Ánh xạ và nội dụng dạy học ánh xạ ở phổ thông

Sự liên hệ đó thể hiện nhiều trong các chủ đề như: Lý thuyếttập hợp, quan hệ, ánh xạ, ...Song do sự hạn chế về tri thức của họcsinh phổ thông nên việc trình bày của sách giáo khoa phổ th

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN:

Dương Thị Luyến

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong Tổ đại số, các thầy cô trong khoa Toán, các thầy giáo, cô giáo trường ĐHSP Hà Nội 2 và các bạn sinh viên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới cô ThS Dương Thị Luyến - Giảng viên khoa Toán người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình hoàn thiện khóa luận này.

Do thời gian có hạn và năng lực bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót Em xin kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn và có nhiều ứng dụng trong thực tế.

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 04 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

La Thị Phượng

LỜI CAM ĐOAN

Em xin khẳng định rằng: Đây là công trình nghiên cứu khoa học của em do bản thân em đã nghiên cứu và hoàn thiện trên cơ sở những kiến thức đã đọc và đọc thêm tài liệu tham khảo dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ của cô ThS Dương Thị Luyến Nó không trùng lặp với kết quả của bất cứ người nào khác.

Hà Nội, ngày 04 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

La Thị Phượng

Lời mở đầu 1

1.1 Tập hợp 3

1.1.1 Các khái niệm 3

1.1.2 Các phép toán trên tập hợp 4

1.1.3 Một số tính chất thông thường 4

1.1.4 Bản số 5

1.2 Ánh xạ 5

1.2.1 Định nghĩa và ví dụ 5

1.2.2 Đồ thị của ánh xạ 9

1.2.3 Hai ánh xạ bằng nhau 11

1.2.4 Thu hẹp và mở rộng ánh xạ 12

1.3 Ảnh và tạo ảnh 14

1.3.1 Định nghĩa 14

1.3.2 Các tính chất cơ bản 15

1.4 Các ánh xạ đặc biệt 15

1.4.1 Đơn ánh 15

1.4.2 Toàn ánh 16

1.4.3 Song ánh 18

1.5 Tích các ánh xạ 20

1.5.1 Định nghĩa 20

1.5.2 Một số tính chất 21

1.6 Ánh xạ ngược 21

1.6.1 Định nghĩa 21

1.6.2 Các ví dụ 22

1.6.3 Điều kiện có ánh xạ ngược 22

1.6.4 Quy tắc tìm ánh xạ ngược 23

1.7 Phép toán hai ngôi 26

1.7.1 Định nghĩa 26

1.7.2 Các tính chất thường gặp ở phép toán hai ngôi 27 2 MỐI LIÊN HỆ GIỮA ÁNH XẠ VÀ NỘI DUNG TOÁN Ở PHỔ THÔNG 28 2.1 Ánh xạ trong toán tiểu học 28

2.1.1 Hình thành số tự nhiên 28

2.1.2 So sánh hai số tự nhiên 30

2.1.3 Biểu thức đại số 33

2.2 Ánh xạ và nội dung dạy học Toán ở phổ thông 34

2.2.1 Ánh xạ và nội dung dạy học hàm số ở phổ thông 34 2.2.2 Ánh xạ và nội dung dạy học dãy số ở phổ thông 42 2.2.3 Ánh xạ và nội dung dạy học đại số tổ hợp ở phổ thông 48

2.2.5 Ánh xạ với nội dung dạy học đạo hàm của hàm

số, tích phân của hàm số 562.2.6 Ánh xạ với nội dung dạy học phép biến hình ở

phổ thông 57

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Nhìn lại lịch sử toán học ta có thể thấy có nhiều tri thức toán phổthông chính là mô hình ( hình ảnh) của toán học cao cấp, toán họchiện đại Sự liên hệ đó thể hiện nhiều trong các chủ đề như: Lý thuyếttập hợp, quan hệ, ánh xạ, Song do sự hạn chế về tri thức của họcsinh phổ thông nên việc trình bày của sách giáo khoa phổ thông cónhiều khi phải tránh đi mối liên hệ đó Điều này đã làm cho không ítsinh viên khoa Toán ở các trường sư phạm khi tiếp xúc với toán caocấp đều cho rằng toán học cao cấp là một thế giới tách biệt với toánhọc phổ thông mà họ từng học ở bậc phổ thông

