Xích markov và ứng dụng trong vấn đề trộn bài

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ HẰNG XÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẤN ĐỀ TRỘN BÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN XÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẤN ĐỀ TRỘN BÀI Chuyên ngành: Toán ứng dụng KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN VĨNH ĐỨC Hà Nội – Năm 2017 Mục lục Lời cảm ơn GIỚI THIỆU XÍCH MARKOV 1.1 Xích Markov hữu hạn 1.2 Biểu diễn ánh xạ ngẫu nhiên 10 1.3 Tính tối giản phi tuần hoàn 11 1.4 Hành trình ngẫu nhiên đồ thị 12 1.5 Phân phối dừng 13 1.6 Tính khả nghịch thời điểm nghịch đảo 15 1.7 Phân loại trạng thái xích Markov 17 1.8 Ví dụ 18 Trộn 22 2.1 Nhóm đối xứng 22 2.1.1 Ký hiệu chu trình 23 2.1.2 Sinh hoán vị ngẫu nhiên 24 2.1.3 Tính chẵn lẻ hoán vị 25 2.2 Sự đổi chỗ ngẫu nhiên 27 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học MỤC LỤC 2.2.1 Chặn ghép đôi 28 2.2.2 Chặn qua thời điểm dừng mạnh 30 2.2.3 Chặn 34 2.3 Trộn trang 35 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, thầy cô tổ môn Toán Ứng Dụng thầy cô tham gia giảng dạy tận tình truyền đạt tri thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Đặc biệt,tôi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Vĩnh Đức, người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Hằng GIỚI THIỆU Lý chọn đề tài Việc tráo chủ yếu phương pháp để giảm khả gian lận cách thao túng thứ tự quân để đạt lợi Vậy tráo lần để đạt đến ngẫu nhiên cần thiết vấn đề ta nghiên cứu luận Mục đích nghiên cứu Ta vận dụng tính dừng xích Markov để tính toán số lần tráo để ngẫu nhiên Rèn luyện tư nghiên cứu khoa học nâng cao trình độ nhận thức thân Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Xích Markov ứng dụng Phạm vi nghiên cứu: Cách tráo ngẫu nhiên Khóa luận tốt nghiệp Đại học MỤC LỤC Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp tài liệu, xếp vấn đề nghiên cứu cách lôgic có hệ thống Nội dung nghiên cứu Chương 1: Xích Markov hữu hạn Trình bày khái niệm Markov, ví dụ cụ thể tính chất xích Markov Chương 2: Ứng dụng tính dừng xích Markov vào trộn Hà Nội, 05/2017 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Hằng Chương XÍCH MARKOV 1.1 Xích Markov hữu hạn Một xích Markov hữu hạn trình mà chuyển động phần tử tập hữu hạn Ω xác định sau: x ∈ Ω, vị trí có phân bố xác suất P (x, ·) Đặc biệt hơn, dãy dãy ngẫu nhiên(X0, X1, ) xích Markov với không gian trạng thái Ω ma trận chuyển P ∀x, y ∈ Ω, với t ≥ Ht−1 = ∩t−1 s=0 {Xs = xs } thỏa mãn P(Ht−1 ∩ {Xt = x}) > 0, ta có P{Xt+1 = y | Ht−1 ∩ {Xt = x}} = P{Xt+1 = y | Xt = x} = P (x, y) (1.1) Phương trình (1.1) gọi tính chất Markov, có nghĩa xác suất có điều kiện từ trạng thái x vào trạng thái y nhau, ta không quan tâm dãy x0, x1, xt−1 trạng thái đứng trước x Ví dụ sau giải thích ma trận P , |Ω| × |Ω| phần tử thỏa mãn mô tả chuyển động Xét hàng thứ x ma trận P có phân bố P (x, ·) Do P ngẫu Khóa luận tốt nghiệp Đại học CHƯƠNG XÍCH MARKOV nhiên, chứa tất phần tử không âm P (x, y) = 1, ∀x ∈ Ω y∈Ω Ví dụ 1.1.1 Một ếch sống ao hai sen, phía đông tây, sen có đồng xu Mỗi buổi sáng ếch định nhảy sang sen việc tung đồng xu sen mà đứng Sau tung đồng xu, đồng xu xuất mặt ngửa nhảy sang sen Nếu đồng xu xuất mặt sấp lại sen cũ Hình 1.1: Bước nhảy ngẫu nhiên ếch, đồng tiền suất mặt ngửa nhảy sang khác Cho Ω = {e, ω} (X0 , X1, ) dãy sen mà ếch vào ngày chủ nhật, thứ hai, Gọi đồng xu phía đông xuất mặt ngửa có xác suất p, đồng xu xuất mặt ngửa phía tây có xác suất q Quy tắc bước nhảy ếch thật đơn giản ta đặt     P (e, e) P (e, w) 1−p p = , P = P (w, e) P (w, w) q 1−q (1.2) (X0 , X1, ) xích Markov với ma trận chuyển P Chú ý hàng ma trận P phân phối có điều kiện Xt+1 cho Xt = e, hàng thứ hai phân phối có điều kiện Xt+1 cho Xt = w Giả thiết ếch phía đông vào ngày chủ nhật Khi tỉnh dậy vào ngày thứ hai, xác suất p chuyển sang phía Khóa luận tốt nghiệp Đại học CHƯƠNG TRỘN BÀI Khi giá trị t thỏa mãn at = i τi+1 = Do n−1 E(τ ) < n i=0 < n2 (n − i) ∞ i=1 i2 Bất đẳng thức Markov Corollary cho 0(n2) bị chặn tmix Tuy nhiên, thời điểm dừng ta thảo luận mạnh 2.2.2 Chặn qua thời điểm dừng mạnh Mệnh đề 2.2 Trong trộn đổi chỗ ngẫu nhiên, cho Rt Lt quân chọn tay phải tay trái, tương ứng thời điểm t Giả sử t = 0, quân đánh dấu Thời điểm t, ta đánh dấu quân Rt điều sau thỏa mãn • Rt không đánh dấu • Lt thẻ đánh dấu Lt = Rt Cho τ thời điểm quân đánh dấu Thì τ thời điểm dừng mạnh cho xích Ở ta giải thích xích chuyển động có thời điểm dừng mạnh Một cách để sinh hoán vị ngẫu nhiên xây dựng chồng quân bài, thời điểm t, chèn quân vào ngẫu nhiên vị trí tương đối so với quân có chồng Đối với thời điểm dừng mô tả trên, quân đánh dấu theo trình tự 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học CHƯƠNG TRỘN BÀI Chứng minh Rõ ràng τ thời điểm dừng Để chứng minh thời điểm dừng mạnh, ta chứng minh yêu cầu phép quy nạp t.Cho Vt ⊆ [n] tập quân đánh dấu trước thời điểm t Ut ⊆ [n] tập vị trí Vt sau đổi chỗ lần thứ t Chúng cho t, Vt Ut tất hoán vị quân Vt vị trí Ut có khả tương đương Điều rõ ràng t = (và tiếp tục thời điểm hầu hết quân đánh dấu) Bây giờ, giả sử với t Người trộn ngẫu nhiên chọn quân Rt+1 Lt+1 • Nếu quân đánh dấu Vt+1 = Vt Điều xảy theo cách - Các quân Rt+1 Lt+1 khác không đánh dấu Thì Rt+1 Lt+1 tương ứng với Vt Ut - Nếu Rt+1 Lt+1 đánh dấu chu trình trước , Ut+1 = Ut người trộn áp dụng đổi chỗ ngẫu nhiên với quân Vt