đạo hàm và vi phân

Hàm (số) nhiều biến: Đạo hàm Vi phân (Dành cho Toán cao cấp A3, B2, C2) ThS Trần Bảo Ngọc Bộ môn Toán, Khoa Khoa học, Đại học Nông Lâm TP HCM Email: tranbaongoc@hcmuaf.edu.vn ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Nội dung Đạo hàm Đạo hàm riêng phần Đạo hàm riêng phần cấp cao Đạo hàm theo hướng Vi phân Vi phân toàn phần Ứng dụng vi phân toàn phần Vi phân toàn phần cấp cao ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Đạo hàm ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Đạo hàm −→ 1.1 Đạo hàm riêng phần • Nhắc lại đạo hàm hàm biến: Đạo hàm hàm biến y = f (x) định nghĩa f (a + h) − f (a) h→0 h f (a) = lim ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Đạo hàm −→ 1.1 Đạo hàm riêng phần Ý tưởng đạo hàm hàm biến mở rộng cho hàm nhiều biến định nghĩa sau Định nghĩa (đạo hàm riêng phần) Cho hàm biến f (x; y ) xác định lân cận điểm M0 (x0 ; y0 ) Khi giới hạn (nếu tồn tại) f (x0 + ∆x; y0 ) − f (x0 ; y0 ) ∆x→0 ∆x lim đgl đạo hàm riêng phần hàm f theo biến x (x0 ; y0 ) Ký hiệu: ∂f (x0 ; y0 ) fx (x0 ; y0 ) ∂x ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Đạo hàm −→ 1.1 Đạo hàm riêng phần Định nghĩa (đạo hàm riêng phần) Cho hàm biến f (x; y ) xác định lân cận điểm M0 (x0 ; y0 ) Khi giới hạn (nếu tồn tại) lim ∆y →0 f (x0 ; y0 + ∆y ) − f (x0 ; y0 ) ∆y đgl đạo hàm riêng phần hàm f theo biến x (x0 ; y0 ) Ký hiệu: ∂f (x0 ; y0 ) fy (x0 ; y0 ) ∂y Lưu ý Đạo hàm riêng phần n biến tổng quát định nghĩa hoàn toàn tương tự ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Đạo hàm −→ 1.1 Đạo hàm riêng phần ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Đạo hàm −→ 1.1 Đạo hàm riêng phần Ví dụ Cho hàm số f (x, y ) = x y Tính đạo hàm riêng phần ∂f (2; −1) ∂x Giải Theo định nghĩa, ta có ∂f f (2 + ∆x; −1) − f (2; −1) (2; −1) = lim ∆x→0 ∂x ∆x (2 + ∆x) (−1) − 22 (−1) = lim ∆x→0 ∆x −4 − 4∆x − (∆x)2 + = lim ∆x→0 ∆x = lim ∆x→0 ThS Trần Bảo Ngọc − − ∆x = −4 Hàm (số) nhiều biến: Đạo hàm −→ 1.1 Đạo hàm riêng phần Thay trình bày theo định nghĩa, ta trình bày sau: fx (x, y ) = (x y )x = (x )x y = 2xy Do đó, fx (2, −1) = 2.2(−1) = −4 Nhận xét Trong cách trình bày trên, ta xem y số x tiến hành đạo hàm theo biến x giống hàm biến ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Đạo hàm −→ 1.1 Đạo hàm riêng phần Ví dụ Cho hàm số g (x; y ) = − x − 2y Tính f x (1; 1) f y (1; 1) giải thích ý nghĩa kết Đáp án f x (1; 1) = −2 f y (1; 1) = −4 ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Vi phân −→ 2.1 Vi phân toàn phần Định nghĩa (Hàm số khả vi) Cho hàm số z = f (x, y ) xác định lân cận (a, b) Khi f gọi có vi phân (hay khả vi) (a, b) ∆z viết dạng ∆z(a, b) := A.∆x + B∆y + ∆x.