Ánh xạ và nội dụng dạy học ánh xạ ở phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN La Thị Phượng ÁNH XẠ VÀ NỘI DUNG DẠY HỌC ÁNH XẠ Ở PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: Dương Thị Luyến Hà Nội – Năm 2017 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy cô giáo Tổ đại số, thầy cô khoa Toán, thầy giáo, cô giáo trường ĐHSP Hà Nội bạn sinh viên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô ThS Dương Thị Luyến - Giảng viên khoa Toán người tận tình hướng dẫn em suốt trình hoàn thiện khóa luận Do thời gian có hạn lực thân hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót Em xin kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện có nhiều ứng dụng thực tế Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 04 tháng 04 năm 2017 Sinh viên La Thị Phượng Khóa luận tốt nghiệp Đại học La Thị Phượng LỜI CAM ĐOAN Em xin khẳng định rằng: Đây công trình nghiên cứu khoa học em thân em nghiên cứu hoàn thiện sở kiến thức đọc đọc thêm tài liệu tham khảo hướng dẫn giúp đỡ cô ThS Dương Thị Luyến Nó không trùng lặp với kết người khác Hà Nội, ngày 04 tháng 04 năm 2017 Sinh viên La Thị Phượng i Mục lục Lời mở đầu 1 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ TẬP HỢP, ÁNH XẠ 1.1 1.2 1.3 1.4 Tập hợp 1.1.1 Các khái niệm 1.1.2 Các phép toán tập hợp 1.1.3 Một số tính chất thông thường 1.1.4 Bản số Ánh xạ 1.2.1 Định nghĩa ví dụ 1.2.2 Đồ thị ánh xạ 1.2.3 Hai ánh xạ 11 1.2.4 Thu hẹp mở rộng ánh xạ 12 Ảnh tạo ảnh 14 1.3.1 Định nghĩa 14 1.3.2 Các tính chất 15 Các ánh xạ đặc biệt 15 1.4.1 15 Đơn ánh ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.5 1.6 1.7 La Thị Phượng 1.4.2 Toàn ánh 16 1.4.3 Song ánh 18 Tích ánh xạ 20 1.5.1 Định nghĩa 20 1.5.2 Một số tính chất 21 Ánh xạ ngược 21 1.6.1 Định nghĩa 21 1.6.2 Các ví dụ 22 1.6.3 Điều kiện có ánh xạ ngược 22 1.6.4 Quy tắc tìm ánh xạ ngược 23 Phép toán hai 26 1.7.1 Định nghĩa 26 1.7.2 Các tính chất thường gặp phép toán hai 27 MỐI LIÊN HỆ GIỮA ÁNH XẠ VÀ NỘI DUNG TOÁN Ở PHỔ THÔNG 28 2.1 Ánh xạ toán tiểu học 28 2.1.1 Hình thành số tự nhiên 28 2.1.2 So sánh hai số tự nhiên 30 2.1.3 Biểu thức đại số 33 Ánh xạ nội dung dạy học Toán phổ thông 34 2.2 2.2.1 Ánh xạ nội dung dạy học hàm số phổ thông 34 2.2.2 Ánh xạ nội dung dạy học dãy số phổ thông 2.2.3 Ánh xạ nội dung dạy học đại số tổ hợp phổ 2.2.4 42 thông 48 Các phép toán nhìn theo quan điểm ánh xạ 54 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2.5 La Thị Phượng Ánh xạ với nội dung dạy học đạo hàm hàm số, tích phân hàm số 2.2.6 56 Ánh xạ với nội dung dạy học phép biến hình phổ thông Tài liệu tham khảo 57 63 iv Khóa luận tốt nghiệp Đại học La Thị Phượng Lời mở đầu Lý chọn đề tài Nhìn lại lịch sử toán học ta thấy có nhiều tri thức toán phổ thông mô hình ( hình ảnh) toán học cao cấp, toán học đại Sự liên hệ thể nhiều chủ đề như: Lý thuyết tập hợp, quan hệ, ánh xạ, Song hạn chế tri thức học sinh phổ thông nên việc trình bày sách giáo khoa phổ thông có nhiều phải tránh mối liên hệ Điều làm cho không sinh viên khoa Toán trường sư phạm tiếp xúc với toán cao cấp cho toán học cao cấp giới tách biệt với toán học phổ thông mà họ học bậc phổ thông Vấn đề đặt