Mở rộng galois bậc vô hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THỊ HUỆ MỞ RỘNG GALOIS BẬC VÔ HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 05-2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THỊ HUỆ MỞ RỘNG GALOIS BẬC VÔ HẠN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Đặng Đình Hanh HÀ NỘI, 05-2017 Mục lục Phần mở đầu 1 Mở rộng Galois 1.1 Mở rộng đại số 1.2 Mở rộng chuẩn tắc mở rộng tách 1.3 Mở rộng Galois 15 1.4 Định lý lý thuyết Galois cổ điển 19 Nhóm Galois mở rộng Galois bậc vô hạn 22 2.1 Giới hạn nghịch 22 2.2 Nhóm profinite 30 2.3 Tôpô Krull nhóm Galois 34 Định lý lý thuyết Galois bậc vô hạn 38 3.1 Định lý 38 3.2 Một số ví dụ mở rộng Galois bậc vô hạn 42 Tài liệu tham khảo 45 Phần mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết Galois lý thuyết đẹp đẽ quan trọng Toán học Trong đó, ý tưởng mẻ độc đáo Galois – xây dựng tương ứng trường trung gian nhóm nhóm Galois – mở chương cho Đại số Mở rộng Galois bậc vô hạn mở rộng trường bậc vô hạn, chuẩn tắc tách Tương tự mở rộng Galois bậc hữu hạn thông thường, ta có định lý tương ứng Galois trường trung gian nhóm đóng nhóm Galois; nhóm nằm tương ứng phải đóng tôpô Krull nhóm Galois Mục đích luận văn trình bày kiến thức nhóm Galois mở rộng Galois bậc vô hạn, tương ứng Galois trường hợp số ví dụ minh họa Thông qua việc hoàn thành luận văn, tác giả có hội tìm hiểu sâu Lý thuyết Galois bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học Định hướng nghiên cứu Trước hết, tác giả cần tìm hiểu trình bày số kiến thức chuẩn bị nhóm tôpô, giới hạn nghịch, tôpô Krull nhóm Galois mở rộng bậc vô hạn Trên sở tác giả trình bày định lý lý thuyết Galois bậc vô hạn số ví dụ mở rộng Galois bậc vô hạn Phương pháp nghiên cứu Đọc dịch tài liệu liên quan, phân tích, so sánh, tổng hợp nghiên cứu lý thuyết Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương sau: Chương Mở rộng Galois bậc hữu hạn, trình bày lại khái niệm kiến thức lí thuyết Galois mở rộng bậc hữu hạn, mở rộng đại số, mở rộng chuẩn tắc, mở rộng tách được, nhóm Galois mở rộng Galois, cuối định lý lý thuyết Galois Chương Nhóm Galois mở rộng Galois bậc vô hạn, trình bày số kiến thức giới hạn nghịch (giới hạn xạ ảnh) hệ nghịch nhóm, nhóm profinite, tôpô nhóm profinite tôpô Krull nhóm Galois Đây kiến thức tảng phục vụ cho chương Chương Định lý lý thuyết Galois bậc vô hạn, trình bày nội dung định lý lý thuyết Galois bậc vô hạn số ví dụ minh họa cho mở rộng Galois bậc vô hạn Qua luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung thầy cô môn Đại số nói riêng dạy bảo dìu dắt tác giả suốt thời gian qua Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới TS Đặng Đình Hanh, thầy tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ tác giả suốt trình làm luận văn Cảm ơn bạn