Tất hoán vị Vt có xác suất - Mặt khác, Lt+1 không đánh dấu Rt+1 đánh dấu chu trình trước Để có vị trí tập Ut+1, xóa vị trí ( thời điểm t) Rt+1 cộng thêm vào vị trí ( thời điểm t ) Lt+1 Đối với tập cố định Ut, tất lựa chọn Rt+1 ∈ Ut 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học CHƯƠNG TRỘN BÀI nhau, tất hoán vị Vt Ut Do đó, vị trí thêm vào xóa xác định, tất hoán vị Vt Ut+1 • Nếu quân Rt+1 đánh dấu Lt+1 phần tử Vt+1 = Vt ∪ {Rt+1}, Ut+1 bao gồm Ut với vị trí Rt+1 ( thời điểm t) Chỉ định hoán vị Vt Ut quân Lt+1 xác định hoán vị Vt+1 Ut+1 Tất hoán vị có khả Trong trường hợp, tổ hợp tất hoán vị quân Vt tập cố định Ut Chú ý 2.2.1 Trong chứng minh trước tiểu mục bước quy nạp mà quân đánh dấu , giống kiểm tra phân phối trộn ngẫu nhiên dừng Chú ý 2.2.2 Như Diaconis (1988) ra, đổi chỗ ngẫu nhiên, số quy tắc đánh dấu quân đơn giản không cho thời điểm dừng mạnh Bổ đề 2.1 Thời điểm dừng τ định nghĩa mệnh đề 2.2 thỏa mãn E(τ ) = 2n(logn + 0(1)) V ar(τ ) = 0(n2) Chứng minh Như số lần thu phiếu giảm giá, phân tích: τ = τ0 + + τn−1 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học CHƯƠNG TRỘN BÀI Ở τk số lần đổi chỗ sau quân thứ k đánh dấu, kể quân thứ k + đánh dấu Các quy tắc định mệnh đề 2.2 ngụ ý τk biến ngẫu nhiên hình học với xác suất thành công (k+1)(n−k) n2 phần tử τi độc lập với Do n−1 E(τ ) = k=0 n2 (k + 1)(n − k) Ta biến đổi 1 1 = ( − ), (k + 1)(n − k) n + k + n − k tóm lại j=1 = logn + 0(1) j Bây giờ, phương sai, ta viết n−1 V ar(τ ) = k=0 (k+1)(n−k) n2 (k+1)(n−k) n2 1− n−1 < k=0 n4 (k + 1)2(n − k)2 Tách tổng thành phận V ar(τ ) < 0≤k< n2 n4 + (k + 1)2(n − k)2 2n4 < n (2) 0≤k< n2 n ≤k≤n n4 (k + 1)2(n − k)2 = 0(n2) (k + 1) Hệ 2.1 Đối với chuỗi đổi chỗ n-quân tmix ≤ (2 + 0(1))nlogn 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học CHƯƠNG TRỘN BÀI Chứng minh Cho τ thời điểm dừng Broder định nghĩa 2.2 cho t0 = E(τ ) + V ar(τ ) Theo bất đẳng thức Chebysher P (τ > t0 ) 2.2.3 Chặn Mệnh đề 2.3 Cho o < ε < Đối với chuỗi đổi chỗ ngẫu nhiên n-quân bài, tmix ≥ n−2 1−ε log( n) Chứng minh Dễ thấy, số điểm cố định hoán vị ngẫu nhiên Sn 1, không kể giá trị n Cho F (δ) biểu thị số điểm cố định hoán vị δ Nếu qua phép đổi chỗ thu δ đồng F (δ) nhỏ nhất, số lượng quân không đổi chỗ số quân trở lại vị trí ban đầu chúng Chuỗi tráo xác định đổi chỗ cách chọn cặp quân độc lập cách ngẫu nhiên Do đó, sau t lần tráo , số lượng quân không đổi chỗ R2t số loại phiếu thưởng không thu hồi sau 2t bước chuỗi tổ hợp phiếu Cho A = {δ : F (δ) ≥ µ2 Chúng ta so sánh xác suất A phân phối dừng π P t (id, ) Đầu tiên π(A) ≤ , µ bất đẳng thức Markov Mặt khác, R2t có kì vọng µ = n(1 − )2 , n 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học CHƯƠNG