làm để giúp sinh viên khoa toán trường sư phạm học toán cao cấp tự nhận mối liên hệ toán học cao cấp môn toán trường phổ thông, giúp họ người giáo viên tương lai trường phổ thông tự tìm thấy khai thác khả vận dụng toán học cao cấp giảng dạy sau để từ nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ cho họ Điều có ảnh hưởng đến việc học tập sinh viên? Việc tìm lới đáp cho câu hỏi thực cần thiết cấp bách cho việc cải tiến phương pháp dạy học toán đại học phổ thông Với ý tưởng trên, đề tài quan tâm đặc biệt tới đối tượng “ánh xạ nội dung dạy học ánh xạ phổ thông”.Ánh xạ khái niệm quan trọng, xuyên suốt chương trình học cấp từ tiểu Khóa luận tốt nghiệp Đại học La Thị Phượng học, THPT đại học việc dạy học ánh xạ trường đại học có tầm quan trọng đặc biệt Việc làm rõ mối liên hệ toán phổ thông trình dạy học toán cao cấp đại học giúp giáo viên nhận thức đắn tinh thần, quan điểm, ngôn ngữ phương pháp toán cao cấp việc dạy học toán phổ thông Với tất lí em xin chọn đề tài “ánh xạ nội dung dạy học ánh xạ phổ thông” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu mối liên hệ ánh xạ nội dung dạy học Toán phổ thông Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu nội dung dạy học ánh xạ, chương trình toán phổ thông, tìm mối liên hệ ánh xạ với nội dung dạy học toán phổ thông Đối tượng phạm vi nghiên cứu Ánh xạ, tập hợp, SGK Toán 1,2,3,4,5, Đại số giải tích lớp 10,11,12 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu lí thuyết , hệ thống hóa va khái quát hóa Bố cục khóa luận Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Những kiến thức sở tập hợp, ánh xạ Chương 2: Mối liên hệ ánh xạ nội dung Toán phổ thông Chương NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ TẬP HỢP, ÁNH XẠ 1.1 1.1.1 Tập hợp Các khái niệm - Tập hợp khái niệm bản, không định nghĩa.Nó đồng nghĩa với cụm từ: Toàn thể, phận, nhóm, họ, ví dụ: Họ nghiệm hệ phương trình Tập nghiệm hệ phương trình - Để kí hiệu tập hợp ta dùng chữ in hoa: A, B, , C, X, Y, - Quan hệ bao hàm: Cho hai tập A B Nếu phần tử A phần tử B ta nói A phận B Kí hiệu A ⊂ B, đọc A bao hàm B viết ∀a ∈ A a ∈ B - Quan hệ tập hợp Cho hai tập A B Nếu A ⊂ B B ⊂ A ta nói A B viết A=B Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.1.2 La Thị Phượng Các phép toán tập hợp Phép hợp Cho hai tập hợp A B Ta gọi tập hợp gồm phần tử thuộc A, thuộc B hợp hai tập A,B Kí hiệu A ∪ B Như A ∪ B = { x ∈ A x ∈ B} Phép giao Cho hai tập A B Ta gọi tập hợp gồm phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B tập giao hai tập A B Kí hiệu: A ∩ B Như A ∩ B = x|x ∈ A, x ∈ B Phép toán hiệu Cho hai tập A B, ta gọi tập gồm phần tử thuộc A không thuộc B tập hiệu A cho B Kí hiệu: A \ B Như A \ B = x|x ∈ A, x ∈ /B Tích đề Cho hai tập hợp A B Ta gọi tập hợp gồm phần tử cặp gồm hai thành phần, thành phần thứ phần tử A,thành phần thứ hai phần tử B tích đề A với B Kí hiệu: A×B Như A × B = (a, b)|a ∈ A, b ∈ B 1.1.3 Một số tính chất thông thường Giao hoán A ∪ B = B ∪ A, A ∪ B = B ∪ A, A \ B = B \ A, A × B = B × A Tính kết hợp Khóa luận tốt nghiệp Đại học La Thị Phượng Kí hiệu số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử là: Fnk Một số tài liệu