Vấn đề đặt ra là làm thế nào để giúp sinh viên khoa toán ở cáctrường sư phạm khi học toán cao cấp có thể tự mình nhận ra mốiliên hệ giữa toán học cao cấp và môn toán ở trường phổ thông, giúp

họ những người giáo viên tương lai ở các trường phổ thông có thể tựmình tìm thấy và khai thác khả năng vận dụng toán học cao cấp tronggiảng dạy sau này để từ đó nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụcho họ Điều này có ảnh hưởng như thế nào đến việc học tập của sinhviên? Việc tìm lới đáp cho câu hỏi này thực sự rất cần thiết và cấpbách cho việc cải tiến phương pháp dạy học toán ở đại học cũng như

là ở phổ thông

Với ý tưởng trên, đề tài này quan tâm đặc biệt tới đối tượng “ánh

xạ và nội dung dạy học ánh xạ ở phổ thông”.Ánh xạ là một khái niệm

học, THPT cho đến đại học do đó việc dạy học ánh xạ ở các trườngđại học có tầm quan trọng đặc biệt Việc làm rõ được các mối liên

hệ toán phổ thông trong quá trình dạy học toán cao cấp ở đại học sẽgiúp giáo viên nhận thức đúng đắn tinh thần, quan điểm, ngôn ngữ vàphương pháp của toán cao cấp trong việc dạy học toán ở phổ thông.Với tất cả những lí do trên em xin chọn đề tài “ánh xạ và nội dungdạy học ánh xạ ở phổ thông”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu mối liên hệ giữa ánh xạ và nội dung dạy học Toán ởphổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu nội dung dạy học ánh xạ, chương trình toán ở phổthông, tìm mối liên hệ giữa ánh xạ với nội dung dạy học toán ở phổthông

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Ánh xạ, tập hợp, bộ SGK Toán 1,2,3,4,5, Đại số và giải tích lớp10,11,12

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu lí thuyết , hệ thống hóa vakhái quát hóa

6 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung khóa luận gồm hai chương:Chương 1: Những kiến thức cơ sở về tập hợp, ánh xạ

Chương 2: Mối liên hệ giữa ánh xạ và nội dung Toán ở phổ thông

Chương 1

NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ TẬP HỢP, ÁNH XẠ

Họ nghiệm của hệ phương trình

Tập nghiệm của hệ phương trình

- Để kí hiệu các tập hợp ta dùng các chữ in hoa: A, B, , C, X, Y,

- Quan hệ bao hàm: Cho hai tập A và B

Nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B thì ta nói A là bộ phậncủa B Kí hiệu A ⊂ B, đọc là A được bao hàm trong B và viết ∀a ∈ Athì a ∈ B

- Quan hệ bằng nhau giữa các tập hợp Cho hai tập A và B

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

Phép toán hiệu và tích đề các không có tính chất kết hợp

3 Luật phân phối

Các phép toán trên tập hợp đều có tính chất phân phối chẳng hạnnhư:

Bản số của tập hợp A kí hiệu là Card(A)

Vậy theo định nghĩa: Card(A) = Card(B) ⇔ A ∼ B

1.2.1 Định nghĩa và ví dụ

a) Định nghĩa

một quy tắc f cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ X với một và chỉ mộtphần tử y thuộc Y

Ví dụ

X là tập hợp các lớp học của một trường đại, Y là tập hợp các cố vấnhọc tập của trường đại học đó và f là một quy tắc đặt tương ứng mỗilớp với một cố vấn học tập lớp đó Ta có ánh xạ f : X → Y

Ta thường kí hiệu ánh xạ f như sau:

x 7−→ y = f (x)

X được gọi là tập xác định hay tập nguồn của ánh xạ f ,kí hiệu Df

Y được gọi là tập giá trị hay tập đích của ánh xạ f , kí hiệu Rf

x gọi là tạo ảnh (nghịch ảnh) của y qua ánh xạ f

y gọi là ảnh của x qua ánh xạ f và viết y = f (x)

Từ định nghĩa ta thấy để quy tắc :

x 7−→ y = f (x)

là một ánh xạ thì phải thỏa mãn hai điều kiện sau:

Điều kiện 1: Quy tắc f xác định khắp nơi nghĩa là với mỗi x ∈ Xphải có ảnh y tương ứng thuộc Y hoặc với ∀x ∈ X thì y = f (x) ∈ Y Điều kiện 2: Quy tắc f đơn trị nghĩa là với mỗi x ∈ X chỉ có tươngứng một phần tử duy nhất y thuộc Y hoặc với ∀x1, x2 ∈ X sao cho

- Hình ảnh sau đây không phải là ánh xạ vì quy tắc f không đơntrị.