bè, gia đình, đồng nghiệp tất người quan tâm, động viên giúp đỡ để tác giả hoàn thành nhiệm vụ Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót định Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý độc giả để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2017 Học viên Bùi Thị Huệ Chương Mở rộng Galois Trong chương này, nhắc lại số khái niệm kết lý thuyết Galois; chứng minh tương ứng xem [2] Các kết tổng quát cho mở rộng Galois bậc vô hạn (Định lý 1.41, 1.43) chứng minh chi tiết 1.1 Mở rộng đại số Định nghĩa 1.1 Cho K F hai trường Trường K gọi mở rộng trường F F vành K Nếu trường K mở rộng trường F , dễ K không gian vectơ F với phép nhân định nghĩa phép nhân trường K, tức α.a = αa với α ∈ F, a ∈ K Khi đó, số chiều không gian vectơ gọi bậc mở rộng K F kí hiệu [K : F ] Nếu [K : F ] < ∞ K gọi mở rộng bậc hữu hạn F ; [K : F ] = ∞ K gọi mở rộng bậc vô hạn F Một tháp trường dãy trường K1 , K2 , , Kn cho K1 ⊂ K2 ⊂ ⊂ Kn , Ki+1 mở rộng Ki với i = 1, 2, , n − Ví dụ 1.2 (i) Trường số phức C mở rộng bậc trường số thực R √ √ (ii) Trường Q[ 2] = {a + b 2|a, b ∈ Q} mở rộng bậc trường số hữu tỉ Q Tương tự trường Q[i] = {a + bi|a, b ∈ Q} mở rộng bậc Q (iii) C(x) mở rộng bậc vô hạn trường số phức C 1, x, x2 , hệ vô hạn phần tử C(x) độc lập tuyến tính C Định lý 1.3 Cho tháp trường F ⊂ E ⊂ K Khi K mở rộng bậc hữu hạn F K mở rộng bậc hữu hạn E E mở rộng bậc hữu hạn F Hơn nữa, [K : F ] = [K : E][E : F ] Hệ 1.4 Cho tháp trường F = F1 ⊂ F2 ⊂ ⊂ Fn = K Khi đó, K mở rộng bậc hữu hạn F [K : F ] = [K : Fn−1 ] [F2 : F1 ] Định nghĩa 1.5 Cho F trường X ⊂ K Khi giao tất trường K chứa X gọi trường K sinh tập X Nếu K mở rộng F X ⊂ K trường sinh X ∪ F gọi trường sinh X F kí hiệu F (X) Trong trường hợp X tập hữu hạn gồm n phần tử u1 , u2 , , un ta viết F (X) = F (u1 , u2 , , un ) Trường F (X) = F (u1 , u2 , , un ) gọi mở rộng hữu hạn sinh F Dễ dàng ra, giao trường trường Do đó, F (X) trường nhỏ K chứa F X Định lý 1.6 Giả sử K mở rộng trường F a ∈ K Khi F [a] = {f (a) : f (x) ∈ F [x]} F (a) = {f (a)/g(a) : f ; g ∈ F [x], g(a) = 0} Hơn nữa, F (a) trường thương F [a] Định lý 1.7 Giả sử K mở rộng F a1 , a2 , , an ∈ K Khi F [a1 , a2 , , an ] = {f (a1 , a2 , , an ) : f ∈ F [a1 , a2 , , an ]} F (a1 , a2 , , an ) = { f (a1 , a2 , , an ) : f ; g ∈ F [a1 , a2 , , an ], g(a1 , a2 , , an ) = 0} g(a1 , a2 , , an ) Do F (a1 , a2 , , an ) trường thương F [a1 , a2 , , an ] Định nghĩa 1.8 Giả sử K mở rộng F Khi ta nói K mở rộng đơn F tồn phần tử u ∈ K cho K = F (u), u gọi phần tử nguyên thủy K Ví dụ 1.9 √ √ √ √ √ √ (i) Q( 2, 3) mở rộng đơn Q Q( 2, 3) = Q( + 3) (ii) Q(i, −i) mở rộng đơn Q Q(i, −i) = Q(i) Định nghĩa 1.10 Giả sử K mở rộng trường F u ∈ K Phần tử u gọi đại số F tồn đa thức bậc dương f (x) ∈ F [x] cho f (u) = Trong trường hợp u không nghiệm