α + ∆y β α, β lượng phụ thuộc vào ∆x ∆y cho lim α= lim β = (∆x,∆y )→(0,0) (∆x,∆y )→(0,0) Ví dụ Chứng minh hàm số z = f (x, y ) = x y có vi phân điểm (−1, 2) ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Vi phân −→ 2.1 Vi phân toàn phần Giải Ta có ∆z(−1, 2) = f (−1 + ∆x, + ∆y ) − f (−1, 2) = (−1 + ∆x)2 (2 + ∆y ) − (−1)2 = − 2∆x + (∆x)2 (2 + ∆y ) − = + ∆y − 4∆x − 2∆x∆y + 2(∆x)2 + (∆x)2 ∆y − = − 4∆x + ∆y + ∆x 2∆x + ∆y (∆x)2 − 2∆x = A∆x + B∆y + ∆x.α + ∆y β α = 2∆x, β = (∆x)2 − 2∆x thỏa lim α= (∆x,∆y )→(0,0) lim β = (∆x,∆y )→(0,0) A = −4, B = Suy hàm số có vi phân điểm (−1, 2) ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Vi phân −→ 2.1 Vi phân toàn phần Định nghĩa (Vi phân) Cho hàm số z = f (x, y ) khả vi (a, b) Khi lượng dz(a, b) := A.∆x + B∆y gọi vi phân toàn phần hàm số z = f (x, y ) (a, b) Ví dụ Tính VPTP hàm số z = f (x, y ) = x y điểm (−1, 2) Giải Ta có ∆z(−1, 2) = − 4∆x + ∆y + ∆x.α + ∆y β α = 2∆x, β = (∆x)2 − 2∆x thỏa lim α= (∆x,∆y )→(0,0) lim β = (∆x,∆y )→(0,0) Do dz(−1, 2) = −4∆x + ∆y ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Vi phân −→ 2.1 Vi phân toàn phần Định lý (Tính nhanh vi phân) Cho hàm số z = f (x, y ) khả vi (a, b) Khi fx (a, b), fy (a, b) tồn A = fx (a, b) B = fy (a, b), nghĩa là, dz(a, b) = fx (a, b)∆x + fy (a, b)∆y √ Ví dụ Tính VPTP hàm số f (x, y ) = arctan(x y ) Giải Ta có √ √ dz = arctan(x y ) x dx + arctan(x y ) √ 2x y x2 dx + dy = √ + x 4y 2 y (1 + x y 2) ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: y dy Vi phân −→ 2.1 Vi phân toàn phần Chú ý Áp dụng định lý cho hàm số f (x, y ) = x g (x, y ) = y ta thu dx = df = 1.∆x + 0.∆y = ∆x dy = dg = 0.∆x + 1.∆y = ∆y Do vậy, dx, dy vi phân hàm số f , g phía dx = ∆x dy = ∆y nên ta thường Đồng dx, dy với ∆x, ∆y , Hiểu vi phân dx, dy độ lệch theo x y ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Vi phân −→ 2.1 Vi phân toàn phần Ví dụ Tính vi phân toàn phần hàm số √ f (x, y ) = arctan(x y ) điểm (e, 1) Giải Ta có dz = x y = y 2x y dx + x y x −1 y dy dx + x y ln x 2ydy Suy −1 dz(e, 1) = 12 e dx + e ln e 2.1dy = dx + 2edy ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Vi phân −→ 2.2 Ứng dụng vi phân toàn phần tính gần Hệ (Sự liên hệ khả vi liên tục) Nếu hàm số z = f (x, y ) khả vi (a, b) f liên tục (a, b) Yêu cầu Hãy chứng minh hệ ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Vi phân −→ 2.2 Ứng dụng vi phân toàn phần tính gần Định lý (Ứng dụng VPTP để tính gần đúng) Cho hàm số z = f (x, y ) khả vi (a, b) Khi f (a + ∆x, b + ∆y ) ≈ f (a, b) + df (a, b) với (∆x, ∆y ) ≈ (0, 0) Chú ý Điều kiện để áp dụng định lý f khả vi (a, b) (∆x, ∆y ) ≈ (0, 0) ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Vi phân −→ 2.2 Ứng dụng vi phân toàn phần tính gần Ví dụ Tính gần lượng 1, 023 + 1, 973 Giải • Đặt f (x, y ) = Ta có fx = x + y 3x 2 x3 + y3 ∆x = 1, 02 − = 0, 02 ∆y = 1, 97 − = −0, 