Hệ phương trình toán 9

HỆ HAI PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 1: Dự đoán số nghiệm hệ phƣơng trình: Phƣơng pháp: Ta dựa vào tương giao hai đồ thị 𝑦 = 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 *Nếu hệ phương trình cho dạng: 𝑦 = 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 - Nếu 𝑎1 ≠ 𝑎2 hai đồ thị cắt nên hệ có nghiệm 𝑎1 = 𝑎2 - Nếu 𝑏 ≠ 𝑏 hai đường thẳng song song nên hệ vô nghiệm 𝑎1 = 𝑎2 - Nếu 𝑏 = 𝑏 hai đường thẳng trùng nên hệ vô số nghiệm 𝑎 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 *Nếu hệ phương trình cho dạng: 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2 𝑎1 - Nếu - Nếu 𝑎2 𝑎1 = 𝑎2 - Nếu ≠ 𝑎1 𝑎2 = 𝑏1 𝑏2 𝑏1 𝑏2 𝑏1 𝑏2 hai đường thẳng cắt nên hệ có nghiệm ≠ = 𝑐1 𝑐2 𝑐1 𝑐2 hai đường thẳng song song nên hệ vô nghiệm hai đường thẳng trùng nên hệ vô số nghiệm Bài Đoán nhận số nghiệm hệ phương trình sau giải thích sao: a) 2 x  y  3x  y  b) 3x  y  2 x  y  HD: Vì ≠ −1 nên hai đường thẳng cắt Vậy hệ phương trình có nghiệm Bài Bằng đồ thị chứng tỏ hệ phương trình sau có nghiệm với giá trị a: HD: x  a x  y   Dựa vào đồ thị ta có: x = a đường thẳng song song Oy, x+y =1 hàm số nghịch biến nên đường thẳng cắt điểm, suy hệ phương trình có nghiệm Nguyễn Chí Thành : 0978.99.66.33 https://www.facebook.com/mathsteachernguyenchithanh y a x x+y=1 x=a Dạng 2: Giải hệ phƣơng trình phƣơng pháp Phƣơng pháp: Biến đổi đưa hệ phương trình dạng: 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2 Rút x y từ phương trình vào phương trình lại 3x  y  2 x  y  Bài Giải hệ phương trình sau phương pháp thế:  HD: 3x  y  3x  2(5  x)  3x  10  x  7 x  14       y   2x  y   2x  y   2x 2 x  y  x     y   2.2 x   y  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) = (2;1) Dạng 3: Giải hệ phƣơng trình phƣơng pháp cộng đại số Phƣơng pháp: Biến đổi đưa hệ phương trình dạng: 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2 Nhân thêm vào hai phương trình hệ số phụ ( ẩn) cộng trừ hai phương trình cho 3x  y  2 x  y  Bài Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số:  HD: Nguyễn Chí Thành : 0978.99.66.33 https://www.facebook.com/mathsteachernguyenchithanh 3x  y   2 x  y  Ta có:  3x  y    4 x  y  10 7 x  14 x     2 x  y  2.2  y  x   y  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x;y) = (2;1) Dạng 4: Giải hệ phƣơng trình cách đặt ẩn phụ Phƣơng pháp: Đặt ẩn phụ ( điều kiện ẩn phụ) để đưa hệ phương trình 𝑎 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 dạng: dùng phương pháp cộng phương pháp