đa thức bậc dương F , u gọi phần tử siêu việt F Nếu phần tử K phần tử đại số F ta gọi K mở rộng đại số F Định nghĩa 1.11 Cho K mở rộng trường F u ∈ K phần tử đại số F Khi đó, tồn đa thức p(x) ∈ F [x] bất khả quy nhận u nghiệm Hơn nữa, u nghiệm đa thức f (x) ∈ F [x] f (x) chia hết cho p(x) Đa thức p(x) gọi đa thức tối tiểu u F Các đa thức tối tiểu u liên kết với Định lý 1.12 Cho K mở rộng trường F u ∈ K phần tử đại số F Giả sử p(x) đa thức tối tiểu bậc n u F Khi (i) F [u] = F (u) ∼ = F [x]/(p(x)) (ii) {1, u, u2 , , un−1 } sở F (u) F (iii) [F (u) : F ] = n = deg p(x) Ví dụ 1.13 √ √ (i) Đa thức tối tiểu Q x2 − Ta có Q( 2) ∼ = Q[x]/(x2 − 2), √ √ √ {1, 2} sở Q( 2) Q, [Q( 2) : Q] = (ii) Nếu p số nguyên tố, đa thức xp − n đa thức bất khả quy √ theo tiêu chuẩn Eisenstein, nên X n − p đa thức tối tiểu n p, suy √ [Q( n p) : Q] = n Định lý 1.14 Cho K mở rộng bậc hữu hạn trường F Khi K mở rộng đại số F Định lý 1.15 Giả sử K mở rộng bậc hữu hạn trường F Khi đó, K mở rộng hữu hạn sinh F Định lý 1.16 Giả sử K = F (u1 , u2 , , un ) mở rộng hữu hạn sinh trường F phần tử ui (i = 1, , n) đại số F Khi K mở rộng đại số bậc hữu hạn F Định nghĩa 2.14 Cho (X, τ ) không gian tôpô, ∅ = A ⊂ X Khi τA = τ |A = {G ∩ A | G ∈ τ } tôpô A, gọi tôpô cảm sinh tôpô τ A Không gian tôpô (A, τA ) gọi không gian tôpô không gian tôpô (X, τ ) Định nghĩa 2.15 Cho (X, τ ) không gian tôpô ∼ quan hệ tương đương X Khi có tập thương X/∼ = {x | x ∈ X} gồm tất lớp tương đương ánh xạ thương p : X → X/∼, x → x Tôpô thương X/∼ định nghĩa tôpô {U ⊆ X/∼ | p−1 (U ) ∈ τ } Định nghĩa 2.16 Tập U không gian tôpô X gọi lân cận điểm x ∈ X có tập mở G ⊆ X cho x ∈ G ⊂ U Định nghĩa 2.17 Cho hai không gian tôpô (X, τ ), (Y, θ) ánh xạ f : X −→ Y Ta nói ánh xạ f liên tục điểm x ∈ X với lân cận V f (x) Y , tồn lân cận U x X cho f (U ) ⊂ V Ánh xạ f gọi liên tục (trên X) f liên tục điểm X Định nghĩa 2.18 Song ánh f : X −→ Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y gọi đồng phôi f lẫn ánh xạ ngược f −1 liên tục Nếu có đồng phôi f : X −→ Y ta nói hai không gian tôpô X Y đồng phôi với nhau, kí hiệu X ∼ = Y Định nghĩa 2.19 Ánh xạ f : X −→ Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y gọi mở (tương ứng, đóng) f biến tập mở (tương ứng, đóng) X thành tập mở (tương ứng, đóng) Y 31 Để ý song ánh f : X −→ Y đồng phôi f liên tục mở (hoặc đóng) Như vậy, đồng phôi f : X −→ Y cho tương ứng − X Y mà cho tương ứng − tập mở X Y Kết là, tính chất không gian X mà mô tả qua tập mở (cùng với ngôn ngữ lí thuyết tập hợp) không gian Y có tính chất Tổng quát hơn, ta có định nghĩa: Định nghĩa 2.20 Một tính chất không gian tôpô X gọi tính chất tôpô không gian bất biến qua đồng phôi, nghĩa là, không gian tôpô đồng phôi với X có tính chất Định nghĩa 2.21 Giả sử X không gian tôpô Họ B ⊂ τ gọi