TRỘN BÀI phương sai bị chặn µ.Theo Chebysher P t (id, Ac) ≤ P {R2t ≤ µ n }≤ µ = (2) µ Theo định nghĩa khoảng cách biến thiên toàn phần biến , ta có ||Pnt (id, ) − π||T V ≥ − µ Ta muốn tìm t nhỏ để µ ≥ ε, tương đương n(1 − )2t = µ ≥ n 1−ε Điều logn( n n(1 − ε) ) ≥ 2tlog( ) n−1 (2.3) Sử dụng bất đẳng thức : log(1 + x) ≤ x, ta có log( n )≤ , n−1 n−1 nên bất đẳng thức (2.3) trở thành logn( Khi đó, t ≤ n(1 − ε) 2t )≥ n−1 n(1−ε) n−1 log( ) d(t) ≥ − 2.3 = ε µ Trộn trang Phương pháp thường sử dụng trộn thật 52 quân sau : đầu tiên, người trộn cắt thành chồng Sau 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học CHƯƠNG TRỘN BÀI Hình 2.2: Trộn trang Hình 2.3: Sau xáo trộn ngẫu nhiên đó, chồng xếp xen kẽ với nhau: xếp quân chồng để tạo thành chồng Có hai khía cạnh không xác định kĩ thuật Thứ nhất, số quân chồng sau cắt khác Thứ hai, người tráo lấy từ chồng số quân để xếp xen kẽ khác May mắn cho nhà toán học có mô hình toán học dễ vận dụng cho trộn trang Dưới cách trộn n quân (1) Cho M nhị thức (n, 21 ) biến ngẫu nhiên chia thành M quân n-M quân Có n M cách để xếp chồng lại với nhau, giữ nguyên trật tự tương đối chồng ( trước tiên chọn vị trí cho M quân đầu tiên, sau phủ quân chồng) Chọn cách xếp cách ngẫu nhiên (2) Cho M nhị thức (n, 21 ) biến ngẫu nhiên chia thành M quân n-M quân Hai chồng giữ bàn sau lấy chồng quân tạo thành chồng Nếu thời điểm cụ thể chồng bên trái chứa a quân chồng bên phải chữa b quân bài, lấy quân đáy chồng bên trái có xác suất có xác suất b a+b a a+b đáy chồng bên phải Tiếp tục dùng kĩ thuật tất 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học CHƯƠNG TRỘN BÀI quân lấy hết (3) Gán nhãn n với n bit độc lập chọn cách độc lập Đưa tất quân nhãn lên đầu chồng , giữ nguyên trật tự tương đối chúng Hình 2.4: Xáo trộn 13 quân bài, lần Một chuỗi tăng hoán vị δ tập tối đa giá trị liên tiếp mà xảy theo thứ tự tương đối xác δ ( Ví dụ, hoán vị cuối hình 3.1 có dãy tăng (1, 2, 3, 4), (4, 6), (7, 8, 9, 10), (11, 12, 13) ) Chúng ta cho phương pháp (1), (2) sinh phân bố Q hoán vị Ở Q(δ) =   n+1   n   2  n     0 δ = id , δ có xác chuỗi tăng, (2.4) trái lại Rõ ràng phương pháp (1) sinh Q, điều khó khăn phải chọn hoán vị đồng nhất, không kể giá trị M Với N, phương pháp (2) gán xác suất M M !(n−M )! n! = n −1 M cho xen kẽ có thể, bước lấy quân quân phải bỏ Đối với phân bố R Sn , phân bố nghịch đảo R thỏa mãn R(ρ) = R(ρ−1) Chúng ta nói phương pháp (3) tạo Q Tại lại nói vậy? Các quân có nhãn hình thành chuỗi tăng ρ−1 Và quân có nhãn có dạng khác ( 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học CHƯƠNG TRỘN BÀI Có n + cách sinh hoán vị đồng nhất, cụ thể là, tất chuỗi có mẫu 00 011 11) Sử dụng Lí thuyết (nói hành trình