để giải 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2 Bài 1: Giải hệ phương trình:   x  y  y  2x  a)    1  x  y y  x 3 x  y  16 b)  c) 2 x  y  11 𝑥 + 𝑦−3 =1 𝑦− 𝑥 =3 HD: a) Đặt : 𝑥+2𝑦 𝑦+2𝑥 =𝑎 hệ phương trình có dạng: =𝑏 a=1  suy b=1 𝑥+2𝑦 𝑦 +2𝑥 =1 =1  2a + b = 4a + 2b =  4a − 3b = 4a − 3b = x + 2y = 2x + 4y = y = 1/3   2x + y = 2x + y = x = 1/3 Vậy nghiệm hệ phương trình (x;y) = (1/3;1/3) b) Đặt : c) 𝑥=𝑎≥0 𝑦=𝑏≥0 𝑥 + 𝑦 − = (1) Từ (2) suy y ≥ suy ra: 𝑦 = 𝑥 + (2) 𝑥 + y−3= 𝑥 +y=4  từ tìm x, y ( Chú ý x có hai giá trị) 𝑦 = 𝑥 +3 𝑥 − y = −3 Dạng 5: Tìm a b biết hệ có nghiệm x0; y0 Phƣơng pháp: Thay x0; y0 vào hệ ta hệ phương trình bậc hai ẩn a, b Giải hệ để tìm a b Nguyễn Chí Thành : 0978.99.66.33 https://www.facebook.com/mathsteachernguyenchithanh 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = có nghiệm (x;y) =( -1;3) 3𝑥 + 𝑏𝑦 = Thay = -1; y = vào hệ phương trình ta được: −𝑎 + 3𝑏 = 𝑎 = −4  −3 + 3𝑏 = 𝑏=3 𝑎 = −4 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) =( -1;3) 𝑏=3 Bài Tìm a b để hệ phương trình: Dạng 6: Tìm m để hai hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng Phƣơng pháp: Hai phương trình tương đương chúng có tập nghiệm, ta giải hệ phương trình thứ để tìm tập nghiệm - Nếu hệ phương trình thứ có nghiệm (x0;y0) Thay x0; y0 vào hệ phương trình thứ để tìm m - Nếu hệ phương trình thứ vô nghiệm, để hai hệ phương trình tương đương hệ phương trình thứ vô nghiệm.Từ tìm m - Nếu hệ phương trình thứ vô số nghiệm, để hai hệ phương trình tương đương hệ phương trình thứ vô số nghiệm.Từ tìm m Dạng 7: Giải biện luận hệ phƣơng trình: 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒃𝟏 𝒚 = 𝒄𝟏 𝒂𝟐 𝒙 + 𝒃𝟐 𝒚 = 𝒄𝟐 Phƣơng pháp: Cách : Dùng vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng - Nếu -Nếu -Nếu 𝑎1 𝑎2 𝑎1 𝑎2 𝑎1 𝑎2 ≠ = = 𝑏1 Hệ phương trình có nghiệm 𝑏2 𝑏1 𝑏2 𝑏1 𝑏2 ≠ = 𝑐1 𝑐2 𝑐1 𝑐2 Hệ phương trình vô nghiệm Hệ phương trình vô số nghiệm Cách 3: Dùng phƣơng pháp đƣa phƣơng trình bậc ax=b (1) Xét a =0; b=0 Phương trình (1) có vô số nghiệm nên hệ phương trình có vô số nghiệm Xét a=0; b ≠ Phương trình (1) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm Xét a ≠ Phương trình (1) có nghiệm nên hệ có nghiệm Bài Giải biện luận hệ phương trình sau: 𝑚𝑥 + 𝑦 = 3𝑚 − 𝑥 + 𝑚𝑦 = 𝑚 + Nguyễn Chí Thành : 0978.99.66.33 https://www.facebook.com/mathsteachernguyenchithanh Cách 1: Dùng vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng - Nếu -Nếu 𝑚 𝑚 ≠ = 𝑚 𝑚  m2 ≠  𝑚 ≠ ± : ≠ 3𝑚 −1 𝑚 +1 Hệ phương trình có nghiệm 𝑚 =±1 𝑚2 =  3𝑚 −1  3𝑚 −1  m= -1: Hệ phương trình vô ≠ ≠ 𝑚 𝑚 +1 𝑚 𝑚 +1 nghiệm -Nếu 𝑚 = 𝑚 = 3𝑚 −1 𝑚 +1 𝑚 =±1 𝑚2 = 1 3𝑚 −1  m= 1: Hệ phương trình vô số 3𝑚 −1   = = 𝑚 𝑚 +1 𝑚 𝑚 +1 nghiệm Cách 2: Đƣa phƣơng trình bậc 𝑚𝑥 + 𝑦 = 3𝑚 − (1) 𝑥 + 𝑚𝑦 = 𝑚 + (2) Từ (1) suy y = 3m-1-mx Thay vào (2) ta được: x+ m(3m-1-mx) = m+1  x +3m2-m-m2x = m+1  x(1-m2) = -3m2+2m+1 Xét 1-m2 ≠  m ≠ m ≠ -1 phuowg trình có nghiệm nên hệ phương trình có nghiệm Xét 1-m2 =0  m =1 m =-1 - Với m=1 phương trình có dạng: 0.x = Phương trình vô số nghiệm nên hệ phương trình vô số nghiệm - Với m= - phương trình có dạng: 0.x = -4 Phương trình vô nghiệm nên hệ phương trình vô nghiệm Dạng 8: Tìm hệ thức độc lập nghiệm x, y hệ phƣơng trình ( Chứng minh hệ có nghiệm nằm đƣờng thẳng cố định) Phƣơng pháp: - Tìm điều kiện để hệ có nghiệm nhất: 𝑎1 𝑎2 ≠ 𝑏1 𝑏2 - Dùng phương pháp cộng phương pháp để tính x, y theo m - Khử m từ biểu thức x, y ta hệ thức x, y không phụ thuộc m Đậy đường thẳng cố định cần tìm 𝑥 + 𝑚𝑦 = Bài 1: Cho hệ phương trình: 𝑚𝑥 − 𝑦 = −𝑚 Tìm hệ thức liên hệ x y không phu thuộc vào giá trị m HD: Nguyễn Chí Thành : 0978.99.66.33 https://www.facebook.com/mathsteachernguyenchithanh Để hệ có nghiệm 1/m ≠ m/-1  m2 ≠ -1 ( đúng) suy hệ có nghiệm 𝑥= Dùng phương pháp cộng em tính được: 𝑦= 1−𝑚 𝑚 +1 2𝑚 𝑚 +1 Ta có:   m   2m   2m  m 4m  2m  m 2   1 x +y =      2 m  m  m  m  m  m  m  m      Vậy: x2 + y2 = không phụ thuộc vào giá trị m Bài 2: Cho hệ phương trình: 𝑥 − 𝑚𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑦 = 𝑚 + Chứng tỏ với m ≠ 1 hệ có nghiệm nằm đường thẳng cố định HD: Hệ phương trình có nghiệm khi: 1/m ≠ -m/-1  m2 ≠  m ≠ 1 Vậy với m ≠ 1 hệ phương trình có nghiệm Dùng phương pháp cộng ( thế) em tính được: 𝑥= m m+1 =1− 𝑦= 1 m+1 suy x = 1-y Vậy nghiệm hệ phương trình nằm 𝑚 +1 đường thẳng =1-y Dạng 9: Tìm m để hệ phƣơng trình 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒃𝟏 𝒚 = 𝒄𝟏 𝒂𝟐 𝒙 + 𝒃𝟐 𝒚 = 𝒄𝟐 điều kiện K có nghiệm thỏa mãn Phƣơng pháp: - Tìm điều kiện để hệ có nghiệm nhất: 𝑎1 𝑎2 ≠ 𝑏1 𝑏2 - Dùng phương pháp cộng phương pháp để tính x, y theo m - Thay x, y vào điều kiện K để tìm m, đối chiếu với điều kiện kết luận Bài 1: 𝑥 + 𝑚𝑦 = Tìm m để hệ có nghiệm x>0; y> 𝑚𝑥 − 2𝑦 = Nguyễn Chí Thành : 0978.99.66.33 https://www.facebook.com/mathsteachernguyenchithanh mx  y  3x  my  Bài 2: Cho hệ phương trình  Tìm điều kiện tham số m để hệ có nghiệm (x,y) thoả mãn hệ thức x  y  1 m2 m2  2 x  y  m (m tham số nguyên) 3x  y  Bài 3: Cho hệ phương trình  Xác định m để hệ có nghiệm (x,y) mà x>0;y