sở tôpô τ tập mở X hợp tập thuộc B, nghĩa với G ∈ τ tồn họ D B cho G= B∈D B Khi ta nói B sở không gian X Nhận xét tôpô τ hoàn toàn xác định sở B nó, B | D ⊂ B} τ = {G = B∈D Tiếp theo ta định nghĩa tôpô tích tích Đềcác không gian tôpô Giả sử (Xi , τi )i∈I họ khác rỗng không gian tôpô Ta muốn xây dựng tôpô tích Descartes X = i∈I Xi Đương nhiên, tôpô phải có liên quan tự nhiên với tôpô τi , theo nghĩa ánh xạ chiếu tắc pi : X → Xi phải liên tục Định nghĩa 2.22 Tôpô tích tích Descartes X = 32 i∈I Xi có sở gồm tập có dạng U = i∈I Ui , Ui tập mở Xi với i ∈ I Ui = Xi với i ∈ I\H với H tập hữu hạn I Bây ta quay lại với khái niệm nhóm profinite Định nghĩa 2.23 Một nhóm G gọi nhóm profinite G = ← lim − Gi với hệ nghịch nhóm {Gi , θj,i }i∈I , Gi nhóm hữu hạn Bây ta xét đến tôpô tự nhiên nhóm profinite Giả sử G = lim ←− Gi nhóm profinite, G giới hạn nghịch hệ nghịch {Gi , θj,i }i∈I gồm nhóm hữu hạn Xét tôpô rời rạc nhóm Gi xét tôpô tích tích Descartes nhóm Gi Ta biết lim ←− Gi i∈I Gi ; ta xét lim ←− Gi với tôpô (tôpô cảm sinh từ i∈I Gi ) Mệnh đề 2.24 Với tôpô mô tả trên, nhóm profinite G = lim ←− Gi nhóm tôpô, nghĩa phép nhân p : G×G −→ G, p(g, h) = gh phép nghịch đảo i : G −→ G, i(g) = g −1 liên tục Chứng minh Nhận xét tôpô tích tập hợp có dạng p−1 i ({gi }), với pi : i Gi i Gi sinh → Gi phép chiếu lên thành phần thứ i gi ∈ Gi Như vậy, để chứng minh p i liên tục, ta cần kiểm tra nghịch ảnh tập mở qua p i −1 −1 tập mở Xét tập mở p−1 i ({gi }) Dễ dàng kiểm tra p (pi ({gi })) = h∈Gi −1 −1 p−1 i ({gi h}) × pi ({h }) tập mở tôpô tích G × G −1 −1 Tương tự, dễ dàng thấy i−1 (p−1 i ({gi })) = pi ({gi }) tập mở tôpô profinite G Vậy G nhóm tôpô Mỗi nhóm hữu hạn Gi trang bị tôpô rời rạc, Gi 33 không gian tôpô compact, Hausdorff hoàn toàn không liên thông (tức thành phần liên thông tập gồm điểm) Từ tính chất tôpô tích tôpô suy G = ← lim − Gi không gian tôpô Hausdorff hoàn toàn không liên thông Hơn nữa, người ta chứng minh G đóng i Gi ; từ định lý Tychonoff suy G không gian compact Như vậy, nhóm profinite không gian tôpô compact, Hausdorff hoàn toàn không liên thông Điều ngược lại đúng; người ta chứng minh nhóm tôpô compact, Hausdorff hoàn toàn không liên thông nhóm profinite Kết hợp với Định lý 2.11 ta nhận hệ sau Hệ 2.25 Cho K/F mở rộng Galois bậc vô hạn với G = Gal(K/F ) Khi G trang bị tôpô profinite, với tôpô G nhóm tôpô compact, Hausdorff hoàn toàn không liên thông 2.3 Tôpô Krull nhóm Galois Cho K/F mở rộng Galois bậc vô hạn Nhắc lại ta kí hiệu G = Gal(K/F ), I = {E | K ⊇ E ⊇ F E/F mở rộng Galois bậc hữu hạn}, N = {H | H = Gal(K/E) với E ∈ I đó} Ta chứng minh G = Gal(K/F ) nhóm tôpô với tôpô profinite Bây ta cách đơn giản để mô tả tôpô Bổ đề 2.26 Cho K/F mở rộng Galois bậc vô hạn G = Gal(K/F ) Với kí hiệu trên, họ B = {σH | σ ∈ G, H ∈ N } tạo thành sở tôpô τ G 34 Chứng minh Bởi định nghĩa, tập mở thuộc τ hợp tập hợp thuộc B Ta chứng minh τ thực tôpô G Thật vậy, tập mở hợp lớp ghép σH nên hợp tùy ý tập mở tập mở Tập G mở G = Gal(K/F ), F/F mở rộng Galois bậc hữu hạn Ta phải chứng minh giao hai tập mở (thuộc sở B) tập mở Giả sử τ1 H1 τ2 H2 hai phần tử thuộc B, lấy τ ∈ τ1 H1 ∩ τ2 H2 Khi τ H1 = τ1 H1 τ H2 = τ2 H2 , τ1 H1 ∩ τ2 H2 = τ H1 ∩ τ H2 = τ (H1 ∩ H2 ) Bổ đề 2.10 H1 ∩ H2 ∈ N , τ (H1 ∩ H2 ) tập mở Cuối cùng, với H ∈ N mà H = G, chọn τ1 , τ2 ∈ G cho τ1 H = τ2 H Khi τ1 H ∩ τ2 H = ∅, ∅ là tập mở Vậy B sở tôpô τ G Từ bổ đề ta có định nghĩa sau Định nghĩa 2.27 Cho K/F mở rộng Galois bậc vô hạn với G = Gal(K/F ) Tôpô Krull G tôpô với sở gồm tất lớp ghép σH, σ ∈ G H = Gal(K/E) với E/F mở rộng Galois bậc hữu hạn (tức H ∈ N ) Nhận xét 2.28 Nếu K/F mở rộng Galois bậc hữu hạn với định nghĩa tôpô trên, tôpô Krull nhóm G = Gal(K/F ) tôpô rời rạc Đó Gal(K/K) = {1G } tập mở tập phần tử {σ} = σ{1G } với σ ∈ G tập mở Nói riêng, nhóm nhóm G tập đóng Nhận xét H ∈ N Bổ đề 2.7, H nhóm chuẩn tắc G [G : H] = n hữu hạn Suy tồn σ1 , σ2 , , σn−1 ∈ G 35 cho G hợp rời lớp ghép G = H ∪ σ1 H ∪ ∪ σn−1 H Từ G\H = σ1 H ∪ ∪ σn−1 H hợp tập sở Do H (và σH với σ ∈ G) vừa tập mở vừa tập đóng tôpô Krull Như tôpô Krull có sở gồm tập vừa mở vừa đóng Trong Định lý 2.11, ta chứng minh ánh xạ χ : G −→ lim ←− Gal(E/F ) E∈I cho χ(σ) = (σ|E )E∈I đẳng cấu nhóm Hơn nữa, nhóm lim ←− Gal(E/F ) trang bị tôpô profinite Bây ta chứng minh qua đẳng cấu χ, tôpô tôpô Krull nhóm G Mệnh đề 2.29 Với kí hiệu trên, với G trang bị tôpô Krull lim ←− Gal(E/F ) trang bị tôpô profinite, ánh xạ χ : G −→ lim ←−E∈I Gal(E/F ) phép đồng phôi không gian tôpô Chứng minh Ta biết χ đẳng cấu nhóm, nên χ song ánh Các tập mở G sinh sở {σH | σ ∈ G, H ∈ N } tập −1 mở lim ←− Gal(E/F ) sinh sở {πE (σ) | σ ∈ Gal(E/F )}, πE phép chiếu từ giới hạn nghịch lên thành phần Gal(E/F ) Đầu tiên, ta kiểm tra χ liên tục Ta có χ−1 (πE−1 (σ)) = {τ ∈ G | τ |E = σ} = {τ ∈ G | τ mở rộng σ tới K} = τ Gal(K/E), τ ∈G 36 hợp lấy tất τ mà mở rộng σ Tập hợp rõ ràng mở tôpô Krull G Bây ta kiểm tra χ−1 liên tục, tức kiểm tra χ ánh xạ mở Lấy σH tập mở sở tôpô Krull G, σ ∈ G H = Gal(K/E) với E ∈ I Khi χ(σH) = {(στL )L∈I | τL |E = idL∩E } = {(τL )L∈I | σ −1 τL |E = idL∩E } = {(τL )L∈I | τL |E = σ|L∩E } = πE−1 ({σ|E }) tập mở lim ←−E∈I Gal(E/F ) Vậy ánh xạ χ : G −→ lim ←−E∈I Gal(E/F ) phép đồng phôi Hệ 2.30 Với tôpô Krull, nhóm Galois mở rộng Galois bậc vô hạn nhóm tôpô compact, Hausdorff hoàn toàn không liên thông 37 Chương Định lý lý thuyết Galois bậc vô hạn 3.1 Định lý Bổ đề 3.1 Cho K/F mở rộng Galois bậc vô hạn, G = Gal(K/F ), H ≤ G giả sử H = Gal(K/L) với L = F(H) Khi H = H với H kí hiệu bao đóng H tôpô Krull G Chứng minh Vì phần tử H giữ cố định L