trung trực MM' Nếu phép đối xứng trục ∆ biến hình (H) thành ∆ gọi trục đối xứng (H) * Nhận xét: • Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình • Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H'), biến đỉnh, cạnh, mặt (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng (H') Hai hình nhau: Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình  Ví dụ: Thực liên tiếp hai phép dời hình: phép tònh tiến theo vectơ v phép đối xứng tâm O hình (H) biến thành hình (H'') Ta có: hình (H) hình (H'') - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 IV- PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN: Nếu khối đa diện (H) hợp hai khối đa diện (H 1), (H2) cho (H1) (H2) chung điểm ta nói chia khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H 1) (H2), hay lắp ghép hai khối đa diện (H1) (H2) với để khối đa diện (H) Ví dụ: Ta chia khối hộp chữ nhật thành hai khối lăng trục đứng  Ghi chú: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Phân chia khối chóp tứ giác thành hai khối chóp tam giác Bài 2: Phân chia khối lập phương thành năm khối tứ diện Bài 3: Phân chia khối lập phương thành sáu khối tứ diện CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI 10 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 * Đặc biệt: d ⊥ (α) vectơ  phương ud đường thẳng d phương với vectơ  pháp tuyến n(α ) mp(α)  x = 1+ t  Ví dụ: Chứng minh đường thẳng d:  y = + 2t  z = 3+ 3t  vuông góc với mặt phẳng (α): 2x + 4y + 6z + = ud n (α ) α d Giải: * Một số toán khác: ª Hình chiếu điểm M mp(α): - Tài liệu lưu hành nội - 71 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 * Bước 1: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M vuông góc mp(α) * Bước 2: Xác đònh giao điểm M' ∆ với mp(α) M' hình chiếu cần tìm Ví dụ: Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vuông góc điểm M(1; -1; 2) mặt phẳng (α) có phương trình: 2x - y + 2z + 11 = Giải: ª Giao tuyến mặt phẳng (P) mặt cầu (S): * Bước 1: Tìm hình chiếu O mp(P) * Bước 2: Tính OH khoảng cách từ O đến mp(P) * Bước 3: Giao tuyến cần tìm đường tròn (C) tâm H bán kính r' = r − OH Ví dụ: Cho mặt cầu (S) có phương trình: (x - 3) + (y + 2)2 + (z - 1)2 = 100 mặt phẳng (α) có phương trình: 2x - 2y - z + = Mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) Hãy xác đònh tọa độ tâm tính bán kính đường tròn (C) Giải: 72 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 ª Tìm điểm M' đối xứng với điểm M qua mp(α): * Bước 1: Tìm hình chiếu I điểm M mp(α) * Bước 2: Tìm điểm M' cho I trung điểm M M' Đó điểm đối xứng cần tìm Ví dụ: Cho điểm M(2; 1; 0) mặt phẳng (α): x + 3y - z - 27 = Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mp(α) Giải: - Tài liệu lưu hành nội - 73 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 ª Tìm điểm M' đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆: * Bước 1: Viết phương trình mp(α) qua M vuông góc với đường thẳng ∆ * Bước 2: Xác đònh giao điểm I (α) ∆ (I hình chiếu M ∆ ) * Bước 3: Tìm điểm M' cho I trung điểm M M' Đó điểm đối xứng cần tìm  x = + 2t  Ví dụ: Cho điểm A(1; -2; -5) đường thẳng ∆:  y = −1 − t  z = 2t  a) Tìm hình chiếu A ∆ b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua ∆ c) Tính khoảng cách từ A đến ∆ Giải: 74 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 ª Khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆ ∆': * Bước 1: Viết phương trình mp(α) chứa ∆' song song đường thẳng ∆ * Bước 2: Tìm điểm A ∆ * Bước 3: Tính khoảng cách từ A đến (α)  x = 1+ t' x −1 y − z  = = ∆':  y = − 2t ' Tính khoảng Ví dụ: Cho hai đường thẳng ∆: −1  z =1  cách hai đường thẳng ∆ ∆' Giải: - Tài liệu lưu hành nội - 75 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 ª Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng x −3 z+2 = y −1 = Ví dụ: Cho mp(α): 3x - 2y - z + = đường thẳng ∆: a) Hãy chứng tỏ ∆ song song mp(α) b) Tính khoảng cách ∆ (α) Giải: 76 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 ª Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Ví dụ: Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song (α): x + 2y + 2z + 11 = (β) cho phương trình: x + 2y + 2z + = Giải: ª Phương trình đường cao tam giác không gian: Đường cao AH ∆ABC qua A vuông góc với giá hai vectơ  n = [ AB, AC ] CB Ví dụ: Viết phương trình đường cao AH tam giác ABC biết A(1; 0; 6), B(0; 2; -1), C(1; 4; 0) Giải: - Tài liệu lưu hành nội - 77 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12  Ghi chú: 78 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 - Tài liệu lưu hành nội - 79 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Viết phương trình tham số đường thẳng d trường hợp sau:  a) d qua điểm M(5; 4; 1) có vectơ phương a = (2;−3;1) b) d qua điểm A(2; -1; 3) vuông góc với mặt phẳng (α) có phương trình x + y - z + =  x = + 2t  c) d qua điểm B(2; 0; -3) song song với đường thẳng ∆:  y = −3 + 3t  z = 4t  d) d qua hai điểm P(1; 2; 3) Q(5; 4; 4) e) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(3; 2; -1) song song x −1 y +1 z = = đường thẳng −3 Bài 2: Xét vò trí tương đối cặp đường thẳng d d' cho phương trình sau:  x = −3 + 2t  x = + t'  x = 1+ t  x = + 2t '     a) d:  y = −2 + 3t d':  y = −1 − 4t ' b) d:  y = + t d':  y = −1 + 2t '  z = + 4t  z = 20 + t ' z = 3−t  z = − 2t '      x = 1− t  x = 1+ t'   c) d:  y = + 2t d':  y = − 2t '  z = 3t  z =1    x = 7t   y = − 4t  z = + 5t  d) d: x + y +1 z − = = d': Bài 3: Tìm số giao điểm đường thẳng d với mp(α) trường hợp sau:  x = 12 + 4t  x = 1+ t   a) d:  y = + 3t (α): 3x + 5y - z - = 0; b) d:  y = − t (α): x + 3y  z = 1+ t  z = + 2t   + z + = 0;  x = 1+ t  b) d:  y = + 2t (α): x + y + z - =  z = − 3t   x = −3 + 2t  Bài 4: Tính khoảng cách đường thẳng ∆:  y = −1 + 3t mp(α): 2x - 2y + z  z = −1 + 2t  + = 80 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12  x = + at  x = 1− t'   Bài 5: Tìm a để hai đường thẳng sau cắt d:  y = t d':  y = + 2t '  z = −1 + 2t  z = − t'    x = 2+t  Bài 6: Cho đường thẳng d:  y = −3 + 2t Viết phương trình tham số  z = + 3t  đường thẳng hình chiếu vuông góc d mặt phẳng tọa độ  x = 2+t  Bài 7: Cho điểm A(1; 0; 0) đường thẳng ∆:  y = + 2t  z=t  a) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vuông góc điểm A đường thẳng ∆ b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng ∆ Bài 8: Cho điểm M(1; 4; 2) mặt phẳng (α): x + y + z - = a) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vuông góc điểm M mp(α) b) Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mp(α) c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(α) Bài tập nâng cao: Bài 1: Giải toán sau phương pháp tọa độ: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mp(A'BD) mp(B'D'C) Bài 2: Cho hai mp(P): 2x - y - 11 = mp(Q): x - y - z + = a) Chứng minh mp(P) cắt mp(Q); b) Tìm phương trình đường thẳng giao tuyến hai mp(P) mp(Q) x−2 y −3 z +4 x +1 y − z − = = , d2 : = = Bài 3: Cho hai đường thẳng d1 : −5 −2 −1 a) Chứng tỏ hai đường thẳng chéo b) Viết phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng c) Tính khoảng cách hai đường thẳng CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI - Tài liệu lưu hành nội - 81 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 82 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 * ÔÂN TẬP CHƯƠNG III * BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1) - Tài liệu lưu hành nội - 83 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 a) Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện b) Tìm góc hai đường thẳng AB CD c) Tính độ dài đường cao hình chóp A.BCD Bài 2: Cho mặt cầu (S) có đường kính AB biết A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7) a) Tìm tọa độ tâm I tính bán kính r mặt cầu (S) b) Lập phương trình mặt cầu (S) c) Lập phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm A Bài 3: Cho bốn điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0) a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD tứ diện b) Tính chiều cao AH tứ diện ABCD c) Viết phương trình mp(α) chứa AB song song với CD Bài 4: Lập phương trình tham số đường thẳng: a) Đi qua hai điểm A(1; 0; -3), B(3; -1; 0)  x = −2 + 2t  b) Đi qua điểm M(2; 3; -5) song song với đường thẳng ∆:  y = − 4t  z = −5t  Bài 5: Cho mặt phẳng (α) có phương trình 3x + 5y - z - = đường thẳng  x = 12 + 4t  d:  y = + 3t  z = 1+ t  a) Tìm giao điểm M đường thẳng d mp(α) b) Viết phương trình mp(β) chứa điểm M vuông góc với đường thẳng d  Bài 6: Cho điểm A(-1; 2; -3), vectơ a = (6;−2;−3) đường thẳng d có phương  x = + 3t  trình  y = −1 + 2t  z = − 5t  a) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa điểm A vuông góc với giá  a b) Tìm giao điểm d (α) c) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A, vuông góc với giá  a cắt đường thẳng d Bài tập nâng cao: Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2  x = −5 + 2t  - 10x + 2y + 26z + 170 = song song với hai đường thẳng d:  y = − 3t ; d':  z = −13 + 2t   x = −7 + 3t '   y = −1 − 2t '  z =8   x=t  x = − 2t '   Bài 2: Cho hai đường thẳng d:  y = −4 + t d':  y = −3 + t ' Viết phương trình  z = 3−t  z = − 5t '   đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Oxz) cắt hai đường thẳng d, d' - Tài liệu lưu hành nội 84 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 - Tài liệu lưu hành nội - 85 ... Loại Tên gọi Số Số Số đỉnh cạnh mặt {3; 3} Tứ diện {4; 3} Lập phương 12 {3; 4} Bát diện 12 {5; 3} Mười hai mặt 20 30 12 {3; 5} 12 30 20 Hai mươi mặt  Ghi chú: ... mp(P) vuông góc với giao tuyến ∆ (P) (Q) d vuông góc mp(Q) Góc hai mặt phẳng: Góc hai mặt phẳng (α) (β) góc hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng (α), (β) vuông góc với giao tuyến  Trình bày giải:... 12 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12