kí hiệu số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử là:Akn Nhận xét: Theo quan điểm ánh xạ thì: Mỗi chỉnh hợp chập k n phần tử xác định ánh xạ từ tập {1, 2, , k} đến tập n phần tử Chẳng hạn chỉnh hợp lặp chập (a,a,b,c,b) 3 phần tử a,b,c  xác định từ tập 1,2,3,4,5 đến  5 phần tử sau:   a a b c b Ngược lại ánh xạ từ tập {1, 2, 3, , k} đến tập X xác định chỉnh hợp lặp chập (a, , a, b, c, b) phần tử a, b, c Như tương ứng 1-1 tập hợp ánh xạ từ tập {1, 2, 3, , k} đến tập X tập chỉnh hợp lặp chập k n phần tử X Điều có nghĩa là: Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử X số ánh xạ từ tập k phần tử đến tập n phần tử Công thức tính Fnk = nk Để chứng minh công thức ta sử dụng nguyên lí đếm Dưới cách tìm công thức dựa quy tắc tìm số ánh xạ từ tập k phần tử vào tập n phần tử Chứng minh Cho tập X = {x1 , x2 , , xn },dãy có độ dài k {a1 , a2 , , ak }(k ∈ N∗ ) a1 có n cách chọn a2 có n cách chọn ( a2 giống a1 ) ········· 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học La Thị Phượng ak có n cách chọn Vậy dãy có độ dài k có nk cách chọn hay Fnk = nk Ví dụ 1) Có số tự nhiên có chữ số viết từ số tự nhiên lẻ 2) Biển đăng kí oto có chữ số hai chữ 26 chữ (không dùng O I) Hỏi số ô tô đăng kí nhiều bao nhiêu? Giải a) Gọi X tập hợp số tự nhiên lẻ có chữ số X = {1, 3, 5, 7, 9} tập X gồm phần tử Do số tự nhiên lẻ có chữ số tạo từ tập X là: F54 = 54 = 625 số b) Gọi X tập hợp chữ dùng biển đăng kí suy X có 24 phần tử không dùng chữ O chữ I Chọn chữ 24 chữ có F2 42 = 242 cách chọn Gọi Y tập hợp số dùng bảng đăng kí, suy Y có 10 phần tử (Y = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}) Chọn số tổng số 10 có F1 06 = 106 cách chọn Do có tất 242 106 biển số tạo b) Chỉnh hợp không lặp Định nghĩa Cho tập A gồm m phần tử x1 , x2 , , xm số nguyên dương n với ≤ n ≤ m Ta thiết lập (a1 , a2 , · · · , an )|ai ∈ A∀i = 1, n, khác đôi gọi chỉnh hợp không lặp chập n m phần tử cho Số chỉnh hợp không lặp chập n m phần tử 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học La Thị Phượng kí hiệu là: Anm Nhận xét: Theo quan điểm ánh xạ Mỗi chỉnh hợp chập n m phần tử cho xác định đơn ánh từ tập {1, 2, , n} đến tập m phần tử Chẳng hạn, chỉnh hợp chập (a, c) phần tử a,b,c xác định đơn ánh từ tập {1, 2} đến tập chứa phần tử a,b,c sau:   1 2   a c Ngược lại, đơn ánh từ tập {1, 2, , n} đến tập m phần tử xác  định  chỉnh hợp chập n m phần tử Chẳng hạn đơn ánh 1 2   xác định chỉnh hợp chập phần tử a, b, c a c Như có tương ứng 1-1 tập hợp đơn ánh từ tập {1, 2, , n} đến tập m phần tử A(n ≤ m) tập chỉnh hợp chập n m Điều có nghĩa là: số chỉnh hợp chập n m phần tử tập hợp A(n ≤ m) số đơn ánh từ tập n phần tử vào tập m phần tử Công thức tính Anm = m(m − 1) (m − n + 1) = m! (m − n)! Chứng minh( theo quan điểm ánh xạ) Ta kí hiệu số đơn ánh từ {1, 2, , n} đến tập A gồm m phần tử Anm Chẳng hạn: A1m số đơn ánh từ {1} đến tập A A2m số đơn ánh từ {1, 2} đến tập A 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học La Thị Phượng ········· Rõ ràng ta có A1m = m Để tìm công thức cho Anm ta tìm mối liên hệ An−1 Anm Ta m nhận thấy đơn ánh từ tập {1, 2, , n−1} đến tập A có m−(n−1) cách mở rộng thành