nên ta có H ⊆ H Lấy σ ∈ G\H Khi tồn α ∈ L để σ(α) = α Chọn E ∈ I với α ∈ E (theo Bổ đề 2.8) giả sử N = Gal(K/E) Thế với τ ∈ N, τ (α) = α, từ στ (α) = σ(α) = α (và στ ∈ H ) Suy σN lân cận mở σ mà chứa G\H , G\H tập mở H tập đóng Cuối cùng, ta cần chứng minh H ⊆ H Thật vậy, ta có H ⊆ H ⊆ H H đóng, nên H = H Cho σ ∈ H lại chọn N ∈ N , N = Gal(K/E) với E ∈ I Đặt H0 = {ρ|E | ρ ∈ H} ≤ Gal(E/F ), với Gal(E/F ) hữu hạn Vì trường bất động H0 F(H) ∩ E = L ∩ E 38 nên theo định lý lý thuyết Galois cổ điển H0 = Gal(E/E∩L) Vì σ ∈ H , σ|L = idL , nên σ|E ∈ H0 Do tồn ρ ∈ H để ρ|E = σ|E , từ σ −1 ρ ∈ Gal(K/E) = N hay ρ ∈ σN ∩ H Như vậy, với σ ∈ H với lân cận mở sở σN σ, ta có (σN ∩ H )\{σ} = ∅, nên σ ∈ H Do ta có H ⊆ H H = H Hệ 3.2 Cho K/F mở rộng Galois bậc vô hạn G = Gal(K/F ) Khi với trường trung gian K ⊇ E ⊇ F , nhóm Gal(K/E) nhóm đóng tôpô Krull G Chứng minh Vì K/F mở rộng Galois nên K chuẩn tắc tách E, tức K/E mở rộng Galois Suy E trường bất động nhóm Gal(K/E) Áp dụng Bổ đề 3.1 cho H = Gal(K/E), L = E H = H = H Do H nhóm đóng G Định lý 3.3 (Định lý lý thuyết Galois bậc vô hạn) Cho K mở rộng Galois bậc vô hạn trường F G = Gal(K/F ) (1) Với tôpô Krull G, ánh xạ E → Gal(K/E) H → F(H) cho tương ứng 1-1 đảo chiều quan hệ bao hàm trường trung gian K ⊇ E ⊇ F nhóm đóng H ≤ G (2) Nếu trường trung gian E tương ứng với nhóm đóng H khẳng định sau tương đương: (i) [G : H] < ∞; (ii) [E : F ] < ∞; (iii) H mở G (3) Nếu điều kiện (2) thỏa mãn, [G : H] = [E : F ] 39 (4) Với nhóm đóng H ≤ G, H = Gal(K/E), ta có H nhóm chuẩn tắc G E/F Galois Trong trường hợp tồn đẳng cấu nhóm Gal(E/F ) −→ G/H Hơn nữa, Gal(E/F ) trang bị tôpô Krull G/H trang bị tôpô thương đẳng cấu phép đồng phôi Chứng minh (1) Nếu K ⊇ E ⊇ F K/E là mở rộng chuẩn tắc tách được, tức K/E mở rộng Galois Khi E trường bất động nhóm Gal(K/E) Mệnh đề 1.51 Nếu H ≤ G, theo Bổ đề 3.1 ta có Gal(K/F(H)) = H Kết hợp với Hệ 3.2 ta suy H = Gal(K/E) với trường trung gian K ⊇ E ⊇ F H tập đóng G Do ánh xạ E −→ Gal(K/E) H −→ F(H) cho tương ứng 1-1 trường trung gian mở rộng K/F nhóm đóng G (2) (i) ⇒ (iii): Cho K ⊇ E ⊇ F , H = Gal(K/E), giả sử [G : H] = n < ∞ Khi G hợp rời n lớp ghép G = H ∪ σ1 H ∪ · · · ∪ σn−1 H với σ1 , , σn ∈ G Mà H tập đóng G nên σ1 H, , σn−1 H đóng G (do ánh xạ G → G, τ → σi τ phép đồng phôi nhóm tôpô G) Vậy G\H = σ1 H ∪ · · · ∪ σn−1 H tập đóng, hay H tập mở G (iii) ⇒ (ii): Nếu H = Gal(K/E) tập mở H chứa lân cận mở sở 1G , suy tồn N ∈ N cho N ⊆ H Nếu đặt L = F(N ) E ⊆ L L ∈ I, từ [L : F ] < ∞ [L : F ] = [L : E][E : F ] < ∞ 40 kéo theo [E : F ] < ∞ (ii) ⇒ (i): Nếu [E : F ] < ∞ Bổ đề 2.8, ta chọn L ∈ I cho E ⊆ L, đặt N = Gal(K/L) Vì E ⊆ L nên N ⊆ H, từ [G : H] ≤ [G : N ] < ∞ (Bổ đề 2.7) (3) Giả sử H = Gal(K/E) tập mở Với kí hiệu chứng minh (ii) ⇒ (i) trên, ta có G/N ∼ = Gal(L/F ) qua đẳng cấu σN → σ|L theo Bổ đề 2.7 Từ H/N ánh xạ tới nhóm {σ|L | σ ∈ H}, nhóm Gal(L/F ) với trường bất động E ∩ L = E Theo định lý lý thuyết Galois bậc hữu hạn cấp nhóm [L : E] Do ta có [G : H] = [G/N : H/N ] = |G/N | [L : F ] = |H/N | [L : E] = [E : F ] (4) Giả sử H G đóng G, H = Gal(K/E) Lấy α ∈ E giả sử f (x) đa thức tối tiểu α F Nếu β ∈ K nghiệm khác f tồn σ ∈ G với σ(α) = β Nếu τ ∈ H τ (β) = σ −1 (στ σ −1 (α)) = σ −1 (α) = β στ σ −1 ∈ H (H nhóm chuẩn tắc G) Như β thuộc trường bất động E H, từ f chẻ E Vậy E/F mở rộng chuẩn tắc, E/F tách K/F tách Vậy E/F mở rộng Galois Đảo lại, E/F mở rộng Galois đồng cấu θ : G −→ Gal(E/F ) cho θ(σ) = σ|E xác định tốt Định lý 1.41 (vì E/F mở rộng chuẩn tắc), Ker θ = Gal(K/E) = H nhóm chuẩn tắc G Theo Định lý 1.43, θ toàn ánh Vì ta có đẳng cấu G/H ∼ = Gal(E/F ) Bây ta chứng minh H nhóm chuẩn tắc G 41 đẳng cấu θ : G/H −→ Gal(E/F ) phép đồng phôi Chú ý tập mở sở tôpô Krull Gal(E/F ) có dạng ρGal(E/E ) với E ⊆ E mở rộng Galois bậc hữu hạn F Đặt N = Gal(K/E ) ∈ N Thế θ−1 (Gal(E/E )) = N Từ suy θ−1 (ρGal(E/E )) = τ N với τ ∈ G thỏa mãn τ |E = ρ; ảnh ngược ρGal(E/E ) mở tôpô Krull G Do θ ánh xạ liên tục Ta biết ảnh tập compact qua ánh xạ liên tục tập compact tập compact không gian tôpô Hausdorff tập đóng Vì G compact Gal(E/F ) Hausdorff nên θ biến tập đóng thành tập đóng, tức θ ánh xạ đóng Do song ánh θ : G/H −→ Gal(E/F ) cảm sinh θ ánh xạ liên tục đóng G/H trang bị tôpô thương Điều có nghĩa θ phép đồng phôi 3.2 Một số ví dụ mở rộng Galois bậc vô hạn Ví dụ 3.4 Ta trở lại Ví dụ 1.57 Nhắc lại √ S = { p | p số nguyên tố} K = Q(S) Ta biết K/Q mở rộng Galois, Gal(K/Q) ∼ = ∞ i=1 Z/2Z Ta kiểm tra thực giới hạn xạ ảnh Gal(E/Q), với E/Q √ mở rộng Galois bậc hữu hạn Rõ ràng K sinh tập ∪p nguyên tố Q( p) Mọi trường trung gian K ⊇ E ⊇ Q với [E : Q] < ∞ viết √ √ E = Q( p1 , , pn ) với số nguyên tố phân biệt p1 , p2 , , pn Do ta thứ tự trường trung gian quan hệ bao hàm E1 ≤ E2 , √ √ √ √ √ √ E1 = Q( p1 , , pn ) E2 = Q( p1 , , pn , q1 , , qm ) với số nguyên tố phân biệt p1 , , pn , q1 , , qm Khi Gal(E1 /Q) nhóm 42 thương Gal(E2 /Q) qua ánh xạ φ : Gal(E2 /Q) −→ Gal(E1 /Q) cho √ φ(σ) = σ|E1 Từ kiểm tra Gal(K/Q) ∼ Gal(Q( p), Q) ∼ = = lim ←−p ∞ i=1 Z/2Z Chú ý Gal(K/Q) có vô hạn không đếm nhóm có số 2, Q có đếm mở rộng bậc Lý "hầu hết" nhóm có số không tập đóng tôpô Krull Gal(K/Q) Ví dụ 3.5 Kí hiệu Fp trường nguyên tố có đặc số p > (p số nguyên tố) Khi mở rộng đại số Fp tách (xem [2, Bài tập 8.6 1.3, chương 2]); nói riêng, bao đóng đại số Fp Fp mở rộng tách Fp Do F p /Fp mở rộng Galois Từ lý thuyết Galois cổ điển ta biết với số nguyên dương n, trường Fp có mở rộng Galois bậc n (kí hiệu Fpn ; xem [2, Bài tập 5.7, chương 2]) với nhóm Galois Gal(Fpn /Fp ) ∼ = Z/nZ, có Fpm ⊆ Fpn m | n Như đặt I = N, ta