03 fy = 3y 2 x3 + y3 • Ta có f (1, 2) = 3, fx (1, 2) = , fy (1, 2) = df (1, 2) = fx (1, 2)∆x + fy (1, 2)∆y = 0, 02 + 2(−0, 03) = −0, 05 • Áp dụng công thức VPTP tính gần đúng, ta có 1, 023 + 1, 973 = f (1 + ∆x, + ∆y ) ≈ f (1, 2) + df (1, 2) ≈ − 0, 05 ≈ 2, 95 ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Vi phân −→ 2.2 Ứng dụng vi phân toàn phần tính gần Ví dụ Tính gần lượng 1, 035,95 Hướng dẫn Xét hàm số f (x, y ) = x y xung quanh điểm (1, 6) với ∆x = 1, 03 − = 0, 03 ThS Trần Bảo Ngọc ∆y = 5, 95 − = −0, 05 Hàm (số) nhiều biến: Vi phân −→ 2.2 Ứng dụng vi phân toàn phần tính gần √ √ Ví dụ Tính gần lượng ln( 0, 98 + 1, 02 − 2) Hướng dẫn Xét hàm số √ √ f (x, y ) = ln( x + y − 2) xung quanh điểm (1, 1) với ∆x = 0, 98 − = −0, 02 ThS Trần Bảo Ngọc ∆y = 1, 02 − = 0, 02 Hàm (số) nhiều biến: Vi phân −→ 2.3 Vi phân toàn phần cấp cao Định nghĩa (Vi phân toàn phần cấp cao) Cho hàm số z = f (x, y ) Giả sử fx , fy , fxx , fxy , fyy tồn lân cận (a, b), fx , fy , fxx , fxy , fyy liên tục (a, b) Khi lượng d z = fxx (dx)2 + 2fxy dxdy + fyy (dy )2 gọi vi phân toàn phần cấp hàm số f Ví dụ Tính vi phân toàn cấp hàm số z = f (x, y ) = e x sin y 1, π ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Vi phân −→ 2.3 Vi phân toàn phần cấp cao Giải Ta có fx (x, y ) = e x sin y (x sin y )x = e x sin y sin y fy (x, y ) = e x sin y (x sin y )y = e x sin y x cos y Suy fxx (x, y ) = e x sin y sin y x =e x sin y (x sin y )x sin y =e x sin y sin2 y ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Vi phân −→ 2.3 Vi phân toàn phần cấp cao fxy (x, y ) = e x sin y sin y = e x sin y y y sin y + e x sin y cos y = e x sin y x cos y sin y + e x sin y cos y = e x sin y cos y (x sin y + 1) fyy (x, y ) = e x sin y x cos y = e x sin y y y x cos y − e x sin y x sin y = e x sin y x cos y x cos y − e x sin y x sin y Do fxx = xe x sin y x cos2 y − sin y π π π 1, = e, fxy 1, = 0, fyy 1, = −e 2 π d 1, = e(dx)2 − e(dy )2 ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Hàm nhiều biến: Đạo hàm Vi phân Hết ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: ...Nội dung Đạo hàm Đạo hàm riêng phần Đạo hàm riêng phần cấp cao Đạo hàm theo hướng Vi phân Vi phân toàn phần Ứng dụng vi phân toàn phần Vi phân toàn phần cấp cao ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều... ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Đạo hàm ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Đạo hàm −→ 1.1 Đạo hàm riêng phần • Nhắc lại đạo hàm hàm biến: Đạo hàm hàm biến y = f (x) định nghĩa f (a +... Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Đạo hàm −→ 1.3 Đạo hàm theo hướng Dành riêng cho toán A3 ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Vi phân ThS Trần Bảo Ngọc Hàm (số) nhiều biến: Vi phân −→ 2.1 Vi phân