đơn ánh từ tập {1, 2, , n−1, n} đến tập A cách cho tương ứng n với m − (n − 1) phần tử lại ảnh 1, 2, , n − n Như ta có: Anm = [m − (n − 1)]An−1 m = (m − n + 1)Am Lần lượt áp dụng công thức ta có: A2m = (m − + 1)A1m = (m − 1)m A3m = (m − + 2)A2m = (m − 2)(m − 1)m A4m = (m − + 1)A3m = (m − 3)(m − 2)(m − 1)m ········· Cuối ta được: Anm = m(m − 1) (m − n + 1) = m! (m−n)! Chú ý: Một chỉnh hợp chập m m phần tử gọi hoán vị m phần tử Am m = Pm = m! Ví dụ Có số tự nhiên có chữ số đôi khác viết từ số tự nhiên lẻ Với số {0, 1, 2, 3, 4, 5} - Có thể lập số tự nhiên lẻ gồm chữ số khác - Có thể lập số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác 52 Khóa luận tốt nghiệp Đại học La Thị Phượng Giải 1) Gọi X tập hợp số tự nhiên lẻ có chữ số,X = {1, 3, 5, 7, 9} suy X có phần tử Chọn số đôi khác tập X gồm phần tử chỉnh hợp không lặp chập Do số số tự nhiên có chữ số đôi khác viết từ số lẻ là: A45 = 5.4.3.2.1 = 120 số 2) Gọi số cần tìm có dạng: a1 a2 a3 a4 a4 ∈ {1, 3, 5} a4 có cách chọn a1 = nên có cách chọn chữ số lại có A42 cách chọn Vậy có tất 4.3.A42 = 144 số Gọi số cần tìm có dạng: a1 a2 a3 a4 TH1: a4 = nên có cách chọn Chọn số lại số có A53 cách chọn Do có 1.A53 số TH2: a4 = nên có cách chọn a1 có cách chọn Chọn số lại số có A42 cách chọn Do có 1.A53 số Vậy có tất 1.A53 + 1.A53 = 156 số thỏa mãn yêu cầu toán Hoán vị Định nghĩa Cho tập X gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp X gọi hoán vị n phần tử 53 Khóa luận tốt nghiệp Đại học La Thị Phượng Kí hiệu số hoán vị n phần tử Pn Công thức tính Pn = n(n − 1)(n − 2) 2.1 = n! Nhận xét: Theo quan điểm ánh xạ định nghĩa hoán vị phát biểu lại sau Giả sử X tập hợp có n phần tử Ta gọi song ánh từ tập X vào hoán vị n phần tử Một song ánh từ tập X lên gọi phép ta phát biểu sau: Số hoán vị tập hợp n phần tử số phép tập hợp n! Ví dụ Số phép X = {a, b, c} P3 = 3! = Đó phép             a b c a b c a b c a b c  a b c a b c              a b c a c b b a c b c a c a b c b a 2.2.4 Các phép toán nhìn theo quan điểm ánh xạ Dùng khái niệm ánh xạ người ta định nghĩa phép toán đại số tập hợp cho trước Khi tập hợp cho tập số ta có phép toán tập hợp số Một số phép toán đại số hai xét chương trình môn Toán phổ thông tính chất phần tử đặc biệt 54 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phép La Thị Phượng Kí hiệu Toàn cục Điều kiện toán hay Tính chất Phần tử đặc biệt phận Cộng + Toàn cục Giao N hoán, Trung hòa 0, kết hợp, luật lũy đẳng giản ước Nhân Toàn cục Giao N hoán, Đơn vị 1; kết hợp, phân lũy đẳng 1;0 phối với phép Phần tử giản toán + - ước a=0 Trừ - Bộ phận a-b với a ≥ b Đơn vị phải 0, lũy đẳng N Chia : Bộ phận N A chia hết cho Đơn vị phải 1, B ⇔ ∃c ∈ lũy đẳng N(a = bc) Cộng + Toàn cục Giao hoán, Trung hòa 0, kết hợp, ∀a ∈ lũy đẳng Z Z, ∃(−a) ∈ Z Nhân Toàn cục Giao Z hoán, Đơn vị 1, lũy kết hợp, phân đẳng 1;0 phối với phép toán+ - 55 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2.5 La Thị Phượng Ánh xạ với nội dung dạy học đạo hàm hàm số, tích phân hàm số a) Đạo hàm hàm số Mỗi hàm số f (x) xác định có đạo hàm khoảng (a, b) xác định hàm số f (x) khoảng (a, b) Tương ứng f (x) với f (x) cho ta ánh xạ biến f (x) thành f (x) Ánh xạ bảo toàn phép toán cộng nhân, tức là: (f (x) + g(x)) = f (x) + g (x) (kf (x)) = kf (x), k số b) Tích phân hàm số b Mỗi hàm số f (x) khả tích [a, b]xác định số f (x)dx Tương a b ứng f (x) với f (x)dx ánh xạ từ tập hợp hàm khả tích a [a, b] đến tập hợp số thực R Ánh xạ có tính chất cộng tính tính Tức là: b b (f (x) + g(x))dx = b f (x)dx + a a g(x)dx a b b (kf (x))dx = k a f (x)dx a 56 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2.6 La Thị Phượng Ánh xạ với nội dung dạy học phép biến hình phổ thông Dạy học phép biến hình phổ thông có mối liên hệ mật thiết với khái niệm ánh xạ toán học cao cấp Các phép biến hình xem ánh xạ tập hợp điểm mặt phẳng hay không gian Khi xét phép biến hình mặt phẳng hay không gian theo quan điểm ánh xạ ta thường xét đến bất biến, tích (hợp thành) phép biến hình lợi dụng bất biến đẻ giải số dạng toán giải tình thực tiễn Phép đo đại lượng hình học ( độ dài, diện tích, thể tích) xét ánh xạ cho ứng hình với số thực không âm xác định thông qua đơn vị cho trước Không phải hình có số đo xác định Ánh xạ phép đo đại lượng hình học cần thỏa mãn điều kiện định Trong chương trình Toán Trung học phổ thông phép biến hình sau đưa vào nội dung dạy học: - Phép đối xứng trục mặt phẳng - Phép đối xứng tâm - Phép tịnh tiến - Phép quay - Phép dời hình hai hình - Phép vị tự - Phép đồng dạng 57 Khóa luận tốt nghiệp Đại học La Thị Phượng Sau xét số ví dụ để thấy mối liên hệ ánh xạ với nội dung dạy học phép biến hình Phép biến hình a) Định nghĩa Phép biến hình( mặt phẳng) quy tắc để điểm M thuộc mặt phẳng xác định điểm M thuộc mặt phẳng Nhận xét: Đối chiếu với khái niệm ánh xạ ta thấy phép biến hình thực chất ánh xạ.Do theo theo quan điểm ánh xạ định nghĩa phát biểu sau: (H) hình tùy ý mặt phẳng, F phép biến hình mặt phẳng thì: F : (H) −→ (H ) = F (H) ∀M ∈ (H) −→ F (M ) = M ∈ (H ) Phép biến hình F biến (H) thành (H ) ⇔ (H ) = {M = F (M )|∀M ∈ F (M )} b) Các ví dụ − ví dụ 1: Cho vectơ → u Với điểm M, ta xác định điểm M’ theo −−−→ → quy tắc M M = − u quy tắc phép biến hình gọi − phép tinh tiến theo vectơ → u Ví dụ 2: Xét quy tăc: Với điểm M, ta xác định điềm M’ trùng M Quy tắc phép biến hình gọi phép đồng Ví dụ 3.Cho đường thẳng d Với điểm M ∈ d ta xác định điểm M’ hình chiếu điểm M lên d Quy tắc phép biến hình gọi phép chiếu (vuông góc )lên đường thẳng d Ví dụ Xét quy tắc: Cho điểm M cố định với điểm M ta 58 Khóa luận tốt nghiệp Đại học La Thị Phượng −−→ −−→ xác định điểm M’ thỏa mãn OM = OM Quy tắc không phép biến hình Phép tịnh tiến − Định nghĩa theo sách giáo khoa: Phép tịnh tiến theo vectơ → u −−−→ → phép biến hình điểm M thành M’ cho M M = − u − − Phép tịnh tiến theo vectơ → u thường kí hiệu T T→ u − Vectơ → u gọi vectơ tịnh tiến Theo quan điểm ánh xạ định nghĩa phát biểu sau: "Phép tịnh tiến theo vectơ biến điểm M thành M’ kí hiệu: − − T→ u =M u : M → M hay T→ −−−→ → − − Khi T→ u (M ) = M ⇔ M M = u − Ví dụ mặt phẳng oxy cho điểm A(1, −2), B(3, 1) → v (1, 0) Tìm tọa độ điểm A B’ ảnh A,B qua phép − tịnh tiến theo → v − − T→ v (A) = A (2, −2), T→ v (B) = B (4, 1) Phép đối xứng trục Định nghĩa: cho đường thẳng d Phép biến hình biến điểm M thuộc d thành nó, biến