ngẫu nhiên nhóm nghịch đảo nó, hai dạng đồng nhất, có khoảng cách từ tính đồng đến số bước.) để phân tích phương pháp (3) Bây xem xét lặp lặp lại nghịch đảo tráo trang bài, sử dụng phương pháp (3) Với tráo đầu tiên, quân gán bit ngẫu nhiên tất số đưa phía trước tất số Đối với lần tráo thứ 2, quân xác định bit ngẫu nhiên tất số đưa phía trước tất số Xem xét bit ( viết phần thứ bên trái ), thấy quân có nhãn 11 (xem hình 2.2) Sau tráo k lần, quân gán nhãn với chuỗi k bit, quân với nhãn khác xếp theo thứ tự ( quân nhãn đặt thứ tự ban đầu chúng) Hình 2.5: Khi nghịch đảo xáo trộn trang, xác định bit cho vòng sau xếp chút Bây cần ước tính xác suất phần lại thời điểm dừng mạnh Tuy nhiên, thời điểm dừng τ ví dụ toán sinh nhật, với "số người" cố định, cần tìm số thích hợp để tất người có sinh nhật khác nhau, với xác suất cao Mệnh đề 2.4 Trong tráo trang n quân bài, 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học CHƯƠNG TRỘN BÀI tmix ≤ log2 ( 4n ), với n đủ lớn Chứng minh Xem xét tráo trang nghịch đảo n quân cho τ thời điểm dừng định nghĩa mệnh đề 2.2 Nếu τ ≤ t n quân khác gán nhãn sau t lần tráo trang nghịch đảo Do đó, n−1 (1 − P (τ ≤ t) = k=0 k ), 2t có nhãn có khả Cho t = log2( nc ) t Thì 2t = n2 c2 ta có n−1 log k=0 k (1 − t ) = − n−1 ( k=0 c2 k k + 0( )) n2 n2 n3 c2 n(n − 1) + 0( ) =− 2n2 n c = − + 0( ) n Do limn→∞ P (τ− ≤t) = c2 e Lấy giá trị c cho c < log 43 ≈ 0, 7585 cho giới hạn tmix = tmix ( 41 ) Một giá trị thuận lợi để sử dụng 34 , kết hợp với mệnh đề 7.1.1 cho giới hạn Hình 2.6: Mười lăm câu đố Mệnh đề 2.5 Cố định ε > 0, δ < Xem xét tráo trang n quân Với n đủ lớn tmix (ε) ≥ (1 − δ) log2 n 39 (2.5) Khóa luận tốt nghiệp Đại học CHƯƠNG TRỘN BÀI Chứng minh Có tối đa 2n trạng thái xảy bước chuỗi Vì sinh hành ngẫu nhiên sử dụng n bit không độc lập Do log2 ∆ ≤ n, ∆ đọ lệch cực đại: ∆ : maxx∈Ω dout (x), dout(x) := |{y : P (x, y) > 0}| số trạng thái xem xét bước từ x Không gian có n! công thức Stirling cho thấy log2 n! = [1 + 0(1)]n log2 n Sử dụng ước tính ta thấy với tất δ > n đủ lớn mệnh đề 2.5 Định lí tiếng xích Markov gọi "bảy xáo trộn đủ", (để xáo trộn tiêu chuẩn 52 quân bài), kết Bayer Diaconis (1992) trình bày tờ New York Times (Kolata, ngày tháng năm 1990) Nhiều thuyết trình sơ cấp trộn trang viết Các mô hình cho trộn trang mà thảo luận phát triển Gilbert Shannom Bell Labs vào năm 1950 sau độc lập với Reeds Nó tự nhiên để hỏi xem liệu trộn Gilbert- Shannom- Reeds (GSR) mô hình hợp lí với cách mà người trộn quân với Diaconis (1998) báo cáo ông Reeds trộn liên tục, Reeds trộn có kích thước gói phù hợp với mô hình GSR tốt, vòng lặp Diaconis có nhiều gói nhỏ Sự khác biệt không đáng ngạc nhiên, Diaconis nhà ảo thuật gia