định nghĩa m ≤ n ⇔ m | n, đặt φn,m : Gal(Fpn /Fp ) ∼ = Z/nZ −→ Gal(Fpm /Fp ) ∼ = Z/mZ phép chiếu tự nhiên Khi Gal(Fp /Fp ) = lim ←− Z/nZ = 2.5) p nguyên tố Zp = Z (xem Ví dụ Trong ví dụ tiếp theo, ta cần sử dụng kết sau Định lý 3.6 (Kronecker - Weber) Cho K/Q mở rộng hữu hạn Khi K/Q mở rộng Abel K chứa trường chia đường tròn (mở rộng cyclotomic) Q Ví dụ 3.7 Xét mở rộng Qab /Q, Qab kí hiệu mở rộng cực đại Q mà Abel Định lý Kronecker - Weber chứng tỏ Qab = Q({ζn | n ∈ N∗ }) với ζn kí hiệu nguyên thủy bậc n đơn vị Rõ ràng Q({ζn | 43 n ∈ N∗ }) trường phân rã họ đa thức tách {xn − | n ∈ N∗ } Q Do Qab /Q mở rộng Galois Với σ ∈ G = Gal(Qab /Q), σ hoàn toàn xác định giá trị σ(ζn ) với n ∈ N∗ Ta biết σ(ζn ) phải nghiệm đa thức tối tiểu ζn (đó đa thức chia đường tròn bậc n Q), tức σ(ζn ) = ζnk với k ∈ N cho (k, n) = Với n ∈ N∗ cố định, ta biết Gal(Q(ζn )/Q) ∼ = (Z/nZ)× , nhóm nhân phần tử khả nghịch vành Z/nZ Ta thấy m | n, giả sử n = md, ζm = ζnd Từ σ(ζn ) = ζnk , k σ(ζm ) = σ(ζnd ) = σ(ζn )d = ζnkd = (ζnd )k = ζm Bây coi σ × ∼ phần tử lim ←−n∈N∗ Gal(Q(ζn )/Q) = lim ←−n∈N∗ (Z/nZ) (viết σ = (σn )n∈N ) với m | n, cần có σn ≡ σm mod m Nói cách khác, ta có họ đồng cấu φn,m : (Z/nZ)× −→ (Z/mZ)× , với φn,m (amodn) = amodm × lim ←−n∈N∗ (Z/nZ) , nhóm đẳng cấu với nhóm nhân phần tử khả nghịch Z Như vậy, Gal(Qab /Q) Đặt Q = {z ∈ C | z phần tử đại số Q} Khi Q bao đóng đại số trường Q gọi trường số đại số (xem [2]) Hiển nhiên mở rộng Q/Q mở rộng Galois bậc vô hạn Tuy nhiên đến người ta chưa biết tường minh cấu trúc nhóm Galois Gal(Q/Q) 44 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Cung Thế Anh, Nguyễn Thành Anh, Giáo trình tôpô đại cương, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2011 [2] Dương Quốc Việt (Chủ biên), Lê Văn Chua, Cơ sở lí thuyết Galois, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2010 [B] Tài liệu tiếng Anh [3] J R Bastida, Field Extensions and Galois Theory, Cambridge University Press, 1984 [4] F M Butler, Infinite Galois Theory, Master Thesis at the University of Pennsylvania, 2001 [5] S Lang, Algebra, Springer-Verlag New York, 2002 [6] P Morandi, Field and Galois Theory, Springer-Verlag New York, 1996 45 ... nhóm Galois mở rộng Galois bậc vô hạn Định nghĩa 2.6 Trường K gọi mở rộng Galois bậc vô hạn trường F K mở rộng đại số bậc vô hạn, chuẩn tắc tách F Từ đây, ta cố định kí hiệu Cho K/F mở rộng Galois. .. đáo Galois – xây dựng tương ứng trường trung gian nhóm nhóm Galois – mở chương cho Đại số Mở rộng Galois bậc vô hạn mở rộng trường bậc vô hạn, chuẩn tắc tách Tương tự mở rộng Galois bậc hữu hạn. .. Q} mở rộng bậc Q (iii) C(x) mở rộng bậc vô hạn trường số phức C 1, x, x2 , hệ vô hạn phần tử C(x) độc lập tuyến tính C Định lý 1.3 Cho tháp trường F ⊂ E ⊂ K Khi K mở rộng bậc hữu hạn F K mở rộng