điểm M không thuộc d thành M cho d đường trung trực đoạn M M gọi phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d Đường thẳng d gọi trục phép đối xứng đơn giản trục đối xứng Phép đối xứng trục d kí hiệu là: Đd Theo quan điểm ánh xạ : 59 Khóa luận tốt nghiệp Đại học La Thị Phượng " Phép đối xứng trục Đd biến M thành M viết là: Đd : M → M hay Đd (M ) = M Khi Đd : M → M ⇔ M M đối xứng với qua d Phép đối xứng trục Đd biến điểm nằm đường thẳng thành nó: Đd : M → M Đd : M → M Đd : (H) → (H ) Đd : (H ) → (H) Ví dụ Cho điểm A B nằm phía với đường thẳng d Hãy xác định điểm M d cho tổng AM + M B đạt giá trị nhỏ Nếu hai điểm A,B nằm hai phía đường thẳng d điểm M cần tìm giao đoạn thẳng AB đường thẳng d Xét toán, lấy điểm A’ đối xứng với A qua d Khi : AM + M B = A M + M B AM + M B nhỏ A, M, B thẳng hàng, M = M0 = A B ∩ d Phép quay Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O góc lượng giác ϕ không đổi phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến điểm M (khác 0) thành điểm M cho OM = OM (OM, OM ) = ϕ gọi phép quay tâm O góc ϕ Kí hiệu: Q(o,φ) , Q (trong trường hợp không cần rõ tâm góc quay) Q(o,ϕ) : M → M hay Q(o,ϕ) (M ) = M   OM = OM Khi đó: Q(o,ϕ) : M → M ⇔  (OM, OM ) = ϕ Như phép quay hoàn toàn xác định biết tâm quay 60 Khóa luận tốt nghiệp Đại học La Thị Phượng góc quay ϕ 61 Khóa luận tốt nghiệp Đại học La Thị Phượng KẾT LUẬN Khóa luận nghiên cứu nội dung chương trình tập hợp ánh xạ học bậc đại học sách giáo khoa Toán phổ thông Để từ tìm mối liên hệ Sư phạm nội dung dạy học Toán phổ thông với nội dung tập hợp, ánh xạ Qua góp phần nâng cao lực phân tích SGK góp phần nâng cao lực dạy học giáo viên Do thời gian nghiên cứu không nhiều nên khóa luận nghiên cứu số nội dung môn Toán phổ thông có liên quan đến ánh xạ như: Toán tiểu học, hàm số, dáy số, nhiều mối liên hệ mà chưa đề cập đến khóa luận Hi vọng mối liên hệ kéo dài thêm Mặc dù thân sức cố gắng, xong hạn chế trình độ chuyên môn nên khóa luận không tránh khỏi sai sót Rất mong nhận đóng góp từ quý thầy cô bạn sinh viên 62 Tài liệu tham khảo [1] Vương Thông, Tập hợp logic toán, 2001 [2] Ngô Thúc Lanh, Đại số số học tập 1, 1985 [3] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, 2010 [4] Đậu Thế Cấp, Lý thuyết tập hợp logic, 2004 [5] Trần Diên Hiển, Giáo trình Toán cao cấp 1, 2007 [6] Lại Đức Thịnh, Giáo trình Số học [7] Bộ giáo dục đào tạo, Toán lớp 1,2,3,4,5, Nhà xuất giáo dục [8] Bộ giáo dục đào tạo, Toán lớp 6,7,8,9, Nhà xuất giáo dục [9] Bộ giáo dục đào tạo, Đại số giải tích lớp 10,11,12, Nhà xuất giáo dục 63 ... 33 Ánh xạ nội dung dạy học Toán phổ thông 34 2.2 2.2.1 Ánh xạ nội dung dạy học hàm số phổ thông 34 2.2.2 Ánh xạ nội dung dạy học dãy số phổ thông 2.2.3 Ánh xạ nội dung dạy học đại số... cấp việc dạy học toán phổ thông Với tất lí em xin chọn đề tài ánh xạ nội dung dạy học ánh xạ phổ thông Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu mối liên hệ ánh xạ nội dung dạy học Toán phổ thông Nhiệm... pháp dạy học toán đại học phổ thông Với ý tưởng trên, đề tài quan tâm đặc biệt tới đối tượng ánh xạ nội dung dạy học ánh xạ phổ thông .Ánh xạ khái niệm quan trọng, xuyên suốt chương trình học