thực 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học CHƯƠNG TRỘN BÀI hoàn hảo xáo trộn Có nhiều điều biết thay đổi GSR so với thảo luận cho thấy xáo trộn trang có cắt t = 32 n log n Diaconis, Mc Grath Ritman (1995) tính xác suất xác hoán vị có tính chất khác có kết đẹp với tổ hợp đại số Quan sát Diaconis (2003) để khảo sát phân tích toán học trộn trang Có phải thực tế bảy lần xáo trộn đủ để 52 quân ngẫu nhiên? Bayer Diaconis (1992) người đưa giá trị rõ ràng cho khoảng cách biến thiên toàn phần dừng sau lần xáo trộn khác (Xem hình 2.7) Hình 2.7: Khoảng cách biến thiên toàn phần từ tính dừng(chính xác đến chữ số), sau t lần trộn trang 52 quân bài, với t = 1, 2, , 12 Sau lần xáo trộn, khoảng cách biến thiên toàn phần xấp xỉ 0,3341 Nghĩa là, sau lần xáo trộn, xác suất lần trộn định có xác suất khác khoảng 0,3341 so với giá trị phân bố Thật vậy, Peter Poyle mô tả phận ngẫu nhiên đồng xác 21 , có xác suất chiến thắng với cỗ dẫ GSR xáo trộn lần so với trộn tiêu chuẩn 0,01 (tính theo Zuylen Schalekamp (2004)) Cuối câu hỏi có lần lặp lại cho 52 quân ý kiến, toán học thực tế Tuy nhiên,có trò chơi chơi người mà có lần lặp lại rõ ràng không đủ Hợp lí mức độ thay đổi khoảng cách biến thiên toàn phần khoảng phần trăm, tương đương 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học CHƯƠNG TRỘN BÀI với nhà trò chơi casino Ngưỡng cho thấy 11 12 số lần trộn ngẫu nhiên 42 KẾT LUẬN Trong khoá luận "Xích Markov ứng dụng vấn đề trộn bài", trình bày số tính chất xích Markov, điển hình tính dừng ứng dụng tính dừng trộn Các kết mà đạt (1) Trình bày định nghĩa xích Markov tính chất xích Markov Xây dựng ví dụ minh họa xích Markov (2) Chứng minh mệnh đề, tính chất xích Markov (3) Trình bày kĩ thuật trộn thời điểm ngẫu nhiên cần thiết 43 Tài liệu tham khảo [1] David A Levin, Yuval Peres, Elizabeth L Wilmer.(2000) ”Markov Chains and Mixing Times” [2] Diaconis, P.; Graham, R L.; Kantor, W M (1983) ” The mathematics of perfect shuffles” [3] Morris, S Brent (1998) ”Magic Tricks, Card Shuffling, and Dynamic Computer Memories” 44 ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN XÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẤN ĐỀ TRỘN BÀI Chuyên ngành: Toán ứng dụng KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI... Xích Markov hữu hạn Trình bày khái niệm Markov, ví dụ cụ thể tính chất xích Markov Chương 2: Ứng dụng tính dừng xích Markov vào trộn Hà Nội, 05/2017 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Hằng Chương XÍCH... nghiệp Đại học CHƯƠNG TRỘN BÀI Một phân bố xác suất µ nhóm đối xứng mô tả kĩ thuật xáo trộn quân bài: áp dụng hoán vị µ vào với xác suất µ(δ) Xáo trộn nhiều lần cách sử dụng kĩ thuật tương đương