- Với mọi x ∈ R luôn tồn tại y = x + 5 ∈ R.

- Với mọi x1, x2 ∈ X sao cho x1 = x2

- Với mọi x ∈ X luôn tồn tại y = x ∈ Y

- Với mỗi y ∈ Y sẽ có tương ứng một phần tử x = y ∈ X

Ta gọi những ánh xạ đi từ tập X vào chính nó sao cho với mọi phần

- Với mọi a ∈ A luôn tồn tại y = a ∈ X (vì A ⊂ X )

- Với mọi a1, a2 ∈ A sao cho a1 = a2 thì f (a1) = f (a2)

Ánh xạ f như trên được gọi là ánh xạ bao hàm

Ví dụ 5 Quy tắc:

f : R −→ R

x 7−→ y = 1

xkhông là ánh xạ vì với x = 0 thì quy tắc f không xác định

Ví dụ 6 Giả xử X = {1, 2, 3, 4} và Y = {a, b, c, d} Các tương ứngsau đây không phải là ánh xạ từ X đến Y

1.2.2 Đồ thị của ánh xạ

Định nghĩa

Cho ánh xạ:

f : X −→ Y

x 7−→ y = f (x)Khi đó ta gọi tập

mặt phẳng tọa độ oxy ta được một parabol như hình vẽ:

f : R −→ R

x 7−→ f (x) = x3 − 1

và g : R −→ R

x 7−→ g(x) = (x − 1)(x2 − x + 1)Khi đó ta có f = g

khác nhau

Nhận xét Hai ánh xạ f và g được gọi là bằng nhau nếu chúng có

cùng nguồn,cùng đích và cùng quy tắc đặt tương ứng (các xác định

A, kí hiệu là g = f |A,còn ánh xạ f gọi là một mở rộng của g trên tập

X

Ví dụ: Cho các ánh xạ

x 7−→ f (x) = cos x

−→ [−1, 1]

x 7−→ k(x) = cos xBốn ánh xạ này không bằng nhau vì các tập nguồn và các tậpđích của chúng khác nhau Chúng trùng nhau trên X =



−π

2;

π2

và

Y = [−1, 1] Ta không đồng nhất chúng, nhưng kí hiệu giá trị chungcủa chúng tại x là cosx

g là thu hẹp của f vào



−π

2;

π2



h được cảm sinh bởi f bằng cách thu hẹp đích vào [−1, 1]

k được cảm sinh bởi g bằng cách thu hẹp đích vào [−1, 1]

- Nếu A = X thì f (A) = f (X) gọi là ảnh của ánh xạ f

Tập hợp f−1(B) = {x ∈ X|f (x) ∈ B} được gọi là tạo ảnh toàn phầncủa tập hợp B qua ánh xạ f

- Nếu B = Y thì f−1(Y ) = X

- Nếu B = {b}, thì f−1(B) = f−1({b}) := f−1(b) = x ∈ X|f (x) = b Tập hợp f (X) ⊂ Y gọi là ảnh của ánh xạ f , kí hiệu Imf

Ví dụ

1) Giả sử A = (0, a)|a ∈ R và f : R2

→ R là ánh xạ f(x, y) =

y, ∀x, y ∈ R Khi đó f (A) = a|∀a ∈ R hay f(A) = R

2) Với f : R → R, f (x) = x2, thì mỗi phần tử a ∈ A sẽ có phần tạoảnh tương ứng như sau:

- Nếu a < 0 thì f−1(a) = φ

- Nếu a = 0 thì f−1(0) = {0}

- Nếu a>0 thì f−1(a) = −√a,√

a

Một cách tương đương, ta có thể định nghĩa đơn ánh như sau:

Ánh xạ f là đơn ánh nếu mọi y = f (x) có không quá một tạo ảnh

x thuộc X, hay phương trình ẩn x: f (x) = y vô nghiệm hoặc có mộtnghiệm duy nhất với mọi y thuộc Y

Hình ảnh dưới đây cho ta một đơn ánh

Hình ảnh dưới đây không là đơn ánh

Người ta gọi ánh xạ đơn ánh là ánh xạ một- một ( 1-1 )

1.4.2 Toàn ánh

Ánh xạ:

x 7−→ y = f (x)

được gọi là toàn ánh nếu thỏa mãn:

Mỗi y ∈ Y đều tồn tại ít nhất một phần tử x ∈ X sao cho y = f (x)hay f (X) = Y

Một cách tương đương ta có định nghĩa toàn ánh như sau:

Ánh xạ f là toàn ánh nếu mọi y thuộc Y đều có ít nhất một tạo ảnh

x thuộc X hay phương trình ẩn x, f (x) = y luôn có nghiệm với mọi ythuộc Y

Người ta còn gọi một toàn ánhf : X → Y là một ánh xạ từ X lên YHình ảnh dưới đây cho ta một toàn ánh

Hình ảnh dưới đây không cho ta một toàn ánh

1.4.3 Song ánh

Ánh xạ :

x 7−→ y = f (x)

được gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh

vừa là toàn ánh Nói một cách khác

x 7−→ y = f (x)

là một song ánh nếu và chỉ nếu với mỗi y ∈ Y

tồn tại duy nhất một phần tử x ∈ X để y = f (x)

Một cách tương đương ta có thể định nghĩa song ánh như sau:

Ánh xạ f là song ánh nếu mọi y thuộc Y có một và chỉ một tạo ảnh

x thuộc X, Hay phương trình ẩn x, f (x) = y luôn có một nghiệm duynhất với mọi y thuộc Y

Một ánh xạ song ánh gọi là ánh xạ một-một lên hay một đối một.Hình ảnh dưới đây cho ta một song ánh

Hình ảnh dưới đây không là một song ánh

Ví dụ Xét tính đơn ánh, toàn ánh, xong ánh của các ánh xạ sau:

2.Ta có f (1) = f (4) = 0 Vậy f không là đơn ánh

f−1(−4) = φ Vậy f không toàn ánh

h : X −→ Z

x 7−→ g(f (x))Được gọi là tích của hai ánh xạ f và ánh xạ g Kí hiệu h = gof hay

h = gf

Như vậy gf : X → Z và ∀x ∈ X, (gf )(x) = g(f (x))

Chú ý: Để tồn tại tích gf thì tập đích của ánh xạ f phải trùngvới tập nguồn của ánh xạ g, như thế có thể không tồn tại f g Do đókhông phải lúc nào cũng tồn tại tích của hai ánh xạ.Ngay cả khi tồntại gf nhưng chưa chắc đã tồn tại f g Do đó tích các ánh xạ không

Vậy tích của hai ánh xạ f và g là ánh xa:

a) Tích của hai đơn ánh là một đơn ánh

b) Tích của hai toàn ánh là một toàn ánh (nếu các tích trên xácđịnh) Đặc biệt tích của hai song ánh là song ánh

Tính chất 3 :

a) Nếu gf là đơn ánh thì f là đơn ánh

b) Nếu gf là toàn ánh thì g là toàn ánh

1.6.1 Định nghĩa

Cho ánh xạ f : X → Y Nếu có ánh xạ g : Y → X sao cho gf = 1X

và f g = 1Y Thì g được gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f

Kí hiệu là f−1

Ta có f−1f = 1X, f f−1 = 1Y

Từ định nghĩa ta có:

−1 −1

- Nếu f : X → Y và g : Y → Z đều có ánh xạ ngược thì gf : X → Zcũng có ánh xạ ngược và (gf )−1 = f−1g−1.

∀x ∈ R : (gf)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = 1

2(2x + 1) −

12

= x + 1

2 − 1

2 = x = 1R(x) ⇒ gf = 1RMặt khác:

Ánh xạ f : X → Y có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh.Chứng minh

Giả sử f : X → Y có ánh xạ ngược là g : Y → X

Khi đó gf = 1X là đơn ánh nên f là đơn ánh ( theo tính chất 3a)

Và f g = 1Y là toàn ánh nên f là toàn ánh ( theo tính chất 3b)

Do vậy ta có f là song ánh

Ngược lại cho ánh xạ

∀y ∈ Y, (gf )(y) = f (g(y)) = f (x) = y = 1Y(y) ⇒ f g = 1Y

Vậy g là ánh xạ ngược của f

1.6.4 Quy tắc tìm ánh xạ ngược

Bước 1: Kiểm tra xem ánh xạ f : X → Y có phải là song ánh haykhông ?

Bước 2: Xét phương trình f (x) = y ta tìm được nghiệm duy nhất

x = g(y) Khi đó xác định ánh xạ g : Y → X là ánh xạ ngược cầntìm

Ví dụ 1

a) Xét hàm số bậc nhất y = ax + b, a, b ∈ R, a 6= 0 được xem là ánhxạ

y

a − ba

b) Xét hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a 6= 0.

Giả sử a > 0, giả sử đồ thị có dạng:

Được xem là ánh xạ f : R −→ R

x 7−→ ax2 + bx + c+) f không là đơn ánh vì : Chọn x1 = −b

2a + α, x2 =

−b2a − α, α > 0



−→



−∆4a, +∞

√

∆12a

Do x ∈



− b2a, +∞

Và có hàm số ngược là :g−1(y) = −b

2a +

pb2 − 4a(c − y)

2a

Hay hàm số y = −b

2a +

pb2 − 4a(c − x)

2aChú ý: Đồ thị của hàm số f và f−1 đối xứng nhau qua đường thẳng

y = x Gọi H là đồ thị của ánh xạ f, H−1 là đồ thị của ánh xạ f−1.Khi đó (a, b) ∈ H ⇔ (b, a) ∈ H−1

Từ (1) và (2) ta có f là song ánh nên f có ánh xạ ngược

2 , x ∈ R, x > 3, Df −1 = (4, ∞) và Rf( −1) =(0, ∞)

1.7 Phép toán hai ngôi.

1.7.1 Định nghĩa

Ta gọi phép toán hai ngôi ( hay còn gọi tắt là phép toán) trong mộttập hợp X một ánh xạ f từ X × X đến X Giá trị f (x, y) của f tại(x,y) gọi là cái hợp thành của x và y

Cái hợp thành của x và y thường được kí hiệu bằng cách viết x và ytheo một thứ tự nhất định với các dấu đặc trưng cho phép toán đặtgiữa x, y Trong các dấu mà người ta hay dùng tới nhiều nhất, là cácdấu + và , đối với dấu nhân người ta thường quy ước bỏ đi; với cácdấu đó cái hợp thành của x và y được viết x + y x.y hay xy Mộtphép toán hai ngôi kí hiệu bằng dấu + gọi là phép cộng, cái hợp thành

2) Phép trừ không phải là phép toán hai ngôi trong N, nhưng làmột phép toán hai ngôi trong tập Z các số nguyên

3) Trong tập hợp N∗, phép nâng lũy thừa an là một phép toán haingôi, nhưng phép chia không phải là phép toán hai ngôi Tương ứng

(a, n) 7→ anVới a, b ∈ N∗, xác định một ánh xạ từ N∗ × N∗ đến N∗

Nhưng tương ứng (a, b) 7→ a : b với a, b ∈ N∗, không xác định mộtánh xạ từ N∗ × N∗ đến N∗.

1.7.2 Các tính chất thường gặp ở phép toán hai ngôi

Giả sử T là một phép toán trong tập hợp X.Khi đó phép toán Tthường có các tính chất sau:

MỐI LIÊN HỆ GIỮA ÁNH XẠ

VÀ NỘI DUNG TOÁN Ở PHỔ

Mỗi số tự nhiên là bản số của một tập hữu hạn, nhưng với học sinhtiểu học chưa biết khái niệm về bản số nên không thể định nghĩa trựctiếp như vậy Tuy nhiên trong sách giáo khoa, khi dạy về hình thành

số tự nhiên ở tiểu học thì vẫn sử dụng định nghĩa mỗi số tự nhiên làbản số của một tập hữu hạn nhưng ngầm đưa vào thông qua hình ảnhtrực quan.

Chẳng hạn khi hình thành số 1, số 2, sách giáo khoa đã mô tả nhưsau:

Tương tự khi hình thành số 3, sách toán 1 sử dụng các mô hìnhbiểu diễn đường cong khép kín (chỉ biểu đồ Ven )minh họa cho mộttập hợp, bên trong gồm 3 đồ vật (giống nhau) gần gũi với cuộc sốnghàng ngày của học sinh(chỉ phần tử của tập hợp đó)

Ngay từ những lớp đầu của bậc tiểu học, học sinh đã được làmquen với khái niệm ánh xạ một cách ẩn ngầm Cơ sở lý thuyết tậphợp của việc dạy học khái niệm số tự nhiên ở tiểu học là sự “tươngứng” đó là sự tương ứng đơn giản giữa hai tập hợp: 3 ngôi sao, 3 mặtcười, tương ứng với số 3